江苏省南京市建邺高级中学2019-2020学年高一下学期两校期中联考数学试题（解析版）

这是一份江苏省南京市建邺高级中学2019-2020学年高一下学期两校期中联考数学试题（解析版），共17页。试卷主要包含了的值为，在中，若，，，则，已知，则，若函数，则的最大值为，下列说法中正确的是，下列化简正确的是等内容，欢迎下载使用。

一､单选题
1.过两点和直线的斜率为1，则实数的值为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
试题分析：.
考点：两点斜率公式.
2.的值为 （ ）
A. 1B. C. D.
【答案】C
【解析】
3.在中，若，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
分析：直接利用余弦定理即可计算.
详解：，，.
由余弦定理可得：，解得.
故选：B.
点睛：本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题.
4.已知，则（ ）
A. -2B. 3C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用两角和的正切公式，求得所求表达式的值.
【详解】依题意.
故选：D
【点睛】本小题主要考查两角和的正切公式，属于基础题.
5.已知直线过点且与直线垂直，则的方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
直线与直线垂直可得斜率之积为-1，从而得出直线方程.
【详解】解：因为直线与直线垂直，
所以，
所以直线方程为，
即，
故选B.
【点睛】本题考查了两条直线的垂直关系，解题的关键是熟记当两直线的斜率存在时，两条直线垂直等价于两直线斜率之积为-1.
6.已知直线与圆交于两点，则弦的长度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由直线与圆相交的性质可知，，要求，只要先求圆心到直线的距离，即可求解.
【详解】圆心到直线的距离，
由直线与圆相交的性质可知，，即.
，
故选：A．
【点睛】本题主要考查直线与圆相交的性质，解题的关键是公式的应用．
7.若函数，则的最大值为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】
化简表达式，然后根据三角函数最值的求法，求得的最大值.
【详解】依题意，
.
由于，所以，所以当，即时，取得最大值为.
故选：B
【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查辅助角公式，考查三角函数最值的求法，属于中档题.
8.过点作直线的垂线，垂足为M，已知点，则当变化时，的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
化已知直线为，即有且，解方程可得定点Q，可得M在以PQ为直径的圆上运动，求得圆心和半径，由圆的性质可得最值．
【详解】解：直线，即，
由，求得，直线经过定点．
由为直角三角形，斜边为PQ，M在以PQ为直径的圆上运动，
可得圆心为PQ的中点，半径为，
则与M的最大值为，
则与M的最小值为，
故MN的范围为：，
故选B．
【点睛】本题考查直线恒过定点，以及圆的方程的运用，圆外一点与圆上的点的距离的最值求法，考查运算能力，属于中档题．
二､多选题
9.下列说法中正确的是（ ）
A. 若是直线的倾斜角，则
B. 若是直线的斜率，则
C. 任意一条直线都有斜率， 但不一定有倾斜角
D. 任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率
【答案】BD
【解析】
【分析】
通过直线的倾斜角的范围判断A的正误；直线的斜率的定义，判断B的正误；直线的斜率与倾斜角的关系判断C、D的正误；
【详解】对A，若是直线的倾斜角，则，故A错误；
对B，根据，即正切函数的值域为实数，故B正确；
对C，因为倾斜角为时没有斜率，故C错误；
对D，由倾斜角的定义可得任意一条直线都有倾斜角，由直线的斜率定义可得，倾斜角为的直线，没有斜率，故D正确；
故选：BD.
【点睛】本题考查倾斜角与斜率的关系，考查对概念的理解，属于基础题.
10.下列化简正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】
利用两角差的余弦公式判断选项A；利用二倍角公式判断选项B；利用两角和的正切公式判断选项C；先利用诱导公式转化，再利用二倍角公式判断选项D.
【详解】，故A正确；
，故 B正确；
，故C正确；
，故D不正确.
故选：A B C.
【点睛】本题主要考查倍角公式和两角和与差公式.属于较易题.
11.以下四个命题表述正确的是（ ）
A. 直线恒过定点
B. 圆：的圆心到直线的距离为2
C. 圆：与圆：恰有三条公切线
D. 两圆与的公共弦所在的直线方程为：
【答案】AC
【解析】
【分析】
根据直线过的定点判断A选项的正确性，根据圆心到直线的距离判断B选项的正确性，根据两个圆的位置关系判断C选项的正确性，根据相交弦所在直线方程判断D选项的正确性.
【详解】对于A选项，当时，所以直线过定点，故A选项正确.
对于B选项，圆的圆心为，到直线的距离为，所以B选项错误.
对于C选项，圆的圆心为，半径为；圆的圆心为，半径为.圆心距为，所以两圆外切，故恰有三条公切线，故C正确.
对于D选项，由两式相减并化简得，所以D选项错误.
综上所述，正确的选项为AC.
故选：AC
【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，圆和圆的位置关系，考查直线过定点问题，属于中档题.
12.在中，内角所对的边分别为，下列命题正确的有（ ）
A. 若，则一定为直角三角形
B. 若，则一定是钝角三角形
C. 若，则为锐角三角形
D. 若，则是等腰三角形
【答案】ABD
【解析】
【分析】
对于A选项，利用正弦定理、余弦定理化简进行判断；对于B选项，利用同角三角函数的基本关系式、两角和的余弦公式化简进行判断；对于C选项，利用特殊值进行判断；对于D选项，利用余弦定理化简进行判断.
【详解】对于A选项，由正弦定理得，
由余弦定理得，
即，
即，
，
，
，
，则，所以三角形是直角三角形.故A正确.
对于B选项，由于，所以，所以为锐角，，所以，，
所以，即，所以，
而，所以为钝角，所以三角形是钝角三角形.所以B选项正确.
对于C选项，取，则，但，所以三角形是直角三角形，所以C选项错误.
对于D选项，由余弦定理得，即，所以即，所以三角形是等腰三角形，所以D选项正确.
综上所述，正确选项为ABD
故答案为：ABD
【点睛】本小题主要考查利用正弦定理、余弦定理判断三角形的形状，属于中档题.
三､填空题
13.在中，，，，则______.
【答案】
【解析】
【分析】
利用正弦定理列方程，解方程求得.
【详解】由正弦定理得，即.
故答案为：
【点睛】本小题主要考查正弦定理解三角形，属于基础题.
14.已知两条直线，，若直线与直线平行，则实数______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据两条直线平行的条件列方程，解方程求得的值.
【详解】由于直线与直线平行，所以.且此时两直线不重合，
故答案为：
点睛】本小题主要考查根据直线平行求参数，属于基础题.
15.已知圆圆心为，为坐标原点，则以为直径的圆的标准方程为_____.
【答案】
【解析】
【分析】
将圆的方程配成标准方程，求出圆心的坐标，由此可求出以为直径的圆的标准方程.
【详解】圆的标准方程为，则点，
线段的中点为，且，
因此，以为直径的圆的标准方程为.
故答案为：.
【点睛】本题考查圆的标准方程，关键是求出点的坐标，属于基础题．
16.已知，，则______.
【答案】
【解析】
【分析】
先求得的值，然后利用同角三角函数的基本关系式求得的值.
【详解】依题意，，
则，解得，
所以.
故答案为：
【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查两角和的正切公式，考查二倍角公式，属于中档题.
四､解答题
17.已知直线l经过点，其倾斜角为.
（1）求直线l的方程；
（2）求直线l与两坐标轴围成的三角形的面积.
【答案】(1) ; (2) .
【解析】
【分析】
(1) 由斜率,再利用点斜式即可求得直线的方程；
(2) 由直线的方程，分别令为，得到纵截距与横截距，即可得到直线与两坐标轴所围成的三角形的面积.
【详解】(1)
直线的方程为：，即.
(2) 由 (1) 令，则；令，则.
所以直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为：
.
【点睛】本题考查直线的点斜式方程，直线截距的意义，三角形的面积，属于基础题.
18.已知,.
(1)求值;
(2)求的值.
【答案】(1);(2).
【解析】
【分析】
（1）由，算得，接着利用二倍角公式，即可得到本题答案；（2）利用和角公式展开，再代入的值，即可得到本题答案.
【详解】(1)因为,,所以.
所以；
(2).
【点睛】本题主要考查利用同角三角函数的基本关系，和差公式以及二倍角公式求值，属基础题.
19.在锐角中，角所对的边分别为，且.
（1）求角的大小；
（2）若的面积，，求和的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）利用余弦定理化简已知条件，求得的值，进而求得的大小.
（2）利用三角形的面积公式列方程，解方程求得，利用余弦定理求得，利用正弦定理求得.
【详解】（1）依题意，即，
所以，由于，所以.
（2）依题意，
由余弦定理得，
由正弦定理得.
【点睛】本小题主要考查余弦定理、正弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，属于中档题.
20.已知圆过点，且与圆关于直线对称.
（1）求圆的方程；
（2）若直线过点,且与圆C相交于、两点，当时，求直线的方程.
【答案】（1）；（2）或.
【解析】
【分析】
（1）设圆心的坐标,由圆心与圆心关于直线对称,列出方程组求出圆心,再求半径,即可写出圆的方程;
（2）设过的直线方程为,由圆心到切线的距离,与半径和代入勾股定理,即可求出斜率,再写出切线方程.
【详解】解：（1）设圆心,则
解得则圆C的方程为,
将点代入得,
故圆C的方程为;
（2）设过的直线方程为,
即：
由圆心到直线的距离,
半径和代入
,解得或;
所以直线的方程为或.
【点睛】本题考查了直线和圆的方程的应用问题,也考查了点到直线的距离公式以及关于直线对称的圆的方程问题,是综合性题目.
21.在中，角，，的对边分别为，，，且满足，.
（1）求角的大小；
（2）若，试判断的形状；
（3）若为钝角三角形，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）直角三角形；（3）或
【解析】
【分析】
（1）首先根据正弦定理边角互化为，然后再化简求角的大小；
（2）根据正弦定理边角互化为，然后再根据余弦定理求角的大小，最后判断三角形的形状；
（3）由（2）可知，分角和角为钝角，求的取值范围.
【详解】（1）根据正弦定理，化简为

，
解得：,
，;
（2）当时，，
根据正弦定理可知：，
，
,，
又 ，
，是直角三角形.
（3）由正弦定理可知，
，
若角是钝角三角形，并且， 则，
，解得：；
若角是钝角，并且， 则，
，解得：
综上可知的取值范围是.
【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，判断三角形的形状，以及求参数的取值范围，意在考查转化与化归的思想，和计算能力，属于基础题型，本题的第三问的关键是分类，并且能正确求出角的范围.
22.在路边安装路灯，灯柱与地面垂直(满足)，灯杆与灯柱所在平面与道路垂直，且，路灯采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知，路宽.设灯柱高，.
（1）当时，求四边形的面积；
（2）求灯柱的高(用表示)；
（3）若灯杆与灯柱所用材料相同，记此用料长度和为，求关于的函数表达式，并求出的最小值.
【答案】（1）；（2）；（3）；.
【解析】
【分析】
（1）计算，，得为正三角形，分别求出和的面积，相加即可得出结论；
（2）计算，根据正弦定理得到，，得到答案；
（3）根据正弦定理得到，，根据计算得到答案.
【详解】
（1），，
，又，
，又，
所以为正三角形，则，
在中，因为，
所以，
故四边形的面积；
（2）因为，，
所以，
又因为灯柱与地面垂直，即，
所以，
因为，
所以，
在中，因为，
所以，
在中，因为，
所以.
（3）在中，因为，
所以，
则，
因为，
所以，
所以当时，.
【点睛】本题主要考查解三角形在实际生活中的应用.属于中档题.
本试卷的题干、答案和解析均由组卷网（）专业教师团队编校出品。
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