2023-2024学年江苏省常州市新北区桥北中学八年级（上）月考数学试卷（10月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省常州市新北区桥北中学八年级（上）月考数学试卷（10月份）（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.《国语⋅楚语》记载：“夫美也者，上下、内外、大小、远近皆无害焉，故曰美.”这一记载充分表明传统美的本质特征在于对称和谐.下列四个图案中，是轴对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2.下列说法中，错误的是( )
A. 全等三角形对应角相等B. 全等三角形对应边相等
C. 全等三角形的面积相等D. 面积相等的两个三角形一定全等
3.到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的( )
A. 三条中线的交点B. 三条高的交点
C. 三条边的垂直平分线的交点D. 三条角平分线的交点
4.如图，已知∠ABC=∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是( )
A. ∠A=∠D
B. AB=DC
C. ∠ACB=∠DBC
D. AC=BD
5.如图，DE是△ABC的边AC边的垂直平分线，AB=5cm，BC=4cm，那么△BEC的周长为( )
A. 5cm
B. 4cm
C. 9cm
D. 8cm
6.如图，工人师傅做了一个长方形窗框ABCD，E，F，G，H分别是四条边上的中点，为了稳固，需要在窗框上钉一根木条，这根木条不应钉在( )
A. G，H两点处
B. A，C两点处
C. E，G两点处
D. B，F两点处
7.如图，△ABC中，BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，DE/​/BC，AB=6，AC=8，则△ADE周长为( )
A. 12
B. 14
C. 16
D. 18
8.如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB=135°；②BF=BA；③PH=PD；④连接CP，CP平分∠ACB，其中正确的是
( )
A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ①②③④
二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。
9.如图，镜子中号码的实际号码是______．
10.一个三角形的三边为2、5、x，另一个三角形的三边为y、2、6，若这两个三角形全等，则x+y=_________．
11.如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠3= ______．
12.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2cm，CD⊥AB，在AC上取一点E，使EC=BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F，若EF=5cm，则AE=______cm．
13.用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明∠A′O′B′=∠AOB的依据是______(填SSS，SAS，AAS，ASA中的一种)．
14.如图，在△ABC中，∠C=90°，AP是角平分线，若CP=3，则点P到AB的距离为______．
15.如图，在一个池塘旁有一条笔直小路(B,C为小路端点)和一棵小树(A为小树位置)，测得的相关数据为：∠ABC=60°，∠ACB=60°，BC=58米，则AC=______米．
16.如图，△ABC中，AB=AC，∠A=50°，分别以A，C为圆心，以大于12AC为半径作弧，两弧分别交于点M，N，直线MN交AB于点P，则∠BCP的度数等于______．
17.已知等腰三角形两边的长为a，b，且满足|a−4|+(b−9)2=0，则这个等腰三角形的腰长为______．
18.如图，在△ABC中，AB=BC=4，∠ACB=60°，BD是∠ABC的平分线，若M、N分别是BD和BC上的动点，当CM+MN取最小值时，BN的值是______．
三、解答题：本题共7小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
如图，在正方形网格图中有一个△ABC．
(1)画出△ABC关于直线MN的对称图形△DEF(不写画法)；
(2)若网格上的每个小正方形的边长为1，求△ABC的面积；
(3)在直线MN上找一点P，使得△PAB的周长最小，并标出点P．
20.(本小题8分)
如图，已知AB=CD，∠ABC=∠DCB，求证：∠DBC=∠ACB．
21.(本小题8分)
已知：如图，BC/​/EF，BC=EF，AF=DC.求证：△ABC≌△DEF．
22.(本小题8分)
已知：如图，在△ABC和△ADE中，AB=AD，∠B=∠D，BC=DE.求证：∠1=∠2．
23.(本小题10分)
如图，△ABC中，∠ABC=30°，∠ACB=50°，DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，E、G分别为垂足．
(1)∠BAC的度数为______，∠DAF的度数为______；
(2)若△DAF的周长为20，求BC的长．
24.(本小题10分)
如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD=CD、BE=CF，
(1)求证：AD平分∠BAC；
(2)已知AC=20，BE=4，求AB的长．
25.(本小题12分)
已知，在△ABC中，AB=AC，D，A，E三点都在直线m上，∠BDA=∠AEC=∠BAC．
(1)如图①，若AB⊥AC，则BD与AE的数量关系为______，BD，CE与DE的数量关系为______．
(2)如图②，当AB不垂直于AC时，(1)中的结论是否成立？请说明理由．
(3)如图③，若只保持∠BDA=∠AEC，BD=EF=7cm，DE=10cm，点A在线段DE上以2cm/s的速度由点D向点E运动，同时，点C在线段EF上以x cm/s的速度由点E向点F运动，它们运动的时间为t(s).是否存在x，使得△ABD与△EAC全等？若存在，求出相应的t与x的值；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A，C，D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
B选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：B．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.【答案】D
【解析】解：A、全等三角形对应角相等，说法正确；
B、全等三角形对应边相等，说法正确；
C、全等三角形的面积相等，说法正确；
D、面积相等的两个三角形一定全等，说法错误，例如一边长为6，这边上的高为3和一边长为3，这边上的高为6的两个三角形，面积相等，却不全等；
故选：D．
根据全等三角形的性质：全等三角形对应边、对应角相等，能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形，进行分析即可．
此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等三角形的性质．
3.【答案】D
【解析】解：
∵角的平分线上的点到角的两边的距离相等，
∴到三角形的三边的距离相等的点是三条角平分线的交点．
故选：D．
因为角的平分线上的点到角的两边的距离相等，所以到三角形的三边的距离相等的点是三条角平分线的交点．
该题考查的是角平分线的性质，因为角的平分线上的点到角的两边的距离相等，所以到三角形的三边的距离相等的点是三条角平分线的交点，易错选项为C．
4.【答案】D
【解析】解：A、添加∠A=∠D可利用AAS判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；
B、添加AB=DC可利用SAS定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；
C、添加∠ACB=∠DBC可利用ASA定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；
D、添加AC=BD不能判定△ABC≌△DCB，故此选项符合题意．
故选：D．
根据题目所给条件∠ABC=∠DCB，再加上公共边BC=BC，然后再结合判定定理分别进行分析即可．
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
5.【答案】C
【解析】解：∵DE是△ABC的边AC边的垂直平分线，
∴AE=CE．
∴△BEC的周长=BC+BE+CE=BC+AB=9(cm)．
故选：C．
根据线段垂直平分线的性质，得AE=CE，进一步求得△BEC的周长．
此题考查了线段垂直平分线的性质．结合图形，进行线段的等量代换是正确解答本题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：工人师傅做了一个长方形窗框ABCD，工人师傅为了使它稳固，需要在窗框上钉一根木条，这根木条不应钉在E、G两点之间(没有构成三角形)，这种做法根据的是三角形的稳定性．
故选：C．
用木条固定长方形窗框，即是组成三角形，故可用三角形的稳定性解释．
本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．
7.【答案】B
【解析】解：∵BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，
∴∠ABF=∠FBC，∠ACF=∠FCB，
∵DE/​/BC，
∴∠BFD=∠FBC，∠CFE=∠FCB，
∴∠ABF=∠BFD，∠ACF=∠CFE，
∴BD=FD，CE=FE，
∵AB=6，AC=8，
∴△ADE的周长为：AD+DE+AE=AD+FD+FE+AE=AD+BD+CE+AE=AB+AC=6+8=14．
故选：B．
由BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，过点F作DE/​/BC，易得△BFD与△CFE是等腰三角形，即可得△ADE的周长等于AB+AC，又由AB=6，AC=8，即可求得答案．
本题考查三角形的内角和定理，等腰三角形的性质和判定，平行线的性质及角平分线的定义，整体思想的利用和有效的进行线段的等量代换是正确解答本题的关键．
8.【答案】D
【解析】【分析】
根据三角形内角和定理以及角平分线定义判断①；根据全等三角形的判定和性质判断②③；根据角平分线的判定与性质判断④．
【解答】
解：如图，连接CP，在△ABC中，
∵∠ACB=90°，
∴∠BAC+∠ABC=90°，
又∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC，
∴∠BAD+∠ABE=12(∠BAC+∠ABC)=45°，
∴∠APB=135°，故①正确；
∴∠BPD=45°，
又∵PF⊥AD，
∴∠FPB=90°+45°=135°，
∴∠APB=∠FPB，
∵在△ABP和△FBP中，
∠ABP=∠FBPBP=BP∠APB=∠FPB,
∴△ABP≌△FBP(ASA)，
∴∠BAP=∠BFP，BA=BF，PA=PF，
∴BF=BA，故②正确；
而∠PAH=∠BAP=∠BFP，
在△APH和△FPD中，
∠APH=∠FPDPA=PF∠PAH=∠BFP,
∴△APH≌△FPD(ASA)，
∴PH=PD，故③正确；
∵△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，
∴点P到AB、AC的距离相等，点P到AB、BC的距离相等，
∴点P到BC、AC的距离相等，
∴点P在∠ACB的平分线上，
∴CP平分∠ACB，故④正确．
故选：D．
9.【答案】3265
【解析】【分析】
本题考查了图形的对称变换，学生在解题时可以再借用镜子看一下即可，也可以在卷子的反面看．注意镜面反射与特点与实际问题的结合．根据镜面的对称性即可得到答案．
【解答】
解：根据镜面对称的性质，在镜子中的真实数字应该是：3265．
故答案为3265．
10.【答案】11
【解析】解：∵这两个三角形全等，两个三角形中都有2，
∴长度为2的是对应边，x应是另一个三角形中的边6.同理可得y=5，
∴x+y=11．
故填11．
根据已知条件分清对应边，结合全的三角形的性质可得出答案．
本题考查了全等三角形的性质及对应边的找法；根据两个三角形中都有2找对对应边是解决本题的关键．
11.【答案】90°
【解析】解：如图，
∵在△ABC和△DBE中
∴△ABC≌△DBE(SAS)，
∴∠3=∠ACB，
∵∠ACB+∠1=90°，
∴∠1+∠3=90°，
故答案为：90°．
首先利用SAS定理判定△ABC≌△DBE，根据全等三角形的性质可得∠3=∠ACB，再由∠ACB+∠1=90°，可得∠1+∠3=90°．
此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等三角形的判定，以及全等三角形对应角相等．
12.【答案】3
【解析】解：∵∠ACB=90°，
∴∠ECF+∠BCD=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠BCD+∠B=90°，
∴∠ECF=∠B(等角的余角相等)，
在△FCE和△ABC中，∠ECF=∠BEC=BC∠ACB=∠FEC=90°，
∴△ABC≌△FEC(ASA)，
∴AC=EF，
∵AE=AC−CE，BC=2cm，EF=5cm，
∴AE=5−2=3cm．
故答案为：3．
根据直角三角形的两锐角互余的性质求出∠ECF=∠B，然后利用“角边角”证明△ABC和△FCE全等，根据全等三角形对应边相等可得AC=EF，再根据AE=AC−CE，代入数据计算即可得解．
本题考查了全等三角形的判定与性质，根据直角三角形的性质证明得到∠ECF=∠B是解题的关键．
13.【答案】SSS
【解析】解：用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明∠A′O′B′=∠AOB的依据是SSS，
故答案为：SSS．
利用全等三角形的判定方法判断即可．
此题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键．
14.【答案】3
【解析】解：如图，过点P作PD⊥AB于点D，
∵AP是∠CAD的角平分线，AC⊥CP，PD⊥AD，
∴PD=CP=3，
即点P到AB的距离为3，
故答案为：3．
过点P作PD⊥AB于点D，根据角平分线的性质即可得出结果．
本题考查了角平分线的性质，熟记角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．
15.【答案】58
【解析】解：∵∠ABC=60°，∠ACB=60°，
∴∠BAC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵BC=58米，
∴AC=58米．
故答案为：58．
根据等边三角形的判定与性质即可求解．
考查了等边三角形的判定与性质，关键是得到△ABC是等边三角形．
16.【答案】15°
【解析】解：由作图知，MN垂直平分AC，
∴AP=CP，
∴∠A=∠ACP=50°，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB=12×(180°−50°)=65°，
∴∠BCP=∠ACB−∠ACP=15°，
故答案为：15°．
根据线段垂直平分线的性质得到AP=CP，根据等腰三角形的性质得到∠A=∠ACP=50°，∠B=∠ACB=12×(180°−50°)=65°，于是得到结论．
本题考查了作图−基本作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
17.【答案】9
【解析】解：∵|a−4|+(b−9)2=0．
∴a−4=0，b−9=0，
解得a=4，b=9，
①4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、9，
∵4+4=8<9，
∴不能组成三角形，
②4是底边时，三角形的三边分别为4、9、9，
能组成三角形，所以腰长为9，
故答案为：9．
首先依据非负数的性质求得a，b的值，然后得到三角形的三边长，接下来，利用三角形的三边关系进行验证，最后求得三角形的周长即可．
本题主要考查的是非负数的性质、等腰三角形的定义，三角形的三边关系，利用三角形的三边关系进行验证是解题的关键．
18.【答案】2
【解析】解：∵AB=BC=4，∠ACB=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴BD是AC的垂直平分线，
∴A、C两点关于BD对称．
作AN⊥BC于N，交BD于M，连接CM，此时CM+MN=AM+MN=AN，最小，
∴BN=12BC=12×4=2．
故答案为：2．
首先证明△ABC是等边三角形，由BD是∠ABC的平分线，得出BD是AC的垂直平分线，作AN⊥BC于N，交BD于M，连接CM，此时CM+MN=AN最小，根据等腰三角形三线合一的性质得出BN=12BC=12×4=2．
本题考查了轴对称−最短路线问题，等边三角形的判定与性质，根据条件得出A、C两点关于BD对称，进而根据垂线段最短确定M、N两点的位置是解题的关键．
19.【答案】解：(1)如图，△DEF即为所求；
；
(2)△ABC的面积=3×5−12×1×4−12×1×3−12×2×5=15−2−1.5−5=6.5．
(3)如图，点P即为所求．
【解析】(1)先找出点A、点B、点C关于直线MN的对称点，再依次连接对称点即可．
(2)先求出△ABC所在的长方形的面积，再求出长方形里其他三个直角三角形的面积，用长方形的面积减去三个直角三角形的面积即可．
(3)先找出点A关于直线MN的对称点D，连接BD与直线MN相交于点P，即PA+PB+AB的最小值就是BD+AB的长度．
本题考查了作图—轴对称变化、轴对称—最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解决本题的关键．
20.【答案】证明：在△ABC和△DCB中，
AB=CD∠ABC=∠DCBBC=CB，
∴△ABC≌△DCB(SAS)，
∴∠DBC=∠ACB．
【解析】由“SAS”可证△ABC≌△DCB，可得∠DBC=∠ACB．
本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定是本题的关键．
21.【答案】证明：∵BC/​/EF，
∴∠ACB=∠EFD，
∵AF=DC，
∴AC=DF，
在△ABC和△DEF中，
AC=DF∠ACB=∠EFDBC=EF，
∴△ABC≌△DEF(SAS)．
【解析】根据平行线的性质得出∠ACB=∠EFD，利用SAS证明△ABC≌△DEF即可．
此题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．
22.【答案】证明：在△ADE和△ABC中，
AB=AD∠B=∠DBC=DE，
∴△ADE≌△ABC(SAS)，
∴∠DAE=∠BAC，
∴∠DAE−∠DAC=∠BAC−∠DAC，
即∠1=∠2．
【解析】根据SAS证明△ADE≌△ABC，由全等三角形的性质可得出结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质，证明△ADE≌△ABC是解题的关键．
23.【答案】100° 20°
【解析】解：(1)∠BAC=180°−∠ABC−∠ACB=180°−30°−50°=100°，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴DA=DB，
∴∠DAB=∠ABC=30°，
∵FG是AC的垂直平分线，
∴FA=FC，
∴∠FAC=∠ACB=50°，
∴∠DAF=∠BAC−(∠DAB+∠FAC)=20°；
故答案为：100°，20°；
(2)∵△DAF的周长为20，
∴AD+DF+FA=20，
∴BC=BD+DF+FC=AD+DF+FC=20．
(1)根据三角形内角和定理求出∠BAC，根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB，FA=FC，得到∠DAB=∠ABC=30°，∠FAC=∠ACB=50°，结合图形计算，得到答案；
(2)根据三角形的周长公式计算即可．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
24.【答案】(1)证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠E=∠DFC=90°，
∴在Rt△BED和Rt△CFD中，
BD=CDBE=CF，
∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL)，
∴DE=DF，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD平分∠BAC；
(2)解：∵Rt△BED≌Rt△CFD，
∴AE=AF，CF=BE=4，
∵AC=20，
∴AE=AF=20−4=16，
∴AB=AE−BE=16−4=12．
【解析】(1)求出∠E=∠DFC=90°，根据全等三角形的判定定理得出Rt△BED≌Rt△CFD，推出DE=DF，根据角平分线性质得出即可；
(2)根据全等三角形的性质得出AE=AF，BE=CF，即可求出答案．
本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应边相等，对应角相等．
25.【答案】BD=AE BD+CE=DE
【解析】解：(1)∵∠BDA=∠AEC=∠BAC，∠BAD+∠CAE+∠BAC=∠BAD+∠ABD+∠BDA=180°，
∴∠BAD+∠CAE=∠BAD+∠ABD，
∴∠CAE=∠ABD，
∵∠BDA=∠AEC，AB=CA，
∴△ABD≌△CAE(AAS)，
∴BD=AE，AD=CE，
∵AE+AD=DE，
∴BD+CE=DE，
故答案为：BD=AE，BD+CE=DE；
(2)成立，BD+CE=DE，理由如下：
同(1)得：△ABD≌△CAE(AAS)，
∴BD=AE，CE=AD，
∵AE+AD=DE，
∴BD+CE=DE；
(3)存在，理由如下：
当△DAB≌△ECA时，AD=CE，BD=AE=7cm，
∵AD+AE=DE=10cm，
∴CE=AD=DE−AE=3cm，
∴t=AD2=32，
∴x=3÷32=2；
当△DAB≌△EAC时，
∴AD=AE=12DE=5cm，DB=EC=7cm，
∴t=AD2=52，x=7÷52=145，
综上所述，存在x，使得△ABD与△EAC全等，t=32，x=2或t=52，x=145．
(1)由平角的定义和三角形内角和定理得∠CAE=∠ABD，再由AAS证明△ABD≌△CAE，得BD=AE，CE=AD，即可解决问题；
(2)同(1)得△ABD≌△CAE(AAS)，得BD=AE，CE=AD，即可得出结论；
(3)分△DAB≌△ECA或△DAB≌△EAC两种情形，分别根据全等三角形的性质求出t的值，即可解决问题．
本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、平角的定义以及分类讨论等知识，本题综合性强，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．