2024学年辽宁省鞍山市铁西区、经开区九年级下学期3月联考数学模拟试题（原卷版+解析版）

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考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效
第一部分 选择题（共30分）
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 某校九年1班期末考试数学的平均成绩是82分，小明得了90分，记作分，若小亮的成绩记作分，表示小亮得了（ ）分．
A. 86B. 76C. 78D. 74
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了有理数的加法，解题的关键是熟练掌握正数和负数表示具有相反意义的量．用平均分加上分即可得出答案．
【详解】解：小英分数为：（分），
故选：C．
2. 如图摆放的几何体中，三视图不可能出现三角形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查几何体三视图．根据题意逐一对选项进行分析即可．
【详解】解：A、主视图和左视图是三角形，不符合题意；
B、俯视图是三角形，不符合题意；
C、三视图都不是三角形，符合题意；
D、主视图是三角形，不符合题意；
故选：C．
3. 书法是我国特有的优秀传统文化，其中篆书具有象形特征，充满美感．下列“福”字的四种篆书图案中，可以看作轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：A，B，D选项中图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：C．
【点睛】本题考查了利用轴对称设计图案，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方法则、完全平方公式以及多项式乘多项式．利用完全平方公式展开得到结果，即可对A做出判断；利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可对B做出判断；利用幂的乘方法则计算得到结果，即可对C做出判断；利用多项式乘多项式得到结果，即可对D做出判断．
【详解】解：A、，该选项不符合题意；
B、，该选项符合题意；
C、，该选项不符合题意；
D、，该选项不符合题意；
故选：B．
5. 关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ）
A. B. 且C. 且D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了根的判别式、解一元一次不等式等知识，对于一元二次方程，则有方程有两实根，方程有两不等实根，方程有两相等实根，方程没有实根．
【详解】解：∵一元二次方程有实数根，
∴且，
解得：且，
故选B．
6. 已知关于x的方程的解是，则a的值为（ ）
A. 2B. 1C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了解分式方程．将代入得，，然后解分式方程即可．正确的解分式方程是解题的关键．
【详解】解：将代入得，，
∴，
解得，，
经检验，当时，，
∴是分式方程的解，
故选：C．
7. 正比例函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致是（ ）
A. B.
C D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查一次函数的知识，解题的关键是掌握一次函数的图象和性质，即可．
【详解】∵在正比例函数中随的增大而增大，
∴，
∴一次函数中，，
∴一次函数图象经过一，三，四象限．
故选：A．
8. 我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有凫起南海，七日至北海．雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起．问：何日相逢？其大意为：野鸭从南海飞到北海用7天，大雁从北海飞到南海用9天．它们从两地同时起飞，几天后相遇？设x天后相遇，根据题意所列方程正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
【详解】解：由题意可得，．
故选：C．
9. 如图，过直线外一点画已知直线的平行线的方法叫“推平行线”法（图中三角形是三角板），其依据是（ ）
A. 同旁内角互补，两直线平行B. 两直线平行，同旁内角互补
C. 同位角相等，两直线平行D. 两直线平行，同位角相等
【答案】C
【解析】
【分析】根据和是三角板中的同一个角，得，根据平行线的判定，即可．
【详解】∵，
∴（同位角相等，两直线平行），
∴C正确．
故选：C．
【点睛】本题考查平行线的判定，解题的关键是掌握平行线的判定．
10. 勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，当秋千静止时，踏板B离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（ ）

A. 3.4mB. 5mC. 4mD. 5.5m
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查勾股定理的实际应用，设的长为，则故，在直角中利用勾股定理即可求解，找到直角三角形，利用勾股定理是解题的关键．
【详解】解：由题意可知，
，
设的长为，则
∴
在直角中，
又∵
解得：
故选：A．
第二部分 非选择题
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11. 计算：_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查有理数的乘除混合运算，除法变乘法，进行计算即可．
【详解】解：原式；
故答案为：．
12. 如图，，将沿方向平移的长度得到，已知．则图中阴影部分的面积________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了平移的性质，先根据平移的性质得到即，再根据再证明，最后根据梯形的面积公式计算即可．
【详解】解：∵将沿方向平移的长度得到，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
13. 已知单词functin graph（函数图像），从中任取一个字母，则抽到“n”的概率为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查简单的概率计算，先得到所有字母的个数，再得到字母n的个数，然后利用概率公式求解即可．
【详解】解：单词functin graph中共有13个字母，其中字母n有2个，则抽到“n”的概率为，
故答案为：．
14. 如图，点，过P作轴，轴，并分别交双曲线于C、B两点，连接、，若，则_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了矩形的判定，反比例函数k值的几何意义，解题的关键是掌握矩形的判定定理和反比例函数的图象和性质．
延长，分别交x轴和y轴于点E和点F，证四边形为矩形，求出矩形的面积，根据反比例函数k值的几何意义可得，即可求解．
【详解】解：延长，分别交x轴和y轴于点E和点F，
∵轴，轴，，
∴四边形为矩形，
∵，
∴，，
∴，
∵点B、C在反比例函数图象上，
∴，
∵，
∴，
∵该反比例函数图象在第二象限，
∴，
故答案为：．
15. 如图，．则_______．
【答案】##
【解析】
【分析】此题考查了矩形的判定和性质、正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，证明四边形是正方形是解题的关键．过点C作于点N，过点F作交的延长线于点G，过点G作交的延长线于点H，连接，证明四边形是矩形，再证明是等腰三角形，得到垂直平分，证明，则，得到四边形是正方形，则证明，则，由，，即可得到．
【详解】解：如图，过点C作于点N，过点F作交的延长线于点G，过点G作交的延长线于点H，连接，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴是等腰三角形，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是正方形，
∴
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：
三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
16. 计算：
（1）．
（2）．
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】本题主要考查了解分式方程，解一元二次方程，含乘方的有理数混合计算：
（1）按照先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加减法，有括号先计算括号的运算顺序求解即可；
（2）先把分式方程化为整式方程，然后利用公式法解方程，最后检验即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
解得，
经验，当或时，，
∴原方程的解为．
17. 某商场用相同的价格分两次购进匹和两种型号的立地式空调，两次购进情况如下表．
（1）求该商场购进匹和匹立地式空调的单价各为多少元？
（2）已知商场匹立地式空调的标价为每台元，匹立地式空调的标价为每台元，两种立地式空调销售一半后，为了促销，剩余的匹立地式空调打九折，匹立地式空调打八折全部销售完，问两种立地式空调商场获利多少元？
【答案】17. 匹立地式空调的单价为元，匹立地式空调的单价为元；
18. 两种立地式空调售出后商场获利元．
【解析】
【分析】（）设A型电脑单价为元，型电脑的单价为元，根据题意，列出方程组求解即可；
（）分别计算出型电脑的获利和型电脑的获利，再相加即可；
本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系，列出方程组求解．
【小问1详解】
设该商场购进匹立地式空调的单价为元，匹立地式空调的单价为元，
根据题意得：，解得：，
答：该商场购进匹立地式空调的单价为元，匹立地式空调的单价为元；
【小问2详解】
根据题意得：（元），
答：两种立地式空调售出后商场获利元．
18. 为切实做好校内“午餐托管”工作，某学校食堂为参加“午餐托管”的学生提供了四种价格的午餐供其选择，四种价格分别是A：8元；B：10元；C：12元；D：14元．为了解学生对四种午餐的购买情况，学校随机抽样调查了一部分学生某天四种午餐的购买情况，依统计数据绘制成了如下两幅尚不完整的统计图，根据图中信息解决下列问题：

（1）求被抽查的学生人数及m的值，并补全条形统计图；
（2）被抽查学生购买午餐费用的平均价为________，众数为________，中位数为________；
（3）若该校参加“午餐托管”的学生有1200人，请估计购买10元午餐的学生有多少人？
【答案】（1）被抽查的学生人数有50人，，作图见解析
（2）9.68元，12元，12元
（3）432人
【解析】
【分析】（1）根据6元的人数和所占的百分比，求出调查的总人数，再用整体1减去其它所占的百分比，求出m的值，然后用总人数乘以7元的人数所占的百分比，求出7元的人数，从而补全统计图；
（2）根据平均数的计算公式、众数和中位数的定义即可得出答案；
（3）用该校的总人数乘以购买7元午餐的学生所占的百分比即可．
【小问1详解】
被抽查的学生人数有：（人），
，即；
10元的人数有：（人），
补全统计图如下：
【小问2详解】
被抽查学生购买午餐费用的平均价为：（元）．
∵12元出现了19次，出现的次数最多，
∴众数是12元：
∵共有50个数，中位数是低25、26个数的平均数，
∴中位数是：（元）：
故答案为：9.68元，12元，12元；
【小问3详解】
根据题意得：
（人），
答：估计购买10元午餐的学生有432人．
【点睛】此题考查了条形统计图与扇形统计图，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
19. 如图①，，弦平分，与交于点F，过点D作于点E．
（1）求证：；
（2）如图②，连接，若，半径为1时，求的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）延长交于G，连接，先证明是直径，再由垂径定理得到，进而证明，得到，则．
（2）如图所示，连接，先证明，得到，再证明，得到，设，由勾股定理得，解得（负值舍去），则，进一步求出，则，同理可得，据此可得答案．
【小问1详解】
证明：如图所示，延长交于G，连接．
∵，
∴是直径，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴．
【小问2详解】
解：如图所示，连接，
∵平分，
∴可设，
∴，
∵，
∴
，∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
设，
由勾股定理得，
∴，
解得（负值舍去），
∴，
∴，
∴；
同理可得，
∴．
【点睛】本题主要考查了弧与弦之间的关系，相似三角形的性质与判定，勾股定理，垂径定理，90度的圆周角所对的弦是直径，三角形内角和定理，同弧所对的圆周角相等等等，正确作出辅助线是解题的关键．
20. 北方的春季已经来临．东山儿童游乐场推出了甲、乙两种消费卡，其中，甲为按照次数收费，乙为收取办卡费用以后每次打折收费．设消费次数为x时，所需费用为y元，且y与x的函数关系如图所示．根据图中信息，解答下列问题．
（1）分别求出选择这两种卡消费时，y关于x的函数表达式；
（2）求出入园多少次时，两者花费一样？费用是多少？
（3）辰辰爸准备了220元，请问选择哪种划算？
【答案】（1），
（2）出入园8次时，两者花费一样，费用是160元
（3）选择乙种更合算，理由见解析
【解析】
【分析】（1）运用待定系数法，即可求出y与x之间函数表达式；
（2）根据（1）的结论联立方程组解答即可；
（3）将代入两个解析式求解比较即可．
此题主要考查了一次函数的应用、学会利用方程组求两个函数图象的坐标，正确由图象得出正确信息是解题关键，
【小问1详解】
设，
根据题意得，解得，
∴；
设，根据题意得：，
解得，
∴；
【小问2详解】
解方程组解得：，
∴出入园8次时，两者花费一样，费用是160元；
【小问3详解】
当时，，
∴；
当时，，
解得；
∵，
∴选择乙种更合算．
21. 图1是某越野车的侧面示意图，折线段表示车后盖，已知，该车的高度，如图2，打开后备箱，车后盖落在处，与水平面的夹角．
（1）求打开后备箱后，车后盖最高点到地面的距离；
（2）图3，若停车位后是一面墙，距离是，与的夹角为司机打开后备箱至最高点取货，车后盖有没有刮到墙的危险？请说明理由．（结果精确到，参考数据：，）
【答案】（1）车后盖最高点到地面的距离为
（2）有危险，理由见解析
【解析】
【分析】（1）作，垂足为点E，解直角三角形求出，求出，即可得出答案；
（2）连接，过点作于点G，过点B作于点E，延长交于点F，解直角三角形求出，，根据，即可得出结论．
【小问1详解】
解：如图，作，垂足为点E，
在中，∵，
∴，
∴，
∵平行线间的距离处处相等，
∴，
答：车后盖最高点到地面的距离为．
【小问2详解】
解：有危险．
连接，过点作于点G，过点B作于点E，延长交于点F，如图所示：
∵，，
∴，
∵，
∴在中，，
，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，，
∴，
在中，根据勾股定理得：
，
根据旋转可知，，
∵，
∴车后盖有刮到墙的危险．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，勾股定理，矩形的判定和性质，三角函数的定义，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角函数定义．
22. 某运动馆使用发球机进行辅助训练，假设发球机每次发球的运动路线是抛物线，且形状固定不变的，在球运行时，球与发球机的水平距离为（米），与地面的高度为（米），经多次测试后，得到如下数据：
（1）在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；
（2）球经发球机发出后，最高点离地面__________米，并求出与的函数解析式；
（3）当球拍触球时，球离地面的高度为米.
①求此时发球机与球的水平距离；
②现将发球机向上平移了米，为确保球拍在原高度还能接到球，球拍的接球位置应后退多少米？
【答案】（1）图见详解
（2）1.125；
（3）①；②后退1米
【解析】
【分析】（1）根据表格，构造合理的坐标轴，选出几个点，再用平滑的曲线连接起来即可．
（2）通过图象可判定这是一个二次函数图象，观察表格，根据二次函数的对称性可将该函数设为顶点式，再代入一个点坐标．
（3）用（2）的函数，代入数值就可以解决第一小问；第2小问根据题意，将二次函数加上求出对应的y值即可．
【小问1详解】
【小问2详解】

由顶点坐标可知：当x=1时，y最大值=1.125
将（0，1）代入解析式得：，
∴，
∴该函数解析式．
【小问3详解】
①，
∴，
∴，
∴．
∴或（舍）．
②
∴，
∴，
∴或．
∴或（舍）
∴后退1米
【点睛】本题考查二次函数的实际应用，学会用描点法画出图象，根据题意表示二次函数的关系．熟练掌握二次函数图象的性质与意义，掌握二次函数的实际应用是解决本题的关键．
23. 综合与实践
数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．
（1）问题初探：如图1，在和中，，连接，延长交于点D．则与的数量关系：________，_______；
（2）类比分析：如图2，在和中，，当，连接．延长交于点D．连接，求证平分；
（3）学以致用：如图3，正方形ABCD和等腰直角，连接并延长交于G，交于点，将绕A点旋转至时，若，则的长是________．
【答案】（1），30；
（2）证明见解析 （3）4或12
【解析】
【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、正方形的性质和判定，相似三角形的判定和性质等知识，证明是解题的关键．
（1）根据等腰三角形的性质，利用证明即可得出结论；
（2）根据等腰三角形的性质，利用证明，过点作的垂线段交于点点，证明，即可得出结论；
（3）分两种情况，证明，得到，再根据，证明四边形为正方形，可得，即可求得的长，再利用线段的和差，即可求得的长．
【小问1详解】
解：，
，
即，
，
，
，，
，
，
，
故答案为：相等；；
【小问2详解】
解：如图，过点作的垂线段交于点点，
，
，
即，
同（1），可得，
，，
，
，
，
，
，
平分；
【小问3详解】
解:①如图，为第一种情况，
,
，
即，
同（1）道理，可得，
，
,
,
,
,
\,
四边形为矩形，
,
矩形为正方形，
,
，
,
,
,
,
，即，
解得或（舍），
；
②如图，为第二种情况，
根据上述同理可得，四边形为正方形，
，，，
，
，
，
，即
，
或（舍），
，
，
综上所述，的长度为或12，
故答案为：或12．
匹（台）
匹（台）
总进价（元）
第一次
第二次
（米）
0
0.4
0.8
1
2
3.2
4
（米）
1
1.08
1.12
1.125
1
0.52
0