备战2025届新高考数学一轮总复习课时规范练70定点与定值问题（附解析人教A版）

这是一份备战2025届新高考数学一轮总复习课时规范练70定点与定值问题（附解析人教A版），共7页。试卷主要包含了已知椭圆E，已知双曲线C，已知抛物线C，求得HN的方程为y=,过点等内容，欢迎下载使用。
(1)求椭圆E的方程;
(2)证明:直线HN过定点.
2.(2024·河北邯郸模拟)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)过P1(2,0),P2(0,4),P3(-2,3),P4(2,3)四个点中的三个点.
(1)求双曲线C的方程;
(2)若直线l与双曲线C交于A,B两点,且P1A⊥P1B,求证:直线l经过一个不在双曲线C上的定点,并求出该定点的坐标.
3.(2024·安徽黄山模拟)已知抛物线C:y2=2px(p>0),F为焦点,若圆E:(x-1)2+y2=16与抛物线C交于A,B两点,且|AB|=4,
(1)求抛物线C的方程;
(2)若点P为圆E上任意一点,且过点P可以作抛物线C的两条切线PM,PN,切点分别为M,N.求证:|MF|·|NF|恒为定值.
4.(2024·广东梅州模拟)已知动圆M经过定点F1(-,0),且与圆F2:+y2=16内切.
(1)求动圆圆心M的轨迹C的方程;
(2)设轨迹C与x轴从左到右的交点为点A,B,点P为轨迹C上异于点A,B的动点,设PB交直线x=4于点T,连接AT交轨迹C于点Q.直线AP,AQ的斜率分别为kAP,kAQ.
①求证:kAP·kAQ为定值;
②证明直线PQ经过x轴上的定点,并求出该定点的坐标.
课时规范练70 定点与定值问题
1.(1)解 因为椭圆E经过A(-2,0),B(-1,)两点,则解得a2=4,b2=3,所以椭圆E的方程为=1.
(2)证明 因为A(-2,0),B(-1,),所以AB:y=(x+2),
①假设过点P(-2,1)的直线过原点,则y=-,代入=1,可得M(-),N(,-),当x=-时,代入AB的方程y=(x+2),可得y=(2-)=3-,即T(-,3-),由,得到H(-,-+6).求得HN的方程为y=(x+2),过点(-2,0).
②分析知过点P(-2,1)的直线斜率一定存在,设直线方程为kx-y+2k+1=0,设M(x1,y1),N(x2,y2).
联立消去y,整理得(4k2+3)x2+(16k2+8k)x+4(4k2+4k-2)=0,
Δ=(16k2+8k)2-16(4k2+3)(4k2+4k-2)=16(6-12k)>0,即k2),设A(xA,yA),B(xB,yB).
由解得
依题意,因为P1A⊥P1B,P1(2,0),所以|yA|=|n-2|,即=(n-2)2,所以-1=n2-4n+4,即3n2-16n+20=0,解得n=2(舍去)或n=,所以直线l的方程为x=,直线l过点(,0).
综上所述,直线l经过一个不在双曲线C上的定点,定点的坐标为(,0).
3.(1)解 由题意可知E(1,0),半径为r=4,
因为圆的圆心以及抛物线的焦点均在x轴上,故由对称性可知AB垂直x轴,设垂足为点D.
在直角三角形ADE中,|DE|==2.
因此|OD|=|OE|+|DE|=3,故A(3,2),将其代入抛物线方程中,得12=6p,即p=2,故抛物线方程为y2=4x.
(2)证明 令P(x0,y0),M(x1,y1),N(x2,y2),
设抛物线在点M处的切线方程为x-x1=m(y-y1),与y2=4x联立消去x,整理得y2-4my+4my1-4x1=0,①
由Δ=16m2-4(4my1-4x1)=0,得4my1-4x1=4m2,代入①,得y1=2m,故在点M处的切线方程为x-x1=(y-y1),即为y1y=2x+2x1.
同理,点N处的切线方程为y2y=2x+2x2,而两切线交于点P(x0,y0),所以有y0y1=2x0+2x1,y0y2=2x0+2x2,则直线MN的方程为2x-y0y+2x0=0.
由消去x,整理得y2-2y0y+4x0=0,所以y1+y2=2y0,y1y2=4x0.
于是|MF|·|NF|=(x1+1)(x2+1)=+1=-2×4x0]+1=
又点P(x0,y0)在圆E:(x-1)2+y2=16上,所以=16,即|MF|·|NF|=16.
4.(1)解 设动圆的半径为r,由题意得圆F2的圆心为F2(,0),半径R=4,所以|MF1|=r,|MF2|=R-r,则|MF1|+|MF2|=4>2=|F1F2|.所以动点M的轨迹C是以F1,F2为焦点,长轴长为4的椭圆.因此轨迹C的方程为+y2=1.
(2)证明 ①设P(x1,y1),Q(x2,y2),T(4,m).
由(1)知A(-2,0),B(2,0),如图所示.
则kAP=,kAQ=kAT=设直线BP的斜率是kBP,则kBP=,于是m=,所以kAP·kAQ=又=1,则(4-),因此kAP·kAQ==-,为定值.
②设直线PQ的方程为x=ty+n,P(x1,y1),Q(x2,y2).
由消去x,整理得(t2+4)y2+2tny+n2-4=0,Δ=4t2n2-4(t2+4)(n2-4)=16(t2-n2+4)>0,即t2-n2+4>0,所以
由①可知,kAP·kAQ=-,即=-,化简得=-,即n2+n-2=0,解得n=1或n=-2(舍去),
当n=1时符合题意,所以直线PQ的方程为x=ty+1,因此直线PQ经过定点(1,0).