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备战2024年高考数学二轮复习专题01解析几何中的轨迹方程问题(原卷版+解析)
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这是一份备战2024年高考数学二轮复习专题01解析几何中的轨迹方程问题(原卷版+解析)，共49页。试卷主要包含了直接法，相关点法，定义法，消参法与交轨法等内容，欢迎下载使用。
常见考点
考点一 直接法
典例1．已知点，，动点满足直线与的斜率之积为，记的轨迹为曲线.
(1)求的方程；
(2)若直线：和曲线相交于，两点，求.
变式1-1．在直角坐标系中，已知动点与平面上两定点，连线的斜率的积为定值，设点的轨迹为．
(1)求出曲线的方程；
(2)设直线与交于，两点，若，求的值．
变式1-2．若点到直线的距离比它到点的距离大3．
(1)求点M的轨迹方程；
(2)过点N的直线与点M的轨迹曲线交于A，B两点，过点N的直线与点M的轨迹曲线交于C，D两点，若，求的值．
变式1-3．在平面直角坐标系中，动点到点的距离和它到直线的距离之比为.动点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程，并说明曲线是什么图形；
(2)已知曲线与轴的交点分别为，点是曲线上异于的一点，直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值.
考点二 相关点法
典例2．已知圆与直线相切．
(1)求圆O的标准方程；
(2)若线段AB的端点A在圆O上运动，端点B的坐标是，求线段AB的中点M的轨迹方程．
变式2-1．已知圆M经过原点和点，且它的圆心M在直线上.
(1)求圆M的方程；
(2)若点D为圆M上的动点，定点，求线段CD的中点P的轨迹方程.
变式2-2．已知抛物线 的焦点为. 点满足.当点在抛物线上运动时，求动点的轨迹方程.
变式2-3．已知圆与直线相切，点A为圆上一动点，轴于点，且动点满足，设动点的轨迹为曲线，求动点的轨迹曲线的方程.
考点三 定义法
典例3．设圆的圆心为﹐直线l过点且与x轴不重合，直线l交圆于A，B两点.过作的平行线交于点P.
(1)求点P的轨迹方程；
(2)设点P的轨迹为曲线E，直线l交E于M，N两点，C在线段上运动，原点O关于C的对称点为Q，求四边形面积的取值范围；
变式3-1．已知在平面直角坐标系中，圆A：的圆心为A，过点B(，0)任作直线l交圆A于点C、D，过点B作与AD平行的直线交AC于点E.
(1)求动点E的轨迹方程；
(2)设动点E的轨迹与y轴正半轴交于点P，过点P且斜率为k1，k2的两直线交动点E的轨迹于M、N两点(异于点P)，若，证明：直线MN过定点.
变式3-2．已知为圆上一动点，点，线段的垂直平分线交线段于点.
(1)求点的轨迹方程；
(2)设点的轨迹为曲线，过点作曲线的两条互相垂直的弦，两条弦的中点分別为，，过点作直线的垂线，垂足为点，是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.
变式3-3．在平面直角坐标系中，动圆与圆内切，与圆外切.
(1)求动圆圆心的轨迹方程；
(2)若直线与轨迹交于，两点，直线交轨迹于另一个点，连接交轴于点，试探究；是否存在，使得的面积等于？若存在，求出全部的值；若不存在，请说明理由.
考点四 消参法与交轨法
典例4．如图所示，过双曲线C：的左焦点F作直线l与双曲线交于P、Q，以OP、OQ为邻边作平行四边形OPMQ，求点M的轨迹方程.
变式4-1．已知椭圆，点A，B分别是它的左、右顶点，一条垂直于x轴的动直线l与椭圆相交于P，Q两点，当直线l与椭圆相切于点A或点B时，看作P，Q两点重合于点A或点B，求直线与直线的交点M的轨迹方程．
变式4-2．已知抛物线的顶点为原点，其焦点到直线的距离为．
(1)求抛物线的方程；
(2)设点，为直线上一动点，过点作抛物线的两条切线，，其中，为切点，求直线的方程，并证明直线过定点；
(3)过（2）中的点的直线交抛物线于，两点，过点，分别作抛物线的切线，，求，交点满足的轨迹方程．
变式4-3．已知A（ -3，0），B（3，0），四边形AMBN的对角线交于点D（1，0），kMA与kMB的等比中项为 ，直线AM，NB相交于点P.
(1)求点M的轨迹C的方程；
(2)若点N也在C上，点P是否在定直线上?如果是，求出该直线，如果不是，请说明理由.
巩固练习
练习一 直接法
1．在平面直角坐标系xOy中，A(2，0)，B(－2，0)．
(1)若|PA|＝|PB|，求点P的轨迹方程；
(2)若2|PA|＝|PB|，且对于任意的点P，Q，均有＝λ，记点Q的轨迹方程为C，若C与x轴有一个交点为A，求λ的值．
2．已知动点P到点（0，1）的距离与到直线y＝2的距离的比值为，动点P的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)直线y＝kx+1与曲线C交于A，B两点，点M（0，2），证明：直线MA，MB的斜率之和为0．
3．已知点A，B的坐标分别为，，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是，求点M的轨迹方程．
4．设动点M到定点的距离与它到直线的距离之比为，求点M的轨迹方程．
练习二 相关点法
5．已知圆C经过点A（3，1）、B（－1，3），且它的圆心在直线上.
(1)求圆C的标准方程；
(2)若点D为圆C上任意一点，且点E（3，0），求线段ED中点M的轨迹方程.
6．已知的斜边为，且.求：
(1)直角顶点的轨迹方程；
(2)直角边的中点的轨迹方程.
7．在圆x2＋y2＝4上任取一点P，设点P在x轴上的正投影为点D.当点P在圆上运动时，动点M满足，动点M形成的轨迹为曲线C.求曲线C的方程．
8．圆O：x2+y2＝9上的动点P在x轴、y轴上的射影分别是P1，P2，点M满足．
（1）求点M的轨迹C的方程；
（2）点A（0，1），B（0，﹣3），过点B的直线与轨迹C交于点S，N，且直线AS、AN的斜率kAS，kAN存在，求证：kAS•kAN为常数．
练习三 定义法
9．在平面直角坐标系中，点是圆：上的动点，定点，线段的垂直平分线交于，记点的轨迹为.
（Ⅰ）求轨迹的方程；
（Ⅱ）若动直线：与轨迹交于不同的两点、，点在轨迹上，且四边形为平行四边形.证明：四边形的面积为定值.
10．已知圆A：（x+1）2+y2＝16，圆C过点B（1，0）且与圆A相切，设圆心C的轨迹为曲线E．
（Ⅰ）求曲线E的方程；
（Ⅱ）过点B作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与E交于M，N两点，直线l2与圆A交于P，Q两点，求的取值范围．
11．设圆的圆心为A，直线l过点B（1，0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E．证明为定值，并写出点的轨迹方程．
12．在直角坐标系中，动圆与圆：外切，且圆与直线相切，记动圆圆心的轨迹为曲线.求曲线的轨迹方程.
练习四 消参法与交轨法
13．设椭圆方程为，过点的直线l交椭圆于点A，B，O是坐标原点，点P满足，点N的坐标为，当l绕点M旋转时，求：
（1）动点P的轨迹方程；
（2）的最小值与最大值.
14．已知椭圆C：＝1(a>b>0)经过点(，1)，且离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设M，N是椭圆上的点，直线OM与ON(O为坐标原点)的斜率之积为.若动点P满足，求点P的轨迹方程.
15．已知抛物线：，过点的动直线与抛物线交于不同的两点、，分别以、为切点作抛物线的切线、，直线、交于点.
(1)求动点的轨迹方程；
(2)求面积的最小值，并求出此时直线的方程.
16．设M是椭圆C：上的一点，P、Q、T分别为M关于y轴、原点、x轴的对称点，N为椭圆C上异于M的另一点，且MN⊥MQ，QN与PT的交点为E，当M沿椭圆C运动时，求动点E的轨迹方程.
第五篇 解析几何
专题01 解析几何中的轨迹方程问题
常见考点
考点一 直接法
典例1．已知点，，动点满足直线与的斜率之积为，记的轨迹为曲线.
(1)求的方程；
(2)若直线：和曲线相交于，两点，求.
【答案】(1)（）
(2)
【解析】
【分析】
（1）设，用坐标表示，的斜率，由已知可得曲线方程，注意斜率有意义；
（2）直线方程与曲线方程联立，消元后应用韦达定理，由弦长公式计算弦长．
(1)
设，则，的斜率分别为，，
由已知得，化简得（），即曲线的方程为（）；
(2)
联立消去整理得，设，，
则，，
.
变式1-1．在直角坐标系中，已知动点与平面上两定点，连线的斜率的积为定值，设点的轨迹为．
(1)求出曲线的方程；
(2)设直线与交于，两点，若，求的值．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据条件列出方程化简即可求解；
（2）联立方程组可得根与系数的关系，再由，利用向量求解即可.
(1)
设P点坐标为，
∵定点，直线PM与直线PN的斜率之积为，
∴，
∴曲线C的方程.
(2)
设，其坐标满足
消去y并整理得，
，
故
因为, 则，即．
而
于是，
化简得，
所以解得.
变式1-2．若点到直线的距离比它到点的距离大3．
(1)求点M的轨迹方程；
(2)过点N的直线与点M的轨迹曲线交于A，B两点，过点N的直线与点M的轨迹曲线交于C，D两点，若，求的值．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据抛物线的定义即可求得答案；
（2）设直线方程并联立抛物线方程得到根与系数的关系式，表示出弦长，继而得到的表达式，化简可得答案.
(1)
由题意可知点到的距离与到点的距离相等，
∴点M的轨迹为以点为焦点的抛物线且,
∴点M的轨迹方程为．
(2)
抛物线的焦点为，
由题意可知，若与中有一条直线的斜率不存在不符合题意，
∴与都存在，且，，
设的方程为，，，
联立消y得：，
∴，．
同理，
∴．
变式1-3．在平面直角坐标系中，动点到点的距离和它到直线的距离之比为.动点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程，并说明曲线是什么图形；
(2)已知曲线与轴的交点分别为，点是曲线上异于的一点，直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值.
【答案】(1)，曲线是以为焦点的椭圆；
(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）由题可得，即求；
（2）利用斜率公式及椭圆方程计算即得.
(1)
设点坐标为，根据题意，得
，
左右同时平方，得，
整理得，，即，
所以曲线的方程是，
曲线是以为焦点的椭圆.
(2)
由题意得，设的坐标是，
因为点在曲线上，所以，
因为，
所以，
所以为定值.
考点二 相关点法
典例2．已知圆与直线相切．
(1)求圆O的标准方程；
(2)若线段AB的端点A在圆O上运动，端点B的坐标是，求线段AB的中点M的轨迹方程．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
(1)由圆心到直线的距离等于半径即可求出.
(2)由相关点法即可求出轨迹方程.
(1)
已知圆与直线相切，所以圆心到直线的距离为半径．所以，所以圆O的标准方程为：．
(2)
设因为AB的中点是M，则，所以，
又因为A在圆O上运动，则，所以带入有：，化简得：
．线段AB的中点M的轨迹方程为: .．
变式2-1．已知圆M经过原点和点，且它的圆心M在直线上.
(1)求圆M的方程；
(2)若点D为圆M上的动点，定点，求线段CD的中点P的轨迹方程.
【答案】(1).
(2).
【解析】
【分析】
（1）设圆M的方程为，由已知条件建立方程组，求解即可；
（2）设，，依题意得.代入圆M的方程可得点P的轨迹方程.
(1)
解：设圆M的方程为，则圆心
依题意得，解得.
所以圆M的方程为.
(2)
解：设，，依题意得，得.
点为圆M上的动点，得，
化简得P的轨迹方程为.
变式2-2．已知抛物线 的焦点为. 点满足.当点在抛物线上运动时，求动点的轨迹方程.
【答案】
【解析】
【分析】
设动点，点的坐标为，由向量条件可得，代入抛物线方程化简可得答案.
【详解】
设动点，点的坐标为，则，
因为的坐标为，所以
由得.
即 解得 代入，可得
即，所以动点的轨迹方程为.
变式2-3．已知圆与直线相切，点A为圆上一动点，轴于点，且动点满足，设动点的轨迹为曲线，求动点的轨迹曲线的方程.
【答案】
【解析】
【分析】
设动点，，，由于轴于点，推出，，通过直线与圆相切，求出圆的方程，然后将点的坐标用点的坐标表示，从而可求解曲线的方程．
【详解】
解：设动点，，，
由于轴于点，，，
又圆与直线即相切，
，
圆，
由题意，，
得，
．
，
，
将代入，
得曲线的方程为．
考点三 定义法
典例3．设圆的圆心为﹐直线l过点且与x轴不重合，直线l交圆于A，B两点.过作的平行线交于点P.
(1)求点P的轨迹方程；
(2)设点P的轨迹为曲线E，直线l交E于M，N两点，C在线段上运动，原点O关于C的对称点为Q，求四边形面积的取值范围；
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由得，，再由，
可得的轨迹方程；
（2）设四边形的面积为，，设直线的方程为，代入椭圆方程，利用韦达定理代入，整理后再利用函数单调性可得答案.
(1)
（1）圆的圆心为，因为，所以，
因为，所以，又，
且，，
所以的轨迹方程为.
(2)
设四边形的面积为，则，
可设直线的方程为，
代入椭圆方程化简得，
>0恒成立.设，
则，
=，
令，则，在上单调递增，，
即四边形面积的取值范围.
变式3-1．已知在平面直角坐标系中，圆A：的圆心为A，过点B(，0)任作直线l交圆A于点C、D，过点B作与AD平行的直线交AC于点E.
(1)求动点E的轨迹方程；
(2)设动点E的轨迹与y轴正半轴交于点P，过点P且斜率为k1，k2的两直线交动点E的轨迹于M、N两点(异于点P)，若，证明：直线MN过定点.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
(1)作出图象，易知|EB|＋|EA|为定值，根据椭圆定义即可判断点E的轨迹，从而写出其轨迹方程；
(2)设，当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为：，联立MN方程和E的轨迹方程得根与系数的关系，根据解出k与m的关系即可以判断MN过定点；最后再考虑MN斜率不存在时是否也过该定点即可.
(1)
由圆A：可得(，
∴圆心A(－，0)，圆的半径r＝8，
，
，可得，
，
，
由椭圆的定义可得：点E的轨迹是以A(，0)、B(，0)为焦点，2a＝8的椭圆，
即a＝4，c＝，∴＝16－7＝9，
∴动点E的轨迹方程为；
(2)
由(1)知，P(0，3)，设，当直线MN的斜率存在时，
设直线MN的方程为：，
由，可得，
∴，，
∵，
∴，
即，
整理可得：，
∴k＝m＋3或m＝3，
当m＝3时，直线MN的方程为：，
此时过点P(0，3)不符合题意，
∴k＝m＋3，∴直线MN的方程为：
此时直线MN过点(－1，－3)，
当直线MN的斜率不存在时，，
，解得，
此时直线MN的方程为：，过点(－1，－3)，
综上所述：直线MN过定点(－1，－3).
变式3-2．已知为圆上一动点，点，线段的垂直平分线交线段于点.
(1)求点的轨迹方程；
(2)设点的轨迹为曲线，过点作曲线的两条互相垂直的弦，两条弦的中点分別为，，过点作直线的垂线，垂足为点，是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，
【解析】
【分析】
（1）Q点轨迹符合椭圆定义，因而简化了运算过程；
（2）两条互相垂直的弦所在直线要分为两种情况：两条直线斜率均存在或其中一条直线斜率不存在另一条斜率为0，找到直线EF所过定点是本题关键.
(1)
由题意可知圆的圆心为，半径为4，
因为线段PN的垂直平分线交线段PM于点Q，
所以，所以，
又因为，所以Q轨迹是以N，M为焦点的椭圆，
设（），则，，，
所以点Q的轨迹方程为.
(2)
（ⅰ）若两条直线斜率均存在，
设过点N的弦所在直线的方程为（），
代入椭圆方程联立得：，
设与椭圆两交点的坐标分别为，
所以，所以，
则；
同理，；
由对称性可知EF所过定点必在x轴上，设为，
显然，所以，
化简得，即；
（ⅱ）若其中一条直线斜率不存在，则直线EF为x轴；综上直线EF必过定；
取点N与点T的中点为G，则，因为，所以，
所以点H在以G为圆心，为半径的圆上运动，
所以存在定点G，使得为定值.
变式3-3．在平面直角坐标系中，动圆与圆内切，与圆外切.
(1)求动圆圆心的轨迹方程；
(2)若直线与轨迹交于，两点，直线交轨迹于另一个点，连接交轴于点，试探究；是否存在，使得的面积等于？若存在，求出全部的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，
【解析】
【分析】
（1）设动圆的半径为，根据题意得动点的轨迹为以，为焦点，实轴长为的椭圆，再根据圆与圆内切于点，进而得方程；
（2）设直线的方程为，，，进而根据，，三点共线和得，再联立方程并结合韦达定理得，再结合面积得，进而得，，再求解得存在唯一满足题意.
(1)
解：，
设动圆的半径为，因为动圆与圆内切，与圆外切
所以，
，
由椭圆的定义可知，动点的轨迹为以，为焦点，实轴长为的椭圆，
又因为圆与圆内切于点，
所以动圆圆心的轨迹方程为：
(2)
解：设直线的方程为，，，
则
∵，，三点共线
，即，整理得
又代入，
联立
，
代入可得，
又，，
因为，所以，故，
，由对称性，不妨取
代入椭圆，得
，，
存在唯一满足题意.
考点四 消参法与交轨法
典例4．如图所示，过双曲线C：的左焦点F作直线l与双曲线交于P、Q，以OP、OQ为邻边作平行四边形OPMQ，求点M的轨迹方程.
【答案】
【解析】
【分析】
设所求点的坐标为，则平行四边形中心N的坐标为，设直线，，联立直线与双曲线方程，消元列出韦达定理，根据为的中点，即可得到，消去参数，即可得到动点的轨迹；
【详解】
解：设所求点的坐标为，则平行四边形中心N的坐标为， 而双曲线左焦点F为， 显然直线的斜率存在设与双曲线方程联立消去y得，则，解得；
又设P、Q的坐标分别为，由韦达定理知，，依题意，解得，
∵为的中点，∴ 即，因为，所以，消去参数得，这就是点M的轨迹，故点的轨迹方程为.
变式4-1．已知椭圆，点A，B分别是它的左、右顶点，一条垂直于x轴的动直线l与椭圆相交于P，Q两点，当直线l与椭圆相切于点A或点B时，看作P，Q两点重合于点A或点B，求直线与直线的交点M的轨迹方程．
【答案】
【解析】
【分析】
设，则，写出直线和直线的方程，利用消去和即可得到结果.
【详解】
设，则，则，
因为，，
当时，
所以直线的方程为：
直线的方程为：，
所以，
又，所以，即，
当时，也符合上式，
所以直线AP与直线BQ的交点M的轨迹方程是.
变式4-2．已知抛物线的顶点为原点，其焦点到直线的距离为．
(1)求抛物线的方程；
(2)设点，为直线上一动点，过点作抛物线的两条切线，，其中，为切点，求直线的方程，并证明直线过定点；
(3)过（2）中的点的直线交抛物线于，两点，过点，分别作抛物线的切线，，求，交点满足的轨迹方程．
【答案】(1)
(2)直线的方程为，证明见解析
(3)
【解析】
【分析】
（1）利用点到直线的距离公式直接求得值；
（2）设，，设切点为，曲线，，从而
，由此能求出直线，并能证明直线过定点；
（3）设，，，从而求出交点，，设过点的直线为，联立，得，由此能求出点满足的轨迹方程为．
(1)
设抛物线的方程为，
∵抛物线的焦点到直线的距离为，
∴，解得或（舍去，
∴，，
∴抛物线的方程为．
(2)
设，，设切点为，曲线，，
则切线的斜率为，化简得，
设，，，则，是以上方程的两根，
则，，
，
直线的方程为：，整理得，
∵切线的方程为，整理得，且点，在切线上，
∴，即直线的方程为：，化简得，
又∵，∴，
故直线过定点．
(3)
设，，，
过的切线，过的切线，
则交点，
设过点的直线为，
联立，得，
∴，，
∴，
∴．
∴点满足的轨迹方程为．
变式4-3．已知A（ -3，0），B（3，0），四边形AMBN的对角线交于点D（1，0），kMA与kMB的等比中项为 ，直线AM，NB相交于点P.
(1)求点M的轨迹C的方程；
(2)若点N也在C上，点P是否在定直线上?如果是，求出该直线，如果不是，请说明理由.
【答案】(1)；
(2)点P在定直线x=9上.理由见解析.
【解析】
【分析】
(1)设点，根据两点坐标距离公式和等比数列的等比中项的应用列出方程，整理方程即可；
(2)设直线MN方程为：，点，联立双曲线方程消去x得到关于y的一元二次方程，根据韦达定理写出，利用两点坐标和直线的点斜式方程写出直线PA、PB，联立方程组，解方程组即可.
(1)
设点，则，
又，所以，
整理，得，
即轨迹M的方程C为：；
(2)
点P在定直线上.
由(1)知，曲线C方程为：，直线MN过点D(1,0)
若直线MN斜率不存在，则，得，不符合题意；
设直线MN方程为：，点，
则，消去x，得，
有，
，，，
所以直线PA方程为：，
直线PB方程为：，
所以点P的坐标为方程组的解，
有，即，
整理，得，解得，
即点P在定直线上.
巩固练习
练习一 直接法
1．在平面直角坐标系xOy中，A(2，0)，B(－2，0)．
(1)若|PA|＝|PB|，求点P的轨迹方程；
(2)若2|PA|＝|PB|，且对于任意的点P，Q，均有＝λ，记点Q的轨迹方程为C，若C与x轴有一个交点为A，求λ的值．
【答案】(1)；
(2)或.
【解析】
【分析】
（1）根据两点间距离公式进行求解即可；
（2）根据两点间距离公式，结合共线向量的性质，运用代入法进行求解即可.
(1)
设，
因为|PA|＝|PB|，所以，
所以点P的轨迹方程为；
(2)
设，
因为2|PA|＝|PB|，所以，
设，因为＝λ，所以有，代入
中，得，
所以点Q的轨迹方程为，因为C与x轴有一个交点为A，
所以有，或，
所以λ的值为或.
2．已知动点P到点（0，1）的距离与到直线y＝2的距离的比值为，动点P的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)直线y＝kx+1与曲线C交于A，B两点，点M（0，2），证明：直线MA，MB的斜率之和为0．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据题意，结合两点间距离公式进行求解即可；
（2）直线y＝kx+1与曲线C方程联立，根据一元二次方程根与系数关系，结合斜率公式进行求解即可.
(1)
设点P的坐标为P（x，y），则，整理可得曲线C的轨迹方程为；
(2)
证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），与直线方程联立可得：（k2+2）x2+2kx﹣1＝0，则：，
＝，
从而直线MA，MB的斜率之和为0．
3．已知点A，B的坐标分别为，，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是，求点M的轨迹方程．
【答案】.
【解析】
【分析】
设出交点的坐标，写出两直线的斜率，直接由斜率之积是列式化简，即得.
【详解】
设，则，，
，
化简整理得，，
所以点的轨迹方程为：.
4．设动点M到定点的距离与它到直线的距离之比为，求点M的轨迹方程．
【答案】
【解析】
【分析】
设点，可求得的长及M到直线l的距离，根据题意，列出方程，化简计算，即可得答案.
【详解】
设点，所以，M到直线的距离为
由题意得，即，
所以，整理得，
所以点M的轨迹方程为.
练习二 相关点法
5．已知圆C经过点A（3，1）、B（－1，3），且它的圆心在直线上.
(1)求圆C的标准方程；
(2)若点D为圆C上任意一点，且点E（3，0），求线段ED中点M的轨迹方程.
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）首先设出方程，将点坐标代入得到关于参数的方程组，通过解方程组得到参数值，从而确定其方程；
（2）首先设出点M的坐标，利用中点公式得到点D坐标，代入圆的方程整理化简得到的中点M的轨迹方程.
(1)
由题可设圆C的标准方程为，则
，
解之得，
所以圆C的标准方程为；
(2)
设M（x，y），D，则，由E(3，0)及M为线段ED的中点得：，解得
又点D在圆C：上，
所以有，
化简得：．
故所求的轨迹方程为．
6．已知的斜边为，且.求：
(1)直角顶点的轨迹方程；
(2)直角边的中点的轨迹方程.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）设，根据，得到，结合斜率公式，即可求得顶点的轨迹方程；
（2）设，根据是线段的中点，得到，代入的轨迹方程，即可求得动点的轨迹方程.
(1)
解：设，因为三点不共线，所以，
因为，所以，
又因为，所以，
整理得，即，
所以直角顶点的轨迹方程为.
(2)
解：设，
因为，是线段的中点，
由中点坐标公式得，所以，
由（1）知，点的轨迹方程为，
将代入得，即
所以动点的轨迹方程为.
7．在圆x2＋y2＝4上任取一点P，设点P在x轴上的正投影为点D.当点P在圆上运动时，动点M满足，动点M形成的轨迹为曲线C.求曲线C的方程．
【答案】＋y2＝1.
【解析】
【分析】
【详解】
方法一 由＝2，知点M为线段PD的中点，设点M的坐标为(x，y)，则点P的坐标为(x，2y)．
因为点P在圆x2＋y2＝4上，
所以x2＋(2y)2＝4，
所以曲线C的方程为＋y2＝1.
方法二 设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标是(x0，y0)，
由＝2，得x0＝x，y0＝2y，
因为点P(x0，y0)在圆x2＋y2＝4上，
所以x＋y＝4，(*)
把x0＝x，y0＝2y代入(*)式，得x2＋4y2＝4，
所以曲线C的方程为＋y2＝1.
8．圆O：x2+y2＝9上的动点P在x轴、y轴上的射影分别是P1，P2，点M满足．
（1）求点M的轨迹C的方程；
（2）点A（0，1），B（0，﹣3），过点B的直线与轨迹C交于点S，N，且直线AS、AN的斜率kAS，kAN存在，求证：kAS•kAN为常数．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）设，，，根据向量关系，用的坐标表示的坐标后，将的坐标
代入圆的方程可得的轨迹方程；（2）设出直线的方程并代入椭圆方程，利
用韦达定理以及斜率公式得为常数.
【详解】
（1）设P（x0，y0），M（x，y），则＝（x0，0），＝（0，y0），
由 ．得
代入x02+y02＝9，所以点M的轨迹C的方程为.
（2）当SN的斜率不存在时，AS，AN的斜率也不存在，故不适合题意；
当SN的斜率存在时，设斜率为k，
则直线SN的方程为y＝kx﹣3代入椭圆方程整理得（1+4k2）x2﹣24kx+32＝0，△＞0⇒k2＞2
设S（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2＝，x1x2＝，
则kAS•kAN＝ ＝，
故kAS•kAN为常数.
【点睛】
本题考查了轨迹方程的求法，考查直线与圆的位置关系和椭圆中的定值问题，属中档题．
练习三 定义法
9．在平面直角坐标系中，点是圆：上的动点，定点，线段的垂直平分线交于，记点的轨迹为.
（Ⅰ）求轨迹的方程；
（Ⅱ）若动直线：与轨迹交于不同的两点、，点在轨迹上，且四边形为平行四边形.证明：四边形的面积为定值.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见证明
【解析】
【分析】
(Ⅰ)由题意利用图形的几何性质和椭圆的定义即可确定轨迹方程；
(Ⅱ)联立直线方程与(Ⅰ)中求得的轨迹方程，结合韦达定理和平行四边形的性质得到面积的表达式，进一步计算即可证得其面积为定值.
【详解】
（Ⅰ）由题意：，
∴根据椭圆的定义，点的轨迹是以、为焦点的椭圆，其中，.
∴，，，
∴轨迹的方程为：；
（Ⅱ）证明：设、，
联立方程组，得，
，∴，
，，
∴的中点，∴，
点在椭圆上，∴，
∴，
∴，
点到直线的距离，
∴
.
∴四边形的面积为定值.
【点睛】
解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
10．已知圆A：（x+1）2+y2＝16，圆C过点B（1，0）且与圆A相切，设圆心C的轨迹为曲线E．
（Ⅰ）求曲线E的方程；
（Ⅱ）过点B作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与E交于M，N两点，直线l2与圆A交于P，Q两点，求的取值范围．
【答案】（I）；（II）.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由题意画出图形，根据椭圆的定义和性质求出a，b，则椭圆方程可求；
（Ⅱ）求出两直线垂直于坐标轴时的值，当两直线斜率存在且不为0时，设l1：y＝k（x﹣1），则l2：y，分别求出|MN|，|PQ|的值，可得关于k的函数，利用配方法求值域．
【详解】
（Ⅰ）圆A：（x+1）2+y2＝16的圆心A（﹣1，0），半径r＝4，如图，
由图可知，|CA|+|CB|＝r＝4，
∴圆心C的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，且c＝1，2a＝4，a＝2．
∴b．
则曲线E的方程为；
（Ⅱ）如图，当l1⊥x轴，l2⊥y轴时，；
当l1⊥y轴，l2⊥x轴时，；
当两直线斜率存在且不为0时，设l1：y＝k（x﹣1），
则l2：y．
联立，得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0．
设M（x1，y1），N（x2，y2），
则，，
∴|MN|•|x1﹣x2|
．
圆心A到直线x+ky﹣1＝0的距离d，
则|PQ|＝2．
∴．
∵k2+1＞1，∴，则，
∴∈（），
综上，的取值范围为[]．
【点睛】
本题考查轨迹方程的求法，考查直线与圆，直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，训练了利用配方法求最值，属于难题．
11．设圆的圆心为A，直线l过点B（1，0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E．证明为定值，并写出点的轨迹方程．
【答案】证明见解析，点的轨迹方程为
【解析】
【分析】
由，得，进而得，所以，根据圆的方程可得．设点的坐标为，由两点间的距离公式可得，化简可得所求方程．由题意可得点不能在x轴上，所以．
【详解】
因为，，故，
所以，故．
又圆的标准方程为，从而，所以．
由题设得，，，
设点的坐标为，所以，
化简可得点的轨迹方程为．
【点睛】
本题考查求动点的轨迹方程等知识，考查学生的运算能力、转化能力．应注意分析题中的几何条件，进而将题目中的几何条件直接翻译为代数条件．可通过建系、设点、列式、化简、讨论等步骤得到所求的曲线轨迹方程．另一种方法，也可以根据动点所满足的平面几何性质得到等量关系，进而根据特殊曲线的定义写出其轨迹方程．
12．在直角坐标系中，动圆与圆：外切，且圆与直线相切，记动圆圆心的轨迹为曲线.求曲线的轨迹方程.
【答案】
【解析】
【分析】
设圆心，圆的半径为，根据题意可得以及，联立消去即求出曲线C的轨迹方程.
【详解】
解：设圆心，圆的半径为，因为动圆与圆外切，
所以①，
又动圆与直线相切.所以②，
联立①②消去，可得．
所以曲线的轨迹方程为.
练习四 消参法与交轨法
13．设椭圆方程为，过点的直线l交椭圆于点A，B，O是坐标原点，点P满足，点N的坐标为，当l绕点M旋转时，求：
（1）动点P的轨迹方程；
（2）的最小值与最大值.
【答案】（1）；（2）当时，最小值为；当时，最大值为.
【解析】
【分析】
（1）设出直线的方程和点A、B的坐标，联立直线与椭圆的方程，即可求出，然后根据求出点P的坐标，消去参数，即可得到动点P的轨迹方程，再检验当k不存在时，是否也满足方程即可；
（2）根据点P的轨迹方程求得的取值范围，再根据两点间的距离公式求出，消元，由二次函数的性质即可求出的最小值与最大值．
【详解】
（1）直线l过点，设其斜率为k，则l的方程为．
设，，由题设可得点A、B的坐标是方程组的解．
将①代入②并化简得，所以
于是，，
设点P的坐标为，
则消去参数k得，③
当k不存在时，A、B中点为坐标原点，也满足方程③，
所以点P的轨迹方程为．
（2）点P的轨迹方变形为，
知，即．
所以
，
故当时，取得最小值，最小值为．
当时，取得最大值，最大值为．
【点睛】
本题主要考查直线与椭圆的位置关系的应用，平面向量的坐标运算，两点间的距离公式的应用，利用参数法求轨迹，以及二次函数的性质应用，意在考查学生的数学运算能力，综合性较强，属于中档题．
14．已知椭圆C：＝1(a>b>0)经过点(，1)，且离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设M，N是椭圆上的点，直线OM与ON(O为坐标原点)的斜率之积为.若动点P满足，求点P的轨迹方程.
【答案】(1)＝1；(2)＝1.
【解析】
（1）离心率提供，椭圆过一点(，1)，提供，结合可求得，得椭圆方程；
（2）设P(x，y)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，由得x＝x1＋2x2，y＝y1＋2y2，利用P，Q都是椭圆上的点，满足椭圆方程，求得，再由可得结论．
【详解】
(1)因为e＝，所以，
又椭圆C经过点(，1)，所以，
解得a2＝4，b2＝2，
所以椭圆C的方程为＝1.
(2)设P(x，y)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则由得x＝x1＋2x2，y＝y1＋2y2，
因为点M，N在椭圆＝1，即上，
所以，
故x2＋2y2＝
，
设kOM，kON分别为直线OM与ON的斜率，由题意知，
kOM·kON＝，因此x1x2＋2y1y2＝0，
所以x2＋2y2＝20，
故点P的轨迹方程为=1.
【点睛】
本题考查求椭圆标准方程，求动点轨迹方程．本题求动点轨迹方程方法相似于动点转移法：设P(x，y)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，由动点P与M,N的关系得x＝x1＋2x2，y＝y1＋2y2，M,N在已知椭圆上有，另外由kOM·kON＝，得x1x2＋2y1y2＝0，观察这些式子，求平方和正好消去所有参数得轨迹方程．
15．已知抛物线：，过点的动直线与抛物线交于不同的两点、，分别以、为切点作抛物线的切线、，直线、交于点.
(1)求动点的轨迹方程；
(2)求面积的最小值，并求出此时直线的方程.
【答案】(1)
(2)1，
【解析】
【分析】
（1）设，，分别求出以为切点的切线方程，联立两切线方程表示出点的坐标，再设直线的方程为：，与抛物线的方程联立，代入可得点的轨迹方程；
（2）由（1）知和到直线的距离，利用三角形面积公式求得面积，可求得S的最小值和直线的方程.
(1)
设，，，
则以A为切点的切线为，整理得：，
同理：以为切点的切线为：，
联立方程组：，解得，
设直线的方程为：，
联立方程组，整理得：，
恒成立，
由韦达定理得：，，故，
所以点的轨迹方程为；
(2)
解：由（1）知：，
到直线的距离为：，
∴，
∴时，取得最小值，此时直线的方程为.
【点睛】
思路点睛：本题考查直线与抛物线的交点相关问题，涉及到抛物线的切线和三角形的面积的最值，直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．属中档题.
16．设M是椭圆C：上的一点，P、Q、T分别为M关于y轴、原点、x轴的对称点，N为椭圆C上异于M的另一点，且MN⊥MQ，QN与PT的交点为E，当M沿椭圆C运动时，求动点E的轨迹方程.
【答案】；
【解析】
【分析】
设点的坐标，则由M和N满足椭圆方程得，
求出QN斜率和方程，联立QN方程和PT方程求出x，y，由此用x，y表示M的坐标，将M坐标代入椭圆方程就可以得E的轨迹方程.
【详解】
设点的坐标，
则
∵M、N在椭圆C上，∴，
由(1)－(2)可得，即，
又，MN⊥MQ，∴，∴，
∴直线QN的方程为(3)，
又直线PT的方程为(4)，
联立(3)和(4)得.
∴
代入椭圆方程可得此即为所求点E的轨迹方程.
常见考点
考点一 直接法
典例1．已知点，，动点满足直线与的斜率之积为，记的轨迹为曲线.
(1)求的方程；
(2)若直线：和曲线相交于，两点，求.
变式1-1．在直角坐标系中，已知动点与平面上两定点，连线的斜率的积为定值，设点的轨迹为．
(1)求出曲线的方程；
(2)设直线与交于，两点，若，求的值．
变式1-2．若点到直线的距离比它到点的距离大3．
(1)求点M的轨迹方程；
(2)过点N的直线与点M的轨迹曲线交于A，B两点，过点N的直线与点M的轨迹曲线交于C，D两点，若，求的值．
变式1-3．在平面直角坐标系中，动点到点的距离和它到直线的距离之比为.动点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程，并说明曲线是什么图形；
(2)已知曲线与轴的交点分别为，点是曲线上异于的一点，直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值.
考点二 相关点法
典例2．已知圆与直线相切．
(1)求圆O的标准方程；
(2)若线段AB的端点A在圆O上运动，端点B的坐标是，求线段AB的中点M的轨迹方程．
变式2-1．已知圆M经过原点和点，且它的圆心M在直线上.
(1)求圆M的方程；
(2)若点D为圆M上的动点，定点，求线段CD的中点P的轨迹方程.
变式2-2．已知抛物线 的焦点为. 点满足.当点在抛物线上运动时，求动点的轨迹方程.
变式2-3．已知圆与直线相切，点A为圆上一动点，轴于点，且动点满足，设动点的轨迹为曲线，求动点的轨迹曲线的方程.
考点三 定义法
典例3．设圆的圆心为﹐直线l过点且与x轴不重合，直线l交圆于A，B两点.过作的平行线交于点P.
(1)求点P的轨迹方程；
(2)设点P的轨迹为曲线E，直线l交E于M，N两点，C在线段上运动，原点O关于C的对称点为Q，求四边形面积的取值范围；
变式3-1．已知在平面直角坐标系中，圆A：的圆心为A，过点B(，0)任作直线l交圆A于点C、D，过点B作与AD平行的直线交AC于点E.
(1)求动点E的轨迹方程；
(2)设动点E的轨迹与y轴正半轴交于点P，过点P且斜率为k1，k2的两直线交动点E的轨迹于M、N两点(异于点P)，若，证明：直线MN过定点.
变式3-2．已知为圆上一动点，点，线段的垂直平分线交线段于点.
(1)求点的轨迹方程；
(2)设点的轨迹为曲线，过点作曲线的两条互相垂直的弦，两条弦的中点分別为，，过点作直线的垂线，垂足为点，是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.
变式3-3．在平面直角坐标系中，动圆与圆内切，与圆外切.
(1)求动圆圆心的轨迹方程；
(2)若直线与轨迹交于，两点，直线交轨迹于另一个点，连接交轴于点，试探究；是否存在，使得的面积等于？若存在，求出全部的值；若不存在，请说明理由.
考点四 消参法与交轨法
典例4．如图所示，过双曲线C：的左焦点F作直线l与双曲线交于P、Q，以OP、OQ为邻边作平行四边形OPMQ，求点M的轨迹方程.
变式4-1．已知椭圆，点A，B分别是它的左、右顶点，一条垂直于x轴的动直线l与椭圆相交于P，Q两点，当直线l与椭圆相切于点A或点B时，看作P，Q两点重合于点A或点B，求直线与直线的交点M的轨迹方程．
变式4-2．已知抛物线的顶点为原点，其焦点到直线的距离为．
(1)求抛物线的方程；
(2)设点，为直线上一动点，过点作抛物线的两条切线，，其中，为切点，求直线的方程，并证明直线过定点；
(3)过（2）中的点的直线交抛物线于，两点，过点，分别作抛物线的切线，，求，交点满足的轨迹方程．
变式4-3．已知A（ -3，0），B（3，0），四边形AMBN的对角线交于点D（1，0），kMA与kMB的等比中项为 ，直线AM，NB相交于点P.
(1)求点M的轨迹C的方程；
(2)若点N也在C上，点P是否在定直线上?如果是，求出该直线，如果不是，请说明理由.
巩固练习
练习一 直接法
1．在平面直角坐标系xOy中，A(2，0)，B(－2，0)．
(1)若|PA|＝|PB|，求点P的轨迹方程；
(2)若2|PA|＝|PB|，且对于任意的点P，Q，均有＝λ，记点Q的轨迹方程为C，若C与x轴有一个交点为A，求λ的值．
2．已知动点P到点（0，1）的距离与到直线y＝2的距离的比值为，动点P的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)直线y＝kx+1与曲线C交于A，B两点，点M（0，2），证明：直线MA，MB的斜率之和为0．
3．已知点A，B的坐标分别为，，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是，求点M的轨迹方程．
4．设动点M到定点的距离与它到直线的距离之比为，求点M的轨迹方程．
练习二 相关点法
5．已知圆C经过点A（3，1）、B（－1，3），且它的圆心在直线上.
(1)求圆C的标准方程；
(2)若点D为圆C上任意一点，且点E（3，0），求线段ED中点M的轨迹方程.
6．已知的斜边为，且.求：
(1)直角顶点的轨迹方程；
(2)直角边的中点的轨迹方程.
7．在圆x2＋y2＝4上任取一点P，设点P在x轴上的正投影为点D.当点P在圆上运动时，动点M满足，动点M形成的轨迹为曲线C.求曲线C的方程．
8．圆O：x2+y2＝9上的动点P在x轴、y轴上的射影分别是P1，P2，点M满足．
（1）求点M的轨迹C的方程；
（2）点A（0，1），B（0，﹣3），过点B的直线与轨迹C交于点S，N，且直线AS、AN的斜率kAS，kAN存在，求证：kAS•kAN为常数．
练习三 定义法
9．在平面直角坐标系中，点是圆：上的动点，定点，线段的垂直平分线交于，记点的轨迹为.
（Ⅰ）求轨迹的方程；
（Ⅱ）若动直线：与轨迹交于不同的两点、，点在轨迹上，且四边形为平行四边形.证明：四边形的面积为定值.
10．已知圆A：（x+1）2+y2＝16，圆C过点B（1，0）且与圆A相切，设圆心C的轨迹为曲线E．
（Ⅰ）求曲线E的方程；
（Ⅱ）过点B作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与E交于M，N两点，直线l2与圆A交于P，Q两点，求的取值范围．
11．设圆的圆心为A，直线l过点B（1，0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E．证明为定值，并写出点的轨迹方程．
12．在直角坐标系中，动圆与圆：外切，且圆与直线相切，记动圆圆心的轨迹为曲线.求曲线的轨迹方程.
练习四 消参法与交轨法
13．设椭圆方程为，过点的直线l交椭圆于点A，B，O是坐标原点，点P满足，点N的坐标为，当l绕点M旋转时，求：
（1）动点P的轨迹方程；
（2）的最小值与最大值.
14．已知椭圆C：＝1(a>b>0)经过点(，1)，且离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设M，N是椭圆上的点，直线OM与ON(O为坐标原点)的斜率之积为.若动点P满足，求点P的轨迹方程.
15．已知抛物线：，过点的动直线与抛物线交于不同的两点、，分别以、为切点作抛物线的切线、，直线、交于点.
(1)求动点的轨迹方程；
(2)求面积的最小值，并求出此时直线的方程.
16．设M是椭圆C：上的一点，P、Q、T分别为M关于y轴、原点、x轴的对称点，N为椭圆C上异于M的另一点，且MN⊥MQ，QN与PT的交点为E，当M沿椭圆C运动时，求动点E的轨迹方程.
第五篇 解析几何
专题01 解析几何中的轨迹方程问题
常见考点
考点一 直接法
典例1．已知点，，动点满足直线与的斜率之积为，记的轨迹为曲线.
(1)求的方程；
(2)若直线：和曲线相交于，两点，求.
【答案】(1)（）
(2)
【解析】
【分析】
（1）设，用坐标表示，的斜率，由已知可得曲线方程，注意斜率有意义；
（2）直线方程与曲线方程联立，消元后应用韦达定理，由弦长公式计算弦长．
(1)
设，则，的斜率分别为，，
由已知得，化简得（），即曲线的方程为（）；
(2)
联立消去整理得，设，，
则，，
.
变式1-1．在直角坐标系中，已知动点与平面上两定点，连线的斜率的积为定值，设点的轨迹为．
(1)求出曲线的方程；
(2)设直线与交于，两点，若，求的值．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据条件列出方程化简即可求解；
（2）联立方程组可得根与系数的关系，再由，利用向量求解即可.
(1)
设P点坐标为，
∵定点，直线PM与直线PN的斜率之积为，
∴，
∴曲线C的方程.
(2)
设，其坐标满足
消去y并整理得，
，
故
因为, 则，即．
而
于是，
化简得，
所以解得.
变式1-2．若点到直线的距离比它到点的距离大3．
(1)求点M的轨迹方程；
(2)过点N的直线与点M的轨迹曲线交于A，B两点，过点N的直线与点M的轨迹曲线交于C，D两点，若，求的值．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据抛物线的定义即可求得答案；
（2）设直线方程并联立抛物线方程得到根与系数的关系式，表示出弦长，继而得到的表达式，化简可得答案.
(1)
由题意可知点到的距离与到点的距离相等，
∴点M的轨迹为以点为焦点的抛物线且,
∴点M的轨迹方程为．
(2)
抛物线的焦点为，
由题意可知，若与中有一条直线的斜率不存在不符合题意，
∴与都存在，且，，
设的方程为，，，
联立消y得：，
∴，．
同理，
∴．
变式1-3．在平面直角坐标系中，动点到点的距离和它到直线的距离之比为.动点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程，并说明曲线是什么图形；
(2)已知曲线与轴的交点分别为，点是曲线上异于的一点，直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值.
【答案】(1)，曲线是以为焦点的椭圆；
(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）由题可得，即求；
（2）利用斜率公式及椭圆方程计算即得.
(1)
设点坐标为，根据题意，得
，
左右同时平方，得，
整理得，，即，
所以曲线的方程是，
曲线是以为焦点的椭圆.
(2)
由题意得，设的坐标是，
因为点在曲线上，所以，
因为，
所以，
所以为定值.
考点二 相关点法
典例2．已知圆与直线相切．
(1)求圆O的标准方程；
(2)若线段AB的端点A在圆O上运动，端点B的坐标是，求线段AB的中点M的轨迹方程．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
(1)由圆心到直线的距离等于半径即可求出.
(2)由相关点法即可求出轨迹方程.
(1)
已知圆与直线相切，所以圆心到直线的距离为半径．所以，所以圆O的标准方程为：．
(2)
设因为AB的中点是M，则，所以，
又因为A在圆O上运动，则，所以带入有：，化简得：
．线段AB的中点M的轨迹方程为: .．
变式2-1．已知圆M经过原点和点，且它的圆心M在直线上.
(1)求圆M的方程；
(2)若点D为圆M上的动点，定点，求线段CD的中点P的轨迹方程.
【答案】(1).
(2).
【解析】
【分析】
（1）设圆M的方程为，由已知条件建立方程组，求解即可；
（2）设，，依题意得.代入圆M的方程可得点P的轨迹方程.
(1)
解：设圆M的方程为，则圆心
依题意得，解得.
所以圆M的方程为.
(2)
解：设，，依题意得，得.
点为圆M上的动点，得，
化简得P的轨迹方程为.
变式2-2．已知抛物线 的焦点为. 点满足.当点在抛物线上运动时，求动点的轨迹方程.
【答案】
【解析】
【分析】
设动点，点的坐标为，由向量条件可得，代入抛物线方程化简可得答案.
【详解】
设动点，点的坐标为，则，
因为的坐标为，所以
由得.
即 解得 代入，可得
即，所以动点的轨迹方程为.
变式2-3．已知圆与直线相切，点A为圆上一动点，轴于点，且动点满足，设动点的轨迹为曲线，求动点的轨迹曲线的方程.
【答案】
【解析】
【分析】
设动点，，，由于轴于点，推出，，通过直线与圆相切，求出圆的方程，然后将点的坐标用点的坐标表示，从而可求解曲线的方程．
【详解】
解：设动点，，，
由于轴于点，，，
又圆与直线即相切，
，
圆，
由题意，，
得，
．
，
，
将代入，
得曲线的方程为．
考点三 定义法
典例3．设圆的圆心为﹐直线l过点且与x轴不重合，直线l交圆于A，B两点.过作的平行线交于点P.
(1)求点P的轨迹方程；
(2)设点P的轨迹为曲线E，直线l交E于M，N两点，C在线段上运动，原点O关于C的对称点为Q，求四边形面积的取值范围；
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由得，，再由，
可得的轨迹方程；
（2）设四边形的面积为，，设直线的方程为，代入椭圆方程，利用韦达定理代入，整理后再利用函数单调性可得答案.
(1)
（1）圆的圆心为，因为，所以，
因为，所以，又，
且，，
所以的轨迹方程为.
(2)
设四边形的面积为，则，
可设直线的方程为，
代入椭圆方程化简得，
>0恒成立.设，
则，
=，
令，则，在上单调递增，，
即四边形面积的取值范围.
变式3-1．已知在平面直角坐标系中，圆A：的圆心为A，过点B(，0)任作直线l交圆A于点C、D，过点B作与AD平行的直线交AC于点E.
(1)求动点E的轨迹方程；
(2)设动点E的轨迹与y轴正半轴交于点P，过点P且斜率为k1，k2的两直线交动点E的轨迹于M、N两点(异于点P)，若，证明：直线MN过定点.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
(1)作出图象，易知|EB|＋|EA|为定值，根据椭圆定义即可判断点E的轨迹，从而写出其轨迹方程；
(2)设，当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为：，联立MN方程和E的轨迹方程得根与系数的关系，根据解出k与m的关系即可以判断MN过定点；最后再考虑MN斜率不存在时是否也过该定点即可.
(1)
由圆A：可得(，
∴圆心A(－，0)，圆的半径r＝8，
，
，可得，
，
，
由椭圆的定义可得：点E的轨迹是以A(，0)、B(，0)为焦点，2a＝8的椭圆，
即a＝4，c＝，∴＝16－7＝9，
∴动点E的轨迹方程为；
(2)
由(1)知，P(0，3)，设，当直线MN的斜率存在时，
设直线MN的方程为：，
由，可得，
∴，，
∵，
∴，
即，
整理可得：，
∴k＝m＋3或m＝3，
当m＝3时，直线MN的方程为：，
此时过点P(0，3)不符合题意，
∴k＝m＋3，∴直线MN的方程为：
此时直线MN过点(－1，－3)，
当直线MN的斜率不存在时，，
，解得，
此时直线MN的方程为：，过点(－1，－3)，
综上所述：直线MN过定点(－1，－3).
变式3-2．已知为圆上一动点，点，线段的垂直平分线交线段于点.
(1)求点的轨迹方程；
(2)设点的轨迹为曲线，过点作曲线的两条互相垂直的弦，两条弦的中点分別为，，过点作直线的垂线，垂足为点，是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，
【解析】
【分析】
（1）Q点轨迹符合椭圆定义，因而简化了运算过程；
（2）两条互相垂直的弦所在直线要分为两种情况：两条直线斜率均存在或其中一条直线斜率不存在另一条斜率为0，找到直线EF所过定点是本题关键.
(1)
由题意可知圆的圆心为，半径为4，
因为线段PN的垂直平分线交线段PM于点Q，
所以，所以，
又因为，所以Q轨迹是以N，M为焦点的椭圆，
设（），则，，，
所以点Q的轨迹方程为.
(2)
（ⅰ）若两条直线斜率均存在，
设过点N的弦所在直线的方程为（），
代入椭圆方程联立得：，
设与椭圆两交点的坐标分别为，
所以，所以，
则；
同理，；
由对称性可知EF所过定点必在x轴上，设为，
显然，所以，
化简得，即；
（ⅱ）若其中一条直线斜率不存在，则直线EF为x轴；综上直线EF必过定；
取点N与点T的中点为G，则，因为，所以，
所以点H在以G为圆心，为半径的圆上运动，
所以存在定点G，使得为定值.
变式3-3．在平面直角坐标系中，动圆与圆内切，与圆外切.
(1)求动圆圆心的轨迹方程；
(2)若直线与轨迹交于，两点，直线交轨迹于另一个点，连接交轴于点，试探究；是否存在，使得的面积等于？若存在，求出全部的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，
【解析】
【分析】
（1）设动圆的半径为，根据题意得动点的轨迹为以，为焦点，实轴长为的椭圆，再根据圆与圆内切于点，进而得方程；
（2）设直线的方程为，，，进而根据，，三点共线和得，再联立方程并结合韦达定理得，再结合面积得，进而得，，再求解得存在唯一满足题意.
(1)
解：，
设动圆的半径为，因为动圆与圆内切，与圆外切
所以，
，
由椭圆的定义可知，动点的轨迹为以，为焦点，实轴长为的椭圆，
又因为圆与圆内切于点，
所以动圆圆心的轨迹方程为：
(2)
解：设直线的方程为，，，
则
∵，，三点共线
，即，整理得
又代入，
联立
，
代入可得，
又，，
因为，所以，故，
，由对称性，不妨取
代入椭圆，得
，，
存在唯一满足题意.
考点四 消参法与交轨法
典例4．如图所示，过双曲线C：的左焦点F作直线l与双曲线交于P、Q，以OP、OQ为邻边作平行四边形OPMQ，求点M的轨迹方程.
【答案】
【解析】
【分析】
设所求点的坐标为，则平行四边形中心N的坐标为，设直线，，联立直线与双曲线方程，消元列出韦达定理，根据为的中点，即可得到，消去参数，即可得到动点的轨迹；
【详解】
解：设所求点的坐标为，则平行四边形中心N的坐标为， 而双曲线左焦点F为， 显然直线的斜率存在设与双曲线方程联立消去y得，则，解得；
又设P、Q的坐标分别为，由韦达定理知，，依题意，解得，
∵为的中点，∴ 即，因为，所以，消去参数得，这就是点M的轨迹，故点的轨迹方程为.
变式4-1．已知椭圆，点A，B分别是它的左、右顶点，一条垂直于x轴的动直线l与椭圆相交于P，Q两点，当直线l与椭圆相切于点A或点B时，看作P，Q两点重合于点A或点B，求直线与直线的交点M的轨迹方程．
【答案】
【解析】
【分析】
设，则，写出直线和直线的方程，利用消去和即可得到结果.
【详解】
设，则，则，
因为，，
当时，
所以直线的方程为：
直线的方程为：，
所以，
又，所以，即，
当时，也符合上式，
所以直线AP与直线BQ的交点M的轨迹方程是.
变式4-2．已知抛物线的顶点为原点，其焦点到直线的距离为．
(1)求抛物线的方程；
(2)设点，为直线上一动点，过点作抛物线的两条切线，，其中，为切点，求直线的方程，并证明直线过定点；
(3)过（2）中的点的直线交抛物线于，两点，过点，分别作抛物线的切线，，求，交点满足的轨迹方程．
【答案】(1)
(2)直线的方程为，证明见解析
(3)
【解析】
【分析】
（1）利用点到直线的距离公式直接求得值；
（2）设，，设切点为，曲线，，从而
，由此能求出直线，并能证明直线过定点；
（3）设，，，从而求出交点，，设过点的直线为，联立，得，由此能求出点满足的轨迹方程为．
(1)
设抛物线的方程为，
∵抛物线的焦点到直线的距离为，
∴，解得或（舍去，
∴，，
∴抛物线的方程为．
(2)
设，，设切点为，曲线，，
则切线的斜率为，化简得，
设，，，则，是以上方程的两根，
则，，
，
直线的方程为：，整理得，
∵切线的方程为，整理得，且点，在切线上，
∴，即直线的方程为：，化简得，
又∵，∴，
故直线过定点．
(3)
设，，，
过的切线，过的切线，
则交点，
设过点的直线为，
联立，得，
∴，，
∴，
∴．
∴点满足的轨迹方程为．
变式4-3．已知A（ -3，0），B（3，0），四边形AMBN的对角线交于点D（1，0），kMA与kMB的等比中项为 ，直线AM，NB相交于点P.
(1)求点M的轨迹C的方程；
(2)若点N也在C上，点P是否在定直线上?如果是，求出该直线，如果不是，请说明理由.
【答案】(1)；
(2)点P在定直线x=9上.理由见解析.
【解析】
【分析】
(1)设点，根据两点坐标距离公式和等比数列的等比中项的应用列出方程，整理方程即可；
(2)设直线MN方程为：，点，联立双曲线方程消去x得到关于y的一元二次方程，根据韦达定理写出，利用两点坐标和直线的点斜式方程写出直线PA、PB，联立方程组，解方程组即可.
(1)
设点，则，
又，所以，
整理，得，
即轨迹M的方程C为：；
(2)
点P在定直线上.
由(1)知，曲线C方程为：，直线MN过点D(1,0)
若直线MN斜率不存在，则，得，不符合题意；
设直线MN方程为：，点，
则，消去x，得，
有，
，，，
所以直线PA方程为：，
直线PB方程为：，
所以点P的坐标为方程组的解，
有，即，
整理，得，解得，
即点P在定直线上.
巩固练习
练习一 直接法
1．在平面直角坐标系xOy中，A(2，0)，B(－2，0)．
(1)若|PA|＝|PB|，求点P的轨迹方程；
(2)若2|PA|＝|PB|，且对于任意的点P，Q，均有＝λ，记点Q的轨迹方程为C，若C与x轴有一个交点为A，求λ的值．
【答案】(1)；
(2)或.
【解析】
【分析】
（1）根据两点间距离公式进行求解即可；
（2）根据两点间距离公式，结合共线向量的性质，运用代入法进行求解即可.
(1)
设，
因为|PA|＝|PB|，所以，
所以点P的轨迹方程为；
(2)
设，
因为2|PA|＝|PB|，所以，
设，因为＝λ，所以有，代入
中，得，
所以点Q的轨迹方程为，因为C与x轴有一个交点为A，
所以有，或，
所以λ的值为或.
2．已知动点P到点（0，1）的距离与到直线y＝2的距离的比值为，动点P的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)直线y＝kx+1与曲线C交于A，B两点，点M（0，2），证明：直线MA，MB的斜率之和为0．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据题意，结合两点间距离公式进行求解即可；
（2）直线y＝kx+1与曲线C方程联立，根据一元二次方程根与系数关系，结合斜率公式进行求解即可.
(1)
设点P的坐标为P（x，y），则，整理可得曲线C的轨迹方程为；
(2)
证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），与直线方程联立可得：（k2+2）x2+2kx﹣1＝0，则：，
＝，
从而直线MA，MB的斜率之和为0．
3．已知点A，B的坐标分别为，，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是，求点M的轨迹方程．
【答案】.
【解析】
【分析】
设出交点的坐标，写出两直线的斜率，直接由斜率之积是列式化简，即得.
【详解】
设，则，，
，
化简整理得，，
所以点的轨迹方程为：.
4．设动点M到定点的距离与它到直线的距离之比为，求点M的轨迹方程．
【答案】
【解析】
【分析】
设点，可求得的长及M到直线l的距离，根据题意，列出方程，化简计算，即可得答案.
【详解】
设点，所以，M到直线的距离为
由题意得，即，
所以，整理得，
所以点M的轨迹方程为.
练习二 相关点法
5．已知圆C经过点A（3，1）、B（－1，3），且它的圆心在直线上.
(1)求圆C的标准方程；
(2)若点D为圆C上任意一点，且点E（3，0），求线段ED中点M的轨迹方程.
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）首先设出方程，将点坐标代入得到关于参数的方程组，通过解方程组得到参数值，从而确定其方程；
（2）首先设出点M的坐标，利用中点公式得到点D坐标，代入圆的方程整理化简得到的中点M的轨迹方程.
(1)
由题可设圆C的标准方程为，则
，
解之得，
所以圆C的标准方程为；
(2)
设M（x，y），D，则，由E(3，0)及M为线段ED的中点得：，解得
又点D在圆C：上，
所以有，
化简得：．
故所求的轨迹方程为．
6．已知的斜边为，且.求：
(1)直角顶点的轨迹方程；
(2)直角边的中点的轨迹方程.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）设，根据，得到，结合斜率公式，即可求得顶点的轨迹方程；
（2）设，根据是线段的中点，得到，代入的轨迹方程，即可求得动点的轨迹方程.
(1)
解：设，因为三点不共线，所以，
因为，所以，
又因为，所以，
整理得，即，
所以直角顶点的轨迹方程为.
(2)
解：设，
因为，是线段的中点，
由中点坐标公式得，所以，
由（1）知，点的轨迹方程为，
将代入得，即
所以动点的轨迹方程为.
7．在圆x2＋y2＝4上任取一点P，设点P在x轴上的正投影为点D.当点P在圆上运动时，动点M满足，动点M形成的轨迹为曲线C.求曲线C的方程．
【答案】＋y2＝1.
【解析】
【分析】
【详解】
方法一 由＝2，知点M为线段PD的中点，设点M的坐标为(x，y)，则点P的坐标为(x，2y)．
因为点P在圆x2＋y2＝4上，
所以x2＋(2y)2＝4，
所以曲线C的方程为＋y2＝1.
方法二 设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标是(x0，y0)，
由＝2，得x0＝x，y0＝2y，
因为点P(x0，y0)在圆x2＋y2＝4上，
所以x＋y＝4，(*)
把x0＝x，y0＝2y代入(*)式，得x2＋4y2＝4，
所以曲线C的方程为＋y2＝1.
8．圆O：x2+y2＝9上的动点P在x轴、y轴上的射影分别是P1，P2，点M满足．
（1）求点M的轨迹C的方程；
（2）点A（0，1），B（0，﹣3），过点B的直线与轨迹C交于点S，N，且直线AS、AN的斜率kAS，kAN存在，求证：kAS•kAN为常数．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）设，，，根据向量关系，用的坐标表示的坐标后，将的坐标
代入圆的方程可得的轨迹方程；（2）设出直线的方程并代入椭圆方程，利
用韦达定理以及斜率公式得为常数.
【详解】
（1）设P（x0，y0），M（x，y），则＝（x0，0），＝（0，y0），
由 ．得
代入x02+y02＝9，所以点M的轨迹C的方程为.
（2）当SN的斜率不存在时，AS，AN的斜率也不存在，故不适合题意；
当SN的斜率存在时，设斜率为k，
则直线SN的方程为y＝kx﹣3代入椭圆方程整理得（1+4k2）x2﹣24kx+32＝0，△＞0⇒k2＞2
设S（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2＝，x1x2＝，
则kAS•kAN＝ ＝，
故kAS•kAN为常数.
【点睛】
本题考查了轨迹方程的求法，考查直线与圆的位置关系和椭圆中的定值问题，属中档题．
练习三 定义法
9．在平面直角坐标系中，点是圆：上的动点，定点，线段的垂直平分线交于，记点的轨迹为.
（Ⅰ）求轨迹的方程；
（Ⅱ）若动直线：与轨迹交于不同的两点、，点在轨迹上，且四边形为平行四边形.证明：四边形的面积为定值.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见证明
【解析】
【分析】
(Ⅰ)由题意利用图形的几何性质和椭圆的定义即可确定轨迹方程；
(Ⅱ)联立直线方程与(Ⅰ)中求得的轨迹方程，结合韦达定理和平行四边形的性质得到面积的表达式，进一步计算即可证得其面积为定值.
【详解】
（Ⅰ）由题意：，
∴根据椭圆的定义，点的轨迹是以、为焦点的椭圆，其中，.
∴，，，
∴轨迹的方程为：；
（Ⅱ）证明：设、，
联立方程组，得，
，∴，
，，
∴的中点，∴，
点在椭圆上，∴，
∴，
∴，
点到直线的距离，
∴
.
∴四边形的面积为定值.
【点睛】
解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
10．已知圆A：（x+1）2+y2＝16，圆C过点B（1，0）且与圆A相切，设圆心C的轨迹为曲线E．
（Ⅰ）求曲线E的方程；
（Ⅱ）过点B作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与E交于M，N两点，直线l2与圆A交于P，Q两点，求的取值范围．
【答案】（I）；（II）.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由题意画出图形，根据椭圆的定义和性质求出a，b，则椭圆方程可求；
（Ⅱ）求出两直线垂直于坐标轴时的值，当两直线斜率存在且不为0时，设l1：y＝k（x﹣1），则l2：y，分别求出|MN|，|PQ|的值，可得关于k的函数，利用配方法求值域．
【详解】
（Ⅰ）圆A：（x+1）2+y2＝16的圆心A（﹣1，0），半径r＝4，如图，
由图可知，|CA|+|CB|＝r＝4，
∴圆心C的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，且c＝1，2a＝4，a＝2．
∴b．
则曲线E的方程为；
（Ⅱ）如图，当l1⊥x轴，l2⊥y轴时，；
当l1⊥y轴，l2⊥x轴时，；
当两直线斜率存在且不为0时，设l1：y＝k（x﹣1），
则l2：y．
联立，得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0．
设M（x1，y1），N（x2，y2），
则，，
∴|MN|•|x1﹣x2|
．
圆心A到直线x+ky﹣1＝0的距离d，
则|PQ|＝2．
∴．
∵k2+1＞1，∴，则，
∴∈（），
综上，的取值范围为[]．
【点睛】
本题考查轨迹方程的求法，考查直线与圆，直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，训练了利用配方法求最值，属于难题．
11．设圆的圆心为A，直线l过点B（1，0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E．证明为定值，并写出点的轨迹方程．
【答案】证明见解析，点的轨迹方程为
【解析】
【分析】
由，得，进而得，所以，根据圆的方程可得．设点的坐标为，由两点间的距离公式可得，化简可得所求方程．由题意可得点不能在x轴上，所以．
【详解】
因为，，故，
所以，故．
又圆的标准方程为，从而，所以．
由题设得，，，
设点的坐标为，所以，
化简可得点的轨迹方程为．
【点睛】
本题考查求动点的轨迹方程等知识，考查学生的运算能力、转化能力．应注意分析题中的几何条件，进而将题目中的几何条件直接翻译为代数条件．可通过建系、设点、列式、化简、讨论等步骤得到所求的曲线轨迹方程．另一种方法，也可以根据动点所满足的平面几何性质得到等量关系，进而根据特殊曲线的定义写出其轨迹方程．
12．在直角坐标系中，动圆与圆：外切，且圆与直线相切，记动圆圆心的轨迹为曲线.求曲线的轨迹方程.
【答案】
【解析】
【分析】
设圆心，圆的半径为，根据题意可得以及，联立消去即求出曲线C的轨迹方程.
【详解】
解：设圆心，圆的半径为，因为动圆与圆外切，
所以①，
又动圆与直线相切.所以②，
联立①②消去，可得．
所以曲线的轨迹方程为.
练习四 消参法与交轨法
13．设椭圆方程为，过点的直线l交椭圆于点A，B，O是坐标原点，点P满足，点N的坐标为，当l绕点M旋转时，求：
（1）动点P的轨迹方程；
（2）的最小值与最大值.
【答案】（1）；（2）当时，最小值为；当时，最大值为.
【解析】
【分析】
（1）设出直线的方程和点A、B的坐标，联立直线与椭圆的方程，即可求出，然后根据求出点P的坐标，消去参数，即可得到动点P的轨迹方程，再检验当k不存在时，是否也满足方程即可；
（2）根据点P的轨迹方程求得的取值范围，再根据两点间的距离公式求出，消元，由二次函数的性质即可求出的最小值与最大值．
【详解】
（1）直线l过点，设其斜率为k，则l的方程为．
设，，由题设可得点A、B的坐标是方程组的解．
将①代入②并化简得，所以
于是，，
设点P的坐标为，
则消去参数k得，③
当k不存在时，A、B中点为坐标原点，也满足方程③，
所以点P的轨迹方程为．
（2）点P的轨迹方变形为，
知，即．
所以
，
故当时，取得最小值，最小值为．
当时，取得最大值，最大值为．
【点睛】
本题主要考查直线与椭圆的位置关系的应用，平面向量的坐标运算，两点间的距离公式的应用，利用参数法求轨迹，以及二次函数的性质应用，意在考查学生的数学运算能力，综合性较强，属于中档题．
14．已知椭圆C：＝1(a>b>0)经过点(，1)，且离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设M，N是椭圆上的点，直线OM与ON(O为坐标原点)的斜率之积为.若动点P满足，求点P的轨迹方程.
【答案】(1)＝1；(2)＝1.
【解析】
（1）离心率提供，椭圆过一点(，1)，提供，结合可求得，得椭圆方程；
（2）设P(x，y)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，由得x＝x1＋2x2，y＝y1＋2y2，利用P，Q都是椭圆上的点，满足椭圆方程，求得，再由可得结论．
【详解】
(1)因为e＝，所以，
又椭圆C经过点(，1)，所以，
解得a2＝4，b2＝2，
所以椭圆C的方程为＝1.
(2)设P(x，y)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则由得x＝x1＋2x2，y＝y1＋2y2，
因为点M，N在椭圆＝1，即上，
所以，
故x2＋2y2＝
，
设kOM，kON分别为直线OM与ON的斜率，由题意知，
kOM·kON＝，因此x1x2＋2y1y2＝0，
所以x2＋2y2＝20，
故点P的轨迹方程为=1.
【点睛】
本题考查求椭圆标准方程，求动点轨迹方程．本题求动点轨迹方程方法相似于动点转移法：设P(x，y)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，由动点P与M,N的关系得x＝x1＋2x2，y＝y1＋2y2，M,N在已知椭圆上有，另外由kOM·kON＝，得x1x2＋2y1y2＝0，观察这些式子，求平方和正好消去所有参数得轨迹方程．
15．已知抛物线：，过点的动直线与抛物线交于不同的两点、，分别以、为切点作抛物线的切线、，直线、交于点.
(1)求动点的轨迹方程；
(2)求面积的最小值，并求出此时直线的方程.
【答案】(1)
(2)1，
【解析】
【分析】
（1）设，，分别求出以为切点的切线方程，联立两切线方程表示出点的坐标，再设直线的方程为：，与抛物线的方程联立，代入可得点的轨迹方程；
（2）由（1）知和到直线的距离，利用三角形面积公式求得面积，可求得S的最小值和直线的方程.
(1)
设，，，
则以A为切点的切线为，整理得：，
同理：以为切点的切线为：，
联立方程组：，解得，
设直线的方程为：，
联立方程组，整理得：，
恒成立，
由韦达定理得：，，故，
所以点的轨迹方程为；
(2)
解：由（1）知：，
到直线的距离为：，
∴，
∴时，取得最小值，此时直线的方程为.
【点睛】
思路点睛：本题考查直线与抛物线的交点相关问题，涉及到抛物线的切线和三角形的面积的最值，直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．属中档题.
16．设M是椭圆C：上的一点，P、Q、T分别为M关于y轴、原点、x轴的对称点，N为椭圆C上异于M的另一点，且MN⊥MQ，QN与PT的交点为E，当M沿椭圆C运动时，求动点E的轨迹方程.
【答案】；
【解析】
【分析】
设点的坐标，则由M和N满足椭圆方程得，
求出QN斜率和方程，联立QN方程和PT方程求出x，y，由此用x，y表示M的坐标，将M坐标代入椭圆方程就可以得E的轨迹方程.
【详解】
设点的坐标，
则
∵M、N在椭圆C上，∴，
由(1)－(2)可得，即，
又，MN⊥MQ，∴，∴，
∴直线QN的方程为(3)，
又直线PT的方程为(4)，
联立(3)和(4)得.
∴
代入椭圆方程可得此即为所求点E的轨迹方程.
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