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备战2024年中考数学一轮复习考点帮(上海专用)专题07正比例函数和反比例函数(原卷版+解析)
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这是一份备战2024年中考数学一轮复习考点帮(上海专用)专题07正比例函数和反比例函数(原卷版+解析)，共83页。试卷主要包含了 平面直角坐标系的基础，四象限的角平分线上，则，即横，解答题等内容，欢迎下载使用。
正比例函数和反比例函数是本市中考的重要知识点，函数定义域，函数法则的函数值是本市的特色中考考点，中考中多以选择题、填空题、解答题多以函数的应用形式出现，主要考查基本概念、基本技能以及基本的数学思想方法．掌握函数的有关概念和本质，函数的图像和性质的结合，函数的应用（实际应用和几何应用），难度系数简单-中等。。
一、 平面直角坐标系的基础
有序数对概念：有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作（a ，b）。
【注意】a、b的先后顺序对位置的影响。
平面直角坐标系的概念：在平面内画两条互相垂直并且原点重合的数轴，这样就建立了平面直角坐标系。
两轴的定义：水平的数轴叫做x轴或横轴，通常取向右为正方向；竖直的数轴叫做y轴或纵轴，通常取向上方向为正方向。
平面直角坐标系原点：两坐标轴交点为其原点。
坐标平面：坐标系所在的平面叫坐标平面。
象限的概念：x轴和y轴把平面直角坐标系分成四部分，每个部分称为象限。按逆时针顺序依次叫第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。
【注意】坐标轴上的点不属于任何象限。
点的坐标：对于坐标轴内任意一点A，过点A分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上的对应的数a、b分别叫做点A的横坐标和纵坐标，有序数对A(a，b)叫做点A的坐标，记作A(a，b)。
二 、点的坐标的有关性质
性质一 各象限内点的坐标的符号特征
性质二 坐标轴上的点的坐标特征
1.轴上的点，纵坐标等于0；
2.轴上的点，横坐标等于0；
3.原点位置的点，横、纵坐标都为0.
性质三 象限角的平分线上的点的坐标
1．若点P（）在第一、三象限的角平分线上，则，即横、纵坐标相等；
2．若点P（）在第二、四象限的角平分线上，则，即横、纵坐标互为相反数；
在第一、三象限的角平分线上 在第二、四象限的角平分线上
性质四 与坐标轴平行的直线上的点的坐标特征
1.在与轴平行的直线上， 所有点的纵坐标相等；
点A、B的纵坐标都等于；
2.在与轴平行的直线上，所有点的横坐标相等；
点C、D的横坐标都等于；
性质五 点到坐标轴距离
在平面直角坐标系中，已知点P，则
1.点P到轴的距离为；
2.点P到轴的距离为；
3.点P到原点O的距离为PO＝
性质六 平面直角坐标系内平移变化
性质七 对称点的坐标
点P关于轴的对称点为， 即横坐标不变，纵坐标互为相反数；
2.点P关于轴的对称点为， 即纵坐标不变，横坐标互为相反数；
3.点P关于原点的对称点为，即横、纵坐标都互为相反数；
一、单选题
1．与平面直角坐标系中的点具有一一对应关系的是（ ）
A．实数B．有理数
C．有序实数对D．有序有理数对
2．已知点在第二象限，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．已知点与点在同一条平行于轴的直线上，且到轴的距离等于4，则点的坐标是（ ）
A．或B．或C．或D．或
4．在平面直角坐标系中，将点向右平移3单位长度，再向上平移4个单位长度正好与原点重合，那么点A的坐标是（ ）
A．B．C．D．
5．已知点A（m，2）与点B（1，n）关于y轴对称，那么m+n的值等于（ ）
A．﹣1B．1C．﹣2D．2
6．在平面直角坐标系中，将点绕原点旋转，得到的点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，三角形ABC的面积等于（ ）
A．12B． C．13D．
8．已知点在轴上，则点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
9．△ABC三个顶点坐标A（﹣4，﹣3），B（0，﹣3），C（﹣2，0），将点B向右平移2个长度单位后，再向上平移5个长度单位到D，若设△ABC面积为S1，△ADC的面积为S2，则S1与S2大小关系为（ ）
A．S1＞S2B．S1＝S2C．S1＜S2D．不能确定
10．如图，点A(O，1)、点A1(2，0)、点A2(3，2)、点A3(5，1)、…，按照这样的规律下去，点A2021的坐标为 ( )
A． (2023，2021)B．(3032，1010)C．(3033， 1011)D． (2023，1012)
二、填空题
11．如图，已知雷达探测器在一次探测中发现了两个目标，、，其中的位置可以表示成，那么可以表示为______．
12．已知点P(﹣2，4)与点Q关于原点对称，那么点Q的坐标是__________．
13．在平面直角坐标系中，点A的坐标是(2，﹣1)，若轴，且AB＝9，则点B的坐标是 ___．
14．如图，点是棋盘上象的第一跳后的位置，象走的规则是沿“田”形对角线走．
请指出：（1）象是从点________跳到A点；
（2）象下一跳的可能位置是__________．
15．在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是，点P的坐标为，若为直角三角形，则的值为 _____．
三、解答题
16．已知点Q，试分别根据下列条件，回答问题．
(1)若点Q在y轴上，求点Q的坐标．
(2)若点Q在（即第一象限）角平分线上，求点Q的坐标．
17．已知点P(2m-6，m+1)，试分别根据下列条件直接写出点P的坐标．
(1)点P在y轴上；
(2)点P的纵坐标比横坐标大5；
(3)点P到x轴的距离与到y轴距离相等．
18．如图，在平面直角坐标系中．
(1)求出的面积；
(2)在图中作出关于y轴对称的图形，并写出，的坐标；
(3)在x轴上找一点P，使得点P到B、C两点的距离之和最小．
19．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，的顶点B在x轴的正半轴上，点A在y轴正半轴上，△AOB的面积为4，且.
(1)求点B的坐标；
(2)过点A作的垂线，点C在直线的下方垂直y轴于点D，当时，求点C的坐标：
(3)在（2）的条件下，连接，点E为的中点，求点E的坐标.
一、函数
1、函数的相关概念
在某个变化过程中有两个变量，设为x和y,如果在变量x的允许取值范围内，变量y随着x的变化而变化，那么变量y叫做变量x的函数 ，x叫做自变量 。
2、函数的定义域与函数值
①定义域：函数的自变量的允许取值的范围（简称自变量的取值范围）。
常见函数的定义域：
（1）函数解析式为整式时，定义域为一切实数；
（2）函数解析式为分式时，定义域是使分母不等于0的实数；
（3）函数解析式是无理式时，偶次根式的被开方数必须是非负数；奇次根式的定义域为一切实数
（4）在实际生活中有意义。
②函数记号与函数值：
函数记号：y是x的函数用记号y=f（x）表示；
函数值：在函数记号y=f（x）表示时，f（a）表示当x=a时的函数值。
二、正比例函数与反比例函数
1.正比例函数和反比例函数的定义：
①正比例函数的定义：定义域是一切实数的函数y=kx(k是不等于零的常数)叫做正比例函数，其中常数k叫做比例系数.
注意：正比例函数的定义域是一切实数.
②反比例函数的定义： 定义域为不等于零的一切实数的函数，（ k为不等于零的常数）叫做反比例函数，其中k也叫比例系数.
要点：
（1）在中，自变量是分式的分母，当时，分式无意义，所以自变量的取值范围是函数的取值范围是.故函数图象与轴、轴无交点；
（2） ()可以写成()的形式，自变量的指数是－1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一条件.
（3） ()也可以写成的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比例系数，从而得到反比例函数的解析式.
2、正比例函数和反比例函数的图像与性质
要点：（1）若点()在反比例函数的图象上，则点()也在此图象上，所以反比例函数的图象关于原点对称；
（2）在反比例函数(为常数，) 中，由于，所以两个分支都无限接近但永远不能达到轴和轴．
3、过双曲线() 中k的几何意义
①过双曲线() 上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为.
②过双曲线（k≠0）上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为.
三、函数的表示方法
函数的表示方法有三种：解析式法，列表法，图象法.
1、解析法
把两个变量之间的依赖关系用数学式子来表达，这种表示函数的方法叫做解析法．这种数学式子也就是函数解析式．如、，再如S=200t、、……
2、列表法
这种把两个变量之间的依赖关系用表格来表达，这种表示函数的方法叫做列表法．
3、图象法
这种把两个变量之间的依赖关系用图像来表示，这种表示函数的方法叫做图像法．
要点：由函数解析式画出图象的一般步骤：列表、描点、连线.列表时，自变量的取值时，既要使自变量的取值有一定的代表性，又不至于使自变量或对应的函数值太大或太小，以便于描点和全面反映图象情况.
一、单选题
1．下列各图象中，不能表示y是x的函数的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列说法不成立的是（ ）．
A．在中，与x成正比B．在中，与x成反比
C．若，则x，y成正比D．若，则x，y成反比
3．关于函数y＝﹣x，以下说法错误的是（ ）
A．图象经过原点B．图象经过第二、四象限
C．图象经过点D．y的值随x的增大而增大
4．关于反比例函数，下列说法中错误的是（ ）
A．它的图象是双曲线
B．它的图象在第一、三象限
C．的值随的值增大而减小
D．若点在它的图象上，则点也在它的图象上
5．已知4个正比例函数y＝k1x，y＝k2x，y＝k3x，y＝k4x的图像如图，则下列结论成立的是（ ）
A．k1＞k2＞k3＞k4B．k1＞k2＞k4＞k3
C．k2＞k1＞k3＞k4D．k4＞k3＞k2＞k1
6．在函数（m为常数）的图象上有三点，则函数值的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
7．已知函数y＝kx（k≠0）中y随x的增大而增大，那么它和函数在同一直角坐标平面内的大致图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
8．一列货运火车从北京站出发，匀加速行驶一段时间后开始匀速行驶，过了一段时间，火车到达下一个车站停下，装完货之后又匀加速行驶，一段时间后再次开始匀速行驶，那么火车的速度v与行驶时间t之间的函数图象大致是（ ）
A．B．C．D．
9．甲、乙二人沿相同的路线由A到B匀速行进，A，B两地间的路程为20km．他们行进的路程与甲出发后的时间t（h）之间的函数图象如图所示．根据图中信息，下列说法中，不正确的是（ ）
A．甲的速度是5；B．乙的速度是10
C．乙比甲晚出发1hD．从A到B，甲比乙多用了1h
10．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点A、B、C为反比例函数y=（k＞0）上不同的三点，连接OA、OB、OC，过点A作AD⊥y轴于点D，过点B、C分别作BE，CF垂直x轴于点E、F，OC与BE相交于点M，记△AOD、△BOM、四边形CMEF的面积分别为S1、S2、S3，则（ ）
A．S1=S2+S3B．S2=S3
C．S3＞S2＞S1D．S1S2＜S32
二、填空题
11．函数的定义域是______．
12．已知：，那么_______________．
13．已知函数，当______．时，这个函数为正比例函数．
14．已知正比例函数，如果它的图像经过第二、四象限，则的取值范围是________．
15．已知反比例函数的图像上两点、，当时，有，则的取值范围是______．
16．在描述某一个反比例函数的性质时，甲同学说：“从这个反比例函数图像上任意一点向x轴、y轴作垂线，与两坐标轴所围成的长方形的面积为2022.”乙同学说：“这个反比例函数在同一个象限内，y的值随着x的值增大而增大.”根据这两位同学所描述，此反比例函数的解析式是_______.
17．如图，在平面直角坐标中，点、点，线段绕点顺时针方向旋转90°，点的对应点恰好落在反比例函数的图像上，则______．
18．如图，点A是射线上一点，过点A作轴于点B，以为边在其右侧作正方形，过点A的双曲线交边于点E，若，则的值是______．
三、解答题
19．已知，并且与x成正比例，与成反比例．当时，；当时，，求：y关于x的函数解析式．
20．若和是关于的方程的两个不相等实数根，且是非负整数．
(1)求的值；
(2)反比例函数图象过点（其中），求的值．
21．某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片烂泥湿地，为了安全、迅速通过这片湿地，他们沿着前进路线铺了若干块木块，构筑成一条临时近道．木板对地面的压强P（Pa）是木板面积S（m2）的反比例函数，其图象如图所示．
(1)求出P与S之间的函数表达式；
(2)如果要求压强不超过3000Pa，木板的面积至少要多大？
22．如图，在平面直角坐标系中，的边在x轴正半轴上，，，C为斜边的中点，反比例函数在第一象限内的图像经过点C，交边于点D．
(1)这个反比例函数的解析式；
(2)连结，求的值．
23．已知反比例函数的图象经过点．
(1)试确定此反比例函数的解析式；
(2)点是坐标原点，将线段绕点顺时针旋转得到线段．判断点是否在此反比例函数的图象上，并说明理由；
(3)已知点也在此反比例函数的图象上（其中），过点作轴的垂线，交轴于点．若线段上存在一点，使得的面积是，设点的纵坐标为，求的值．
一、单选题
1． (2023·上海普陀·统考一模）如果点在轴上，那么点所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．（2017·上海徐汇·统考二模）已知点M(1－2m，m－1)在第四象限内，那么m的取值范围是( )
A．m＞1B．m＜C．＜m＜1D．m＜或m＞1
3． (2023·上海浦东新·统考二模）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣3，0），B（2，0），C（﹣1，2），E（4，2），如果△ABC与△EFB全等，那么点F的坐标可以是（ ）
A．（6，0）B．（4，0）C．（4．﹣2）D．（4，﹣3）
4． (2023·上海杨浦·校考一模）在平面直角坐标系xOy中，已知点P（1，2），点P与原点O的连线与x轴的正半轴的夹角为α（0°<α<90°），那么tanα的值是（ ）
A．2B．C．D．
5． (2023·上海普陀·统考二模）关于函数，下列说法中正确的是（ ）
A．图像位于第一、三象限B．图像与坐标轴没有交点
C．图像是一条直线D．y的值随x的值增大而减小
6． (2023·上海宝山·统考三模）如果函数y=3x+m的图象一定经过第二象限，那么m的取值范围是（ ）
A．m＞0B．m≥0C．m＜0D．m≤0
7． (2023·上海徐汇·统考二模）姜老师给出一个函数表达式，甲、乙、丙三位同学分别正确指出了这个函数的一个性质．甲：函数图像经过第一象限；乙：函数图像经过第三象限；丙：在每一个象限内，y值随x值的增大而减小．根据他们的描述，姜老师给出的这个函数表达式可能是（）
A．B．C．D．
8． (2023·上海青浦·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，已知，，以为顶点，为一边作角，角的另一边交轴于（在上方），则坐标为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
9． (2023·上海闵行·统考二模）已知函数，那么_______．
10． (2023·上海金山·统考二模）函数的定义域是______．
11． (2023·上海浦东新·统考二模）已知反比例函数，如果在每个象限内，随自变量的增大而增大，那么的取值范围为__________．
12．（2014·上海普陀·统考二模）直角坐标系中，第四象限内一点P到x轴的距离为2，到y轴的距离为5，那么点P的坐标是_____
13． (2023·上海黄浦·统考一模）如图，一个管道的截面图，其内径（即内圆半径）为10分米，管壁厚为x分米，假设该管道的截面（阴影）面积为y平方分米，那么y关于x的函数解析式是________．（不必写定义域）
14． (2023·上海浦东新·模拟预测）已知正比例函数的图象经过点M（﹣2，1）、A（x1，y1）、B（x2，y2），如果x1＜x2，那么y1_____y2．（填“＞”、“＝”、“＜”）
15． (2023·上海·校联考模拟预测）如图，在直角坐标系中，B（0，3）、C（4，0）、D（0，2），AB与CD交于点P，若∠APC=45°，则A点坐标为______ .
16． (2023·上海·校联考模拟预测）如图，点P是y轴正半轴上一点，以P为圆心的圆与x轴、y轴分别交于点A、B、C、，已知点A的坐标为，点C的坐标为，则点D的坐标为_____________．
17． (2023·上海·校考模拟预测）在平面直角坐标系中，将点（-b，-a）称为点（a，b）的“关联点”（例如点（-2，-1）是点（1，2）的“关联点”）．如果一个点和它的“关联点”在同一象限内，那么这一点在第_______象限．
18． (2023·上海徐汇·统考二模）如图，四个白色全等直角三角形与四个黑色全等三角形按如所示方式摆放成“风车”型，且黑色三角形的顶点E、F、G、H分别在白色直角三角形的斜边上，已知∠ABO＝90°，OB＝3，AB＝4，若点A、E、D在同一直线上，则OE的长为______．
19． (2023·上海·统考模拟预测）定义：给定关于x的函数y，对于该函数图象上任意两点（x1，y1），（x2，y2），当x1＝﹣x2时，都有y1＝y2，称该函数为偶函数，根据以上定义，可以判断下面所给的函数中，是偶函数的有__（填上所有正确答案的序号）．
①y＝2x； ②y＝﹣x+1； ③y＝x2； ④y＝﹣；
20． (2023·上海杨浦·校考一模）对于平面直角坐标系中的点，若点的坐标为（其中k为常数，且），则称点为点P的“k属派生点”，例如，的 “2属派生点”为，即，若点P的“k属派生点”的坐标为，请写出一个符合条件的点P的坐标： ______．
21． (2023·上海·上海市实验学校校考二模）如图双曲线，经过四边形OABC的顶点A、C，∠ABC=90°，OC平分OA与x轴正半轴的夹角，AB//x轴，将三△ABC沿AC翻折后得△A，点落在OA上，则四边形OABC的面积是___________．
三、解答题
22． (2023·上海奉贤·统考三模）如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过网格的交点A、B、C．
（1）请完成如下操作：
①以点O为原点、网格边长为单位长，建立平面直角坐标系；
②根据图形提供的信息，标出该圆弧所在圆的圆心D，并连接AD、CD．
（2）请在（1）的基础上，完成下列填空：
①写出点的坐标：C 、D ；
②⊙D的半径＝ ；
（3）求∠ACO的正弦值．
23． (2023·上海奉贤·统考二模）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴交于点A（﹣2，0），与y轴的正半轴交于点B，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点C，且AB＝BC，点C的纵坐标为4．
（1）求直线AB的表达式；
（2）过点B作BD∥x轴，交反比例函数y＝的图象于点D，求线段CD的长度．
24． (2023·上海奉贤·统考二模）E-learning即为在线学习，是一种新型的学习方式．某网站提供了A、B两种在线学习的收费方式．A种：在线学习10小时（包括10小时）以内，收取费用5元，超过10小时时，在收取5元的基础上，超过部分每小时收费0.6元（不足1小时按1小时计）；B种：每月的收费金额（元）与在线学习时间是（时）之间的函数关系如图所示．
（1）按照B种方式收费，当时，求关于的函数关系式．
（2）如果小明三月份在这个网站在线学习，他按照A种方式支付了20元，那么在线学习的时间最多是多少小时？如果该月他按照B 种方式付费，那么他需要多付多少元？
25． (2023·上海徐汇·统考二模）如图，已知直线与轴交于点A，与y轴交于点C，矩形ACBE的顶点B在第一象限的反比例函数图像上，过点B作，垂足为F，设OF=t．
（1）求∠ACO的正切值；
（2）求点B的坐标（用含t的式子表示）；
（3）已知直线与反比例函数图像都经过第一象限的点D，联结DE，如果轴，求m的值．
26． (2023·上海杨浦·校考一模）如图，在平面直角坐标系中，，轴于点，点在反比例函数的图像上．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）求面积；
（3）在坐标轴上是否存在一点，使得以、、三点为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，简述你的理由．
象限
横坐标
纵坐标
第一象限
正
正
第二象限
负
正
第三象限
负
负
第四象限
正
负
函数
解析式
定义域
图像
性质
正比例函数
一切实数
O
O
当k>0时y随x的增大而增大，
当k<0时，y随x的增大而减小
反比例函数
的实数
1.当K>0时，图象的两个分支分别在一、三象限内，在每个象限内， y随x的增大而减小；
2.当K<0时，图象的两个分支分别在二、四象限内，在每个象限内，y随x的增大而增大。
3.双曲线无限渐进x轴y轴但不相交
专题07 正比例函数和反比例函数
正比例函数和反比例函数是本市中考的重要知识点，函数定义域，函数法则的函数值是本市的特色中考考点，中考中多以选择题、填空题、解答题多以函数的应用形式出现，主要考查基本概念、基本技能以及基本的数学思想方法．掌握函数的有关概念和本质，函数的图像和性质的结合，函数的应用（实际应用和几何应用），难度系数简单-中等。。
一、 平面直角坐标系的基础
有序数对概念：有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作（a ，b）。
【注意】a、b的先后顺序对位置的影响。
平面直角坐标系的概念：在平面内画两条互相垂直并且原点重合的数轴，这样就建立了平面直角坐标系。
两轴的定义：水平的数轴叫做x轴或横轴，通常取向右为正方向；竖直的数轴叫做y轴或纵轴，通常取向上方向为正方向。
平面直角坐标系原点：两坐标轴交点为其原点。
坐标平面：坐标系所在的平面叫坐标平面。
象限的概念：x轴和y轴把平面直角坐标系分成四部分，每个部分称为象限。按逆时针顺序依次叫第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。
【注意】坐标轴上的点不属于任何象限。
点的坐标：对于坐标轴内任意一点A，过点A分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上的对应的数a、b分别叫做点A的横坐标和纵坐标，有序数对A(a，b)叫做点A的坐标，记作A(a，b)。
二 、点的坐标的有关性质
性质一 各象限内点的坐标的符号特征
性质二 坐标轴上的点的坐标特征
1.轴上的点，纵坐标等于0；
2.轴上的点，横坐标等于0；
3.原点位置的点，横、纵坐标都为0.
性质三 象限角的平分线上的点的坐标
1．若点P（）在第一、三象限的角平分线上，则，即横、纵坐标相等；
2．若点P（）在第二、四象限的角平分线上，则，即横、纵坐标互为相反数；
在第一、三象限的角平分线上 在第二、四象限的角平分线上
性质四 与坐标轴平行的直线上的点的坐标特征
1.在与轴平行的直线上， 所有点的纵坐标相等；
点A、B的纵坐标都等于；
2.在与轴平行的直线上，所有点的横坐标相等；
点C、D的横坐标都等于；
性质五 点到坐标轴距离
在平面直角坐标系中，已知点P，则
1.点P到轴的距离为；
2.点P到轴的距离为；
3.点P到原点O的距离为PO＝
性质六 平面直角坐标系内平移变化
性质七 对称点的坐标
点P关于轴的对称点为， 即横坐标不变，纵坐标互为相反数；
2.点P关于轴的对称点为， 即纵坐标不变，横坐标互为相反数；
3.点P关于原点的对称点为，即横、纵坐标都互为相反数；
一、单选题
1．与平面直角坐标系中的点具有一一对应关系的是（ ）
A．实数B．有理数
C．有序实数对D．有序有理数对
【答案】C
【分析】根据平面直角坐标系与有序实数对的关系，可得答案
【解析】有序实数对与平面直角坐标系中的点具有一一对应关系，
故选C．
【点睛】本题考查了点的坐标，关键是知道平面直角坐标系与有序实数对一一对应
2．已知点在第二象限，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据第二象限的点的横坐标小于0，纵坐标大于0，列不等式组，计算求解即可．
【解析】解：∵点在第二象限，
∴，
解得，
∴a的取值范围是．
故选D．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系中象限点坐标的特征，解一元一次不等式组．解题的关键在于明确第二象限的点的横坐标小于0，纵坐标大于0．
3．已知点与点在同一条平行于轴的直线上，且到轴的距离等于4，则点的坐标是（ ）
A．或B．或C．或D．或
【答案】C
【分析】根据平行于轴的直线上的点的纵坐标相等求出，再根据点到轴的距离等于横坐标的绝对值求出，然后写出点的坐标即可．
【解析】解：点与点在同一条平行于轴的直线上，
，
到轴的距离等于4，
，
点的坐标为或．
故选：C．
【点睛】本题考查了点的坐标，主要利用了平行于轴的直线上点的坐标特征，点到轴的距离等于横坐标的绝对值．
4．在平面直角坐标系中，将点向右平移3单位长度，再向上平移4个单位长度正好与原点重合，那么点A的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，即可求解
【解析】解：将点向右平移3单位长度，再向上平移4个单位长度正好与原点重合，
，
，
点A的坐标是，
故选：C．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化平移，熟记平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减是解题的关键．
5．已知点A（m，2）与点B（1，n）关于y轴对称，那么m+n的值等于（ ）
A．﹣1B．1C．﹣2D．2
【答案】B
【分析】关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，据此先求出m，n的值，然后代入代数式求解即可得．
【解析】解：∵与点关于y轴对称，
∴，，
∴，
故选：B．
【点睛】题目主要考查点关于坐标轴对称的特点，求代数式的值，理解题意，熟练掌握点关于坐标轴对称的特点是解题关键．
6．在平面直角坐标系中，将点绕原点旋转，得到的点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】点P绕原点旋转180°，实质是点P关于原点对称，根据点关于原点对称的特点即可求得点Q的坐标．
【解析】由题意知，点P、Q关于原点对称，两点关于原点对称的特点是：横坐标与纵坐标分别变为它们的相反数，则点Q的坐标为．
故选：A．
【点睛】本题考查了关于原点对称的两点之间的坐标特征，弄清其坐标特征是本题的关键．
7．如图，三角形ABC的面积等于（ ）
A．12B． C．13D．
【答案】D
【分析】过点A作轴于D，利用，求出，和进而进行求解即可．
【解析】过点A作轴于D，如图所示：
由题意可得，，，
，，
∴，
∴，
，
即，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了利用和差法转化求三角形的面积，正确读懂题意是解题的关键．
8．已知点在轴上，则点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据在x轴上的点的性质求出m的值，即可求出点的坐标．
【解析】∵点在轴上
∴
解得
即
∴点
故答案为：B．
【点睛】本题考查了点坐标的问题，掌握在x轴上的点的性质是解题的关键．
9．△ABC三个顶点坐标A（﹣4，﹣3），B（0，﹣3），C（﹣2，0），将点B向右平移2个长度单位后，再向上平移5个长度单位到D，若设△ABC面积为S1，△ADC的面积为S2，则S1与S2大小关系为（ ）
A．S1＞S2B．S1＝S2C．S1＜S2D．不能确定
【答案】A
【分析】根据三角形面积公式可得△ABC的面积为S1＝，根据平移的性质可知，将B点平移后得到D点的坐标是（2，2），所以△ADC的面积为S2＝，所以S1＞S2．
【解析】解：△ABC的面积为S1＝，
将B点平移后得到D点的坐标是（2，2），
所以△ADC的面积为S2＝，
∴S1＞S2，
故选：A．
【点睛】本题考查了平移的性质：由平移知识可得对应点间线段即为平移距离．学生在学习中应该借助图形，理解掌握平移的性质．
10．如图，点A(O，1)、点A1(2，0)、点A2(3，2)、点A3(5，1)、…，按照这样的规律下去，点A2021的坐标为 ( )
A． (2023，2021)B．(3032，1010)C．(3033， 1011)D． (2023，1012)
【答案】B
【分析】观察图形得到奇数点的规律为：，由2021是奇数，且2021＝2n−1，则可求A2n−1（3032，1010）．
【解析】解：由图像可得：
∵
∴
故选B．
【点睛】本题考查点的坐标规律；熟练掌握平面内点的坐标，能够根据图形的变化得到点的坐标规律是解题的关键．
二、填空题
11．如图，已知雷达探测器在一次探测中发现了两个目标，、，其中的位置可以表示成，那么可以表示为______．
【答案】
【分析】按已知可得，表示一个点，距离是自内向外的环数，角度是所在列的度数，据此进行判断即可得解．
【解析】∵（a，b）中，b表示目标与探测器的距离；a表示以正东为始边，逆时针旋转后的角度，
A的位置可以表示成（60°，6），
∴B可以表示为 (150°，4)．
故答案为： (150°，4) ．
【点睛】本题考查了坐标确定位置，解决本题的关键根据A的位置可以表示方法确定：距离是自内向外的环数，角度是所在列的度数．
12．已知点P(﹣2，4)与点Q关于原点对称，那么点Q的坐标是__________．
【答案】（2，-4）
【分析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案．
【解析】解：点P（-2，4）与点Q关于原点对称，则点Q的坐标（2，-4），
故答案是：（2，-4）．
【点睛】本题考查了关于原点的对称的点的坐标，关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数．
13．在平面直角坐标系中，点A的坐标是(2，﹣1)，若轴，且AB＝9，则点B的坐标是 ___．
【答案】（2，8）或（2，-10）##（2，-10）或（2，8）
【分析】线段轴，A、B两点横坐标相等，又AB=9，B点可能在A点上边或者下边，根据距离确定B点坐标．
【解析】解：∵AB与y轴平行，
∴A、B两点的横坐标相同，
又AB=9，
∴B点纵坐标为：-1+9=8，或-1-9=-10，
∴B点的坐标为：（2，8）或（2，-10）；
故答案为：（2，8）或（2，-10）．
【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，要掌握平行于y轴的直线上的点横坐标相等，再根据两点相对的位置及两点距离确定点的坐标．
14．如图，点是棋盘上象的第一跳后的位置，象走的规则是沿“田”形对角线走．
请指出：（1）象是从点________跳到A点；
（2）象下一跳的可能位置是__________．
【答案】 或 ，，，
【分析】根据象走的规则是沿“田”形对角线走，也就是按2×2格点的对角线走，可得答案．
【解析】
∵点A(2，−2)是棋盘上象的第一跳后的位置，象走的规则是沿“田”形对角线走，
∴象是从点O(0，0)或点B(4，0) 跳到A点的，
∴象下一跳的可能位置是点O(0，0)或点B(4，0)或点C (0，−4)或点D(4，−4)．
故答案为：①(0，0) 或(4，0)，②(0，0)，B(4，0)， (0，−4)，(4，−4)．
【点睛】本题考查了象棋中象的走法，沿“田”形对角线走，也就是按2×2格点的对角线走，正确找出点的位置，用坐标表示即可．
15．在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是，点P的坐标为，若为直角三角形，则的值为 _____．
【答案】3或
【分析】有两种情况：根据为直角三角形，令A和P为直角顶点时，有两种情况：
①如图1，当时，根据点A的坐标可得P的坐标；
②如图2，当时，根据勾股定理可建立方程求解m的值．
【解析】解：有两种情况：
①如图1，当时，
∵点A的坐标是，
∴点P的坐标为，
∴；
②如图2，当时，
过A作于B，
∴，，，
∴，，
∴在中，，
即，
解得：，
∴综上所述：m的值为3或，
故答案为：或m＝．
【点睛】此题主要考查了直角三角形的判定，相似三角形的性质和判定，坐标与图形的性质等知识点，在直角三角形直角顶点不确定的情况下，一定要分类讨论，以免漏解．
三、解答题
16．已知点Q，试分别根据下列条件，回答问题．
(1)若点Q在y轴上，求点Q的坐标．
(2)若点Q在（即第一象限）角平分线上，求点Q的坐标．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）根据y轴上的点的横坐标等于零，可得，即可求出m的值，进而得到答案；
（2） 根据点Q到两坐标的距离相等，可得关于m的方程，解方程即可得出答案．
【解析】（1）解：点Q在y轴上，则，
解得，
所以；
故Q点的坐标为 ；
（2）解：当点Q在（即第一象限）角平分线上，即：，
解得：，
所以，
故Q点的坐标为：．
【点睛】本题考查了点的坐标，y轴上的点的横坐标等于零，在角平分线上点到两坐标轴距离相等．
17．已知点P(2m-6，m+1)，试分别根据下列条件直接写出点P的坐标．
(1)点P在y轴上；
(2)点P的纵坐标比横坐标大5；
(3)点P到x轴的距离与到y轴距离相等．
【答案】(1)P(0，4)
(2)(-2，3)
(3)(8，8)或(，)
【分析】（1）由在y轴上的点的坐标特点：横坐标为0，即可求出答案；
（2）由题意可得出，代入横、纵坐标，解出m，即得出答案；
（3）根据点P到坐标轴距离相等即得出，代入横、纵坐标，解出m，即得出答案．
【解析】（1）∵点P在y轴上，
∴，即2m-6=0，
解得：m=3，
∴m+1=4，
∴P(0，4)；
（2）∵点P的纵坐标比横坐标大5，
∴，即m+1-(2m-6)=5，
解得：m=2，
∴2m-6=-2，m+1=3，
∴点P的坐标为(-2，3)；
（3）∵点P到x轴的距离与到y轴距离相等，
∴，即|2m-6|=|m+1|，
∴2m-6=m+1或2m-6=-m-1，
解得m=7或m=，
当m=7时，2m-6=8，m+1=8，即点P的坐标为(8，8)；
当m=时，2m-6=，m+1=，即点P的坐标为(，)．
故点P的坐标为(8，8)或(，)．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标的特点，点到坐标轴的距离的定义．理解题意，根据题意求出m的值是解题关键．
18．如图，在平面直角坐标系中．
(1)求出的面积；
(2)在图中作出关于y轴对称的图形，并写出，的坐标；
(3)在x轴上找一点P，使得点P到B、C两点的距离之和最小．
【答案】(1)5
(2)，
(3)见解析
【分析】（1）利用矩形的面积减去三个直角三角形的面积即可得；
（2）先分别作点，B，C关于轴的对称点，，，再顺次连接即可得，然后根据和在平面直角坐标系中的位置即可得它们的坐标；
（3）先作点关于轴的对称点，再连接，与轴交于点．根据两点之间线段最短，可知点P即为所求的点．
【解析】（1）解：，
即的面积为5；
（2）解：如图，即为所求，
则，；
（3）解：如图，先作点关于轴的对称点，再连接，与轴交于点，
点即为所求．
【点睛】本题考查坐标与图形变化——轴对称，解题的关键是熟练掌握轴对称图形的特点和画法．
19．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，的顶点B在x轴的正半轴上，点A在y轴正半轴上，△AOB的面积为4，且.
(1)求点B的坐标；
(2)过点A作的垂线，点C在直线的下方垂直y轴于点D，当时，求点C的坐标：
(3)在（2）的条件下，连接，点E为的中点，求点E的坐标.
【答案】(1)（4，0）
(2)（-2，-2）
(3)（1，-1）
【分析】（1）由及，即可得到答案；
（2）先证明，得到，，即可得到答案；
（3）连接并延长交于点F，先证明，得到，连接OE，可得，得到，过点E作于H， 可证得，，过点E作于K，求得，即可得到答案．
【解析】（1）解：∵，
∴，
∴或（舍去），
∴，
∴B（4，0）；
（2）∵，
∴，
∵，，
∴．
∵，，
∴（AAS），
∴，CD=OA=2，
∴，
∴C（-2，）；
（3）连接并延长交于点F，
∵，
∴，
∴，，
∵E为的中点，
∴，
∴（ASA），
∴，，
∵，
∴，
∴，
连接OE，
∴（SSS），
∴，，
∴，
过点E作于H，
∴，，
∴，
∴，
过点E作于K，
∵，，，
∴，
∴E（1，）．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质、点的坐标等知识，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．
一、函数
1、函数的相关概念
在某个变化过程中有两个变量，设为x和y,如果在变量x的允许取值范围内，变量y随着x的变化而变化，那么变量y叫做变量x的函数 ，x叫做自变量 。
2、函数的定义域与函数值
①定义域：函数的自变量的允许取值的范围（简称自变量的取值范围）。
常见函数的定义域：
（1）函数解析式为整式时，定义域为一切实数；
（2）函数解析式为分式时，定义域是使分母不等于0的实数；
（3）函数解析式是无理式时，偶次根式的被开方数必须是非负数；奇次根式的定义域为一切实数
（4）在实际生活中有意义。
②函数记号与函数值：
函数记号：y是x的函数用记号y=f（x）表示；
函数值：在函数记号y=f（x）表示时，f（a）表示当x=a时的函数值。
二、正比例函数与反比例函数
1.正比例函数和反比例函数的定义：
①正比例函数的定义：定义域是一切实数的函数y=kx(k是不等于零的常数)叫做正比例函数，其中常数k叫做比例系数.
注意：正比例函数的定义域是一切实数.
②反比例函数的定义： 定义域为不等于零的一切实数的函数，（ k为不等于零的常数）叫做反比例函数，其中k也叫比例系数.
要点：
（1）在中，自变量是分式的分母，当时，分式无意义，所以自变量的取值范围是函数的取值范围是.故函数图象与轴、轴无交点；
（2） ()可以写成()的形式，自变量的指数是－1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一条件.
（3） ()也可以写成的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比例系数，从而得到反比例函数的解析式.
2、正比例函数和反比例函数的图像与性质
要点：（1）若点()在反比例函数的图象上，则点()也在此图象上，所以反比例函数的图象关于原点对称；
（2）在反比例函数(为常数，) 中，由于，所以两个分支都无限接近但永远不能达到轴和轴．
3、过双曲线() 中k的几何意义
①过双曲线() 上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为.
②过双曲线（k≠0）上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为.
三、函数的表示方法
函数的表示方法有三种：解析式法，列表法，图象法.
1、解析法
把两个变量之间的依赖关系用数学式子来表达，这种表示函数的方法叫做解析法．这种数学式子也就是函数解析式．如、，再如S=200t、、……
2、列表法
这种把两个变量之间的依赖关系用表格来表达，这种表示函数的方法叫做列表法．
3、图象法
这种把两个变量之间的依赖关系用图像来表示，这种表示函数的方法叫做图像法．
要点：由函数解析式画出图象的一般步骤：列表、描点、连线.列表时，自变量的取值时，既要使自变量的取值有一定的代表性，又不至于使自变量或对应的函数值太大或太小，以便于描点和全面反映图象情况.
一、单选题
1．下列各图象中，不能表示y是x的函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据函数的概念：对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，逐一判断即可解答．
【解析】解：A、对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以能表示y是x的函数，不符合题意；
B、对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以能表示y是x的函数，不符合题意；
C、对于自变量x的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与它对应，所以不能表示y是x的函数，符合题意；
D、对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以能表示y是x的函数，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了函数的概念，熟练掌握对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，是解题的关键．
2．下列说法不成立的是（ ）．
A．在中，与x成正比B．在中，与x成反比
C．若，则x，y成正比D．若，则x，y成反比
【答案】D
【分析】根据成正比和成反比的意义进行判断即可．
【解析】解：A．由得到，则与x成正比，故选项不符合题意；
B．由得到，即与x成反比，故选项不符合题意；
C．由由得到，即x，y成正比，故选项不符合题意；
D．若，则x，y不成反比，故选项错误，符合题意．
故选：D．
【点睛】此题考查了正比和反比，熟练掌握正比和反比的意义是解题关键．
3．关于函数y＝﹣x，以下说法错误的是（ ）
A．图象经过原点B．图象经过第二、四象限
C．图象经过点D．y的值随x的增大而增大
【答案】D
【分析】根据正比例函数的定义与性质判定即可．
【解析】解：A、由解析式可得它是正比例函数，故函数图象经过原点，说法正确，不合题意；
B、由k＜0可得图象经过二、四象限，说法正确，不合题意；
C、当x＝时，y＝﹣2，图象经过点，说法正确，不合题意；
D、由k＜0可得y的值随x的增大而减小，说法错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查正比例函数的图像与性质，充分掌握正比例函数图象性质与系数之间的关系是解题关键．
4．关于反比例函数，下列说法中错误的是（ ）
A．它的图象是双曲线
B．它的图象在第一、三象限
C．的值随的值增大而减小
D．若点在它的图象上，则点也在它的图象上
【答案】C
【分析】根据反比例函数的图象上点的坐标特征，以及该函数的图象的性质进行分析．
【解析】A．反比例函数的图象是双曲线，正确，不符合题意；
B．，图象位于一、三象限，正确，不符合题意；
C．在每一象限内，y的值随x的增大而减小，错误，符合题意；
D．，若点在它的图象上，则点也在它的图象上，故正确，不符合题意．
故选C．
【点睛】本题主要考查反比例函数的性质．注意：描述反比例函数的增减性时要指明在每一象限内．
5．已知4个正比例函数y＝k1x，y＝k2x，y＝k3x，y＝k4x的图像如图，则下列结论成立的是（ ）
A．k1＞k2＞k3＞k4B．k1＞k2＞k4＞k3
C．k2＞k1＞k3＞k4D．k4＞k3＞k2＞k1
【答案】A
【分析】首先根据直线经过的象限判断k的符号，再进一步根据直线的平缓趋势判断k的绝对值的大小，最后判断四个数的大小．
【解析】解：首先根据直线经过的象限，知：k3＜0，k4＜0，k1＞0，k2＞0，
再根据直线越陡，|k|越大，知：|k1|＞|k2|，|k4|＞|k3|．
则k1＞k2＞k3＞k4，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了正比例函数图像的性质，首先根据直线经过的象限判断k的符号，再进一步根据直线的平缓趋势判断k的绝对值的大小，最后判断四个数的大小．
6．在函数（m为常数）的图象上有三点，则函数值的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先根据反比例函数的解析式判断出反比例函数的图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的值判断出的大小关系即可．
【解析】解：∵，
∴反比例函数（m为常数）的图象在二、四象限，并且在每一象限内y随x的增大而增大，
∵，
∴点在第二象限，
∴，
∵，
∴点在第四象限，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，即反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式．
7．已知函数y＝kx（k≠0）中y随x的增大而增大，那么它和函数在同一直角坐标平面内的大致图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】首先由“y＝kx（k≠0）中y随x的增大而增大”判定k＞0，然后根据k的符号来判断函数所在的象限．
【解析】解：∵函数y＝kx（k≠0）中y随x的增大而增大，
∴k＞0，该函数图象经过第一、三象限；
∴函数的图象经过第一、三象限；
故选：D．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的图象特点：①反比例函数的图象是双曲线；②当k＞0时，它的两个分支分别位于第一、三象限；③当k＜0时，它的两个分支分别位于第二、四象限．
8．一列货运火车从北京站出发，匀加速行驶一段时间后开始匀速行驶，过了一段时间，火车到达下一个车站停下，装完货之后又匀加速行驶，一段时间后再次开始匀速行驶，那么火车的速度v与行驶时间t之间的函数图象大致是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意可以分析出速度随着时间的变化情况，从而可以解答本题．
【解析】解：由题意可得，
火车刚开始做匀加速运动到后来刚开始匀速运动这一过程中，速度随着时间的增加而增大，
火车匀速运动这一过程中，速度随着时间的增加不发生变化，
火车匀速运动到到达下一个车站停下这一过程中，速度随着时间的增加而减小，直到为零，
装完货后，火车又匀加速行驶这一过程中，速度随着时间的增加而增大，
故选：B．
【点睛】本题考查函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
9．甲、乙二人沿相同的路线由A到B匀速行进，A，B两地间的路程为20km．他们行进的路程与甲出发后的时间t（h）之间的函数图象如图所示．根据图中信息，下列说法中，不正确的是（ ）
A．甲的速度是5；B．乙的速度是10
C．乙比甲晚出发1hD．从A到B，甲比乙多用了1h
【答案】D
【分析】由图可得，该图象是路程与时间的关系，乙比甲晚出发一小时且乙的速度比甲的速度快．
【解析】解：从图象可知甲乙两人均行驶了20千米，用时分别为4小时和2小时，从而得到甲、乙的速度分别为5km/h和10km/h，故A、B正确，D错误；
从图象可知乙比甲晚出发1小时，故C正确；
故选：D．
【点睛】此题主要考查了函数的图象，重点考查学生的读图获取信息的能力，要注意分析其中的“关键点”，还要善于分析各图象的变化趋势．
10．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点A、B、C为反比例函数y=（k＞0）上不同的三点，连接OA、OB、OC，过点A作AD⊥y轴于点D，过点B、C分别作BE，CF垂直x轴于点E、F，OC与BE相交于点M，记△AOD、△BOM、四边形CMEF的面积分别为S1、S2、S3，则（ ）
A．S1=S2+S3B．S2=S3
C．S3＞S2＞S1D．S1S2＜S32
【答案】B
【分析】先根据反比例函数的几何意义可得的面积都等于，再逐项分析即可得．
【解析】解：由题意得：的面积都等于，
，
A、与不一定相等，此项错误；
B、，此项正确；
C、，此项错误；
D、，此项错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数的几何意义，熟练掌握反比例函数的几何意义是解题关键．
二、填空题
11．函数的定义域是______．
【答案】且
【分析】根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，列出不等式组，解不等式组即可求解．
【解析】解：依题意，，
解得：且，
故答案为：且．
【点睛】本题考查了求函数自变量的取值范围，掌握二次根式有意义的条件，分式有意义的条件是解题的关键．
12．已知：，那么_______________．
【答案】6
【分析】把代入求解即可．
【解析】当 时，
．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了求函数值，理解的含义是解答本题的关键．
13．已知函数，当______．时，这个函数为正比例函数．
【答案】2
【分析】根据正比例函数的定义列式求解即可．
【解析】解：由题意得
且，
∴．
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了正比例函数的定义，正比例函数的定义是形如（k是常数，）的函数，其中k叫做比例系数．
14．已知正比例函数，如果它的图像经过第二、四象限，则的取值范围是________．
【答案】
【分析】根据正比例函数的性质和已知得出关于k的不等式，求出不等式的解集即可．
【解析】解：∵正比例函数的图象经过第二、四象限，
∴，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是正比例函数的图象与系数的关系，熟知正比例函数中，当时函数的图象在二、四象限是解答此题的关键．
15．已知反比例函数的图像上两点、，当时，有，则的取值范围是______．
【答案】
【分析】当时，有，可知随的增大而增大，由此可知图像经过第二、四象限，由此即可求解．
【解析】解：∵当时，，
∴随的增大而增大，反比例函数图像经过第二、四象限，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查根据函数值的大小判断反比例函数图形的位置，掌握根据反比例系数判断反比函数图形的位置是解题的关键．
16．在描述某一个反比例函数的性质时，甲同学说：“从这个反比例函数图像上任意一点向x轴、y轴作垂线，与两坐标轴所围成的长方形的面积为2022.”乙同学说：“这个反比例函数在同一个象限内，y的值随着x的值增大而增大.”根据这两位同学所描述，此反比例函数的解析式是_______.
【答案】
【分析】根据反比例函数中k的几何意义可求得|k|，再根据 “这个反比例函数在同一个象限内，y的值随着x的值增大而增大”可判定函数图像在二、四象限，即可判断k的值．
【解析】解：根据题意得，
又∵这个反比例函数在同一个象限内，y的值随着x的值增大而增大，
∴函数图像在二、四象限，即k＜0
∴k=-2022
故反比例函数的解析式是．
【点睛】本题考查反比例函数k的几何意义，判断反比例函数的象限、确定k的正负是解答本题的关键．
17．如图，在平面直角坐标中，点、点，线段绕点顺时针方向旋转90°，点的对应点恰好落在反比例函数的图像上，则______．
【答案】
【分析】根据旋转的性质，证明，进而求出点坐标，即可得解．
【解析】解：过点作轴，
则：，
∵点、点，
∴，
∵线段绕点顺时针方向旋转90°，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵恰好落在反比例函数的图像上，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查求反比例函数的值．通过添加辅助线，证明三角形全等，得到点的坐标，是解决本题的关键．
18．如图，点A是射线上一点，过点A作轴于点B，以为边在其右侧作正方形，过点A的双曲线交边于点E，若，则的值是______．
【答案】####1.5
【分析】设点A的横坐标为，则点B的坐标为，把代入表示出点A的坐标，结合正方形的性质，表示出点C和点D的坐标，根据表示出点E的坐标，根据点A和点E在反比例函数上，得到关于的方程，求解即可得到答案．
【解析】解：设点A的横坐标为，则点B的坐标为，
把代入得：，
则点A的坐标为：，线段的长度为，点D的纵坐标为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点A和点E在反比例函数上，
代入可得：，，
∴，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上的点的坐标特征、正比例函数和正方形的性质，正确掌握代入法和正方形的性质是解题的关键．
三、解答题
19．已知，并且与x成正比例，与成反比例．当时，；当时，，求：y关于x的函数解析式．
【答案】
【分析】设所求的函数解析式为，再将所给的点代入可求得，即可求函数解析式．
【解析】解：设所求的函数解析式为，
当时，；当时，，代入，
∴，解得．
∴函数解析式是：．
【点评】本题主要考查了待定系数法求函数解析式、正比例函数、反比例函数的定义等知识点，掌握用待定系数法求函数的解析式是解题的关键．
20．若和是关于的方程的两个不相等实数根，且是非负整数．
(1)求的值；
(2)反比例函数图象过点（其中），求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据和是关于的方程的两个不相等实数根，可得，求出k的取值范围，再根据是非负整数即可确定的值；
（2）根据根与系数的关系可得，进一步可得的值．
【解析】（1）解：∵和是关于的方程的两个不相等实数根，
∴，
解得，
∵，
∴，
∵是非负整数，
∴；
（2）原方程化为：，
∴和是关于的方程的两个不相等实数根，
∴，
∵反比例函数图象过点（其中），
∴．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握这些知识是解题的关键．
21．某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片烂泥湿地，为了安全、迅速通过这片湿地，他们沿着前进路线铺了若干块木块，构筑成一条临时近道．木板对地面的压强P（Pa）是木板面积S（m2）的反比例函数，其图象如图所示．
(1)求出P与S之间的函数表达式；
(2)如果要求压强不超过3000Pa，木板的面积至少要多大？
【答案】(1)；
(2)0.2 m2
【分析】（1）设p=，将点A（3，200）代入求出k即可；
（2）将p=3000代入求出s即可．
（1）
解：设p=，将点A（3，200）代入，
得，
∴P与S之间的函数表达式为；
（2）
当p=3000时，，
解得s=0.2，
∴如果要求压强不超过3000Pa，木板的面积至少要0.2 m2．
【点睛】此题考查了求反比例函数解析式，反比例函数的实际应用，正确理解题意掌握反比例函数的知识是解题的关键．
22．如图，在平面直角坐标系中，的边在x轴正半轴上，，，C为斜边的中点，反比例函数在第一象限内的图像经过点C，交边于点D．
(1)这个反比例函数的解析式；
(2)连结，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求解B的坐标，再根据中点公式求解C的坐标，从而可得反比例函数的解析式；
（2）先求解D的坐标，再分别求解的面积，从而可得答案．
（1）
解： ，，
C为斜边的中点，
反比例函数的解析式为：
（2）
解：如图，连结CD，OD，
，，
， 则
，
， ，
，
，
，
．
【点睛】本题考查的是坐标与图形，中点坐标公式的应用，利用待定系数法求解反比例函数的解析式，掌握“反比例函数的图象与性质”是解本题的关键．
23．已知反比例函数的图象经过点．
(1)试确定此反比例函数的解析式；
(2)点是坐标原点，将线段绕点顺时针旋转得到线段．判断点是否在此反比例函数的图象上，并说明理由；
(3)已知点也在此反比例函数的图象上（其中），过点作轴的垂线，交轴于点．若线段上存在一点，使得的面积是，设点的纵坐标为，求的值．
【答案】(1)
(2)点在反比例函数的图象上
(3)
【分析】（1）把点代入函数解析式，即可；
（2）过点作轴的垂线交轴于点，再根据勾股定理，求出的长，根据旋转的性质，得，，过点作轴的垂线交轴于点，求出点的坐标，代入解析式，判断点是否在此反比例函数的图象上；
（3）把点代入反比例函数的解析式，得到关于的一元二次方程；根据题意，可得点的坐标为，根据的面积是，根据三角形的面积公式及，得出的值，最后将所求的代数式变形，把的值代入，即可求出的值．
【解析】（1）∵反比例函数的图象经过点
∴
∴
∴反比例函数的解析式为：．
（2）过点作轴的垂线交轴于点
∵点
∴，
∴
∵线段绕点顺时针旋转得到线段
∴，
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴点
∵将代入中，得
∴点在反比例函数图象上．
（3）∵点在此反比例函数的图象上
∴
∴
∴
∵，点的纵坐标为
∴点
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴．
【点睛】本题考查了反比例函数与几何的综合应用，解题的关键是掌握待定系数法求解反比例函数解析式，旋转的性质，直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半，把看成一个整体，代入式子，进行计算．
一、单选题
1． (2023·上海普陀·统考一模）如果点在轴上，那么点所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【分析】先根据点在轴上可得m=0，然后确定B的坐标,最后根据B的坐标确定B所在的象限即可．
【解析】解：∵点在轴上
∴m=0
∴，即点B在第四象限．
故答案为D．
【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系内点的坐标特征，根据A点的位置确定m的值成为解答本题的关键．
2．（2017·上海徐汇·统考二模）已知点M(1－2m，m－1)在第四象限内，那么m的取值范围是( )
A．m＞1B．m＜C．＜m＜1D．m＜或m＞1
【答案】B
【分析】根据M(1－2m，m－1)在第四象限内可列出不等式的，即可解出m的值．
【解析】根据题意，可得
解不等式①，得m＜，解不等式②，得m＜1，
∴m＜，
故选：B.
【点睛】此题主要考查解不等式组及平面直角坐标系中各象限点的坐标特征，根据各象限点的坐标特征列出不等式组是解题的关键．
3． (2023·上海浦东新·统考二模）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣3，0），B（2，0），C（﹣1，2），E（4，2），如果△ABC与△EFB全等，那么点F的坐标可以是（ ）
A．（6，0）B．（4，0）C．（4．﹣2）D．（4，﹣3）
【答案】D
【分析】画出平面直角坐标系，利用全等三角形的性质以及坐标与图形的性质得出符合题意的答案．
【解析】解：如图所示：△ABC与△EFB全等，点F的坐标可以是：(4，﹣3)．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的性质以及坐标与图形的性质，正确掌握全等图形的性质是解题关键．
4． (2023·上海杨浦·校考一模）在平面直角坐标系xOy中，已知点P（1，2），点P与原点O的连线与x轴的正半轴的夹角为α（0°<α<90°），那么tanα的值是（ ）
A．2B．C．D．
【答案】A
【分析】作出直角坐标系，标记点P，连接OP，过点P作PA⊥x轴，再根据正切的定义求解即可．
【解析】解：连接OP，过点P作PA⊥x轴，如图，
则，
∵点P（1，2），
∴，．
．
故选：A．
【点睛】此题考查了坐标与图形，涉及了三角函数的定义，解题的关键是根据题意，构造出直角三角形．
5． (2023·上海普陀·统考二模）关于函数，下列说法中正确的是（ ）
A．图像位于第一、三象限B．图像与坐标轴没有交点
C．图像是一条直线D．y的值随x的值增大而减小
【答案】B
【分析】根据反比例函数的图像和性质即可判断．
【解析】解：在y=-中，k=-2＜0，
∴图像位于第二、四象限，图像是双曲线，在每一象限内，y随着x增大而增大，
故A，C，D选项不符合题意，
∵x≠0，y≠0，
∴函数图像与坐标轴没有交点，
故B选项符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数的图像和性质，熟练掌握反比例函数的性质与系数的关系是解题的关键．
6． (2023·上海宝山·统考三模）如果函数y=3x+m的图象一定经过第二象限，那么m的取值范围是（ ）
A．m＞0B．m≥0C．m＜0D．m≤0
【答案】A
【解析】试题解析：图象一定经过第二象限，则函数一定与轴的正半轴相交，因而
故选A.
7． (2023·上海徐汇·统考二模）姜老师给出一个函数表达式，甲、乙、丙三位同学分别正确指出了这个函数的一个性质．甲：函数图像经过第一象限；乙：函数图像经过第三象限；丙：在每一个象限内，y值随x值的增大而减小．根据他们的描述，姜老师给出的这个函数表达式可能是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】y=3x的图象经过一三象限过原点的直线，y随x的增大而增大，故选项A错误；
y=的图象在一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小，故选项B正确；
y=−的图象在二、四象限，故选项C错误；
y=x²的图象是顶点在原点开口向上的抛物线，在一、二象限，故选项D错误；
故选B.
8． (2023·上海青浦·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，已知，，以为顶点，为一边作角，角的另一边交轴于（在上方），则坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】过点A作AD⊥y轴于点D，过点B作BE⊥AC于点E，由题意易得AD=2，，BD=1，然后可得，，设BC=x，则CD=x+1，进而根据相似三角形及勾股定理可进行求解．
【解析】解：过点A作AD⊥y轴于点D，过点B作BE⊥AC于点E，如图所示：
∵，，
∴AD=2，，BD=1，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设BC=x，则CD=x+1，
∴，
在Rt△BEC中，由勾股定理得：，
解得：（负根舍去），
∴，
∴，
∴点；
故选B．
【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质、相似三角形的性质与判定及勾股定理；熟练掌握等腰直角三角形的性质、相似三角形的性质与判定及勾股定理是解题的关键．
二、填空题
9． (2023·上海闵行·统考二模）已知函数，那么_______．
【答案】
【分析】由函数，代入，求解即可．
【解析】函数，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了函数值的求法，熟练掌握知识点是解题的关键．
10． (2023·上海金山·统考二模）函数的定义域是______．
【答案】
【分析】根据分式有意义的条件是分母不为0，即可求解．
【解析】解：由题意得：2-x≠0，即x≠2．
故答案为：x≠2．
【点睛】本题考查了使函数有意义的自变量的取值范围的确定．函数是整式型，自变量为全体实数；函数是分式型，自变量为使分母不为0 的实数；二次根式型的函数的自变量为根号下的式子大于或等于0的实数；当函数关系式表示实际问题时，自变量不仅要使函数关系式有意义，还要使实际问题有意义．
11． (2023·上海浦东新·统考二模）已知反比例函数，如果在每个象限内，随自变量的增大而增大，那么的取值范围为__________．
【答案】
【分析】根据在每个象限内，随自变量的增大而增大，可得，即可求解．
【解析】解：根据题意，得，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数，当时，图象位于第一、三象限内，且在每个象限内，随自变量的增大而减小；当时，图象位于第二、四象限内，且在每个象限内，随自变量的增大而增大是解题的关键．
12．（2014·上海普陀·统考二模）直角坐标系中，第四象限内一点P到x轴的距离为2，到y轴的距离为5，那么点P的坐标是_____
【答案】（5，-2）．
【解析】试题分析：根据第四象限点的横坐标是正数，纵坐标是负数，点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度解答．
试题解析：∵第四象限内一点P到x轴的距离为2，到y轴的距离为5，
∴点P的横坐标是5，纵坐标是-2，
∴点P（5，-2）．
考点：点的坐标．
13． (2023·上海黄浦·统考一模）如图，一个管道的截面图，其内径（即内圆半径）为10分米，管壁厚为x分米，假设该管道的截面（阴影）面积为y平方分米，那么y关于x的函数解析式是________．（不必写定义域）
【答案】
【分析】根据阴影部分的面积等于大圆面积减去小圆面积即可求出结论．
【解析】解：由题意可得：y==
故答案为：．
【点睛】此题考查的是求函数关系式，掌握环形面积=大圆面积－小圆面积是解题关键．
14． (2023·上海浦东新·模拟预测）已知正比例函数的图象经过点M（﹣2，1）、A（x1，y1）、B（x2，y2），如果x1＜x2，那么y1_____y2．（填“＞”、“＝”、“＜”）
【答案】>
【分析】根据正比例函数的性质，解答即可．
【解析】解：设该正比例函数的解析式为y＝kx，
则1＝﹣2k，得k＝﹣0.5，
∴y＝﹣0.5x，
∵正比例函数的图象经过点A（x1，y1）、B（x2，y2），x1＜x2，
∴y1＞y2，
故答案为：＞．
【点睛】本题考查了正比例函数的性质，掌握性质是解题的关键．
15． (2023·上海·校联考模拟预测）如图，在直角坐标系中，B（0，3）、C（4，0）、D（0，2），AB与CD交于点P，若∠APC=45°，则A点坐标为______ .
【答案】（1，0）
【分析】将DC绕点D逆时针旋转得到DQ，则，求出直线AB的解析式，可得结论．
【解析】解：如图，将DC绕点D逆时针旋转得到DQ，
∵、，
则．
设直线CQ的解析式为，
将，代入得
，
解得，
∴直线CQ的解析式为．
∵，由旋转的性质得到
，
∴．
∵，
∴直线AB的解析式为，
∴，
∴，
∴点．
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，坐标与图形性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
16． (2023·上海·校联考模拟预测）如图，点P是y轴正半轴上一点，以P为圆心的圆与x轴、y轴分别交于点A、B、C、，已知点A的坐标为，点C的坐标为，则点D的坐标为_____________．
【答案】
【分析】首先根据点A，C的坐标得出，然后在中利用勾股定理求出半径，从而可得出OD的长度，进而可得出答案．
【解析】如图，连接AP，
∵点A的坐标为，点C的坐标为，
．
设半径为r，则，
，
，
解得，
，
，
∴点D的坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查圆与平面直角坐标系，求出半径是解题的关键．
17． (2023·上海·校考模拟预测）在平面直角坐标系中，将点（-b，-a）称为点（a，b）的“关联点”（例如点（-2，-1）是点（1，2）的“关联点”）．如果一个点和它的“关联点”在同一象限内，那么这一点在第_______象限．
【答案】二或四.
【解析】解：根据关联点的特征可知：
如果一个点在第一象限，坐标符号为（+，+），它的关联点坐标符号为（-，-），在第三象限.
如果一个点在第二象限，坐标符号为（-，+），它的关联点坐标符号为（-，+），在第二象限.
如果一个点在第三象限，坐标符号为（-，-），它的关联点坐标符号为（+，+），在第一象限.
如果一个点在第四象限，坐标符号为（+，-），它的关联点坐标符号为（+，-），在第四象限.
故答案为二或四.
18． (2023·上海徐汇·统考二模）如图，四个白色全等直角三角形与四个黑色全等三角形按如所示方式摆放成“风车”型，且黑色三角形的顶点E、F、G、H分别在白色直角三角形的斜边上，已知∠ABO＝90°，OB＝3，AB＝4，若点A、E、D在同一直线上，则OE的长为______．
【答案】##
【分析】建立平面直角坐标系，得出点A、B、C、D的坐标，利用待定系数法分别求出直线AD，直线OC的解析式，联立解方程组可得点E的坐标，即可求解．
【解析】解：建立平面直角坐标系如图：
∵∠ABO=90°，OB=3，AB=4，△ABO≌△CDO，
∴OD=OB=3，CD=AB=4，
∴点A(-4，-3) ，B(0，-3) ，C(3，-4) ，D(3，0)，
设直线AD的解析式为y=kx+b，
∴，解得，
∴直线AD的解析式为，
设直线OC的解析式为y=mx，
把C(3，-4)代入，
∴3m=-4，解得m=-，
∴直线OC的解析式为y=-x，
联立，解得，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查全等三角形的性质，坐标与图形性质，待定系数法求函数的解析式，建立平面直角坐标系是解题的关键．
19． (2023·上海·统考模拟预测）定义：给定关于x的函数y，对于该函数图象上任意两点（x1，y1），（x2，y2），当x1＝﹣x2时，都有y1＝y2，称该函数为偶函数，根据以上定义，可以判断下面所给的函数中，是偶函数的有__（填上所有正确答案的序号）．
①y＝2x； ②y＝﹣x+1； ③y＝x2； ④y＝﹣；
【答案】③．
【分析】根据所给的定义，把x1和x2分别代入函数解析式进行判断即可．
【解析】在①中，y1＝2x1，y2＝2x2＝﹣2x1，此时y1≠y2，∴y＝2x不是偶函数，
在②中，y1＝﹣x1+1，y2＝﹣x2+1＝x1+1，此时y1≠y2，∴y＝﹣x+1不是偶函数，
在③中，y1＝x12，y2＝x22＝（﹣x1）2＝x12，此时y1＝y2，∴y＝x2是偶函数，
在④中，y1＝﹣，y2＝﹣＝﹣＝，此时y1≠y2，∴y＝﹣不是偶函数，
∴是偶函数的为③，
故答案为：③．
【点睛】本题为新定义题目，理解题目中偶函数的定义是解题的关键．
20． (2023·上海杨浦·校考一模）对于平面直角坐标系中的点，若点的坐标为（其中k为常数，且），则称点为点P的“k属派生点”，例如，的 “2属派生点”为，即，若点P的“k属派生点”的坐标为，请写出一个符合条件的点P的坐标： ______．
【答案】(1，2)（答案不唯一）
【分析】根据题意可列方程组，即可解出k的值，从而得到，即只要P点的横、纵坐标和为3即可，从而即可写出一个符合条件的点P的坐标．
【解析】根据题意可知，
解得：，
∴即，
∴只要P点的横纵坐标和为3即可．
∴符合条件的点P的坐标可以为：(1，2)．
故答案为：(1，2) （答案不唯一）．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，点的坐标．读懂题意，理解“k属派生点”的定义是解题关键．
21． (2023·上海·上海市实验学校校考二模）如图双曲线，经过四边形OABC的顶点A、C，∠ABC=90°，OC平分OA与x轴正半轴的夹角，AB//x轴，将三△ABC沿AC翻折后得△A，点落在OA上，则四边形OABC的面积是___________．
【答案】2．
【分析】延长BC，交x轴于点D，设点C（x，y），AB=a，由角平分线的性质得，CD=CB′，则△OCD≌△OCB′，再由翻折的性质得，BC=B′C，根据反比例函数的性质，可得出S△OCD=xy，则S△OCB′=xy，由AB∥x轴，得点A（x-a，2y），由题意得2y（x-a）=2，从而得出三角形ABC的面积等于ay，即可得出答案．
【解析】解：延长BC，交x轴于点D，
设点C(x，y)，AB=a，
∵OC平分OA与x轴正半轴的夹角，
∴CD=CB′，△OCD≌△OCB′
再由翻折的性质得BC=B′C，
∵双曲线 (x>0)经过四边形OABC的顶点A、 C，
∴S△OCD=xy=1，
∴S△OCB′=xy=1，
由翻折变换的性质和角平分线上的点到角的两边的距离相等可得BC=B′C=CD，
∴点A、B的纵坐标都是2y，
∵AB∥x轴，
∴点A(x−a，2y)，
∴2y(x−a)=2，
∴xy−ay=1，
∵xy=2
∴ay=1，
∴S△ABC=ay=，
∴SOABC=S△OCB′+S△AB′C+S△ABC=1++=2.
故答案为：2．
【点睛】本题考查了翻折变换的性质，反比例函数图像上点的坐标特征，角平分线上的点到角两边的距离相等的性质，三角形的面积等等，解题的关键在于如何求出面积进行求解．
三、解答题
22． (2023·上海奉贤·统考三模）如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过网格的交点A、B、C．
（1）请完成如下操作：
①以点O为原点、网格边长为单位长，建立平面直角坐标系；
②根据图形提供的信息，标出该圆弧所在圆的圆心D，并连接AD、CD．
（2）请在（1）的基础上，完成下列填空：
①写出点的坐标：C 、D ；
②⊙D的半径＝ ；
（3）求∠ACO的正弦值．
【答案】（1）答案见解析；（2）①，，②；（3）．
【分析】（1）根据点的坐标表示，C的坐标即可得到，首先作出弦AB与BC的中垂线，中垂线的交点就是D，即可确定点D的坐标；
（2）①根据（1）中的平面直角坐标系直接填空；
②在直角中，利用勾股定理即可求解；
（3）连接AC、OC．过C作CH⊥AO于点H，过点A作AM⊥CO于点M，利用的面积等积转换求得AM的长度，然后在中利用正弦函数的定义求得的正弦值．
【解析】解：（1）作弦AB与BC的中垂线，中垂线的交点就是D，
在直角坐标系中，点D的在该坐标系中的位置如图所示：
（2）解：①根据图示知，C（6，2），D（2，0），
故答案为：（6，2），（2，0）；
②解：在直角△AOD中，根据勾股定理知⊙D的半径AD＝，
故答案为：；
（3）解：连接AC、OC．过C作CH⊥AO于点H，过点A作AM⊥CO于点M．
则OA•CH＝OC•AM，即×4×6＝וAM，
解得，AM＝；
在Rt△AMC中，sin∠ACO＝．
【点睛】本题考查了圆的综合题，涉及的知识点有：坐标与图形性质，垂径定理，勾股定理，三角函数；利用了数形结合的思想，根据题意画出相应的图形是解本题的关键．
23． (2023·上海奉贤·统考二模）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴交于点A（﹣2，0），与y轴的正半轴交于点B，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点C，且AB＝BC，点C的纵坐标为4．
（1）求直线AB的表达式；
（2）过点B作BD∥x轴，交反比例函数y＝的图象于点D，求线段CD的长度．
【答案】（1）y＝x+2；（2）2
【分析】（1）过点C作CH⊥x轴，垂足为H，如图，利用平行线分线段成比例得到＝＝1，则OH＝OA＝2，则点C的坐标为（2，4），然后利用待定系数法求直线AB的解析式；
（2）把C点坐标代入y＝中求出m＝8，再利用直线解析式确定点B的坐标为（0，2），接着利用BD∥x轴得到点D纵坐标为2，根据反比例解析式确定点D坐标，然后根据两点间的距离公式计算CD的长．
【解析】解：（1）过点C作CH⊥x轴，垂足为H，如图，
∴＝＝1，
∵A（﹣2，0），
∴AO＝2，
∴OH＝OA＝2，
∵点C的纵坐标为4，
∴点C的坐标为（2，4），
设直线AB的表达式y＝kx+b（k≠0），
把A（﹣2，0），C（2，4）代入得，
解得，
∴直线AB的表达式y＝x+2；
（2）∵反比例函数y＝的图象过点C（2，4），
∴m＝2×4＝8，
∵直线y＝x+2与y轴的正半轴交于点B，
∴点B的坐标为（0，2），
∵BD∥x轴，
∴点D纵坐标为2，
当y＝2时，＝2，解得x＝4，
∴点D坐标为（4，2），
∴CD＝＝2．
【点睛】此题考查的是反比例函数和一次函数的综合题型,掌握利用待定系数法求一次函数解析式、反比例函数解析式和平面直角坐标系中任意两点间的距离公式是解决此题的关键．
24． (2023·上海奉贤·统考二模）E-learning即为在线学习，是一种新型的学习方式．某网站提供了A、B两种在线学习的收费方式．A种：在线学习10小时（包括10小时）以内，收取费用5元，超过10小时时，在收取5元的基础上，超过部分每小时收费0.6元（不足1小时按1小时计）；B种：每月的收费金额（元）与在线学习时间是（时）之间的函数关系如图所示．
（1）按照B种方式收费，当时，求关于的函数关系式．
（2）如果小明三月份在这个网站在线学习，他按照A种方式支付了20元，那么在线学习的时间最多是多少小时？如果该月他按照B 种方式付费，那么他需要多付多少元？
【答案】(1) ; (2) 35小时， 10元.
【分析】（1）当x≥5时，y关于x的函数经过点（5，0），（20，15），设函数解析式为：y=kx+b，求出k，b值即可
（2）按照A种方式可列出方程5+（x-10）×0.6=20，解出x的值，即可求学习的时长，再代入（1）中的解析式，即可求按B种方式应付多少元．
【解析】（1）当时，设与之间的函数关系式是：
∵它经过点（5，0），（20，15），
∴ 解得
∴．
（2）按照A种收费方式，设小明三月份在线学习时间为小时，
得．解得．
当时，．
（元）．
答：如果小明3月份按照A种方式支付了20元，那么他三月份在线学习的时间最多
是35小时，如果该月他按照B种方式付费，那么他需要多付10元.
【点睛】此题考查一次函数的应用，解决此类题，要认真的审题，同时，要读懂图象，这是解答的突破口，此外，灵活地运用一次函数的解析式，是解题的关键．
25． (2023·上海徐汇·统考二模）如图，已知直线与轴交于点A，与y轴交于点C，矩形ACBE的顶点B在第一象限的反比例函数图像上，过点B作，垂足为F，设OF=t．
（1）求∠ACO的正切值；
（2）求点B的坐标（用含t的式子表示）；
（3）已知直线与反比例函数图像都经过第一象限的点D，联结DE，如果轴，求m的值．
【答案】（1）∠ACO的正切值为；（2）点B的坐标；（3）m的值为．
【分析】（1）根据一次函数解析式算出点的坐标即可求算；
（2）根据矩形的性质得出，从而表示的坐标；
（3）作轴，根据矩形的性质得出，从而表示出的坐标，再根据条件表示的坐标，再根据均在反比例图象上从而算出
【解析】（1）∵直线与轴交于点A，与轴交于点C
∴
∴
（2）∵四边形是矩形，，
∴
∴
∴即
∴
∴
∴点B的坐标
（3）
如图;作轴
∵四边形是矩形
∴
∴
∴
∴
∴点的横坐标为
又∵轴，在上
∴
∵,均在反比例上：
∴
解得：
∵四边形是矩形
∴舍去
∴
∴
【点睛】本题考查一次函数与反比例函数与四边形的综合题目，难度中等，与相似、全等综合转化相关的线段与角度是解题关键．
26． (2023·上海杨浦·校考一模）如图，在平面直角坐标系中，，轴于点，点在反比例函数的图像上．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）求面积；
（3）在坐标轴上是否存在一点，使得以、、三点为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，简述你的理由．
【答案】（1）（2）（3）存在，点P的坐标为（，0）或（，0）或（0，）或（0，）或（0，−6）或（0，−2）．
【分析】（1）根据点A的坐标，利用待定系数法可求出反比例函数的表达式；
（2）由点A的坐标可得出OC，AC的长，利用勾股定理可得出OA＝2＝2AC，进而可得出∠AOC＝30°，结合三角形内角和定理可得出∠B＝∠AOC＝30°，利用30°角所对的直角边为斜边的一半可求出AB的长，再利用三角形的面积公式即可求出△AOB的面积；
（3）根据勾股定理可求出OB的长，分OP＝OB，BP＝BO及PO＝PB三种情况，利用等腰三角形的性质可求出点P的坐标，此题得解．
【解析】（1）把代入反比例函数，得：，
所以反比例函数的表达式为；
（2），轴于，
，，
，
，
∴∠OAC＝60°，
，
，
，
，
；
（3）存在，
在Rt△AOB中，OA＝2，AB＝4，∠AOB＝90°，
∴OB＝，
分三种情况考虑：
①当OP＝OB时，如图2所示，
∵OB＝，
∴OP＝，
∴点P的坐标为（，0）或（，0）或（0，）或（0，）；
②当BP＝BO时，如图3，
当点P在y轴上时，过点B做BD⊥y轴于点D，则OD＝BC＝AB−AC＝3，
∵BP＝BO，
∴OP＝2OD＝6，
∴点P的坐标为（0，−6）；
当点P在x轴上时，
∵BP＝BO，
∴OP＝2OC＝，
∴点P的坐标为（，0）；
③当PO＝PB时，如图4所示．
若点P在x轴上，∵PO＝PB，∠BOP＝60°，
∴△BOP为等边三角形，
∴OP＝OB＝，
∴点P的坐标为（，0）；
若点P在y轴上，设OP＝a，则PD＝3−a，
∵PO＝PB，
∴PB2＝PD2＋BD2，即a2＝（3−a）2＋3，
解得：a＝2，
∴点P的坐标为（0，−2），
综上所述：在坐标轴上存在一点P，使得以O、B、P三点为顶点的三角形是等腰三角形，点P的坐标为（，0）或（，0）或（0，）或（0，）或（0，−6）或（0，−2）．
【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式、勾股定理、三角形的面积公式以及等腰三角形的性质等知识，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出反比例函数的关系式；（2）利用直角三角形的性质，求出AB的长；（3）分OP＝OB，BP＝BO及PO＝PB三种情况，利用等腰三角形的性质求出点P的坐标．
象限
横坐标
纵坐标
第一象限
正
正
第二象限
负
正
第三象限
负
负
第四象限
正
负
函数
解析式
定义域
图像
性质
正比例函数
一切实数
O
O
当k>0时y随x的增大而增大，
当k<0时，y随x的增大而减小
反比例函数
的实数
1.当K>0时，图象的两个分支分别在一、三象限内，在每个象限内， y随x的增大而减小；
2.当K<0时，图象的两个分支分别在二、四象限内，在每个象限内，y随x的增大而增大。
3.双曲线无限渐进x轴y轴但不相交
正比例函数和反比例函数是本市中考的重要知识点，函数定义域，函数法则的函数值是本市的特色中考考点，中考中多以选择题、填空题、解答题多以函数的应用形式出现，主要考查基本概念、基本技能以及基本的数学思想方法．掌握函数的有关概念和本质，函数的图像和性质的结合，函数的应用（实际应用和几何应用），难度系数简单-中等。。
一、 平面直角坐标系的基础
有序数对概念：有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作（a ，b）。
【注意】a、b的先后顺序对位置的影响。
平面直角坐标系的概念：在平面内画两条互相垂直并且原点重合的数轴，这样就建立了平面直角坐标系。
两轴的定义：水平的数轴叫做x轴或横轴，通常取向右为正方向；竖直的数轴叫做y轴或纵轴，通常取向上方向为正方向。
平面直角坐标系原点：两坐标轴交点为其原点。
坐标平面：坐标系所在的平面叫坐标平面。
象限的概念：x轴和y轴把平面直角坐标系分成四部分，每个部分称为象限。按逆时针顺序依次叫第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。
【注意】坐标轴上的点不属于任何象限。
点的坐标：对于坐标轴内任意一点A，过点A分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上的对应的数a、b分别叫做点A的横坐标和纵坐标，有序数对A(a，b)叫做点A的坐标，记作A(a，b)。
二 、点的坐标的有关性质
性质一 各象限内点的坐标的符号特征
性质二 坐标轴上的点的坐标特征
1.轴上的点，纵坐标等于0；
2.轴上的点，横坐标等于0；
3.原点位置的点，横、纵坐标都为0.
性质三 象限角的平分线上的点的坐标
1．若点P（）在第一、三象限的角平分线上，则，即横、纵坐标相等；
2．若点P（）在第二、四象限的角平分线上，则，即横、纵坐标互为相反数；
在第一、三象限的角平分线上 在第二、四象限的角平分线上
性质四 与坐标轴平行的直线上的点的坐标特征
1.在与轴平行的直线上， 所有点的纵坐标相等；
点A、B的纵坐标都等于；
2.在与轴平行的直线上，所有点的横坐标相等；
点C、D的横坐标都等于；
性质五 点到坐标轴距离
在平面直角坐标系中，已知点P，则
1.点P到轴的距离为；
2.点P到轴的距离为；
3.点P到原点O的距离为PO＝
性质六 平面直角坐标系内平移变化
性质七 对称点的坐标
点P关于轴的对称点为， 即横坐标不变，纵坐标互为相反数；
2.点P关于轴的对称点为， 即纵坐标不变，横坐标互为相反数；
3.点P关于原点的对称点为，即横、纵坐标都互为相反数；
一、单选题
1．与平面直角坐标系中的点具有一一对应关系的是（ ）
A．实数B．有理数
C．有序实数对D．有序有理数对
2．已知点在第二象限，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．已知点与点在同一条平行于轴的直线上，且到轴的距离等于4，则点的坐标是（ ）
A．或B．或C．或D．或
4．在平面直角坐标系中，将点向右平移3单位长度，再向上平移4个单位长度正好与原点重合，那么点A的坐标是（ ）
A．B．C．D．
5．已知点A（m，2）与点B（1，n）关于y轴对称，那么m+n的值等于（ ）
A．﹣1B．1C．﹣2D．2
6．在平面直角坐标系中，将点绕原点旋转，得到的点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，三角形ABC的面积等于（ ）
A．12B． C．13D．
8．已知点在轴上，则点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
9．△ABC三个顶点坐标A（﹣4，﹣3），B（0，﹣3），C（﹣2，0），将点B向右平移2个长度单位后，再向上平移5个长度单位到D，若设△ABC面积为S1，△ADC的面积为S2，则S1与S2大小关系为（ ）
A．S1＞S2B．S1＝S2C．S1＜S2D．不能确定
10．如图，点A(O，1)、点A1(2，0)、点A2(3，2)、点A3(5，1)、…，按照这样的规律下去，点A2021的坐标为 ( )
A． (2023，2021)B．(3032，1010)C．(3033， 1011)D． (2023，1012)
二、填空题
11．如图，已知雷达探测器在一次探测中发现了两个目标，、，其中的位置可以表示成，那么可以表示为______．
12．已知点P(﹣2，4)与点Q关于原点对称，那么点Q的坐标是__________．
13．在平面直角坐标系中，点A的坐标是(2，﹣1)，若轴，且AB＝9，则点B的坐标是 ___．
14．如图，点是棋盘上象的第一跳后的位置，象走的规则是沿“田”形对角线走．
请指出：（1）象是从点________跳到A点；
（2）象下一跳的可能位置是__________．
15．在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是，点P的坐标为，若为直角三角形，则的值为 _____．
三、解答题
16．已知点Q，试分别根据下列条件，回答问题．
(1)若点Q在y轴上，求点Q的坐标．
(2)若点Q在（即第一象限）角平分线上，求点Q的坐标．
17．已知点P(2m-6，m+1)，试分别根据下列条件直接写出点P的坐标．
(1)点P在y轴上；
(2)点P的纵坐标比横坐标大5；
(3)点P到x轴的距离与到y轴距离相等．
18．如图，在平面直角坐标系中．
(1)求出的面积；
(2)在图中作出关于y轴对称的图形，并写出，的坐标；
(3)在x轴上找一点P，使得点P到B、C两点的距离之和最小．
19．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，的顶点B在x轴的正半轴上，点A在y轴正半轴上，△AOB的面积为4，且.
(1)求点B的坐标；
(2)过点A作的垂线，点C在直线的下方垂直y轴于点D，当时，求点C的坐标：
(3)在（2）的条件下，连接，点E为的中点，求点E的坐标.
一、函数
1、函数的相关概念
在某个变化过程中有两个变量，设为x和y,如果在变量x的允许取值范围内，变量y随着x的变化而变化，那么变量y叫做变量x的函数 ，x叫做自变量 。
2、函数的定义域与函数值
①定义域：函数的自变量的允许取值的范围（简称自变量的取值范围）。
常见函数的定义域：
（1）函数解析式为整式时，定义域为一切实数；
（2）函数解析式为分式时，定义域是使分母不等于0的实数；
（3）函数解析式是无理式时，偶次根式的被开方数必须是非负数；奇次根式的定义域为一切实数
（4）在实际生活中有意义。
②函数记号与函数值：
函数记号：y是x的函数用记号y=f（x）表示；
函数值：在函数记号y=f（x）表示时，f（a）表示当x=a时的函数值。
二、正比例函数与反比例函数
1.正比例函数和反比例函数的定义：
①正比例函数的定义：定义域是一切实数的函数y=kx(k是不等于零的常数)叫做正比例函数，其中常数k叫做比例系数.
注意：正比例函数的定义域是一切实数.
②反比例函数的定义： 定义域为不等于零的一切实数的函数，（ k为不等于零的常数）叫做反比例函数，其中k也叫比例系数.
要点：
（1）在中，自变量是分式的分母，当时，分式无意义，所以自变量的取值范围是函数的取值范围是.故函数图象与轴、轴无交点；
（2） ()可以写成()的形式，自变量的指数是－1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一条件.
（3） ()也可以写成的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比例系数，从而得到反比例函数的解析式.
2、正比例函数和反比例函数的图像与性质
要点：（1）若点()在反比例函数的图象上，则点()也在此图象上，所以反比例函数的图象关于原点对称；
（2）在反比例函数(为常数，) 中，由于，所以两个分支都无限接近但永远不能达到轴和轴．
3、过双曲线() 中k的几何意义
①过双曲线() 上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为.
②过双曲线（k≠0）上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为.
三、函数的表示方法
函数的表示方法有三种：解析式法，列表法，图象法.
1、解析法
把两个变量之间的依赖关系用数学式子来表达，这种表示函数的方法叫做解析法．这种数学式子也就是函数解析式．如、，再如S=200t、、……
2、列表法
这种把两个变量之间的依赖关系用表格来表达，这种表示函数的方法叫做列表法．
3、图象法
这种把两个变量之间的依赖关系用图像来表示，这种表示函数的方法叫做图像法．
要点：由函数解析式画出图象的一般步骤：列表、描点、连线.列表时，自变量的取值时，既要使自变量的取值有一定的代表性，又不至于使自变量或对应的函数值太大或太小，以便于描点和全面反映图象情况.
一、单选题
1．下列各图象中，不能表示y是x的函数的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列说法不成立的是（ ）．
A．在中，与x成正比B．在中，与x成反比
C．若，则x，y成正比D．若，则x，y成反比
3．关于函数y＝﹣x，以下说法错误的是（ ）
A．图象经过原点B．图象经过第二、四象限
C．图象经过点D．y的值随x的增大而增大
4．关于反比例函数，下列说法中错误的是（ ）
A．它的图象是双曲线
B．它的图象在第一、三象限
C．的值随的值增大而减小
D．若点在它的图象上，则点也在它的图象上
5．已知4个正比例函数y＝k1x，y＝k2x，y＝k3x，y＝k4x的图像如图，则下列结论成立的是（ ）
A．k1＞k2＞k3＞k4B．k1＞k2＞k4＞k3
C．k2＞k1＞k3＞k4D．k4＞k3＞k2＞k1
6．在函数（m为常数）的图象上有三点，则函数值的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
7．已知函数y＝kx（k≠0）中y随x的增大而增大，那么它和函数在同一直角坐标平面内的大致图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
8．一列货运火车从北京站出发，匀加速行驶一段时间后开始匀速行驶，过了一段时间，火车到达下一个车站停下，装完货之后又匀加速行驶，一段时间后再次开始匀速行驶，那么火车的速度v与行驶时间t之间的函数图象大致是（ ）
A．B．C．D．
9．甲、乙二人沿相同的路线由A到B匀速行进，A，B两地间的路程为20km．他们行进的路程与甲出发后的时间t（h）之间的函数图象如图所示．根据图中信息，下列说法中，不正确的是（ ）
A．甲的速度是5；B．乙的速度是10
C．乙比甲晚出发1hD．从A到B，甲比乙多用了1h
10．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点A、B、C为反比例函数y=（k＞0）上不同的三点，连接OA、OB、OC，过点A作AD⊥y轴于点D，过点B、C分别作BE，CF垂直x轴于点E、F，OC与BE相交于点M，记△AOD、△BOM、四边形CMEF的面积分别为S1、S2、S3，则（ ）
A．S1=S2+S3B．S2=S3
C．S3＞S2＞S1D．S1S2＜S32
二、填空题
11．函数的定义域是______．
12．已知：，那么_______________．
13．已知函数，当______．时，这个函数为正比例函数．
14．已知正比例函数，如果它的图像经过第二、四象限，则的取值范围是________．
15．已知反比例函数的图像上两点、，当时，有，则的取值范围是______．
16．在描述某一个反比例函数的性质时，甲同学说：“从这个反比例函数图像上任意一点向x轴、y轴作垂线，与两坐标轴所围成的长方形的面积为2022.”乙同学说：“这个反比例函数在同一个象限内，y的值随着x的值增大而增大.”根据这两位同学所描述，此反比例函数的解析式是_______.
17．如图，在平面直角坐标中，点、点，线段绕点顺时针方向旋转90°，点的对应点恰好落在反比例函数的图像上，则______．
18．如图，点A是射线上一点，过点A作轴于点B，以为边在其右侧作正方形，过点A的双曲线交边于点E，若，则的值是______．
三、解答题
19．已知，并且与x成正比例，与成反比例．当时，；当时，，求：y关于x的函数解析式．
20．若和是关于的方程的两个不相等实数根，且是非负整数．
(1)求的值；
(2)反比例函数图象过点（其中），求的值．
21．某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片烂泥湿地，为了安全、迅速通过这片湿地，他们沿着前进路线铺了若干块木块，构筑成一条临时近道．木板对地面的压强P（Pa）是木板面积S（m2）的反比例函数，其图象如图所示．
(1)求出P与S之间的函数表达式；
(2)如果要求压强不超过3000Pa，木板的面积至少要多大？
22．如图，在平面直角坐标系中，的边在x轴正半轴上，，，C为斜边的中点，反比例函数在第一象限内的图像经过点C，交边于点D．
(1)这个反比例函数的解析式；
(2)连结，求的值．
23．已知反比例函数的图象经过点．
(1)试确定此反比例函数的解析式；
(2)点是坐标原点，将线段绕点顺时针旋转得到线段．判断点是否在此反比例函数的图象上，并说明理由；
(3)已知点也在此反比例函数的图象上（其中），过点作轴的垂线，交轴于点．若线段上存在一点，使得的面积是，设点的纵坐标为，求的值．
一、单选题
1． (2023·上海普陀·统考一模）如果点在轴上，那么点所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．（2017·上海徐汇·统考二模）已知点M(1－2m，m－1)在第四象限内，那么m的取值范围是( )
A．m＞1B．m＜C．＜m＜1D．m＜或m＞1
3． (2023·上海浦东新·统考二模）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣3，0），B（2，0），C（﹣1，2），E（4，2），如果△ABC与△EFB全等，那么点F的坐标可以是（ ）
A．（6，0）B．（4，0）C．（4．﹣2）D．（4，﹣3）
4． (2023·上海杨浦·校考一模）在平面直角坐标系xOy中，已知点P（1，2），点P与原点O的连线与x轴的正半轴的夹角为α（0°<α<90°），那么tanα的值是（ ）
A．2B．C．D．
5． (2023·上海普陀·统考二模）关于函数，下列说法中正确的是（ ）
A．图像位于第一、三象限B．图像与坐标轴没有交点
C．图像是一条直线D．y的值随x的值增大而减小
6． (2023·上海宝山·统考三模）如果函数y=3x+m的图象一定经过第二象限，那么m的取值范围是（ ）
A．m＞0B．m≥0C．m＜0D．m≤0
7． (2023·上海徐汇·统考二模）姜老师给出一个函数表达式，甲、乙、丙三位同学分别正确指出了这个函数的一个性质．甲：函数图像经过第一象限；乙：函数图像经过第三象限；丙：在每一个象限内，y值随x值的增大而减小．根据他们的描述，姜老师给出的这个函数表达式可能是（）
A．B．C．D．
8． (2023·上海青浦·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，已知，，以为顶点，为一边作角，角的另一边交轴于（在上方），则坐标为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
9． (2023·上海闵行·统考二模）已知函数，那么_______．
10． (2023·上海金山·统考二模）函数的定义域是______．
11． (2023·上海浦东新·统考二模）已知反比例函数，如果在每个象限内，随自变量的增大而增大，那么的取值范围为__________．
12．（2014·上海普陀·统考二模）直角坐标系中，第四象限内一点P到x轴的距离为2，到y轴的距离为5，那么点P的坐标是_____
13． (2023·上海黄浦·统考一模）如图，一个管道的截面图，其内径（即内圆半径）为10分米，管壁厚为x分米，假设该管道的截面（阴影）面积为y平方分米，那么y关于x的函数解析式是________．（不必写定义域）
14． (2023·上海浦东新·模拟预测）已知正比例函数的图象经过点M（﹣2，1）、A（x1，y1）、B（x2，y2），如果x1＜x2，那么y1_____y2．（填“＞”、“＝”、“＜”）
15． (2023·上海·校联考模拟预测）如图，在直角坐标系中，B（0，3）、C（4，0）、D（0，2），AB与CD交于点P，若∠APC=45°，则A点坐标为______ .
16． (2023·上海·校联考模拟预测）如图，点P是y轴正半轴上一点，以P为圆心的圆与x轴、y轴分别交于点A、B、C、，已知点A的坐标为，点C的坐标为，则点D的坐标为_____________．
17． (2023·上海·校考模拟预测）在平面直角坐标系中，将点（-b，-a）称为点（a，b）的“关联点”（例如点（-2，-1）是点（1，2）的“关联点”）．如果一个点和它的“关联点”在同一象限内，那么这一点在第_______象限．
18． (2023·上海徐汇·统考二模）如图，四个白色全等直角三角形与四个黑色全等三角形按如所示方式摆放成“风车”型，且黑色三角形的顶点E、F、G、H分别在白色直角三角形的斜边上，已知∠ABO＝90°，OB＝3，AB＝4，若点A、E、D在同一直线上，则OE的长为______．
19． (2023·上海·统考模拟预测）定义：给定关于x的函数y，对于该函数图象上任意两点（x1，y1），（x2，y2），当x1＝﹣x2时，都有y1＝y2，称该函数为偶函数，根据以上定义，可以判断下面所给的函数中，是偶函数的有__（填上所有正确答案的序号）．
①y＝2x； ②y＝﹣x+1； ③y＝x2； ④y＝﹣；
20． (2023·上海杨浦·校考一模）对于平面直角坐标系中的点，若点的坐标为（其中k为常数，且），则称点为点P的“k属派生点”，例如，的 “2属派生点”为，即，若点P的“k属派生点”的坐标为，请写出一个符合条件的点P的坐标： ______．
21． (2023·上海·上海市实验学校校考二模）如图双曲线，经过四边形OABC的顶点A、C，∠ABC=90°，OC平分OA与x轴正半轴的夹角，AB//x轴，将三△ABC沿AC翻折后得△A，点落在OA上，则四边形OABC的面积是___________．
三、解答题
22． (2023·上海奉贤·统考三模）如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过网格的交点A、B、C．
（1）请完成如下操作：
①以点O为原点、网格边长为单位长，建立平面直角坐标系；
②根据图形提供的信息，标出该圆弧所在圆的圆心D，并连接AD、CD．
（2）请在（1）的基础上，完成下列填空：
①写出点的坐标：C 、D ；
②⊙D的半径＝ ；
（3）求∠ACO的正弦值．
23． (2023·上海奉贤·统考二模）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴交于点A（﹣2，0），与y轴的正半轴交于点B，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点C，且AB＝BC，点C的纵坐标为4．
（1）求直线AB的表达式；
（2）过点B作BD∥x轴，交反比例函数y＝的图象于点D，求线段CD的长度．
24． (2023·上海奉贤·统考二模）E-learning即为在线学习，是一种新型的学习方式．某网站提供了A、B两种在线学习的收费方式．A种：在线学习10小时（包括10小时）以内，收取费用5元，超过10小时时，在收取5元的基础上，超过部分每小时收费0.6元（不足1小时按1小时计）；B种：每月的收费金额（元）与在线学习时间是（时）之间的函数关系如图所示．
（1）按照B种方式收费，当时，求关于的函数关系式．
（2）如果小明三月份在这个网站在线学习，他按照A种方式支付了20元，那么在线学习的时间最多是多少小时？如果该月他按照B 种方式付费，那么他需要多付多少元？
25． (2023·上海徐汇·统考二模）如图，已知直线与轴交于点A，与y轴交于点C，矩形ACBE的顶点B在第一象限的反比例函数图像上，过点B作，垂足为F，设OF=t．
（1）求∠ACO的正切值；
（2）求点B的坐标（用含t的式子表示）；
（3）已知直线与反比例函数图像都经过第一象限的点D，联结DE，如果轴，求m的值．
26． (2023·上海杨浦·校考一模）如图，在平面直角坐标系中，，轴于点，点在反比例函数的图像上．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）求面积；
（3）在坐标轴上是否存在一点，使得以、、三点为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，简述你的理由．
象限
横坐标
纵坐标
第一象限
正
正
第二象限
负
正
第三象限
负
负
第四象限
正
负
函数
解析式
定义域
图像
性质
正比例函数
一切实数
O
O
当k>0时y随x的增大而增大，
当k<0时，y随x的增大而减小
反比例函数
的实数
1.当K>0时，图象的两个分支分别在一、三象限内，在每个象限内， y随x的增大而减小；
2.当K<0时，图象的两个分支分别在二、四象限内，在每个象限内，y随x的增大而增大。
3.双曲线无限渐进x轴y轴但不相交
专题07 正比例函数和反比例函数
正比例函数和反比例函数是本市中考的重要知识点，函数定义域，函数法则的函数值是本市的特色中考考点，中考中多以选择题、填空题、解答题多以函数的应用形式出现，主要考查基本概念、基本技能以及基本的数学思想方法．掌握函数的有关概念和本质，函数的图像和性质的结合，函数的应用（实际应用和几何应用），难度系数简单-中等。。
一、 平面直角坐标系的基础
有序数对概念：有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作（a ，b）。
【注意】a、b的先后顺序对位置的影响。
平面直角坐标系的概念：在平面内画两条互相垂直并且原点重合的数轴，这样就建立了平面直角坐标系。
两轴的定义：水平的数轴叫做x轴或横轴，通常取向右为正方向；竖直的数轴叫做y轴或纵轴，通常取向上方向为正方向。
平面直角坐标系原点：两坐标轴交点为其原点。
坐标平面：坐标系所在的平面叫坐标平面。
象限的概念：x轴和y轴把平面直角坐标系分成四部分，每个部分称为象限。按逆时针顺序依次叫第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。
【注意】坐标轴上的点不属于任何象限。
点的坐标：对于坐标轴内任意一点A，过点A分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上的对应的数a、b分别叫做点A的横坐标和纵坐标，有序数对A(a，b)叫做点A的坐标，记作A(a，b)。
二 、点的坐标的有关性质
性质一 各象限内点的坐标的符号特征
性质二 坐标轴上的点的坐标特征
1.轴上的点，纵坐标等于0；
2.轴上的点，横坐标等于0；
3.原点位置的点，横、纵坐标都为0.
性质三 象限角的平分线上的点的坐标
1．若点P（）在第一、三象限的角平分线上，则，即横、纵坐标相等；
2．若点P（）在第二、四象限的角平分线上，则，即横、纵坐标互为相反数；
在第一、三象限的角平分线上 在第二、四象限的角平分线上
性质四 与坐标轴平行的直线上的点的坐标特征
1.在与轴平行的直线上， 所有点的纵坐标相等；
点A、B的纵坐标都等于；
2.在与轴平行的直线上，所有点的横坐标相等；
点C、D的横坐标都等于；
性质五 点到坐标轴距离
在平面直角坐标系中，已知点P，则
1.点P到轴的距离为；
2.点P到轴的距离为；
3.点P到原点O的距离为PO＝
性质六 平面直角坐标系内平移变化
性质七 对称点的坐标
点P关于轴的对称点为， 即横坐标不变，纵坐标互为相反数；
2.点P关于轴的对称点为， 即纵坐标不变，横坐标互为相反数；
3.点P关于原点的对称点为，即横、纵坐标都互为相反数；
一、单选题
1．与平面直角坐标系中的点具有一一对应关系的是（ ）
A．实数B．有理数
C．有序实数对D．有序有理数对
【答案】C
【分析】根据平面直角坐标系与有序实数对的关系，可得答案
【解析】有序实数对与平面直角坐标系中的点具有一一对应关系，
故选C．
【点睛】本题考查了点的坐标，关键是知道平面直角坐标系与有序实数对一一对应
2．已知点在第二象限，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据第二象限的点的横坐标小于0，纵坐标大于0，列不等式组，计算求解即可．
【解析】解：∵点在第二象限，
∴，
解得，
∴a的取值范围是．
故选D．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系中象限点坐标的特征，解一元一次不等式组．解题的关键在于明确第二象限的点的横坐标小于0，纵坐标大于0．
3．已知点与点在同一条平行于轴的直线上，且到轴的距离等于4，则点的坐标是（ ）
A．或B．或C．或D．或
【答案】C
【分析】根据平行于轴的直线上的点的纵坐标相等求出，再根据点到轴的距离等于横坐标的绝对值求出，然后写出点的坐标即可．
【解析】解：点与点在同一条平行于轴的直线上，
，
到轴的距离等于4，
，
点的坐标为或．
故选：C．
【点睛】本题考查了点的坐标，主要利用了平行于轴的直线上点的坐标特征，点到轴的距离等于横坐标的绝对值．
4．在平面直角坐标系中，将点向右平移3单位长度，再向上平移4个单位长度正好与原点重合，那么点A的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，即可求解
【解析】解：将点向右平移3单位长度，再向上平移4个单位长度正好与原点重合，
，
，
点A的坐标是，
故选：C．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化平移，熟记平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减是解题的关键．
5．已知点A（m，2）与点B（1，n）关于y轴对称，那么m+n的值等于（ ）
A．﹣1B．1C．﹣2D．2
【答案】B
【分析】关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，据此先求出m，n的值，然后代入代数式求解即可得．
【解析】解：∵与点关于y轴对称，
∴，，
∴，
故选：B．
【点睛】题目主要考查点关于坐标轴对称的特点，求代数式的值，理解题意，熟练掌握点关于坐标轴对称的特点是解题关键．
6．在平面直角坐标系中，将点绕原点旋转，得到的点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】点P绕原点旋转180°，实质是点P关于原点对称，根据点关于原点对称的特点即可求得点Q的坐标．
【解析】由题意知，点P、Q关于原点对称，两点关于原点对称的特点是：横坐标与纵坐标分别变为它们的相反数，则点Q的坐标为．
故选：A．
【点睛】本题考查了关于原点对称的两点之间的坐标特征，弄清其坐标特征是本题的关键．
7．如图，三角形ABC的面积等于（ ）
A．12B． C．13D．
【答案】D
【分析】过点A作轴于D，利用，求出，和进而进行求解即可．
【解析】过点A作轴于D，如图所示：
由题意可得，，，
，，
∴，
∴，
，
即，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了利用和差法转化求三角形的面积，正确读懂题意是解题的关键．
8．已知点在轴上，则点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据在x轴上的点的性质求出m的值，即可求出点的坐标．
【解析】∵点在轴上
∴
解得
即
∴点
故答案为：B．
【点睛】本题考查了点坐标的问题，掌握在x轴上的点的性质是解题的关键．
9．△ABC三个顶点坐标A（﹣4，﹣3），B（0，﹣3），C（﹣2，0），将点B向右平移2个长度单位后，再向上平移5个长度单位到D，若设△ABC面积为S1，△ADC的面积为S2，则S1与S2大小关系为（ ）
A．S1＞S2B．S1＝S2C．S1＜S2D．不能确定
【答案】A
【分析】根据三角形面积公式可得△ABC的面积为S1＝，根据平移的性质可知，将B点平移后得到D点的坐标是（2，2），所以△ADC的面积为S2＝，所以S1＞S2．
【解析】解：△ABC的面积为S1＝，
将B点平移后得到D点的坐标是（2，2），
所以△ADC的面积为S2＝，
∴S1＞S2，
故选：A．
【点睛】本题考查了平移的性质：由平移知识可得对应点间线段即为平移距离．学生在学习中应该借助图形，理解掌握平移的性质．
10．如图，点A(O，1)、点A1(2，0)、点A2(3，2)、点A3(5，1)、…，按照这样的规律下去，点A2021的坐标为 ( )
A． (2023，2021)B．(3032，1010)C．(3033， 1011)D． (2023，1012)
【答案】B
【分析】观察图形得到奇数点的规律为：，由2021是奇数，且2021＝2n−1，则可求A2n−1（3032，1010）．
【解析】解：由图像可得：
∵
∴
故选B．
【点睛】本题考查点的坐标规律；熟练掌握平面内点的坐标，能够根据图形的变化得到点的坐标规律是解题的关键．
二、填空题
11．如图，已知雷达探测器在一次探测中发现了两个目标，、，其中的位置可以表示成，那么可以表示为______．
【答案】
【分析】按已知可得，表示一个点，距离是自内向外的环数，角度是所在列的度数，据此进行判断即可得解．
【解析】∵（a，b）中，b表示目标与探测器的距离；a表示以正东为始边，逆时针旋转后的角度，
A的位置可以表示成（60°，6），
∴B可以表示为 (150°，4)．
故答案为： (150°，4) ．
【点睛】本题考查了坐标确定位置，解决本题的关键根据A的位置可以表示方法确定：距离是自内向外的环数，角度是所在列的度数．
12．已知点P(﹣2，4)与点Q关于原点对称，那么点Q的坐标是__________．
【答案】（2，-4）
【分析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案．
【解析】解：点P（-2，4）与点Q关于原点对称，则点Q的坐标（2，-4），
故答案是：（2，-4）．
【点睛】本题考查了关于原点的对称的点的坐标，关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数．
13．在平面直角坐标系中，点A的坐标是(2，﹣1)，若轴，且AB＝9，则点B的坐标是 ___．
【答案】（2，8）或（2，-10）##（2，-10）或（2，8）
【分析】线段轴，A、B两点横坐标相等，又AB=9，B点可能在A点上边或者下边，根据距离确定B点坐标．
【解析】解：∵AB与y轴平行，
∴A、B两点的横坐标相同，
又AB=9，
∴B点纵坐标为：-1+9=8，或-1-9=-10，
∴B点的坐标为：（2，8）或（2，-10）；
故答案为：（2，8）或（2，-10）．
【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，要掌握平行于y轴的直线上的点横坐标相等，再根据两点相对的位置及两点距离确定点的坐标．
14．如图，点是棋盘上象的第一跳后的位置，象走的规则是沿“田”形对角线走．
请指出：（1）象是从点________跳到A点；
（2）象下一跳的可能位置是__________．
【答案】 或 ，，，
【分析】根据象走的规则是沿“田”形对角线走，也就是按2×2格点的对角线走，可得答案．
【解析】
∵点A(2，−2)是棋盘上象的第一跳后的位置，象走的规则是沿“田”形对角线走，
∴象是从点O(0，0)或点B(4，0) 跳到A点的，
∴象下一跳的可能位置是点O(0，0)或点B(4，0)或点C (0，−4)或点D(4，−4)．
故答案为：①(0，0) 或(4，0)，②(0，0)，B(4，0)， (0，−4)，(4，−4)．
【点睛】本题考查了象棋中象的走法，沿“田”形对角线走，也就是按2×2格点的对角线走，正确找出点的位置，用坐标表示即可．
15．在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是，点P的坐标为，若为直角三角形，则的值为 _____．
【答案】3或
【分析】有两种情况：根据为直角三角形，令A和P为直角顶点时，有两种情况：
①如图1，当时，根据点A的坐标可得P的坐标；
②如图2，当时，根据勾股定理可建立方程求解m的值．
【解析】解：有两种情况：
①如图1，当时，
∵点A的坐标是，
∴点P的坐标为，
∴；
②如图2，当时，
过A作于B，
∴，，，
∴，，
∴在中，，
即，
解得：，
∴综上所述：m的值为3或，
故答案为：或m＝．
【点睛】此题主要考查了直角三角形的判定，相似三角形的性质和判定，坐标与图形的性质等知识点，在直角三角形直角顶点不确定的情况下，一定要分类讨论，以免漏解．
三、解答题
16．已知点Q，试分别根据下列条件，回答问题．
(1)若点Q在y轴上，求点Q的坐标．
(2)若点Q在（即第一象限）角平分线上，求点Q的坐标．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）根据y轴上的点的横坐标等于零，可得，即可求出m的值，进而得到答案；
（2） 根据点Q到两坐标的距离相等，可得关于m的方程，解方程即可得出答案．
【解析】（1）解：点Q在y轴上，则，
解得，
所以；
故Q点的坐标为 ；
（2）解：当点Q在（即第一象限）角平分线上，即：，
解得：，
所以，
故Q点的坐标为：．
【点睛】本题考查了点的坐标，y轴上的点的横坐标等于零，在角平分线上点到两坐标轴距离相等．
17．已知点P(2m-6，m+1)，试分别根据下列条件直接写出点P的坐标．
(1)点P在y轴上；
(2)点P的纵坐标比横坐标大5；
(3)点P到x轴的距离与到y轴距离相等．
【答案】(1)P(0，4)
(2)(-2，3)
(3)(8，8)或(，)
【分析】（1）由在y轴上的点的坐标特点：横坐标为0，即可求出答案；
（2）由题意可得出，代入横、纵坐标，解出m，即得出答案；
（3）根据点P到坐标轴距离相等即得出，代入横、纵坐标，解出m，即得出答案．
【解析】（1）∵点P在y轴上，
∴，即2m-6=0，
解得：m=3，
∴m+1=4，
∴P(0，4)；
（2）∵点P的纵坐标比横坐标大5，
∴，即m+1-(2m-6)=5，
解得：m=2，
∴2m-6=-2，m+1=3，
∴点P的坐标为(-2，3)；
（3）∵点P到x轴的距离与到y轴距离相等，
∴，即|2m-6|=|m+1|，
∴2m-6=m+1或2m-6=-m-1，
解得m=7或m=，
当m=7时，2m-6=8，m+1=8，即点P的坐标为(8，8)；
当m=时，2m-6=，m+1=，即点P的坐标为(，)．
故点P的坐标为(8，8)或(，)．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标的特点，点到坐标轴的距离的定义．理解题意，根据题意求出m的值是解题关键．
18．如图，在平面直角坐标系中．
(1)求出的面积；
(2)在图中作出关于y轴对称的图形，并写出，的坐标；
(3)在x轴上找一点P，使得点P到B、C两点的距离之和最小．
【答案】(1)5
(2)，
(3)见解析
【分析】（1）利用矩形的面积减去三个直角三角形的面积即可得；
（2）先分别作点，B，C关于轴的对称点，，，再顺次连接即可得，然后根据和在平面直角坐标系中的位置即可得它们的坐标；
（3）先作点关于轴的对称点，再连接，与轴交于点．根据两点之间线段最短，可知点P即为所求的点．
【解析】（1）解：，
即的面积为5；
（2）解：如图，即为所求，
则，；
（3）解：如图，先作点关于轴的对称点，再连接，与轴交于点，
点即为所求．
【点睛】本题考查坐标与图形变化——轴对称，解题的关键是熟练掌握轴对称图形的特点和画法．
19．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，的顶点B在x轴的正半轴上，点A在y轴正半轴上，△AOB的面积为4，且.
(1)求点B的坐标；
(2)过点A作的垂线，点C在直线的下方垂直y轴于点D，当时，求点C的坐标：
(3)在（2）的条件下，连接，点E为的中点，求点E的坐标.
【答案】(1)（4，0）
(2)（-2，-2）
(3)（1，-1）
【分析】（1）由及，即可得到答案；
（2）先证明，得到，，即可得到答案；
（3）连接并延长交于点F，先证明，得到，连接OE，可得，得到，过点E作于H， 可证得，，过点E作于K，求得，即可得到答案．
【解析】（1）解：∵，
∴，
∴或（舍去），
∴，
∴B（4，0）；
（2）∵，
∴，
∵，，
∴．
∵，，
∴（AAS），
∴，CD=OA=2，
∴，
∴C（-2，）；
（3）连接并延长交于点F，
∵，
∴，
∴，，
∵E为的中点，
∴，
∴（ASA），
∴，，
∵，
∴，
∴，
连接OE，
∴（SSS），
∴，，
∴，
过点E作于H，
∴，，
∴，
∴，
过点E作于K，
∵，，，
∴，
∴E（1，）．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质、点的坐标等知识，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．
一、函数
1、函数的相关概念
在某个变化过程中有两个变量，设为x和y,如果在变量x的允许取值范围内，变量y随着x的变化而变化，那么变量y叫做变量x的函数 ，x叫做自变量 。
2、函数的定义域与函数值
①定义域：函数的自变量的允许取值的范围（简称自变量的取值范围）。
常见函数的定义域：
（1）函数解析式为整式时，定义域为一切实数；
（2）函数解析式为分式时，定义域是使分母不等于0的实数；
（3）函数解析式是无理式时，偶次根式的被开方数必须是非负数；奇次根式的定义域为一切实数
（4）在实际生活中有意义。
②函数记号与函数值：
函数记号：y是x的函数用记号y=f（x）表示；
函数值：在函数记号y=f（x）表示时，f（a）表示当x=a时的函数值。
二、正比例函数与反比例函数
1.正比例函数和反比例函数的定义：
①正比例函数的定义：定义域是一切实数的函数y=kx(k是不等于零的常数)叫做正比例函数，其中常数k叫做比例系数.
注意：正比例函数的定义域是一切实数.
②反比例函数的定义： 定义域为不等于零的一切实数的函数，（ k为不等于零的常数）叫做反比例函数，其中k也叫比例系数.
要点：
（1）在中，自变量是分式的分母，当时，分式无意义，所以自变量的取值范围是函数的取值范围是.故函数图象与轴、轴无交点；
（2） ()可以写成()的形式，自变量的指数是－1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一条件.
（3） ()也可以写成的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比例系数，从而得到反比例函数的解析式.
2、正比例函数和反比例函数的图像与性质
要点：（1）若点()在反比例函数的图象上，则点()也在此图象上，所以反比例函数的图象关于原点对称；
（2）在反比例函数(为常数，) 中，由于，所以两个分支都无限接近但永远不能达到轴和轴．
3、过双曲线() 中k的几何意义
①过双曲线() 上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为.
②过双曲线（k≠0）上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为.
三、函数的表示方法
函数的表示方法有三种：解析式法，列表法，图象法.
1、解析法
把两个变量之间的依赖关系用数学式子来表达，这种表示函数的方法叫做解析法．这种数学式子也就是函数解析式．如、，再如S=200t、、……
2、列表法
这种把两个变量之间的依赖关系用表格来表达，这种表示函数的方法叫做列表法．
3、图象法
这种把两个变量之间的依赖关系用图像来表示，这种表示函数的方法叫做图像法．
要点：由函数解析式画出图象的一般步骤：列表、描点、连线.列表时，自变量的取值时，既要使自变量的取值有一定的代表性，又不至于使自变量或对应的函数值太大或太小，以便于描点和全面反映图象情况.
一、单选题
1．下列各图象中，不能表示y是x的函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据函数的概念：对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，逐一判断即可解答．
【解析】解：A、对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以能表示y是x的函数，不符合题意；
B、对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以能表示y是x的函数，不符合题意；
C、对于自变量x的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与它对应，所以不能表示y是x的函数，符合题意；
D、对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以能表示y是x的函数，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了函数的概念，熟练掌握对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，是解题的关键．
2．下列说法不成立的是（ ）．
A．在中，与x成正比B．在中，与x成反比
C．若，则x，y成正比D．若，则x，y成反比
【答案】D
【分析】根据成正比和成反比的意义进行判断即可．
【解析】解：A．由得到，则与x成正比，故选项不符合题意；
B．由得到，即与x成反比，故选项不符合题意；
C．由由得到，即x，y成正比，故选项不符合题意；
D．若，则x，y不成反比，故选项错误，符合题意．
故选：D．
【点睛】此题考查了正比和反比，熟练掌握正比和反比的意义是解题关键．
3．关于函数y＝﹣x，以下说法错误的是（ ）
A．图象经过原点B．图象经过第二、四象限
C．图象经过点D．y的值随x的增大而增大
【答案】D
【分析】根据正比例函数的定义与性质判定即可．
【解析】解：A、由解析式可得它是正比例函数，故函数图象经过原点，说法正确，不合题意；
B、由k＜0可得图象经过二、四象限，说法正确，不合题意；
C、当x＝时，y＝﹣2，图象经过点，说法正确，不合题意；
D、由k＜0可得y的值随x的增大而减小，说法错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查正比例函数的图像与性质，充分掌握正比例函数图象性质与系数之间的关系是解题关键．
4．关于反比例函数，下列说法中错误的是（ ）
A．它的图象是双曲线
B．它的图象在第一、三象限
C．的值随的值增大而减小
D．若点在它的图象上，则点也在它的图象上
【答案】C
【分析】根据反比例函数的图象上点的坐标特征，以及该函数的图象的性质进行分析．
【解析】A．反比例函数的图象是双曲线，正确，不符合题意；
B．，图象位于一、三象限，正确，不符合题意；
C．在每一象限内，y的值随x的增大而减小，错误，符合题意；
D．，若点在它的图象上，则点也在它的图象上，故正确，不符合题意．
故选C．
【点睛】本题主要考查反比例函数的性质．注意：描述反比例函数的增减性时要指明在每一象限内．
5．已知4个正比例函数y＝k1x，y＝k2x，y＝k3x，y＝k4x的图像如图，则下列结论成立的是（ ）
A．k1＞k2＞k3＞k4B．k1＞k2＞k4＞k3
C．k2＞k1＞k3＞k4D．k4＞k3＞k2＞k1
【答案】A
【分析】首先根据直线经过的象限判断k的符号，再进一步根据直线的平缓趋势判断k的绝对值的大小，最后判断四个数的大小．
【解析】解：首先根据直线经过的象限，知：k3＜0，k4＜0，k1＞0，k2＞0，
再根据直线越陡，|k|越大，知：|k1|＞|k2|，|k4|＞|k3|．
则k1＞k2＞k3＞k4，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了正比例函数图像的性质，首先根据直线经过的象限判断k的符号，再进一步根据直线的平缓趋势判断k的绝对值的大小，最后判断四个数的大小．
6．在函数（m为常数）的图象上有三点，则函数值的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先根据反比例函数的解析式判断出反比例函数的图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的值判断出的大小关系即可．
【解析】解：∵，
∴反比例函数（m为常数）的图象在二、四象限，并且在每一象限内y随x的增大而增大，
∵，
∴点在第二象限，
∴，
∵，
∴点在第四象限，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，即反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式．
7．已知函数y＝kx（k≠0）中y随x的增大而增大，那么它和函数在同一直角坐标平面内的大致图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】首先由“y＝kx（k≠0）中y随x的增大而增大”判定k＞0，然后根据k的符号来判断函数所在的象限．
【解析】解：∵函数y＝kx（k≠0）中y随x的增大而增大，
∴k＞0，该函数图象经过第一、三象限；
∴函数的图象经过第一、三象限；
故选：D．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的图象特点：①反比例函数的图象是双曲线；②当k＞0时，它的两个分支分别位于第一、三象限；③当k＜0时，它的两个分支分别位于第二、四象限．
8．一列货运火车从北京站出发，匀加速行驶一段时间后开始匀速行驶，过了一段时间，火车到达下一个车站停下，装完货之后又匀加速行驶，一段时间后再次开始匀速行驶，那么火车的速度v与行驶时间t之间的函数图象大致是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意可以分析出速度随着时间的变化情况，从而可以解答本题．
【解析】解：由题意可得，
火车刚开始做匀加速运动到后来刚开始匀速运动这一过程中，速度随着时间的增加而增大，
火车匀速运动这一过程中，速度随着时间的增加不发生变化，
火车匀速运动到到达下一个车站停下这一过程中，速度随着时间的增加而减小，直到为零，
装完货后，火车又匀加速行驶这一过程中，速度随着时间的增加而增大，
故选：B．
【点睛】本题考查函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
9．甲、乙二人沿相同的路线由A到B匀速行进，A，B两地间的路程为20km．他们行进的路程与甲出发后的时间t（h）之间的函数图象如图所示．根据图中信息，下列说法中，不正确的是（ ）
A．甲的速度是5；B．乙的速度是10
C．乙比甲晚出发1hD．从A到B，甲比乙多用了1h
【答案】D
【分析】由图可得，该图象是路程与时间的关系，乙比甲晚出发一小时且乙的速度比甲的速度快．
【解析】解：从图象可知甲乙两人均行驶了20千米，用时分别为4小时和2小时，从而得到甲、乙的速度分别为5km/h和10km/h，故A、B正确，D错误；
从图象可知乙比甲晚出发1小时，故C正确；
故选：D．
【点睛】此题主要考查了函数的图象，重点考查学生的读图获取信息的能力，要注意分析其中的“关键点”，还要善于分析各图象的变化趋势．
10．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点A、B、C为反比例函数y=（k＞0）上不同的三点，连接OA、OB、OC，过点A作AD⊥y轴于点D，过点B、C分别作BE，CF垂直x轴于点E、F，OC与BE相交于点M，记△AOD、△BOM、四边形CMEF的面积分别为S1、S2、S3，则（ ）
A．S1=S2+S3B．S2=S3
C．S3＞S2＞S1D．S1S2＜S32
【答案】B
【分析】先根据反比例函数的几何意义可得的面积都等于，再逐项分析即可得．
【解析】解：由题意得：的面积都等于，
，
A、与不一定相等，此项错误；
B、，此项正确；
C、，此项错误；
D、，此项错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数的几何意义，熟练掌握反比例函数的几何意义是解题关键．
二、填空题
11．函数的定义域是______．
【答案】且
【分析】根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，列出不等式组，解不等式组即可求解．
【解析】解：依题意，，
解得：且，
故答案为：且．
【点睛】本题考查了求函数自变量的取值范围，掌握二次根式有意义的条件，分式有意义的条件是解题的关键．
12．已知：，那么_______________．
【答案】6
【分析】把代入求解即可．
【解析】当 时，
．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了求函数值，理解的含义是解答本题的关键．
13．已知函数，当______．时，这个函数为正比例函数．
【答案】2
【分析】根据正比例函数的定义列式求解即可．
【解析】解：由题意得
且，
∴．
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了正比例函数的定义，正比例函数的定义是形如（k是常数，）的函数，其中k叫做比例系数．
14．已知正比例函数，如果它的图像经过第二、四象限，则的取值范围是________．
【答案】
【分析】根据正比例函数的性质和已知得出关于k的不等式，求出不等式的解集即可．
【解析】解：∵正比例函数的图象经过第二、四象限，
∴，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是正比例函数的图象与系数的关系，熟知正比例函数中，当时函数的图象在二、四象限是解答此题的关键．
15．已知反比例函数的图像上两点、，当时，有，则的取值范围是______．
【答案】
【分析】当时，有，可知随的增大而增大，由此可知图像经过第二、四象限，由此即可求解．
【解析】解：∵当时，，
∴随的增大而增大，反比例函数图像经过第二、四象限，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查根据函数值的大小判断反比例函数图形的位置，掌握根据反比例系数判断反比函数图形的位置是解题的关键．
16．在描述某一个反比例函数的性质时，甲同学说：“从这个反比例函数图像上任意一点向x轴、y轴作垂线，与两坐标轴所围成的长方形的面积为2022.”乙同学说：“这个反比例函数在同一个象限内，y的值随着x的值增大而增大.”根据这两位同学所描述，此反比例函数的解析式是_______.
【答案】
【分析】根据反比例函数中k的几何意义可求得|k|，再根据 “这个反比例函数在同一个象限内，y的值随着x的值增大而增大”可判定函数图像在二、四象限，即可判断k的值．
【解析】解：根据题意得，
又∵这个反比例函数在同一个象限内，y的值随着x的值增大而增大，
∴函数图像在二、四象限，即k＜0
∴k=-2022
故反比例函数的解析式是．
【点睛】本题考查反比例函数k的几何意义，判断反比例函数的象限、确定k的正负是解答本题的关键．
17．如图，在平面直角坐标中，点、点，线段绕点顺时针方向旋转90°，点的对应点恰好落在反比例函数的图像上，则______．
【答案】
【分析】根据旋转的性质，证明，进而求出点坐标，即可得解．
【解析】解：过点作轴，
则：，
∵点、点，
∴，
∵线段绕点顺时针方向旋转90°，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵恰好落在反比例函数的图像上，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查求反比例函数的值．通过添加辅助线，证明三角形全等，得到点的坐标，是解决本题的关键．
18．如图，点A是射线上一点，过点A作轴于点B，以为边在其右侧作正方形，过点A的双曲线交边于点E，若，则的值是______．
【答案】####1.5
【分析】设点A的横坐标为，则点B的坐标为，把代入表示出点A的坐标，结合正方形的性质，表示出点C和点D的坐标，根据表示出点E的坐标，根据点A和点E在反比例函数上，得到关于的方程，求解即可得到答案．
【解析】解：设点A的横坐标为，则点B的坐标为，
把代入得：，
则点A的坐标为：，线段的长度为，点D的纵坐标为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点A和点E在反比例函数上，
代入可得：，，
∴，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上的点的坐标特征、正比例函数和正方形的性质，正确掌握代入法和正方形的性质是解题的关键．
三、解答题
19．已知，并且与x成正比例，与成反比例．当时，；当时，，求：y关于x的函数解析式．
【答案】
【分析】设所求的函数解析式为，再将所给的点代入可求得，即可求函数解析式．
【解析】解：设所求的函数解析式为，
当时，；当时，，代入，
∴，解得．
∴函数解析式是：．
【点评】本题主要考查了待定系数法求函数解析式、正比例函数、反比例函数的定义等知识点，掌握用待定系数法求函数的解析式是解题的关键．
20．若和是关于的方程的两个不相等实数根，且是非负整数．
(1)求的值；
(2)反比例函数图象过点（其中），求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据和是关于的方程的两个不相等实数根，可得，求出k的取值范围，再根据是非负整数即可确定的值；
（2）根据根与系数的关系可得，进一步可得的值．
【解析】（1）解：∵和是关于的方程的两个不相等实数根，
∴，
解得，
∵，
∴，
∵是非负整数，
∴；
（2）原方程化为：，
∴和是关于的方程的两个不相等实数根，
∴，
∵反比例函数图象过点（其中），
∴．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握这些知识是解题的关键．
21．某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片烂泥湿地，为了安全、迅速通过这片湿地，他们沿着前进路线铺了若干块木块，构筑成一条临时近道．木板对地面的压强P（Pa）是木板面积S（m2）的反比例函数，其图象如图所示．
(1)求出P与S之间的函数表达式；
(2)如果要求压强不超过3000Pa，木板的面积至少要多大？
【答案】(1)；
(2)0.2 m2
【分析】（1）设p=，将点A（3，200）代入求出k即可；
（2）将p=3000代入求出s即可．
（1）
解：设p=，将点A（3，200）代入，
得，
∴P与S之间的函数表达式为；
（2）
当p=3000时，，
解得s=0.2，
∴如果要求压强不超过3000Pa，木板的面积至少要0.2 m2．
【点睛】此题考查了求反比例函数解析式，反比例函数的实际应用，正确理解题意掌握反比例函数的知识是解题的关键．
22．如图，在平面直角坐标系中，的边在x轴正半轴上，，，C为斜边的中点，反比例函数在第一象限内的图像经过点C，交边于点D．
(1)这个反比例函数的解析式；
(2)连结，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求解B的坐标，再根据中点公式求解C的坐标，从而可得反比例函数的解析式；
（2）先求解D的坐标，再分别求解的面积，从而可得答案．
（1）
解： ，，
C为斜边的中点，
反比例函数的解析式为：
（2）
解：如图，连结CD，OD，
，，
， 则
，
， ，
，
，
，
．
【点睛】本题考查的是坐标与图形，中点坐标公式的应用，利用待定系数法求解反比例函数的解析式，掌握“反比例函数的图象与性质”是解本题的关键．
23．已知反比例函数的图象经过点．
(1)试确定此反比例函数的解析式；
(2)点是坐标原点，将线段绕点顺时针旋转得到线段．判断点是否在此反比例函数的图象上，并说明理由；
(3)已知点也在此反比例函数的图象上（其中），过点作轴的垂线，交轴于点．若线段上存在一点，使得的面积是，设点的纵坐标为，求的值．
【答案】(1)
(2)点在反比例函数的图象上
(3)
【分析】（1）把点代入函数解析式，即可；
（2）过点作轴的垂线交轴于点，再根据勾股定理，求出的长，根据旋转的性质，得，，过点作轴的垂线交轴于点，求出点的坐标，代入解析式，判断点是否在此反比例函数的图象上；
（3）把点代入反比例函数的解析式，得到关于的一元二次方程；根据题意，可得点的坐标为，根据的面积是，根据三角形的面积公式及，得出的值，最后将所求的代数式变形，把的值代入，即可求出的值．
【解析】（1）∵反比例函数的图象经过点
∴
∴
∴反比例函数的解析式为：．
（2）过点作轴的垂线交轴于点
∵点
∴，
∴
∵线段绕点顺时针旋转得到线段
∴，
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴点
∵将代入中，得
∴点在反比例函数图象上．
（3）∵点在此反比例函数的图象上
∴
∴
∴
∵，点的纵坐标为
∴点
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴．
【点睛】本题考查了反比例函数与几何的综合应用，解题的关键是掌握待定系数法求解反比例函数解析式，旋转的性质，直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半，把看成一个整体，代入式子，进行计算．
一、单选题
1． (2023·上海普陀·统考一模）如果点在轴上，那么点所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【分析】先根据点在轴上可得m=0，然后确定B的坐标,最后根据B的坐标确定B所在的象限即可．
【解析】解：∵点在轴上
∴m=0
∴，即点B在第四象限．
故答案为D．
【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系内点的坐标特征，根据A点的位置确定m的值成为解答本题的关键．
2．（2017·上海徐汇·统考二模）已知点M(1－2m，m－1)在第四象限内，那么m的取值范围是( )
A．m＞1B．m＜C．＜m＜1D．m＜或m＞1
【答案】B
【分析】根据M(1－2m，m－1)在第四象限内可列出不等式的，即可解出m的值．
【解析】根据题意，可得
解不等式①，得m＜，解不等式②，得m＜1，
∴m＜，
故选：B.
【点睛】此题主要考查解不等式组及平面直角坐标系中各象限点的坐标特征，根据各象限点的坐标特征列出不等式组是解题的关键．
3． (2023·上海浦东新·统考二模）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣3，0），B（2，0），C（﹣1，2），E（4，2），如果△ABC与△EFB全等，那么点F的坐标可以是（ ）
A．（6，0）B．（4，0）C．（4．﹣2）D．（4，﹣3）
【答案】D
【分析】画出平面直角坐标系，利用全等三角形的性质以及坐标与图形的性质得出符合题意的答案．
【解析】解：如图所示：△ABC与△EFB全等，点F的坐标可以是：(4，﹣3)．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的性质以及坐标与图形的性质，正确掌握全等图形的性质是解题关键．
4． (2023·上海杨浦·校考一模）在平面直角坐标系xOy中，已知点P（1，2），点P与原点O的连线与x轴的正半轴的夹角为α（0°<α<90°），那么tanα的值是（ ）
A．2B．C．D．
【答案】A
【分析】作出直角坐标系，标记点P，连接OP，过点P作PA⊥x轴，再根据正切的定义求解即可．
【解析】解：连接OP，过点P作PA⊥x轴，如图，
则，
∵点P（1，2），
∴，．
．
故选：A．
【点睛】此题考查了坐标与图形，涉及了三角函数的定义，解题的关键是根据题意，构造出直角三角形．
5． (2023·上海普陀·统考二模）关于函数，下列说法中正确的是（ ）
A．图像位于第一、三象限B．图像与坐标轴没有交点
C．图像是一条直线D．y的值随x的值增大而减小
【答案】B
【分析】根据反比例函数的图像和性质即可判断．
【解析】解：在y=-中，k=-2＜0，
∴图像位于第二、四象限，图像是双曲线，在每一象限内，y随着x增大而增大，
故A，C，D选项不符合题意，
∵x≠0，y≠0，
∴函数图像与坐标轴没有交点，
故B选项符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数的图像和性质，熟练掌握反比例函数的性质与系数的关系是解题的关键．
6． (2023·上海宝山·统考三模）如果函数y=3x+m的图象一定经过第二象限，那么m的取值范围是（ ）
A．m＞0B．m≥0C．m＜0D．m≤0
【答案】A
【解析】试题解析：图象一定经过第二象限，则函数一定与轴的正半轴相交，因而
故选A.
7． (2023·上海徐汇·统考二模）姜老师给出一个函数表达式，甲、乙、丙三位同学分别正确指出了这个函数的一个性质．甲：函数图像经过第一象限；乙：函数图像经过第三象限；丙：在每一个象限内，y值随x值的增大而减小．根据他们的描述，姜老师给出的这个函数表达式可能是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】y=3x的图象经过一三象限过原点的直线，y随x的增大而增大，故选项A错误；
y=的图象在一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小，故选项B正确；
y=−的图象在二、四象限，故选项C错误；
y=x²的图象是顶点在原点开口向上的抛物线，在一、二象限，故选项D错误；
故选B.
8． (2023·上海青浦·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，已知，，以为顶点，为一边作角，角的另一边交轴于（在上方），则坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】过点A作AD⊥y轴于点D，过点B作BE⊥AC于点E，由题意易得AD=2，，BD=1，然后可得，，设BC=x，则CD=x+1，进而根据相似三角形及勾股定理可进行求解．
【解析】解：过点A作AD⊥y轴于点D，过点B作BE⊥AC于点E，如图所示：
∵，，
∴AD=2，，BD=1，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设BC=x，则CD=x+1，
∴，
在Rt△BEC中，由勾股定理得：，
解得：（负根舍去），
∴，
∴，
∴点；
故选B．
【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质、相似三角形的性质与判定及勾股定理；熟练掌握等腰直角三角形的性质、相似三角形的性质与判定及勾股定理是解题的关键．
二、填空题
9． (2023·上海闵行·统考二模）已知函数，那么_______．
【答案】
【分析】由函数，代入，求解即可．
【解析】函数，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了函数值的求法，熟练掌握知识点是解题的关键．
10． (2023·上海金山·统考二模）函数的定义域是______．
【答案】
【分析】根据分式有意义的条件是分母不为0，即可求解．
【解析】解：由题意得：2-x≠0，即x≠2．
故答案为：x≠2．
【点睛】本题考查了使函数有意义的自变量的取值范围的确定．函数是整式型，自变量为全体实数；函数是分式型，自变量为使分母不为0 的实数；二次根式型的函数的自变量为根号下的式子大于或等于0的实数；当函数关系式表示实际问题时，自变量不仅要使函数关系式有意义，还要使实际问题有意义．
11． (2023·上海浦东新·统考二模）已知反比例函数，如果在每个象限内，随自变量的增大而增大，那么的取值范围为__________．
【答案】
【分析】根据在每个象限内，随自变量的增大而增大，可得，即可求解．
【解析】解：根据题意，得，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数，当时，图象位于第一、三象限内，且在每个象限内，随自变量的增大而减小；当时，图象位于第二、四象限内，且在每个象限内，随自变量的增大而增大是解题的关键．
12．（2014·上海普陀·统考二模）直角坐标系中，第四象限内一点P到x轴的距离为2，到y轴的距离为5，那么点P的坐标是_____
【答案】（5，-2）．
【解析】试题分析：根据第四象限点的横坐标是正数，纵坐标是负数，点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度解答．
试题解析：∵第四象限内一点P到x轴的距离为2，到y轴的距离为5，
∴点P的横坐标是5，纵坐标是-2，
∴点P（5，-2）．
考点：点的坐标．
13． (2023·上海黄浦·统考一模）如图，一个管道的截面图，其内径（即内圆半径）为10分米，管壁厚为x分米，假设该管道的截面（阴影）面积为y平方分米，那么y关于x的函数解析式是________．（不必写定义域）
【答案】
【分析】根据阴影部分的面积等于大圆面积减去小圆面积即可求出结论．
【解析】解：由题意可得：y==
故答案为：．
【点睛】此题考查的是求函数关系式，掌握环形面积=大圆面积－小圆面积是解题关键．
14． (2023·上海浦东新·模拟预测）已知正比例函数的图象经过点M（﹣2，1）、A（x1，y1）、B（x2，y2），如果x1＜x2，那么y1_____y2．（填“＞”、“＝”、“＜”）
【答案】>
【分析】根据正比例函数的性质，解答即可．
【解析】解：设该正比例函数的解析式为y＝kx，
则1＝﹣2k，得k＝﹣0.5，
∴y＝﹣0.5x，
∵正比例函数的图象经过点A（x1，y1）、B（x2，y2），x1＜x2，
∴y1＞y2，
故答案为：＞．
【点睛】本题考查了正比例函数的性质，掌握性质是解题的关键．
15． (2023·上海·校联考模拟预测）如图，在直角坐标系中，B（0，3）、C（4，0）、D（0，2），AB与CD交于点P，若∠APC=45°，则A点坐标为______ .
【答案】（1，0）
【分析】将DC绕点D逆时针旋转得到DQ，则，求出直线AB的解析式，可得结论．
【解析】解：如图，将DC绕点D逆时针旋转得到DQ，
∵、，
则．
设直线CQ的解析式为，
将，代入得
，
解得，
∴直线CQ的解析式为．
∵，由旋转的性质得到
，
∴．
∵，
∴直线AB的解析式为，
∴，
∴，
∴点．
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，坐标与图形性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
16． (2023·上海·校联考模拟预测）如图，点P是y轴正半轴上一点，以P为圆心的圆与x轴、y轴分别交于点A、B、C、，已知点A的坐标为，点C的坐标为，则点D的坐标为_____________．
【答案】
【分析】首先根据点A，C的坐标得出，然后在中利用勾股定理求出半径，从而可得出OD的长度，进而可得出答案．
【解析】如图，连接AP，
∵点A的坐标为，点C的坐标为，
．
设半径为r，则，
，
，
解得，
，
，
∴点D的坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查圆与平面直角坐标系，求出半径是解题的关键．
17． (2023·上海·校考模拟预测）在平面直角坐标系中，将点（-b，-a）称为点（a，b）的“关联点”（例如点（-2，-1）是点（1，2）的“关联点”）．如果一个点和它的“关联点”在同一象限内，那么这一点在第_______象限．
【答案】二或四.
【解析】解：根据关联点的特征可知：
如果一个点在第一象限，坐标符号为（+，+），它的关联点坐标符号为（-，-），在第三象限.
如果一个点在第二象限，坐标符号为（-，+），它的关联点坐标符号为（-，+），在第二象限.
如果一个点在第三象限，坐标符号为（-，-），它的关联点坐标符号为（+，+），在第一象限.
如果一个点在第四象限，坐标符号为（+，-），它的关联点坐标符号为（+，-），在第四象限.
故答案为二或四.
18． (2023·上海徐汇·统考二模）如图，四个白色全等直角三角形与四个黑色全等三角形按如所示方式摆放成“风车”型，且黑色三角形的顶点E、F、G、H分别在白色直角三角形的斜边上，已知∠ABO＝90°，OB＝3，AB＝4，若点A、E、D在同一直线上，则OE的长为______．
【答案】##
【分析】建立平面直角坐标系，得出点A、B、C、D的坐标，利用待定系数法分别求出直线AD，直线OC的解析式，联立解方程组可得点E的坐标，即可求解．
【解析】解：建立平面直角坐标系如图：
∵∠ABO=90°，OB=3，AB=4，△ABO≌△CDO，
∴OD=OB=3，CD=AB=4，
∴点A(-4，-3) ，B(0，-3) ，C(3，-4) ，D(3，0)，
设直线AD的解析式为y=kx+b，
∴，解得，
∴直线AD的解析式为，
设直线OC的解析式为y=mx，
把C(3，-4)代入，
∴3m=-4，解得m=-，
∴直线OC的解析式为y=-x，
联立，解得，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查全等三角形的性质，坐标与图形性质，待定系数法求函数的解析式，建立平面直角坐标系是解题的关键．
19． (2023·上海·统考模拟预测）定义：给定关于x的函数y，对于该函数图象上任意两点（x1，y1），（x2，y2），当x1＝﹣x2时，都有y1＝y2，称该函数为偶函数，根据以上定义，可以判断下面所给的函数中，是偶函数的有__（填上所有正确答案的序号）．
①y＝2x； ②y＝﹣x+1； ③y＝x2； ④y＝﹣；
【答案】③．
【分析】根据所给的定义，把x1和x2分别代入函数解析式进行判断即可．
【解析】在①中，y1＝2x1，y2＝2x2＝﹣2x1，此时y1≠y2，∴y＝2x不是偶函数，
在②中，y1＝﹣x1+1，y2＝﹣x2+1＝x1+1，此时y1≠y2，∴y＝﹣x+1不是偶函数，
在③中，y1＝x12，y2＝x22＝（﹣x1）2＝x12，此时y1＝y2，∴y＝x2是偶函数，
在④中，y1＝﹣，y2＝﹣＝﹣＝，此时y1≠y2，∴y＝﹣不是偶函数，
∴是偶函数的为③，
故答案为：③．
【点睛】本题为新定义题目，理解题目中偶函数的定义是解题的关键．
20． (2023·上海杨浦·校考一模）对于平面直角坐标系中的点，若点的坐标为（其中k为常数，且），则称点为点P的“k属派生点”，例如，的 “2属派生点”为，即，若点P的“k属派生点”的坐标为，请写出一个符合条件的点P的坐标： ______．
【答案】(1，2)（答案不唯一）
【分析】根据题意可列方程组，即可解出k的值，从而得到，即只要P点的横、纵坐标和为3即可，从而即可写出一个符合条件的点P的坐标．
【解析】根据题意可知，
解得：，
∴即，
∴只要P点的横纵坐标和为3即可．
∴符合条件的点P的坐标可以为：(1，2)．
故答案为：(1，2) （答案不唯一）．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，点的坐标．读懂题意，理解“k属派生点”的定义是解题关键．
21． (2023·上海·上海市实验学校校考二模）如图双曲线，经过四边形OABC的顶点A、C，∠ABC=90°，OC平分OA与x轴正半轴的夹角，AB//x轴，将三△ABC沿AC翻折后得△A，点落在OA上，则四边形OABC的面积是___________．
【答案】2．
【分析】延长BC，交x轴于点D，设点C（x，y），AB=a，由角平分线的性质得，CD=CB′，则△OCD≌△OCB′，再由翻折的性质得，BC=B′C，根据反比例函数的性质，可得出S△OCD=xy，则S△OCB′=xy，由AB∥x轴，得点A（x-a，2y），由题意得2y（x-a）=2，从而得出三角形ABC的面积等于ay，即可得出答案．
【解析】解：延长BC，交x轴于点D，
设点C(x，y)，AB=a，
∵OC平分OA与x轴正半轴的夹角，
∴CD=CB′，△OCD≌△OCB′
再由翻折的性质得BC=B′C，
∵双曲线 (x>0)经过四边形OABC的顶点A、 C，
∴S△OCD=xy=1，
∴S△OCB′=xy=1，
由翻折变换的性质和角平分线上的点到角的两边的距离相等可得BC=B′C=CD，
∴点A、B的纵坐标都是2y，
∵AB∥x轴，
∴点A(x−a，2y)，
∴2y(x−a)=2，
∴xy−ay=1，
∵xy=2
∴ay=1，
∴S△ABC=ay=，
∴SOABC=S△OCB′+S△AB′C+S△ABC=1++=2.
故答案为：2．
【点睛】本题考查了翻折变换的性质，反比例函数图像上点的坐标特征，角平分线上的点到角两边的距离相等的性质，三角形的面积等等，解题的关键在于如何求出面积进行求解．
三、解答题
22． (2023·上海奉贤·统考三模）如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过网格的交点A、B、C．
（1）请完成如下操作：
①以点O为原点、网格边长为单位长，建立平面直角坐标系；
②根据图形提供的信息，标出该圆弧所在圆的圆心D，并连接AD、CD．
（2）请在（1）的基础上，完成下列填空：
①写出点的坐标：C 、D ；
②⊙D的半径＝ ；
（3）求∠ACO的正弦值．
【答案】（1）答案见解析；（2）①，，②；（3）．
【分析】（1）根据点的坐标表示，C的坐标即可得到，首先作出弦AB与BC的中垂线，中垂线的交点就是D，即可确定点D的坐标；
（2）①根据（1）中的平面直角坐标系直接填空；
②在直角中，利用勾股定理即可求解；
（3）连接AC、OC．过C作CH⊥AO于点H，过点A作AM⊥CO于点M，利用的面积等积转换求得AM的长度，然后在中利用正弦函数的定义求得的正弦值．
【解析】解：（1）作弦AB与BC的中垂线，中垂线的交点就是D，
在直角坐标系中，点D的在该坐标系中的位置如图所示：
（2）解：①根据图示知，C（6，2），D（2，0），
故答案为：（6，2），（2，0）；
②解：在直角△AOD中，根据勾股定理知⊙D的半径AD＝，
故答案为：；
（3）解：连接AC、OC．过C作CH⊥AO于点H，过点A作AM⊥CO于点M．
则OA•CH＝OC•AM，即×4×6＝וAM，
解得，AM＝；
在Rt△AMC中，sin∠ACO＝．
【点睛】本题考查了圆的综合题，涉及的知识点有：坐标与图形性质，垂径定理，勾股定理，三角函数；利用了数形结合的思想，根据题意画出相应的图形是解本题的关键．
23． (2023·上海奉贤·统考二模）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴交于点A（﹣2，0），与y轴的正半轴交于点B，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点C，且AB＝BC，点C的纵坐标为4．
（1）求直线AB的表达式；
（2）过点B作BD∥x轴，交反比例函数y＝的图象于点D，求线段CD的长度．
【答案】（1）y＝x+2；（2）2
【分析】（1）过点C作CH⊥x轴，垂足为H，如图，利用平行线分线段成比例得到＝＝1，则OH＝OA＝2，则点C的坐标为（2，4），然后利用待定系数法求直线AB的解析式；
（2）把C点坐标代入y＝中求出m＝8，再利用直线解析式确定点B的坐标为（0，2），接着利用BD∥x轴得到点D纵坐标为2，根据反比例解析式确定点D坐标，然后根据两点间的距离公式计算CD的长．
【解析】解：（1）过点C作CH⊥x轴，垂足为H，如图，
∴＝＝1，
∵A（﹣2，0），
∴AO＝2，
∴OH＝OA＝2，
∵点C的纵坐标为4，
∴点C的坐标为（2，4），
设直线AB的表达式y＝kx+b（k≠0），
把A（﹣2，0），C（2，4）代入得，
解得，
∴直线AB的表达式y＝x+2；
（2）∵反比例函数y＝的图象过点C（2，4），
∴m＝2×4＝8，
∵直线y＝x+2与y轴的正半轴交于点B，
∴点B的坐标为（0，2），
∵BD∥x轴，
∴点D纵坐标为2，
当y＝2时，＝2，解得x＝4，
∴点D坐标为（4，2），
∴CD＝＝2．
【点睛】此题考查的是反比例函数和一次函数的综合题型,掌握利用待定系数法求一次函数解析式、反比例函数解析式和平面直角坐标系中任意两点间的距离公式是解决此题的关键．
24． (2023·上海奉贤·统考二模）E-learning即为在线学习，是一种新型的学习方式．某网站提供了A、B两种在线学习的收费方式．A种：在线学习10小时（包括10小时）以内，收取费用5元，超过10小时时，在收取5元的基础上，超过部分每小时收费0.6元（不足1小时按1小时计）；B种：每月的收费金额（元）与在线学习时间是（时）之间的函数关系如图所示．
（1）按照B种方式收费，当时，求关于的函数关系式．
（2）如果小明三月份在这个网站在线学习，他按照A种方式支付了20元，那么在线学习的时间最多是多少小时？如果该月他按照B 种方式付费，那么他需要多付多少元？
【答案】(1) ; (2) 35小时， 10元.
【分析】（1）当x≥5时，y关于x的函数经过点（5，0），（20，15），设函数解析式为：y=kx+b，求出k，b值即可
（2）按照A种方式可列出方程5+（x-10）×0.6=20，解出x的值，即可求学习的时长，再代入（1）中的解析式，即可求按B种方式应付多少元．
【解析】（1）当时，设与之间的函数关系式是：
∵它经过点（5，0），（20，15），
∴ 解得
∴．
（2）按照A种收费方式，设小明三月份在线学习时间为小时，
得．解得．
当时，．
（元）．
答：如果小明3月份按照A种方式支付了20元，那么他三月份在线学习的时间最多
是35小时，如果该月他按照B种方式付费，那么他需要多付10元.
【点睛】此题考查一次函数的应用，解决此类题，要认真的审题，同时，要读懂图象，这是解答的突破口，此外，灵活地运用一次函数的解析式，是解题的关键．
25． (2023·上海徐汇·统考二模）如图，已知直线与轴交于点A，与y轴交于点C，矩形ACBE的顶点B在第一象限的反比例函数图像上，过点B作，垂足为F，设OF=t．
（1）求∠ACO的正切值；
（2）求点B的坐标（用含t的式子表示）；
（3）已知直线与反比例函数图像都经过第一象限的点D，联结DE，如果轴，求m的值．
【答案】（1）∠ACO的正切值为；（2）点B的坐标；（3）m的值为．
【分析】（1）根据一次函数解析式算出点的坐标即可求算；
（2）根据矩形的性质得出，从而表示的坐标；
（3）作轴，根据矩形的性质得出，从而表示出的坐标，再根据条件表示的坐标，再根据均在反比例图象上从而算出
【解析】（1）∵直线与轴交于点A，与轴交于点C
∴
∴
（2）∵四边形是矩形，，
∴
∴
∴即
∴
∴
∴点B的坐标
（3）
如图;作轴
∵四边形是矩形
∴
∴
∴
∴
∴点的横坐标为
又∵轴，在上
∴
∵,均在反比例上：
∴
解得：
∵四边形是矩形
∴舍去
∴
∴
【点睛】本题考查一次函数与反比例函数与四边形的综合题目，难度中等，与相似、全等综合转化相关的线段与角度是解题关键．
26． (2023·上海杨浦·校考一模）如图，在平面直角坐标系中，，轴于点，点在反比例函数的图像上．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）求面积；
（3）在坐标轴上是否存在一点，使得以、、三点为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，简述你的理由．
【答案】（1）（2）（3）存在，点P的坐标为（，0）或（，0）或（0，）或（0，）或（0，−6）或（0，−2）．
【分析】（1）根据点A的坐标，利用待定系数法可求出反比例函数的表达式；
（2）由点A的坐标可得出OC，AC的长，利用勾股定理可得出OA＝2＝2AC，进而可得出∠AOC＝30°，结合三角形内角和定理可得出∠B＝∠AOC＝30°，利用30°角所对的直角边为斜边的一半可求出AB的长，再利用三角形的面积公式即可求出△AOB的面积；
（3）根据勾股定理可求出OB的长，分OP＝OB，BP＝BO及PO＝PB三种情况，利用等腰三角形的性质可求出点P的坐标，此题得解．
【解析】（1）把代入反比例函数，得：，
所以反比例函数的表达式为；
（2），轴于，
，，
，
，
∴∠OAC＝60°，
，
，
，
，
；
（3）存在，
在Rt△AOB中，OA＝2，AB＝4，∠AOB＝90°，
∴OB＝，
分三种情况考虑：
①当OP＝OB时，如图2所示，
∵OB＝，
∴OP＝，
∴点P的坐标为（，0）或（，0）或（0，）或（0，）；
②当BP＝BO时，如图3，
当点P在y轴上时，过点B做BD⊥y轴于点D，则OD＝BC＝AB−AC＝3，
∵BP＝BO，
∴OP＝2OD＝6，
∴点P的坐标为（0，−6）；
当点P在x轴上时，
∵BP＝BO，
∴OP＝2OC＝，
∴点P的坐标为（，0）；
③当PO＝PB时，如图4所示．
若点P在x轴上，∵PO＝PB，∠BOP＝60°，
∴△BOP为等边三角形，
∴OP＝OB＝，
∴点P的坐标为（，0）；
若点P在y轴上，设OP＝a，则PD＝3−a，
∵PO＝PB，
∴PB2＝PD2＋BD2，即a2＝（3−a）2＋3，
解得：a＝2，
∴点P的坐标为（0，−2），
综上所述：在坐标轴上存在一点P，使得以O、B、P三点为顶点的三角形是等腰三角形，点P的坐标为（，0）或（，0）或（0，）或（0，）或（0，−6）或（0，−2）．
【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式、勾股定理、三角形的面积公式以及等腰三角形的性质等知识，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出反比例函数的关系式；（2）利用直角三角形的性质，求出AB的长；（3）分OP＝OB，BP＝BO及PO＝PB三种情况，利用等腰三角形的性质求出点P的坐标．
象限
横坐标
纵坐标
第一象限
正
正
第二象限
负
正
第三象限
负
负
第四象限
正
负
函数
解析式
定义域
图像
性质
正比例函数
一切实数
O
O
当k>0时y随x的增大而增大，
当k<0时，y随x的增大而减小
反比例函数
的实数
1.当K>0时，图象的两个分支分别在一、三象限内，在每个象限内， y随x的增大而减小；
2.当K<0时，图象的两个分支分别在二、四象限内，在每个象限内，y随x的增大而增大。
3.双曲线无限渐进x轴y轴但不相交
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