中考数学二轮复习考点提分特训专题04 巧用中点解决几何问题（2份打包，原卷版+解析版）

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方法与技巧：中点问题常见辅助线做法
①遇到三角形边上的中点，考虑构造三角形的中位线
②遇到直角三角形斜边的中点，考虑直角三角形斜边的中线性质
③遇到等腰三角形底边的中点，考虑等腰三角形“三线合一”的性质
④遇到中点+垂线，角平分线+垂线，考虑垂直平分线的性质
⑤遇到面积类型题，考虑三角形中线平分面积
⑥遇到线段数量关系，考虑倍长中线构造全等三角形
二、【考点类型】
考点1：构造三角形的中位线
典例1：（2022秋·四川眉山·九年级校考期中）如图， SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，点E是 SKIPIF 1 < 0 的中点，若 SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，线段 SKIPIF 1 < 0 的长为（ ）
A．1cmB．2cmC．3cmD．4cm
【变式1】（2022秋·山东济宁·九年级济宁市第十五中学统考期末）如图，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 于点E，点F是 SKIPIF 1 < 0 的中点，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的长为（ ）．
A．2B．3C．4D．5
【变式2】（2022春·全国·八年级假期作业）已知：如图，在 SKIPIF 1 < 0 中，中线 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 的中点．
求证：（1） SKIPIF 1 < 0 ；
（2） SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 互相平分．
【变式3】（2021·全国·九年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别是边AB，AC的中点，延长BC到点F，使CF＝ SKIPIF 1 < 0 BC．连结CD、EF，那么CD与EF相等吗？请证明你的结论．
考点2：直角三角形斜边的鹅中线
典例2：（2022秋·福建福州·八年级统考期中）如图，在一块含 SKIPIF 1 < 0 角的三角板（ SKIPIF 1 < 0 ）的顶点 SKIPIF 1 < 0 处作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ． 在 SKIPIF 1 < 0 的右侧作 SKIPIF 1 < 0 使 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的延长线交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ． 设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则下列式子成立的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【变式1】（2022秋·新疆乌鲁木齐·九年级校考期中）如图， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 内部的一个动点，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，则线段 SKIPIF 1 < 0 长的最小值为（ ）
A．2B．1C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【变式2】（2022秋·广西贵港·九年级统考期中）如图，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，由图中的尺规作图痕迹得到的射线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于点E，点F为 SKIPIF 1 < 0 的中点，连接 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的周长为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 +1B． SKIPIF 1 < 0 +2C．2 SKIPIF 1 < 0 +2D．2 SKIPIF 1 < 0 +3
【变式3】（2021·广东广州·统考中考真题）如图，在四边形ABCD中， SKIPIF 1 < 0 ，点E是AC的中点，且 SKIPIF 1 < 0
（1）尺规作图：作 SKIPIF 1 < 0 的平分线AF，交CD于点F，连结EF、BF（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）所作的图中，若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 为等边三角形．
考点3：等腰三角形三线合一性质
典例3：（2023秋·江西南昌·八年级统考期末）如图所示， SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 于点E， SKIPIF 1 < 0 于点D，交 SKIPIF 1 < 0 于F．
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的度数；
(2)若点F是 SKIPIF 1 < 0 的中点，求证： SKIPIF 1 < 0 ．
【变式1】（2020·内蒙古赤峰·统考中考真题）如图， SKIPIF 1 < 0 中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线，EF是AC的垂直平分线，交AD于点O.若OA =3，则 SKIPIF 1 < 0 外接圆的面积为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【变式2】（2022秋·浙江杭州·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E点，DF⊥AC于点F，则下列四个结论：①AD上任意一点到AB，AC两边的距离相等； ②AD⊥BC且BD＝CD；③∠BDE＝∠CDF；④AE＝AF．其中正确的有（ ）
A．②③B．①③C．①②④D．①②③④
【变式3】（2022秋·吉林长春·八年级校考阶段练习）如图所示，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，直线EF是AB的垂直平分线，D是BC的中点，M是EF上一个动点， SKIPIF 1 < 0 的面积为12， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 周长的最小值是_______________．
考点4：垂直平分线性质
典例4：（2022·新疆乌鲁木齐·校考一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，对角线AC与BD相交于点O，DE⊥AC，垂足为E，AE＝3CE，则DE的长为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．2cmC． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【变式1】（2021·四川内江·统考中考真题）如图，矩形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，对角线 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 、交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，则线段 SKIPIF 1 < 0 的长为 __．
【变式2】（2020·江西·统考中考真题）如图， SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的延长线交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的度数为__________．
【变式3】（2020·江苏连云港·中考真题）如图，在四边形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，对角线 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线与边 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别相交于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求证：四边形 SKIPIF 1 < 0 是菱形；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求菱形 SKIPIF 1 < 0 的周长．
考点5：中线平分面积
典例5：（2022秋·安徽滁州·八年级校考阶段练习）如图， SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 垂直 SKIPIF 1 < 0 的平分线 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的面积为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【变式1】（2021秋·内蒙古鄂尔多斯·八年级统考期末）如图，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 于点P，已知 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，则阴影部分的面积为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【变式2】（2021秋·福建福州·八年级福建省福州延安中学校考期中）如图，△ABC中，AC＝DC＝3，AD平分∠BAC，BD⊥AD于D，E为AC的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为（ ）
A．1.5B．3C．4.5D．6
【变式3】（2023春·江苏·八年级阶段练习）如图，在平行四动形纸板 SKIPIF 1 < 0 中，点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．将一飞镖随机投掷到平行四边形纸板上，则飞镖落在阴影部分的概率为 ________．
考点6：倍长中线，构全等
典例6：（2022秋·甘肃定西·八年级统考期中）如图，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 边上的中线，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【变式1】（2021秋·河南信阳·八年级校考期中）如图，已知AC平分∠DAB，CE⊥AB于E，AB＝AD+2BE，则下列结论：①AB+AD＝2AE；②∠DAB+∠DCB＝180°；③CD＝CB；④S△ACE﹣2S△BCE＝S△ADC；其中正确结论的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式2】（2022秋·浙江杭州·八年级校联考阶段练习）如图，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，D为边AB的中点，E、F分别为边AC、BC上的点，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______ SKIPIF 1 < 0 ，线段AB的长度 SKIPIF 1 < 0 ______．
【变式3】（2022秋·山东滨州·八年级统考期中）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数是________．
巩固训练
一、单选题
1．（2020秋·湖北黄石·八年级黄石八中校考期中）如图，AD是△ABC的中线，E是AD上一点，延长BE交AC于F，若BE=AC，BF=9，CF=6，则AF的长度为（ ）
A．1B．1.5C．2D．3
2．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在四边形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，则 SKIPIF 1 < 0 的长为（ ）．
A．2B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．3
3．（2021春·浙江杭州·八年级杭州外国语学校校考期中）如图，在▱ABCD中，BE垂直平分CD于点E，且∠BAD＝45°，AD＝3，则▱ABCD的对角线AC的长为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．5 SKIPIF 1 < 0 C．5 SKIPIF 1 < 0 D．2 SKIPIF 1 < 0
4．（2022秋·浙江宁波·八年级校联考期中）如图，O为数轴原点，A，B两点分别对应 SKIPIF 1 < 0 、3，作腰长为4的等腰 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，以O为圆心， SKIPIF 1 < 0 长为半径画弧交数轴于点M，则点M对应的实数为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．4C． SKIPIF 1 < 0 D．2.5
5．（2023秋·广东惠州·八年级校考期末）如图，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上一动点．若 SKIPIF 1 < 0 腰上的中线长是3．则 SKIPIF 1 < 0 周长的最小值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
6．（2022秋·江苏无锡·八年级校联考期中）如图， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点D是BC的中点，将 SKIPIF 1 < 0 沿AD翻折得到 SKIPIF 1 < 0 ，连结BE，则线段BE的长为（ ）
A．2B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
7．（2023秋·四川雅安·九年级校考期中）如图，在 SKIPIF 1 < 0 中，点 SKIPIF 1 < 0 分别是边 SKIPIF 1 < 0 的中点，点 SKIPIF 1 < 0 是线段 SKIPIF 1 < 0 上的一点，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的长是（ ）
A．3B．4C．5D．6
8．（2023·河北秦皇岛·统考一模）如图，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 绕顶点C顺时针旋转得到 SKIPIF 1 < 0 ，D是 SKIPIF 1 < 0 的中点，连接BD，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则线段 SKIPIF 1 < 0 的最大值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．3D．4
9．（2022春·浙江杭州·九年级校考阶段练习）如图，在 SKIPIF 1 < 0 中，中线 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 相交于点O，连接 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的面积与 SKIPIF 1 < 0 的面积比是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．2D．4
10．（2022春·江苏南京·八年级校考期中）如图，四边形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 不平行， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的长可能是( )
A．4B．6C．8D．10
11．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，在正 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，若M、N分别为线段 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的中点，则线段 SKIPIF 1 < 0 的长度等于（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．3
12．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，已知四边形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，点E、F分别是边 SKIPIF 1 < 0 的中点，连接 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的长是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．5C． SKIPIF 1 < 0 D．10
13．（2022秋·广东梅州·九年级校考开学考试）如图，射线 SKIPIF 1 < 0 射线CD， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的平分线交于点E， SKIPIF 1 < 0 ，点P是射线AB上的一动点，连结PE并延长交射线CD于点 SKIPIF 1 < 0 给出下列结论： SKIPIF 1 < 0 是直角三角形； SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则y关于x的函数表达式是 SKIPIF 1 < 0 ，其中正确的是 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
14．（2023春·八年级课时练习）如图，在正方形 SKIPIF 1 < 0 中，点E，G分别在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 边上，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ，过点C作 SKIPIF 1 < 0 于点F，连接 SKIPIF 1 < 0 ，若正方形的边长为4，则 SKIPIF 1 < 0 的长度是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
15．（2023春·八年级课时练习）如图，在 SKIPIF 1 < 0 ABC中，点E在边AC上，EB＝EA，∠A＝2∠CBE，延长BD到F，使DF＝DB，连接CF，过点C作CD⊥BF于点D，BD＝16，AC＝22，则边BC的长为（ ）
A．8 SKIPIF 1 < 0 B．9 SKIPIF 1 < 0 C．10 SKIPIF 1 < 0 D．12 SKIPIF 1 < 0
二、填空题
16．（2020·天津·中考真题）如图， SKIPIF 1 < 0 的顶点C在等边 SKIPIF 1 < 0 的边 SKIPIF 1 < 0 上，点E在 SKIPIF 1 < 0 的延长线上，G为 SKIPIF 1 < 0 的中点，连接 SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的长为_______．
17．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在直角坐标系中，⊙A的半径为2，圆心坐标为（4，0），y轴上有点B（0，3），点C是⊙A上的动点，点P是BC的中点，则OP的范围是_____．
18．（2022春·九年级课时练习）如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是 SKIPIF 1 < 0 的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是_______．
19．（2022·天津·统考中考真题）如图，已知菱形 SKIPIF 1 < 0 的边长为2， SKIPIF 1 < 0 ，E为 SKIPIF 1 < 0 的中点，F为 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相交于点G，则 SKIPIF 1 < 0 的长等于___________．
20．（2021·甘肃武威·统考中考真题）如图，在矩形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 边上一点， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 边的中点， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ________ SKIPIF 1 < 0 ．
21．（2021·四川内江·统考中考真题）如图，矩形 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴正半轴上，点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴正半轴上．当点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴上运动时，点 SKIPIF 1 < 0 也随之在 SKIPIF 1 < 0 轴上运动，在这个运动过程中，点 SKIPIF 1 < 0 到原点 SKIPIF 1 < 0 的最大距离为 __．
22．（2022秋·九年级单元测试）如图， SKIPIF 1 < 0 的半径为2，圆心 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上的任意一点， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴分别交于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点，若点 SKIPIF 1 < 0 、点 SKIPIF 1 < 0 关于原点对称，当线段 SKIPIF 1 < 0 最短时，点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为______．
24．（2023秋·江西宜春·八年级校考期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，则AM的最小值是______________．
26．（2022·安徽·统考中考真题）如图，平行四边形OABC的顶点O是坐标原点，A在x轴的正半轴上，B，C在第一象限，反比例函数 SKIPIF 1 < 0 的图象经过点C， SKIPIF 1 < 0 的图象经过点B．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ________．
27．（2021·广东深圳·统考中考真题）如图，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是角平分线且 SKIPIF 1 < 0 ，作 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线交 SKIPIF 1 < 0 于点F，作 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 周长为________．
28．（2022·江苏无锡·统考中考真题）如图，正方形ABCD的边长为8，点E是CD的中点，HG垂直平分AE且分别交AE、BC于点H、G，则BG＝________．
29．（2022秋·八年级课时练习）如图，△ABC的面积是12，点D，E，F，G分别为BC，AD，BE，CE的中点，则△AFG的面积是_____．
30．（2022春·江苏无锡·七年级宜兴市实验中学校考阶段练习）如图，在 SKIPIF 1 < 0 中，点D在BC上，点E是AD的中点，点F在BE上，且 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ________．
三、解答题
31．（2023·安徽合肥·合肥一六八中学校考一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＞AC，CD⊥AB于点D，点E是AB的中点，连接CE．
(1)若AC＝3，BC＝4，求CD的长；
(2)求证：BC2﹣AC2＝2DE•AB；
(3)求证：CE＝ SKIPIF 1 < 0 AB．
32．（2021春·广西南宁·八年级南宁市第四十七中学校考期中）已知：如图，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别在 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 .求证： SKIPIF 1 < 0 .
33．（2023·全国·九年级专题练习）阅读下面材料：
数学课上，老师给出了如下问题：
如图，AD为△ABC中线，点E在AC上，BE交AD于点F，AE＝EF．求证：AC＝BF．
经过讨论，同学们得到以下两种思路：
完成下面问题：
（1）①思路一的辅助线的作法是： ；
②思路二的辅助线的作法是： ．
（2）请你给出一种不同于以上两种思路的证明方法（要求：只写出辅助线的作法，并画出相应的图形，不需要写出证明过程）．
34．（2022·山西朔州·八年级校考期末）问题背景：我们学习等边三角形时得到直角三角形的一个性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于 SKIPIF 1 < 0 ，那么它所对的直角边等于斜边的一半．即：如图（1），在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
探究结论：小明同学对以上结论作了进一步研究．
（1）如图（1），作 SKIPIF 1 < 0 边上的中线 SKIPIF 1 < 0 ，得到结论：① SKIPIF 1 < 0 为等边三角形；② SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 之间的数量关系为_________．
（2）如图（2）， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中线，点D是边 SKIPIF 1 < 0 上任意一点，连接 SKIPIF 1 < 0 ，作等边 SKIPIF 1 < 0 ，且点P在 SKIPIF 1 < 0 的内部，连接 SKIPIF 1 < 0 ．试探究线段 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 之间的数量关系，写出你的猜想并加以证明．
（3）当点D为边 SKIPIF 1 < 0 延长线上任意一点时，在（2）中条件的基础上，线段 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 之间存在怎样的数量关系？直接写出答案即可．
35．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，△ABC中，AD平分 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 且平分BC， SKIPIF 1 < 0 于E， SKIPIF 1 < 0 于F．
(1)证明： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)如果 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求AE、BE的长．
36．（2022秋·北京海淀·九年级101中学校考期末）已知：如图，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，D是BC的中点．以BD为直径作 SKIPIF 1 < 0 ，交边AB于点P，连接PC，交AD于点E．
（1）求证：AD是 SKIPIF 1 < 0 的切线；
（2）若PC是 SKIPIF 1 < 0 的切线， SKIPIF 1 < 0 ，求PC的长．
思路一如图①，添加辅助线后依据SAS可证得△ADC≌△GDB，再利用AE＝EF可以进一步证得∠G＝∠FAE＝∠AFE＝∠BFG，从而证明结论．
思路二如图②，添加辅助线后并利用AE＝EF可证得∠G＝∠BFG＝∠AFE＝∠FAE，再依据AAS可以进一步证得△ADC≌△GDB，从而证明结论．