2024年河南省驻马店市遂平县中考一模数学模拟试题（原卷版+解析版）

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数学（一）
注意：本试卷分试题卷和答题卡两部分，考试时间100分钟，满分120分．考生应首先阅读试题卷上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效，交卷时只交答题卡．
一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的．）
1. 下列各数中，最大的数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查有理数的大小比较，根据两个负数比较，绝对值大的反而小比较-1与-2，然后根据正数大于即可得出最大的数．熟练掌握有理数的大小比较方法是解题的关键．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，
∴最大的数是．
故选：C．
2. 备受瞩目的《齐歌龍咚锵——2024河南春晚》拉满了喜庆的新年气氛，让河南卫视再次出圈．截止到2月8日中午12点，全网热搜阅读量超120亿．数据120亿用科学记数法表示为（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法，解题关键是牢记科学记数法的定义，即将一个大于10的数用科学记数法进行表示，就是将它表示为的形式，其中，，n等于原数的整数位数减去1．
【详解】解：将亿用科学记数法表示为．
故选：B．
3. 如图所示是一个正方体切去一角之后的剩余部分，其俯视图是（ ）

A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查三视图的知识，解题的关键根据俯视图是从上面看到的图形判定则可，注意所有的看到的棱都应表现在视图中．
【详解】解：该几何体的俯视图如下图所示．

故选D．
4. 计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查同分母分式的减法运算，解题的关键是根据同分母分式的减法运算法则将原式化为，然后化为最简分式即可．
【详解】解：
．
．
故选：A．
5. 如图所示，已知线段，观察作图痕迹，所得结论不一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查作图—基本作图，由作图痕迹可知，PQ为线段AB的垂直平分线，即可得出答案．熟练掌握线段垂直平分线的性质以及作图方法是解题的关键．
【详解】解：由作图痕迹可知，为线段的垂直平分线，
∴，，，
故A，B，C选项一定成立，不符合题意，
由条件不能得出，
故D选项不一定成立，符合题意．
故选：D．
6. 如图1所示为“钓鱼神器”马扎，图2为抽象出的几何模型，若，，，则（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角的性质，根据平行线的性质得出，根据三角形的外角的性质可得，最后根据对顶角相等，即可求解．
【详解】∵，，
∴．
∵，
∴．
∴．
故选：B．
7. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可以为（ ）
A. 3B. C. 2D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．先把方程化为一般式，再根据一元二次方程根的判别式的意义得到，然后解不等式得到的范围，从而可对各选项进行判断．
【详解】关于x的一元二次方程整理为一般式为．
∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得．
∴m的值可以是2．
故选：C．
8. 有数字1，2，3的三张卡片，将这三张卡片任意摆成一个三位数，摆出的三位数能被4整除的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了列举法求概率，熟练掌握概率公式是解题的关键．根据题意列出所有可能，根据概率公式即可求解．
【详解】根据题意，画出如下所示的树状图．
摆出的三位数有6个，其中能被4整除的是132，312．
所以摆出的三位数能被4整除的概率为．
故选：C．
9. 一次函数的图像如图所示，则二次函数的图像大致是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查一次函数以及二次函数的图象综合判断，直接利用一次函数图像经过的象限得出、的符号，进而结合二次函数图像的性质得出答案．正确确定、的符号是解题关键．
【详解】解：∵一次函数的图像经过二、三、四象限，
∴，，
∴，
又∵当时，，
∴二次函数的图像开口方向向下，图像经过原点，对称轴在轴左侧．
故选：A．
10. 如图所示，已知矩形纸片，其中，，为其对角线，现将纸片进行如下操作：将如图1所示纸片对折，使与重合，折痕为，展开后如图2所示；在上取点P，将沿着对折，使得点B的对应点G落在对角线上，如图3所示．则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据折叠的性质得出，，，证明为等腰三角形，利用等腰三角形性质和角的等量代换推出为等腰三角形，得到，最后利用勾股定理求解，即可解题．
【详解】解：四边形为矩形，，，，
根据折叠性质得，，，．
为等腰三角形，．
，，
．
为等腰三角形，．
．
在中，．
故选：C．
【点睛】本题考查矩形的性质、折叠性质、等腰三角形、勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件得到，解不等式即可得到答案．
【详解】解：由题意可得，
解得．
故答案为：
12. 已知二元一次方程组，则的值为______．
【答案】3
【解析】
【分析】本题主要考查解二元一次方程组，将方程组中的两个方程相加，再除以3即可得到答案．
【详解】解：，
由，得．
故答案为：3．
13. 某银行需要招聘一名大堂经理，应聘者王琳三项指标得分如下表，若从左至右依次赋予2∶3∶5的权重，则她的最终成绩为______分．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查加权平均数，解题的关键是根据加权平均数的定义列式计算即可．
【详解】解：王琳的最终成绩为：（分），
故答案为：．
14. 如图所示，扇形的半径长为3，，再以点A为圆心，长为半径作弧，交弧于点C，则阴影部分的面积是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了求不规则图形面积，等边三角形的性质与判定，连接，先证明是等边三角形，得到，再求出，，，据此根据图形面积之间的关系求解即可．
【详解】解：连接，
在扇形中，，，以A为圆心，长为半径画弧，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，，．
∴，
∴，
故答案为：．
15. 在矩形中，，，点在边上，．若点是矩形边上一点，且是以为底边的等腰三角形，则的长是______．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，矩形的性质和勾股定理等知识，解题的关键是先利用等腰三角形的性质找到腰．分两种情况分析，分别在和上，根据等腰三角形的性质可得，然后根据矩形的性质和勾股定理即可解答．
【详解】解：如图所示，
分两种情况：①当点在边上
时，如图1所示，此时是等腰直角三角形，即，
底边；
②当点在边上时，
是以为腰的等腰三角形，
，，
在中，，
在中，
，
综上，的长为或．
故答案为：或．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16. （1）计算：；
（2）化简：．
【答案】（1）5（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了实数的运算，平方差公式以及单项式乘多项式等知识点，属于基础题．
（1）先计算负整数指数幂、二次根式以及去绝对值，然后计算加减法；
（2）利用平方差公式和单项式乘多项式的计算法则作答．
【详解】解：（1）原式
．
（2）原式
．
17. 年春节前夕，河南某地文旅部门出大招：个人可在朋友圈自己策划文案并配美图对本地景区进行宣传，凡是获奖者可获得景区免费年票．组织者随机抽取若干作品进行评估，分为优、良、中、差四个等级（优秀作品可获免费年票），并绘制了如图所示两幅不完整统计图．
（1）本次抽取的作品数量为______，______；
（2）请补全条形统计图；
（3）若本次活动共有名参与者，请估计参与者中能获得景区免费年票的人数．
【答案】（1）；
（2）作图见解析 （3）人
【解析】
【分析】本题考查条形统计图和扇形统计图的综合运用，
（1）根据“良”的人数和所占的百分比即可求出样本容量，用乘以“优”的人数所占的百分比即可求出的值；
（2）用总人数减去“优”、“良”、“差”的人数，求出“中”的人数，即可补全条形统计图；
（3）用乘以“优”所占的百分比即可得出答案；
读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
【小问1详解】
解：本次抽取的作品数量为：（个），
∴，
∴，
故答案为：；；
【小问2详解】
样本中为“中”的作品数为：（个），
补全条形统计图如下图所示．
【小问3详解】
（人），
答：参与者中能获得景区免费年票的人数约为人．
18. 如图所示，一次函数和反比例函数的图象交于点，与y轴交于点A．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）将直线向下平移使其经过原点，与的图象交于点C，连接，，求的面积．
【答案】（1）
（2）3
【解析】
【分析】本题考查一次函数和反比例函数的交点问题，掌握待定系数法求函数解析式，运用数形结合思想解题是关键．
（1）先求出点B的坐标，再用待定系数法求函数解析式；
（2）过点B作轴于E，交AC于点D，根据平移的性质求得平移后函数解析式，确定C点坐标，然后待定系数法求直线的解析式，从而利用三角形面积公式分析计算．
【小问1详解】
把代入，得，
解得．
∴．
把代入，得，
解得．
∴反比例函数的解析式为．
【小问2详解】
过点B作轴于E，交于点D，如图所示．
将直线向下平移使其经过原点，其函数解析式为．
联立解析式，得解得
∴C点坐标为．
设直线AC的函数解析式为．
将，代入，得解得
∴直线的函数解析式为．
在中，当时，．
∴D点的坐标为
∴．
∴．
∴的面积为3．
19. 电动切割机以其高效、准确和便捷的特点，成为现代工作中不可或缺的工具，图1是从电动切割机抽象出来的几何模型，为固定台，切割片与摆臂相切于点P，图2是切割机完成工作时候的模型图，此时切割片与相切．已知切割片的半径为，转轴长是，（此次切割片在工作时候的磨损忽略不计）．
（1）求图2中点B到的距离；
（2）求砂轮工作前后，圆心A运动轨迹长度．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】此题考查了切线的性质定理、解直角三角形、弧长公式等知识，证明四边形为矩形和求出是解题的关键．
（1）过点B作，，垂足分别为Q，C．由勾股定理得．证明四边形为矩形．即可得到．
（2）利用特殊角的三角函数值求出，进一步求出．利用弧长公式即可得到答案．
【小问1详解】
解：过点B作，，垂足分别为Q，C．
∴，．
∴由勾股定理得．
∵，
∴四边形为矩形．
∴．
∴点B到的距离为．
【小问2详解】
在中，，
∴
同理可得．
∴．
∴圆心A运动轨迹的长为．
20. 汝南著名传统土特产品“五香大头菜”、“鸡汁豆腐干”深受广大消费者喜爱．已知件大头菜和件豆腐干进货价为元，件大头菜和件豆腐干进货价为元．
（1）分别求出每件大头菜、豆腐干的进价；
（2）某特产店计划购进大头菜、豆腐干共件，且大头菜的数量不高于豆腐干数量的．若该特产店每件大头菜售价为元，每件豆腐干售价为元，怎样进货可使该特产店获得利润最大，最大利润为多少元？
【答案】（1）每件大头菜的进价为元，每件豆腐干的进价为元
（2）购进大头菜件，豆腐干件，可使该特产店获得利润最大，最大利润为元
【解析】
【分析】本题考查二元一次方程组，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，
（1）设每件大头菜的进价为元，每件豆腐干的进价为元，可得，解方程组可得答案；
（2）设购进大头菜件，则购进豆腐干件，由大头菜的数量不高于豆腐干数量的，可得，设该特产店获得利润为元，则，由一次函数性质可得答案；
解题的关键是读懂题意，列出方程组和函数关系式．
【小问1详解】
解：设每件大头菜的进价为元，每件豆腐干的进价为元，
根据题意，得：，
解得：，
∴每件大头菜的进价为元，每件豆腐干的进价为元；
【小问2详解】
设购进大头菜件，则购进豆腐干件．
根据题意，得：，
解得：，
设总利润为元，则：
．
∵，
∴随的增大而增大．
∴当时，取得最大值，最大值为：，
此时：（件），
∴购进大头菜件，豆腐干件，可使该特产店获得利润最大，最大利润为元．
21. 宝岩寺塔始建于北宋时期，已有近千年的历史，为仿木结构楼阁式七级砖塔，整体呈奶黄色，平面呈六角形，塔角雕饰龙首，塔身浮雕壁画，如今已经成为驻马店西平县的地标性建筑．某实践探究小组想测得宝岩寺塔的高度，数据勘测组通过勘测，得到了如下记录表：
【答案】高度约为
【解析】
【分析】本题考查解三角形的实际应用，设，可得，，列方程即可求解．
【详解】解：设．
在中，，
∴．
在中，，
∴．
∴，
解得．
答：宝严寺塔的高度约为．
22. 如图所示，某设计公司在半径为的圆形水池中心安装调试喷水器，设垂直于水平面的喷水管高出地面，在处喷出的水流呈抛物线状．喷头与水流最高点的连线与抛物线对称轴成的角，抛物线最高点与喷水头的落差为，水流的水平落点为．

（1）求抛物线的函数解析式；
（2）水流落点是否落在水池外？请说明理由；
（3）在水压不变的情况下，请问如何调整喷头位置可使水流恰好落在池内？
【答案】（1）
（2）水流落点落在水池外，理由见解析
（3）将喷头向下平移
【解析】
【分析】（1）依据题意，过点作，垂足为，由点坐标为，，从而求得点坐标为，再设抛物线的函数解析式为，即可得解；
（2）依据题意，由点为抛物线 的图像与轴的交点，可令时，即，从而根据求得进行判断即可得解；
（3）依据题意，设将喷头沿铅垂方向调整米，从而可得新的函数解析式为，再将坐标代入，得，进而得解．
【小问1详解】
解：如图，过点作，垂足，
由题知：，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
设抛物线的函数解析式为，
将点代入解析式，得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
【小问2详解】
水流落点落在水池外．
理由：∵点为抛物线的图像与轴的交点，
∴当时，得：，
解得：，（舍去），
∵，
∴水流落点落在水池外；
【小问3详解】
设将喷头沿铅垂方向调整米，根据题意，得：
新的函数解析式为，
将坐标代入解析式，得：
，
解得：，
答：将喷头向下平移可使水流恰好落在池内．
【点睛】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图像与轴的交点坐标的应用，由函数值求自变量的值的应用，二次函数的实际应用，等腰直角三角形的判定和性质等知识点，求出二次函数的解析式是解题的关键．
23. 【问题情境】在数学活动课上，奋飞组的同学在延时课上用两张矩形纸片进行探究活动．小组同学准备了两张矩形纸片和，其中，，将它们按如图1所示的方式放置，点E，G分别落在，边上时，点E，G恰好为边，的中点．然后将矩形纸片绕点B按顺时针方向旋转，旋转角为α，连接与．
【观察发现】
（1）如图2所示，当时，小组成员发现与存在的数量关系为______；位置关系为______；
【探索猜想】
（2）如图3所示，当时，（1）中发现结论是否仍然成立？请说明理由；
【拓展延伸】
（3）在矩形的旋转过程中，连接，，得为定值，请直接写出此定值．
【答案】（1）；；（2）成立，理由见解析；（3）的定值为125
【解析】
【分析】（1）延长交于点H，证明，即可得，再根据相似的性质得到，通过等量转换，证明，即可解答．
（2）证明，得出，，设与交于点P，与交于点O，由“8”字模型得，即可解答．
（3）连接，，由（2）得，根据勾股定理得出，即可解答．
【详解】解：（1）如图1所示，延长交于点H．
∵点E，G恰好为边的中点，
∴，，
∵四边形和是矩形，，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
由“8”字模型得，
∴．
故答案为：；．
（2）当时，（1）中发现的结论仍然成立．
理由：如图2所示，
∵四边形和是矩形，
∴，
∴，
即，
∵，，
∴，
∴，，
设与交于点P，与交于点O，由“8”字模型得，
∴；
∴当时，AE与CG的数量关系是；位置关系是．
（3）的定值为125．
连接，，由（2）得，
∴、、、均为直角三角形，
根据勾股定理得：，，
，，
∴，
∵，
，
∴．
【点睛】本题考查了矩形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，三角形内角和定理的应用，作出正确的辅助线是解题的关键．
应聘者
信息处理
人际沟通
理解判断
王琳
实践探究活动记录表
活动内容：宝岩寺塔的高度 活动日期：2024年3月12日
成员 组长：×× 组员：××××××××××××
工具：测角仪，皮尺等
测量示意图
说明：塔高无法直接测量，数据勘测组在A，B两处通过测角仪可测得，的度数，以及使用皮尺测得AB的长度．
测量数据
角的度数
边的长度
米
计算数据
求塔高（）．
（结果精确到．参考数据：，，，）
特殊说明
（点A，B，C，D在同一平面内，且点A，B，C在同一水平线上）