江苏省江阴市二中、要塞中学等四校2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题 Word版含解析

www.ks5u.com2019-2020学年第二学期高一期中考试数学学科试题

一、单项选择题（本大题共8小题，共40分，每道题仅有一个正确选项）

1. 直线必过定点（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

解方程组即可.

【详解】由，得，所以直线必过定点.

故选：A

【点睛】本题考查直线恒过定点的问题，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.

2. 已知直线的方程为，则该直线的倾斜角为（ ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

试题分析：直线的斜率，其倾斜角为．

考点：直线的倾斜角．

3. 已知直线与直线互相垂直，则（    ）

A. -3 B. -1 C. 3 D. 1

【答案】D

【解析】

【分析】

分别求出两条直线的斜率，利用斜率乘积为即可得到答案.

【详解】直线的斜率为，直线的斜率为3，由题意，

，解得.

故选：D

【点睛】本题考查已知直线的位置关系求参数，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.

4. 在中，若，则角A为（    ）

A. 30°或60° B. 45°或60°

C. 120°或60° D. 30°或150°

【答案】D

【解析】

【分析】

由正弦定理和题设条件，求得，进而求得角的值，得到答案.

【详解】在中，因，

由正弦定理可得，

又由，则，所以，

又因为，所以或.

故选：D.

【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，以及特殊角的三角三角函数的应用，着重考查运算与求解能力.

5. 如图所示,为测一棵树的高度,在地面上选取A,B两点,从A,B两点分别测得树尖P的仰角为30°,45°,且A,B两点之间的距离为60m,则树的高度h为(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

先利用正弦定理求出，再求出h得解.

【详解】∵,∴.

由已知及正弦定理,得,∴.

∴.

故选：A

【点睛】本题主要考查正弦定理的实际应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

6. 如图，正方体中，异面直线与所成的角是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

将平移至，易知为异面直线与所成的角，再结合为等边三角形即可得到答案.

【详解】平移至，易知为异面直线与所成的角，又为等边三角形，

所以.

故选：C

【点睛】本题考查求异面直线所成的角，考查学生数形结合的思想，转化与化归的思想，是一道容易题.

7. 直线过点，且、到的距离相等，则直线的方程是(  )

A.  B.

C. 或 D. 或

【答案】C

【解析】

【分析】

由条件可知直线平行于直线或过线段的中点,当直线时，利用点斜式求出直线方程；当直线经过线段的中点时，利用点斜式可得直线方程.

【详解】设所求直线为由条件可知直线平行于直线或过线段的中点，

（1）的斜率为，当直线时，的方程是，

即；

(2)当直线经过线段的中点时，的斜率为，

的方程是，即，

故所求直线的方程为或，故选C.

【点睛】本题主要考查直线的点斜式方程的应用，以及斜率公式、直线平行的充要条件，分类讨论思想的应用，意在考查综合应用所学知识解决问题的能力.

8. 如图，已知，，，，，一束光线从点出发射到上的点，经反射后，再经反射，落到线段上（不含端点），则直线的斜率的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

设关于直线对称的点为，关于直线对称的点为，连接与直线分别交于，连接，分别与直线交于，由题意，在线段之间即可，算出两点的坐标结合斜率公式即可得到答案.

【详解】设关于直线对称的点为，关于直线对称的点为，连接

与直线分别交于，连接，分别与直线交于，

由题意，在线段之间即可，

又，直线的方程为，设，则

，解得，所以，

同理可得关于直线对称的点，所以直线：，

又直线方程为：，所以，

所以直线方程为：，

即，由，得，所以，

又易得方程为：，所以，

所以.

故选：B

【点睛】本题考查求点关于直线对称的点、两直线的交点的问题，涉及到入射光线、反射光线，考查学生的数学计算能力，是一道有一定难度的题.

二、多选题（本大题共4小题，共20分，每道题有两个或两个以上正确选项）

9. 若两条平行直线：与：之间的距离是，则的可能值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】AB

【解析】

【分析】

由两直线平行可得n，再利用平行直线间的距离公式计算可得m，相加即可得到答案.

【详解】由题意，，，所以，所以：，即，

由两平行直线间的距离公式得，解得或，

所以或.

故选：AB

【点睛】本题考查两直线的位置关系以及平行直线间的距离公式，考查学生的数学运算能力，是一道容易题.

10. 在中，，，，则角的可能取值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】AD

【解析】

分析】

由余弦定理得，解得或，分别讨论即可.

【详解】由余弦定理，得，

即，解得或.

当时，此时为等腰三角形，，所以；

当时，，此时为直角三角形，所以.

故选：AD

【点睛】本题考查余弦定理解三角形，考查学生分类讨论思想，数学运算能力，是一道容易题.

11. 已知直线，则下列结论正确是（    ）

A. 直线的倾斜角是 B. 若直线则

C. 点到直线的距离是 D. 过与直线平行的直线方程是

【答案】CD

【解析】

【分析】

对于A．求得直线的斜率k即可知直线l的倾斜角，即可判断A的正误；对于B．求得直线的斜率k′，计算kk′是否为﹣1，即可判断B的正误；对于C．利用点到直线的距离公式，求得点到直线l的距离d，即可判断C的正误；对于D．利用直线的点斜式可求得过与直线l平行的直线方程，即可判断D的正误．

【详解】对于A．直线的斜率k＝tanθ，故直线l的倾斜角是，故A错误；

对于B．因为直线的斜率k′，kk′＝1≠﹣1，故直线l与直线m不垂直，故B错误；

对于C．点到直线l的距离d2，故C正确；

对于D．过与直线l平行的直线方程是y﹣2（x﹣2），整理得：，故D正确．

综上所述，正确的选项为CD．

故选：CD．

【点睛】本题考查命题的真假判定，着重考查直线的方程的应用，涉及直线的倾斜角与斜率，直线的平行与垂直的应用，属于基础题．

12. （多选题）如图，设的内角，，所对的边分别为，，，，且．若点是外一点，，，下列说法中，正确的命题是（    ）

A. 的内角 B. 的内角

C. 四边形面积的最大值为 D. 四边形面积无最大值

【答案】ABC

【解析】

【分析】

先根据正弦定理化简条件得，再结合得，最后根据三角形面积公式表示四边形面积，利用余弦定理以及辅助角公式化为基本三角函数形式，根据三角函数性质求最值.

【详解】

,因此A,B正确；

四边形面积等于

因此C正确，D错误，

故选：ABC

【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、辅助角公式、三角形面积公式以及正弦函数性质，考查综合分析求解能力，属中档题.

三、填空题（本大题共4小题，共20分，将答案填在答题卡相应位置）

13. 的内角，，所对的边分别为，，，已知，则的形状是________三角形．

【答案】等腰

【解析】

【分析】

由结合正弦定理可得，即，结合A、B范围即可得到答案.

【详解】因为，由正弦定理，得，即，

又，，所以，所以，即，所以

是等腰三角形.

故答案为：等腰

【点睛】本题考查正弦定理判断三角形形状，涉及到两角差的正弦公式，考查学生的逻辑推理能力，数学运算能力，是一道容易题.

14. 已知球的表面积为,则球的体积为________.

【答案】

【解析】

【分析】

由已知结合球的表面积公式求得半径，再由球的体积公式得答案．

【详解】设球O的半径为r，则4πr2=16π，

得r2=4，即r=2．

∴球O的体积为．

故答案为.

【点睛】本题考查球的表面积与体积的求法，是基础题．

15. 已知直线过点，且在轴上的截距是在轴上截距的两倍，则直线的方程为____

【答案】或

【解析】

【分析】

讨论截距为零和不为零两种情况，为零时根据斜率直接得到直线；不为零时，假设直线的截距式方程，代入点求得结果.

【详解】若在坐标轴的截距均为，即过原点，满足题意

此时方程为：，即

当在坐标轴截距不为时，设其在轴截距为

则方程为：，代入，解得：

方程为：

综上，直线方程为：或

本题正确结果：或

【点睛】本题考查直线方程的求解问题，主要考察直线截距式方程的应用，易错点是忽略了截距为零的情况.

16. 的内角，，所对的边分别为，，，已知，．为 上一点，，，则的面积为_________．

【答案】

【解析】

【分析】

由已知，可得，进一步可得，设，则，由余弦定理可得，，代入x的值即可.

【详解】由及正弦定理，得，因为，

，所以，即，所以，

设，则，由余弦定理，

得，即，

解得，所以.

故答案为：

【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，涉及到三角形的面积公式，考查学生的数学运算求解能力，是一道中档题.

四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答题应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，并把答案写在答题卡的指定区域内）

17. 在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC三个顶点坐标为A(7，8)，B(10，4)，C(2，－4)．

(1)求BC边上的中线所在直线的方程；

(2)求BC边上的高所在直线的方程．

【答案】（1）；（2）

【解析】

【详解】试题分析：（1）根据中点坐标公式求出中点的坐标，根据斜率公式可求得的斜率，利用点斜式可求边上的中线所在直线的方程；（2）先根据斜率公式求出的斜率，从而求出边上的高所在直线的斜率为，利用点斜式可求边上的高所在直线的方程.

试题解析：（1）由B(10，4)，C(2，－4)，得BC中点D坐标为（6，0），

所以AD的斜率为k＝8，

所以BC边上的中线AD所在直线的方程为y－0＝8(x－6)，

即8x－y－48＝0．

（2）由B(10，4)，C(2，－4)，得BC所在直线的斜率为k＝1，

所以BC边上的高所在直线的斜率为－1，

所以BC边上的高所在直线的方程为y－8＝－(x－7)，即x＋y－15＝0．

18. 已知直线与.

（1）当时，求直线与的交点坐标；

（2）若，求a的值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）当时，直线与联立即可．（2）两直线平行表示斜率相同且截距不同，联立方程求解即可．

【详解】（1）当时，直线与，联立，解得，故直线与的交点坐标为.

（2）因为，所以，即解得.

【点睛】此题考察直线斜率，两直线平行表示斜率相等且截距不同（如果斜率和截距都相同则是同一条直线），属于基础简单题目．

19. 在中，角的对边分别为，且.

（1）求的值；

（2）若的面积为，且，求的周长.

【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】

（1）由已知条件结合余弦定理可求cosA的值，进而根据同角三角函数基本关系式可求sinA的值．

（2）利用三角形的面积公式可求bc的值，由正弦定理化简已知等式可得b＝3c，解得b，c的值，根据余弦定理可求a的值，即可求解三角形的周长．

【详解】（1）∵，∴由余弦定理可得2bccosA＝bc，∴cosA＝，

∴在△ABC中，sinA＝＝．

（2）∵△ABC的面积为，即bcsinA＝bc＝，∴bc＝6，

又∵sinB＝3sinC，由正弦定理可得b＝3c，∴b＝3，c＝2，则a2＝b2+c2﹣2bccosA＝6，

，所以周长为.

【点睛】本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．

20. 如图，在三棱锥中，，，分别是，的中点．求证：

（1）∥平面；

（2）平面⊥平面．

【答案】(1)证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）由三角形中位线定理推导出，根据线面平行的判定定理可证明平面；（2）由已知条件推导出，可得平面 ，由此能证明平面平面.

试题解析：证明：⑴在中，因为分别是的中点，

所以∥                                         

又⊂平面，平面，

所以∥平面；                                 

⑵ 因为，且点是的中点，所以⊥；     

又，∥，所以，                

因为⊂平面，⊂平面，，⊂平面，

所以平面⊥平面.  

21. 如图，已知射线，两边夹角为，点，在，上，，．

（1）求线段的长度；

（2）若，求的最大值．

【答案】（1）；（2）．

【解析】

【分析】

（1）由余弦定理即可得到；

（2）设，由正弦定理，得，所以，，，再利用三角恒等变换运算即可.

【详解】在中，由余弦定理得，

，

所以．                                           

设，因为，所以，  

在中，由正弦定理得，

因为，

所以，，                  

因此

因为，所以．

所以当，即时，取到最大值.

【点睛】本题考查正余弦定理在解三角形中的应用，考查学生数学运算、数学建模的能力，是一道中档题.

22. 燕山公园计划改造一块四边形区域铺设草坪，其中百米，百米，，，草坪内需要规划4条人行道以及两条排水沟，其中分别为边的中点．

（1）若，求排水沟的长；

（2）当变化时，求条人行道总长度的最大值．

【答案】（1）百米；（2）百米．

【解析】

【分析】

（1）由已知易得，则，在，中分别由余弦定理可得，，解方程组即可；

（2）设，设，，则，在中，由正弦定理得，，，由余弦定理，同理，令，则，求出函数的最值即可.

【详解】（1）因，，

所以，所以，                            

因为，

所以，

所以，

在中：，

即①

在中：

，     

即 ②

由①②解得：，即排水沟BD的长为百米；           

设，设，，

在中，由余弦定理得：，

在中，由正弦定理：，得，

连接DE，在中，，

，

在中，由余弦定理：

，                 

同理：．                          

设，，则，

所以，

由复合函数的单调性知，该函数单调递增，所以时，

最大值为

，

所以4条走道总长度的最大值为百米．

【点睛】本题考查正余弦定理在解三角形中的应用，考查学生的数学运算、数学建模能力，是一道有一定难度的题.