2024届辽宁省大连市第二十四中学等三校高三统一模拟考试数学试题

这是一份2024届辽宁省大连市第二十四中学等三校高三统一模拟考试数学试题，共4页。试卷主要包含了5 B， 设z=1-i, 则，若保证投中的频率在区间[0等内容，欢迎下载使用。

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5 分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合M={x|x²>1}, N={-1,0,1,2,3},则M∩N=
A. {2,3} B. {-1,2,3} C. {-1,0} D. {0}
2. 设 θ∈0π2, 若 csθ=35, 则sin2θ=
A. 15 B. 45 C.1225 D.2425
3. 8位选手参加射击比赛, 最终的成绩(环数) 分别为42,38, 45, 43, 41, 47, 44,46,其75%分位数是
A. 44.5 B. 45 C. 45.5 D. 46
4. 过点(-1,1)和(1,3), 且圆心在x轴上的圆的方程为
A.x²+y²=4 B.x-2²+y²=8
C.x-1²+y²=5 D.x-2²+y²=10
5. 已知圆锥的高为 3,，其侧面展开图的圆心角为 4π3,则该圆锥的体积为
A.3π8 B.43π5 C.5π3 D.8π3
6.C6030-C6131+C6232-C6333+C6434-C6535+C6636=
A.-64729 B.64729 C.-1729 D.1729
三校联考数学试卷 第1页(共4页)7 在等差数列{aₙ}中，a₃能被3 整除，a₄能被7整除，则下列各项一定能被21 整除的是
A. a₁₆ B. a₁ ₇ C. a₁ ₈ D. a₁₉
8. 已知双曲线( C:x2a2-y2b2=1a0,b>0)的左、右焦点分别为F₁，F₂，过F₁的直线与C的左、右支分别交于点P，Q.若 |F₁P₁|PQ|=|2,且 cs∠F1QF,=23,则C的离心率
A.3 B. 2 C.3 D.2
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9. 设z=1-i, 则
A. z·z =2 B. z+ z·i=0
C.|z|2=z2 D.z-z=z-2
10. 已知递增等比数列{an}的公比为q，且满足 a32+3a4=a5,下列情况可能正确的是
A. q=2 B.q=12 C.a₄=-1 D.a₄=2024
11. 直四棱柱. ABCD-A₁B₁C₁D₁的各顶点都在半径为2 的球O的球面上，下列说法正确的是
A.若 D1A1+D1C1=DO+D1O,则 AB⋅CB1=0
B.若 AB²+CD²=AD²+BC², 则 AC⋅BD1=0
C.若AC=BD, 则点A, B, C₁, D₁, O共面
D.若AC=1, BD=2, 则四棱柱体积的最大值为2 23
三、填空题：本题共3 小题，每小题5分，共15分。
12.对于任意的正数m，n，不等式 3m+1n≥λ2m+n成立，则λ的最大值为 .
13. 已知抛物线 C₁:y²=2x,C₂:y²=4x的焦点分别为F₁, F₂,点P, Q分别在( C₁,C₂上,且线段PQ平行于x轴.若△F₂PQ是等腰三角形，则||PQ|= .
14. 已知函数 fx=sinπx2+acsπx在区间(0，4)有2 个零点和4 个极值点，则a的取值范围是 .
三校联考数学试卷 第2页(共4页)四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (13 分)
在 △ABC中, ∠A=π3,AB=3,AC-2,
(1)求点A到边 BC的距离:
(2) 设P为边 AB上一点, 当 PB'²+PC'取得最小值时，求 △PBC外接圆的面积.
16. (15分)
如图，三棱柱 ABC-A₁B₁C₁的所有棱长都为3，点. A₁在底面上的射影恰好是△ABC的中心.
(1) 证明: 四边形BCC₁B₁是正方形;
(2) 设 D, E分别为CC₁, BC的中点, 求二面角 A-A₁E-D的正弦值.
17. (15分)
某同学进行投篮训练，已知每次投篮的命中率均为0.5.
(1)若该同学共投篮4次，求在投中2次的条件下，第二次没有投中的概率；
(2) 设随机变量 服从二项分布B(n,p), 记 η=ξ-npnp1-p,则当n≥20时,可认为η服从标准正态分布 N(0，1).若保证投中的频率在区间[0.4，0.6)的概率不低于 90%，求该同学至少要投多少次.
附: 若η~N(0,1), 则P(η<1.28)=0.9, P(η<1.645)=0.95.
三校联考数学试卷 第3页(共4页)18. (17分)
已知椭圆 C:y2a2+x2b2=1ab>0)的离心率为 12,A为上顶点，B为左顶点，F为上焦点，且 BA⋅BF=5.
(1)求C的方程;
(2)设过点(3，2)的直线交C于M，N两点，过M且垂直于y轴的直线与直线 AN 交于点Q，证明：线段MQ的中点在定直线上.
19. (17分)
已知函数 fx=xlnx+ax+1的定义域为区间. D₁,值域为区间 D₂,若 D₂⊆D₁,则称f(x)是 D₁的缩域函数.
(1) 若f(x)是区间 1ee的缩域函数，求a的取值范围；
(2)设α, β为正数, 且( α<β,若f(x)是区间[a,β]的缩域函数, 证明:
(i)当 β<12时, f(x)在[α,β]单调递减;
1i2α+1β>3.