备战2025届新高考数学一轮总复习课时规范练67直线与圆锥曲线的位置关系（附解析人教A版）

这是一份备战2025届新高考数学一轮总复习课时规范练67直线与圆锥曲线的位置关系（附解析人教A版），共9页。试卷主要包含了过抛物线C，已知椭圆E，已知椭圆C，已知抛物线C等内容，欢迎下载使用。
1.(2024·辽宁锦州模拟)已知直线l与抛物线C,则“l与C只有一个公共点”是“l与C相切”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.直线y=x+1与椭圆x2+=1的位置关系是( )
A.相离B.相切
C.相交D.无法确定
3.已知直线l交椭圆=1于A,B两点,且线段AB的中点为(-1,1),则直线l的斜率为( )
A.-2B.-C.2D.
4.(2024·辽宁朝阳模拟)过抛物线C:y2=2px的焦点F的直线与C交于A,B两点,过点B向抛物线C的准线作垂线,垂足为D(-1,-1),则|AB|=( )
A.B.C.18D.20
5.(2024·浙江强基联盟模拟)已知双曲线x2-=1,过点P(1,1)的直线l与该双曲线相交于A,B两点,若P是线段AB的中点,则直线l的方程为( )
A.2x-y-1=0B.2x+y-1=0
C.2x-y+1=0D.该直线不存在
6.(2023·全国乙,理11)设A,B为双曲线x2-=1上两点,下列四个点中,可以为线段AB中点的是( )
A.(1,1)B.(-1,2)
C.(1,3)D.(-1,-4)
7.(2024·贵州遵义模拟)已知抛物线x2=2y上两点A,B关于点M(2,t)对称,则直线AB的斜率为 .
8.已知椭圆E:+y2=1,直线l:y=k(x-1)与椭圆E交于不同的两点A,B,记C为椭圆的右顶点,当△ABC的面积为时,k的值为 .
9.(2024·河南许、平、汝高三联考)已知椭圆C:=1,左、右焦点分别为F1,F2,直线l与椭圆交于A,B两点,弦AB被点()平分.
(1)求直线l的方程;
(2)求△F1AB的面积.
10.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l:y=2x+a与抛物线C交于A,B两点.
(1)若a=-1,求△FAB的面积;
(2)若抛物线C上存在两个不同的点M,N关于直线l对称,求实数a的取值范围.
综合 提升练
11.(2024·江西南昌模拟)已知直线l1:y=2x+2过椭圆C:=1(a>b>0)的一个焦点,与C交于A,B两点,与l1平行的直线l2与C交于M,N两点,若AB的中点为P,MN的中点为Q,且PQ的斜率为-,则C的方程为( )
A.=1B.=1
C.=1D.=1
12.(多选题)(2022·新高考Ⅰ,11)已知O为坐标原点,点A(1,1)在抛物线C:x2=2py(p>0)上,过点B(0,-1)的直线交C于P,Q两点,则( )
A.C的准线为y=-1
B.直线AB与C相切
C.|OP|·|OQ|>|OA|2
D.|BP|·|BQ|>|BA|2
13.(2024·四川宜宾模拟)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为,过F2作渐近线的垂线交C于A,B两点,若|AB|=3,则△ABF1的周长为 .
14.已知椭圆C:=1(a>b>0)过点(1,),直线l:y=x+m与椭圆C交于A,B两点,且线段AB的中点为M,O为坐标原点,直线OM的斜率为-0.5.
(1)求椭圆C的标准方程.
(2)当m=1时,椭圆C上是否存在P,Q两点,使得P,Q关于直线l对称?若存在,求出P,Q的坐标;若不存在,请说明理由.
创新 应用练
15.(2024·四川遂宁、广安二诊)已知直线l:y=k(x+2)(k>0)与抛物线y2=4x交于点A,B,以线段AB为直径的圆经过定点D(2,0),则|AB|=( )
A.4B.6C.8D.10
课时规范练67 直线与圆锥曲线的位置关系
1.B 解析 “l与C相切”时,l与C只有一个公共点.当直线与抛物线的对称轴平行时,与抛物线只有一个公共点,但是此时l与C不相切.所以“l与C只有一个公共点”是“l与C相切”的必要不充分条件.
2.C 解析 联立消去y,整理得3x2+2x-1=0,则Δ=22+4×3=16>0,所以方程有两个不相等的实数根,所以直线与椭圆相交.
3.D 解析 设A(x1,y1),B(x2,y2),因为A,B都在椭圆上,所以两式相减,得()+()=0,得=-,又因为线段AB中点坐标为(-1,1),x1+x2=-1×2=-2,y1+y2=1×2=2,所以直线l的斜率是=-
4.B 解析 依题意抛物线的准线为x=-1,即-=-1,解得p=2,所以抛物线方程为y2=4x,则焦点为F(1,0).设A(x1,y1),B(x2,y2),则y2=-1,由(-1)2=4x2,得x2=所以B(,-1),所以直线AB的斜率是,所以直线AB的方程为y=(x-1).
由消去y,整理得4x2-17x+4=0,解得x1=4,x2=,
所以|AB|=x1+x2+p=4++2=
5.D 解析 设A(x1,y1),B(x2,y2),且x1≠x2,代入双曲线方程得
两式左、右两边分别相减得=0,即(x1+x2)(x1-x2)=若P是线段AB的中点,则x1+x2=2,y1+y2=2,所以=2,即直线AB的斜率为2,所以直线AB的方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.联立消去y,整理得2x2-4x+3=0,Δ=16-4×2×3=-80,解得t>2,符合题意.所以直线AB的斜率为2.
8.±1 解析 设点A(x1,y1),B(x2,y2),
联立消去y,整理得(1+4k2)x2-8k2x+4k2-4=0,
Δ=64k4-16(k2-1)(4k2+1)=16(3k2+1)>0,
可得x1+x2=,x1x2=
|AB|=|x1-x2|
=
=
=
设点C(2,0)到直线y=k(x-1)的距离为d,则d=,
S△ABC=|AB|×d=,即25k2(3k2+1)=4(1+4k2)2,化简得11k4-7k2-4=0,解得k2=1,即k=±1.
9.解 (1)因为弦AB被点()平分,
设A(x1,y1),B(x2,y2).
因为点()是弦AB的中点,所以x1+x2=2,y1+y2=
由两式左、右两边分别相减,得=0,即(x1+x2)(x1-x2)=-4(y1+y2)(y1-y2),
所以直线l的斜率k==-=-,故直线l的方程为x+2y-2=0.
(2)易知F1(-2,0).联立椭圆C与直线l的方程消去x,整理得2y2-2y-1=0,所以y1+y2=,y1y2=-,所以|AB|==5.
点F1(-2,0)到直线l的距离为d=所以△F1AB的面积是|AB|d==2
10.解 (1)抛物线C:y2=4x的焦点为F(1,0),当a=-1时,直线l:y=2x-1,联立可得x2-2x+=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2,x1x2=
|AB|=
点F到直线l的距离d=,
∴△FAB的面积S=|AB|·d=
(2)∵点M,N关于直线l对称,∴直线MN的斜率为-,∴可设直线MN的方程为y=-x+m,联立整理可得x2-(4m+16)x+4m2=0,由Δ=(4m+16)2-16m2>0,可得m>-2.
设M(x3,y3),N(x4,y4),则x3+x4=4m+16,y3+y4=-(x3+x4)+2m=-8,故MN的中点为(2m+8,-4).
∵点M,N关于直线l对称,∴MN的中点(2m+8,-4)在直线y=2x+a上,∴-4=2(2m+8)+a,得a=-4m-20.
∵m>-2,∴a2,y1y2=(x1x2)2=1,
又|OP|=,
|OQ|=,
∴|OP|·|OQ|==
=|k|>2=|OA|2,故C正确;
∵|BP|=|x1|,|BQ|=|x2|,
∴|BP|·|BQ|=(1+k2)|x1x2|=1+k2>5,而|BA|2=5,故D正确.
故选BCD.
13.18 解析 因为,所以,即,所以a2=3b2,c2=4b2.
则双曲线C:=1,F2(2b,0),渐近线方程为y=±x.
不妨设直线AB:y=-(x-2b),A(x1,y1),B(x2,y2),
联立方程消去y,整理得8x2-36bx+39b2=0,
则Δ=(36b)2-32×39b2=48b2>0,x1+x2=,x1x2=,可得|AB|=b=3,解得b=,可得a=3.
由双曲线的定义可得|AF1|-|AF2|=6,|BF1|-|BF2|=6,则(|AF1|+|BF1|)-(|AF2|+|BF2|)=(|AF1|+|BF1|)-|AB|=12,可得|AF1|+|BF1|=15,所以△ABF1的周长为|AF1|+|BF1|+|AB|=18.
14.解 (1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则M(),即kOM==-因为A,B在椭圆C上,所以=1,=1,两式相减得=0,又kAB==1,所以=0,即a2=2b2.又因为椭圆C过点(1,),所以=1,解得a2=4,b2=2.
所以椭圆C的标准方程为=1.
(2)不存在.理由如下,由题意可知,直线l的方程为y=x+1.
假设椭圆C上存在P,Q两点,使得P,Q关于直线l对称,设P(x3,y3),Q(x4,y4),PQ的中点为N(x0,y0),所以x3+x4=2x0,y3+y4=2y0.
因为P,Q关于直线l对称,所以kPQ=-1,且点N在直线l上,即y0=x0+1.又因为P,Q在椭圆C上,所以=1,=1,两式相减得=0,
所以,即x0=2y0.
联立解得即N(-2,-1).
又因为>1,即点N在椭圆C外,这与N是弦PQ的中点矛盾,所以椭圆C上不存在P,Q两点,使得P,Q关于直线l对称.
15.C 解析 记m=>0,则直线l的方程可表示为x=my-2,设点A(x1,y1),B(x2,y2),联立消去x,整理得y2-4my+8=0,Δ=16m2-32>0,可得m2>2.
则y1+y2=4m,y1y2=8.
=(x1-2,y1)=(my1-4,y1),=(x2-2,y2)=(my2-4,y2),
由已知可得DA⊥DB,则=(my1-4)(my2-4)+y1y2=(m2+1)y1y2-4m(y1+y2)+16=8(m2+1)-16m2+16=24-8m2=0,可得m2=3.所以|AB|==8.