辽宁省协作校2024届高三下学期第一次模拟考试数学试题

这是一份辽宁省协作校2024届高三下学期第一次模拟考试数学试题，共7页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第Ⅰ卷的注释
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）(共8题；共40分)
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1. 已知集合 ， 且 ， 则集合B可以是( )
A . B . C . D .
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2. 已知 ， （i为虚数单位），则（ ）
A . ， B . ， C . ， D . ，
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3. 已知 ． 则“且”是“”的（ ）
A . 充分而不必要条件 B . 必要而不充分条件 C . 充分必要条件 D . 既不充分也不必要条件
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4. 已知双曲线的下焦点和上焦点分别为 ， 直线与C交于A ， B两点，若面积是面积的4倍，则（ ）
A . 3 B . C . D .
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5. 猜灯谜是中国元宵节特色活动之一．已知甲、乙、丙三人每人写一个灯谜，分别放入三个完全相同的小球，三人约定每人随机选一个球（不放回），猜出自己所选球内的灯谜者获胜．若他们每人必能猜对自己写的灯谜，并有的概率猜对其他人写的灯谜，则甲独自获胜的概率为（ ）
A . B . C . D .
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6. 若函数使得数列 ， 为递减数列，则称函数为“数列保减函数”，已知函数为“数列保减函数”，则a的取值范围（ ）
A . B . C . D .
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7. 若 ， 则（ ）
A . 或2 B . 或 C . 2 D .
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8. 已知函数 ， 若成立，则实数a的取值范围为（ ）
A . B . C . D .
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）(共4题；共20分)
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9. 下图是样本甲与样本乙的频率分布直方图，下列说法判断正确的是（ ）
A . 样本乙的极差一定大于样本甲的极差 B . 样本乙的众数一定大于样本甲的众数 C . 样本甲的方差一定大于样本乙的方差 D . 样本甲的中位数一定小于样本乙的中位数
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10. (2021高三上·永州月考) 已知函数 ，则 在区间 上为减函数的充分条件是（ ）
A . B . 的图象关于直线 对称 C . 是奇函数 D . 的图象关于点 对称
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11. 已知不相等的实数 ， 满足 ， 则下列四个数 ， ， ， 经过适当排序后（ ）
A . 可能是等差数列 B . 不可能是等差数列 C . 可能是等比数列 D . 不可能是等比数列
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12. 设直线系（其中0，m ， n均为参数， ， ），则下列命题中是真命题的是（ ）
A . 当 ， 时，存在一个圆与直线系M中所有直线都相切 B . 存在m ， n ， 使直线系M中所有直线恒过定点，且不过第三象限 C . 当时，坐标原点到直线系M中所有直线的距离最大值为1，最小值为 D . 当 ， 时，若存在一点 ， 使其到直线系M中所有直线的距离不小于1，则
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）(共4题；共20分)
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13. 抛物线上的一点到其准线的距离为．
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14. 已知函数在处有极值8，则等于．
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15. 杭州第19届亚运会是继1990年北京亚运会、2010年广州亚运会之后，中国第三次举办亚洲最高规格的国际综合性体育赛事．本届亚运会徽宝由上下两方玉玺组成（如图一），上方以杭州城市文化代表（钱塘潮和杭州奥体中心体育场）为主体元素（如图二），若将徽宝上方看成一个圆台与两个圆柱的组合体，其轴截面如图三所示，其中两个圆柱的底面直径均为10，高分别为2和6；圆台的上、下底面直径分别为8和10，高为2．则该组合体的体积为．
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16. 已知是空间单位向量， ， 若空间向量满足 ， ， 且对于任意 ， 都有（其中），则．
四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答需写出文字说明、证明过程或演算步骤）(共6题；共70分)
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17. 在中，内角所对的边分别为 ， 满足.
（1） 求证：；
（2） 若为锐角三角形，求的最大值．
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18. 已知为数列的前n项和，满足 ， 且成等比数列，当时， ．
（1） 求证：当时，成等差数列；
（2） 求的前n项和 ．
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19. 某教育教研机构为了研究学生理科思维和文科思维的差异情况，对某班级35名同学的数学成绩和语文成绩进行了统计并整理成如下2×2列联表(单位：人)：
附： ，
（1） 能否有95%的把握认为该班数学成绩与语文成绩有关？(计算结果精确到0.001)
（2） 从该班的学生中任选一人，A表示事件“选到的学生数学成绩良好”，B表示事件“选到的学生语文成绩良好”，与的比值是文、理科思维差异化的一项度量指标，记该指标为R ．
(i)证明：；
(ii)利用该表中数据，给出 ， 的估计值，并利用(i)的结果给出R的估计值．
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20. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面侧面 ， 为中点，是上点， ， ．
（1） 求证：平面平面；
（2） 若二面角的余弦值为 ， 求到平面的距离
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21. 已知圆和椭圆 ， 椭圆的四个顶点为 ， 如图．
（1） 圆与平行四边形内切，求的最小值；
（2） 已知椭圆的内接平行四边形的中心与椭圆的中心重合．当a ， b满足什么条件时，对上任意一点P ， 均存在以P为顶点与外切，与内接的平行四边形？并证明你的结论．
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22. 已知函数 ， （其中a ， b为实数，且）
（1） 当时，恒成立，求b；
（2） 当时，函数有两个不同的零点，求a的最大整数值．（参考数据：）
难度系数：0.59
第Ⅰ卷 客观题
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1 2 3 4 5 6 7 8
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）
9 10 11 12
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13 14 15 16
第Ⅱ卷 主观题
四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答需写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17 18 19 20 21 22

数学成绩良好
数学成绩不够良好
语文成绩良好
12
10
语文成绩不够良好
8
5
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828