2022年辽宁省大连市第二十四中学高三模拟考试（最后一模）数学试题答案

2022年大连市第二十四中学高考模拟考试数学科试卷

参考答案

一、选择题

二、选择题

三、填空题

四、解答题

17.解：（1）∵数列是等差数列，且，，

∴公差        …………1分

∴的通项公式为         …………3分

（2）选条件②.

∵，∴，∴          …………4分

∵数列是等比数列，且，∴公比，        …………5分

∴的通项公式为              …………7分

∴的通项公式为       …………8分

∴.            …………10分

选条件③.

∵，∴，∴ …………4分

∵数列是等比数列，且，∴公比，        …………5分

∴的通项公式为              …………7分

∴的通项公式为       …………8分

∴.            …………10分

（说明：如果选条件①，则第（2）小题得0分，因为此时数列不唯一）

18.解：（1）连结，则，

∵  ……2分

∴四边形的面积.……4分

（2）在∆中，，由正弦定理 

∴            …………6分

∵,∴

在∆中， ，由正弦定理 

∴           …………8分

∴  ……9分

∵，∴，         …………10分

∵

∴当，即时，的最大值为.          …………12分

（说明：在（1）（2）两小题中，最后结果没有单位，一共扣1分）

19.解：（1）存在的中点满足条件          …………1分

取线段的中点，连接、

∵且，且

∴且，∴四边形是平行四边形，∴         …………3分

∵平面，平面，         …………4分

∴平面                 …………5分

（2）由，

可得     …………6分

以为坐标原点，以、、的正方向为、、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.

由题可知，，，，

设平面的一个法向量为

，
则，可以取…………8分

设平面的一个法向量为

，

则，可以取     …………10分

设平面与平面夹角为

则，
∴平面与平面夹角的余弦值为.             …………12分

20.解：（1）∵，，  ∴，，     …………1分

∵左焦点到直线的距离      …………2分

∴，，     ∴椭圆的方程为         …………4分

设，，，

由可得，∴，      …………6分

∵四边形是平行四边形，

∴，，

即    …………7分

∵点在椭圆上，∴，整理得   …………8分

∴，

∴                     …………10分

∵点到直线的距离，    ∴.        …………12分

21.解：（1）估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值为：
      …………2分

（2）∵，

∴.      …………4分

（3）由题可知，          …………5分

遥控车移到第格有两种可能：

 ①遥控车先到第格，又掷出反面，其概率为；

 ②遥控车先到第格，又掷出正面，其概率为，

∴，          …………6分

∴时，，    又∵，

∴当时，数列首项为，公比为的等比数列，  …………8分

∴，
以上各式相加，得，
∴时，，                  …………10分

∴到达“胜利大本营”的概率，

∴设参与游戏一次的顾客获得优惠券金额为万元，则或0，

∴的期望，      …………11分

∴参与游戏一次的顾客获得优惠券金额的期望值为万元．      …………12分

22.解：（1）由题得，    …………1分

∴当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，，单调递增，    …………2分

又∵时，，时，，且   ………3分

∴的最小值为.           …………4分

（2）由题可得（），  

∴       …………5分

①当时，，函数在上单调递增，

又∵，∴函数有且仅有1个零点，  ∴符合题意       …………7分

②当时，令，，函数在上单调递增，

又∵时，，时，

∴存在唯一的实数，使得，即          …………8分

当时，，单调递减；时，，单调递增；

又∵时，，时，，且，      …………9分

∴当函数有且仅有1个零点时，          …………10分

∴符合题意              …………11分

综上可知，的取值范围是或.              …………12分