初中数学沪教版 (五四制)八年级下册22.7 平面向量精品随堂练习题

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一、平面向量
1.有向线段：规定了方向的线段叫做有向线段. 有向线段的方向是从一点到另一点的指向，这时线段的两个端点有顺序，前一点叫做起点，另一点叫做终点，画图时在终点处画上箭头表示它的方向.
要点：
（1）“有向线段AB”符号标记为，且表示点B相对于点A的位置差别.
（2）用两个字母标记有向线段时，起点字母必须写在终点字母的前面.
2.平面向量的定义及表示
（1）向量: 既有大小又有方向的量叫做向量.其中向量的大小叫做向量的模（或向量的长度）.
要点：
①向量的两要素：向量的大小、向量的方向.
②数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；而向量有方向，有大小，具有双重性，不能比较大小.
③向量与有向线段的区别：
（a）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，这两个向量就是相等的向量；
（b）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.
（2）向量的表示方法:
①小写英文字母表示法: 如等.
②几何表示法:用一条有向线段表示向量，如等.
（3）向量的分类：
固定向量：有大小、方向、作用点的向量；
自由向量：只有大小、方向，没有作用点的向量.
要点：我们学习的主要是自由向量.
3. 特殊的向量
零向量:长度为零的向量叫零向量.
单位向量:长度等于1个单位的向量.
相等向量:长度相等且方向相同的向量.
互为相反向量: 长度相等且方向相反的向量.
平行向量:方向相同或相反的非零向量，叫平行向量(平行向量又称为共线向量).
规定:与任一向量共线.
要点：
（1）零向量的方向是任意的，注意与0的含义与书写的不同.
（2）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.
(3)零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.
二、平面向量的加法运算
1. 定义：求两个向量的和向量的运算叫做向量的加法.
2. 运算法则：
（1）三角形法则：一般来说，求不平行的两个向量的和向量时，只要把第二个向量与第一个向量首尾相接，那么以第一个向量的起点为起点、第二个向量的终点为终点的向量就是和向量.这样的规定叫做向量的加法的三角形法则.如图：
Ａ
Ｂ
Ｃ
（2）多边形法则：一般地，几个向量相加，可把这几个向量顺次首尾相接，那么它们的和向量是以第一个向量的起点为起点、最后一个向量的终点为终点的向量，这样的规定叫做几个向量相加的多边形法则.
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
（3）平行四边形法则：如果是两个不平行的向量，那么求它们和向量时，可以在平面内任取一点为公共起点，作两个向量分别与相等；再以这两个向量为邻边作平行四边形；然后以所取的公共起点为起点，作这个平行四边形的对角线向量，则这一对角线向量就是和的向量.如图：


要点：
1.两个向量的和是一个向量，规定.
2.可用平行四边形或三角形法则进行运算，但要注意向量的起点与终点.
3.“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n个向量连加，即得到几个向量相加的多边形法则.
4..探讨该式中等号成立的条件，可以解决许多相关的问题.
3.运算律：
（1）交换律：；
（2）结合律：
三、向量的减法运算
1.定义：已知两个向量的和及其中一个向量，求另一个向量的运算叫做向量的减法.
2.运算法则：
在平面内任取一点，以这点为公共起点作出这两个向量，那么它们的差向量是以减向量的终点为起点、被减向量的终点为终点的向量，这样求两个向量的差向量的规定叫做向量减法的三角形的法则.
要点：
（1）减去一个向量等于加上这个向量的相反向量，即：，从而用加法法则来解决减法问题.
（2）向量的加法、减法的结果仍然是向量，规定.
（3）与长度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量，即.
题型1：平面向量的概念
1．下列各量中是向量的是（ ）
A．时间B．速度C．面积D．长度
【答案】B
【解析】根据向量的概念进行判断即可.
解：既有大小，又有方向的量叫做向量；
时间、面积、长度只有大小没有方向，因此不是向量．
而速度既有大小，又有方向，因此速度是向量．
故选：．
此题是个基础题，本题的考点是向量的概念，纯粹考查了定义的内容．注意数学知识与实际生活之间的联系．
题型2：相反向量、相等向量与共线向量
2．在下列说法中正确的有（ ）
①在物理学中，作用力与反作用力是一对共线向量；
②温度有零上温度和零下温度，因此温度也是向量；
③方向为南偏西的向量与北偏东的向量是共线向量 ；
④平面上的数轴都是向量.
A．个B．个C．个D．个
【答案】B
【解析】利用向量的定义可判断②④的正误，利用共线向量的定义可判断①③的正误.
解：既有大小，又有方向的量统称为向量，
结合向量的定义可知仅有②④错误，
结合向量的概念以及共线向量的定义可知①③正确，
故选：B.
3．如果，那么下列结论正确的是（ ）
A．；B．；C．；D．．
【答案】B
【解析】本题考查了平行四边形的性质和相等向量的定义．长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．由，可知四边形是平行四边形，根据相等向量的定义即可作出判断．
解：，
四边形是平行四边形，
A.长度相等，方向相反，不相等，故本选项错误；
B.长度相等且方向相同，相等，正确；
C.长度不一定相等，方向不同，不相等，故本选项错误；
D.长度不一定相等，方向不同，不相等，故本选项错误．
故选B．
4．如果点、在线段上，，那么下列结论中正确的是（ ）
A．与是相等向量B．与是相等向量
C．与是相反向量D．与是平行向量
【答案】D
【解析】解：点、在线段上，，
．
A、与方向相反，，故本选项错误；
B、与方向相反，，故本选项错误；
C、相反向量是方向相反，模相等的两向量，而，与不是相反向量，故本选项错误；
D、与共线，与是平行向量，故本选项正确．
故选：．
由点、在线段上，，可得，然后根据相等向量、相反向量与平行向量的定义，即可求得答案．注意排除法的应用．
此题考查了平面向量的知识．解此题的关键是熟记相等向量、相反向量与平行向量的定义与数形结合思想的应用．
5．如图，四边形是平行四边形，下列说法正确的是（ ）
A．与是相等向量B．与是相等向量
C．与是相反向量D．与是平行向量
【答案】B
【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
与是等向量．
故选：．
根据等向量的定义判断即可．
本题考查平面向量，平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
6．在矩形中，下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据相等向量及向量长度的概念逐一进行判断即可．
【解析】相等向量：长度相等且方向相同的两个向量 ．
A. ，故该选项错误；
B. ，但方向不同，故该选项错误；
C. 根据矩形的性质可知，对角线互相平分且相等，所以，故该选项正确；
D. ，故该选项错误；
故选：C．
【点睛】本题主要考查相等向量及向量的长度，掌握相等向量的概念是解题的关键．
7．下列关于空间向量的命题中，正确命题的个数是（ ）
①任一向量与它的相反向量都不相等；
②长度相等、方向相同的两个向量是相等向量；
③平行且模相等的两个向量是相等向量；
④若a≠b，则|a|≠|b|；
⑤两个向量相等，则它们的起点与终点相同.
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【解析】根据相等向量的概念逐一判断可得选项.
解：零向量与它的相反向量相等，①错；
由相等向量的定义知，②正确；
两个向量平行且模相等，方向不一定相同，故不一定是相等向量，③错；
a≠b，可能两个向量模相等而方向不同，④错；
两个向量相等，是指它们方向相同，大小相等，向量可以在空间自由移动，故起点和终点不一定相同，⑤错.
所以正确的命题的个数为1，
故选：B.
题型3：平面向量的加法与减法
8．如图，已知向量，那么下列结论正确的是
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】根据向量加法的三角形法则，向量首尾顺次相连，所以根据图形可知，与向量反向且相等，所以.故选择B.
9．点O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，则＋＋等于（ ）
A．B．
C．D．0
【答案】A
【解析】利用平面向量的加法法则进行计算.
故选：A.
10．式子化简结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】根据向量的线性运算法则，准确化简，即可求解.
由
.
故选：B.
11．如图，在正六边形中，等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】根据相等向量和向量加法运算直接计算即可.
，.
故选：A.
12．在平行四边形中，设，，点是对角线与的交点，那么向量可以表示为（ ）
A．；B．；C．；D．．
【答案】A
【分析】利用平行四边形的性质以及三角形法则计算即可．
【解析】解：∵ABCD为平行四边形，
∴
∴
∴
故答案选:A
【点睛】本题考查平行四边形的性质，平面向量等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
13．已知向量 、
求作：．
【答案】见解析
【分析】在平面内任取一点，分别作出，，利用向量运算的平行四边形法则即可得到答案．
【解析】解：在平面内任取一点，作，作 ，则即为所求．如下图．
【点睛】已知基底求作向量，就是先取平面上任意一点，先分别作出与基底共线的向量，再利用向量加法的平行四边形法则作出和向量．
14．已知向量、、，求作向量，使
【答案】详见解析
【分析】根据向量的性质求解即可．
【解析】如图所示，即为所求．
【点睛】本题考查了向量的问题，掌握向量的性质是解题的关键．
15．已知：如图，在等腰梯形中，，，为的中点，设，．
（1）填空：________；________；________；（用，的式子表示）
（2）在图中求作．（不要求写出作法，只需写出结论即可）
【答案】（1）；；（或）；（2）图见解析， ．
【分析】（1）利用即可求出,首先根据已知可知，然后利用即可求出，利用即可求出；
（2）首先根据已知可知，然后利用三角形法则即可求出．
【解析】（1）．
∵，，
∴，
∴．
；
（2）作图如下：
∵，为的中点，
∴．
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查向量的运算，掌握向量的运算法则是解题的关键．
一、单选题
1．下列说法正确的有（ ）
①零向量是没有方向的向量；②零向量的方向是任意的；③零向量与任一向量共线；④零向量只能与零向量共线．
A．个B．个C．个D．以上都不对
【答案】B
【解析】本题考查零向量的定义以及性质，关键是掌握零向量的有关性质根据题意，依次分析选项：对于、零向量有方向，故可得A错误；对于、符合零向量的定义，B正确；对于、符合零向量的性质，C正确；D错误；综合可得答案
解：根据题意，依次分析选项：
对于、零向量有方向，且其方向是任意的，故A错误；
对于、零向量的方向是任意的，符合零向量的定义，B正确；
对于、零向量与任一向量共线，C正确；
对于、零向量与任一向量共线，D错误．
故选B．
2．在梯形ABCD中，AD∥BC，AB﹦CD，那么下列结论中正确的是（ ）．
A．与是相等向量；B．与是相等向量；
C．与是相反向量；D．与是平行向量．
【答案】D
【分析】根据相等向量、相反向量、平行向量的定义解答即可．
【解析】解：A、AB=CD，但AB不平行于CD，≠，故本选项错误；
B、AD//BC，AB=CD，AC=BD，但AC不平行于BD，≠，故本选项错误；
C、AD//BC，与不一定是相反向量，故本选项错误；
D、AD//BC，与是平行向量，故本选项正确．
故答案为：D．
【点睛】本题考查了平面向量的相关知识，掌握相等向量、相反向量、平行向量的定义是解答本题的关键．
3．如果，那么下列结论中正确的是（ ）
A．B．与是相等向量
C．与是相反向量D．与是平行向量
【答案】B
【分析】根据已知条件可以判定四边形是平行四边形，结合平行四边形的性质和相等向量、平行向量的定义作出判断．
【解析】解：，
，．
四边形是平行四边形．
A、当平行四边形是矩形时，该结论才成立，故不符合题意．
B、由四边形是平行四边形得到：，且，则与是相等向量，故符合题意．
C、如图所示，与不是相反向量，故不符合题意．
D、如图所示，与不是平行向量，故不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平面向量，解题的关键是根据题意判定四边形是平行四边形．
4．如图，在梯形中，AD∥BC，向量（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】解：由题意可知，，
故选：．
根据向量减法的三角形法则可得答案．
本题主要考查的是向量的减法及其几何意义，掌握向量减法的三角形法则是解题的关键．
5．在四边形ABCD中，＝，且｜｜＝｜｜，那么四边形ABCD为( )
A．平行四边形B．菱形C．长方形D．正方形
【答案】B
【分析】根据＝，以及共线向量定理可得AB∥CD，且AB=CD，从而可知在四边形ABCD是平行四边形，又由｜｜＝｜｜ 得四边形ABCD的一组邻边相等，因此得到四边形ABCD为菱形．
【解析】由＝可得四边形ABCD是平行四边形，
由｜｜＝｜｜得四边形ABCD的一组邻边相等，
∴一组邻边相等的平行四边形是菱形.
故选B.
【点睛】此题考查向量在几何中的应用，解题关键在于掌握菱形的判定定理.
6．设是的相反向量，则下列说法错误的是( )
A．与的长度必相等B．∥
C．与一定不相等D．是的相反向量
【答案】C
【分析】根据相反向量、相等向量、共线向量的定义可得答案．
【解析】相反向量是指方向相反、模相等的两个向量，所以A. D正确；
由共线向量定义知B正确；
由相等向量的定义知C错误,例如的相反向量就是他本身；
由已知条件可得，D正确；
故选C.
【点睛】此题考查相等向量与相反向量，解题关键在于掌握其定义性质.
7．已知平行四边形ABCD，O为平面上任意一点.设=，=， =，=，则 （ ）
A．+++=B．-+-=
C．+--=D．--+=
【答案】B
【分析】根据向量加法的平行四边形法则，向量减法的几何意义，以及相反向量的概念即可找出正确选项．
【解析】根据向量加法的平行四边形法则及向量减法的几何意义，即可判断A,C,D错误；
；
而 ；
∴B正确.
故选B.
【点睛】此题考查向量加减混合运算及其几何意义，解题关键在于掌握运算法则.
8．化简下列各式：①++；②-+-；③-+；④++-.结果为零向量的个数是 （ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】在进行加法运算时，两个向量必须首尾相连；在进行减法运算时，两个向量的起点必须重合，对于①++可变形为 ；
对于②-+-可变形为 即最后可化简为 ；
对于③-+变形后 走后化简为 ；
对于④++-根据加减法则可以变形为 ，逐个判断即可得到答案.
【解析】①++==；
②-+===；
③-+===；
④++-==.
故选D.
【点睛】此题考查向量的加减，熟练掌握向量的加、减法法则和零向量的定义是解题的关键.
9．分别以正方形的四个顶点为起点与终点的所有有向线段能表示的不同向量有（ ）
A．个B．个C．个D．个
【答案】C
【解析】本题考查了相等向量的定义，向量的几何意义，考查了计算能力，属于基础题．本题考查了相等向量的定义，向量的几何意义，考查了计算能力，属于基础题．
可画出图形，然后写出以正方形的四个顶点为起点与终点的所有有向线段能表示的不同向量，然后即可得出正确的选项．
解：如图，以正方形的四个顶点为起点与终点的所有有向线段能表示的不同向量为：
，共个．
故选：
10．下列命题中，真命题的个数为( )
①方向相同 ②方向相反
③有相等的模 ④方向相同
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】直接利用向量共线的基本性质逐一核对四个命题得答案.
【解析】解：对于①，若，则方向相同，①正确；
对于②，若，则方向相反，②正确；
对于③，若，则方向相反，但的模不一定，③错误；
对于④，若，则能推出的方向相同，但的方向相同，得到④错误.
所以正确命题的个数是2个，故选:C.
【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查了向量共线的基本性质，是基础题.
二、填空题
11．向量的两个要素是：________和__________．
【答案】 大小 方向
【分析】仔细分析题意后可知，可根据平面向量的定义，找出向量的两个因素，然后进行填写解答即可.
【解析】根据向量的定义可知，既有大小又有方向的量叫向量，
∴大小与方向是向量的两个要素
故答案为大小；方向.
【点睛】此题考查平面向量的定义，解题关键在于掌握其定义.
12．计算：+2（+）=__．
【答案】3+2
【解析】先去掉括号，然后进行加法运算即可．
解：+2（+）=+2+2=3+2．
故答案为3+2．
13．△ABC是等腰三角形，则两腰上的向量与的关系是_____________.
【答案】=.
【分析】利用等腰三角形的定义可知两腰相等．
【解析】两腰上的向量与的关系是=.
故答案为是=.
【点睛】此题考查向量的模，解题关键在于掌握等腰三角形的定义.
14．如图所示，四边形ABCD与ABDE都是平行四边形，则:
①与向量平行的向量有________；
②若｜｜=1.5,则｜｜=________.
【答案】 3
【分析】（1）据共线向量的定义，方向相同或相反的向量为共线向量，故在同一直线上或平行直线上的向量都是共线向量，
（2）利用向量共线的充要条件将 用 表示，求出模．
【解析】①.
②
【点睛】此题考查平行向量与共线向量，解题关键在于掌握其运算法则.
15．化简(-)+(-)的结果是_____．
【答案】
【分析】根据向量的加法和减法运算法则，对原式进行化简即可．
【解析】根据向量的线性运算法则，(-)+(-)=
=
=.
故答案为.
【点睛】此题考查向量的加法及其几何意义，解题关键在于掌握运算法则.
16．已知正方形ABCD边长为1，，则的模等于_____.
【答案】
【分析】本题考查向量和的模的知识，只要学生先求出向量的和，再求的模即可
【解析】
解：如图：
∴
又∵
∴.
【点睛】本题属于基础题，主要考查向量和模的运算，运用三角形法则求向量的和是解题的关键.
17．已知正方形ABCD的边长为1， =,=, =,则｜++｜为______
【答案】
【分析】观察本题，得++= ++，进一步化为；通过ABCD为正方形化简原式为 ，再由边长为1，即可得出答案.
【解析】|++|=| ++|==2||=
【点睛】此题考查向量的加法，解题关键在于需结合向量加法运算及其几何意义进行求解.
18．如图所示，已知一点O到平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的向量为，则=_______________.
【答案】
【分析】利用向量的线性运算，结合平行四边形的性质，即可求得结论.
【解析】解：∵如图：
∴.
【点睛】本题考查向量的线性运算，考查学生的计算能力，在用三角形法则做减法时，牢记连接两向量的终点，箭头指向被减数是关键.
三、解答题
19．如图：已知a、b、c、d，求作向量ab、cd.
【答案】 =
【分析】在平面内任取一点O，作，即可得到 =.
【解析】在平面内任取一点O，
作 ，
可以得到 =.
【点睛】此题考查平面向量，解题关键在于掌握运算法则.
20．如图△ABC中M、N、P分别是AB、AC、BC边的中点，在图中画出：+－．
【答案】，图见解析
【分析】分析题目，首先根据M是AB的中点，并结合已知可得 ，接下来对待求式进行变形可得 ，然后利用向量的加减法进行计算，画图，即可解答.
【解析】∵M是AB的中点，
∴.
∴：+－.
=
=
=.
如图所示.
【点睛】此题考查平面向量，解答本题的关键是掌握向量的加减法.
21．如图,在平行四边形ABCD中,点E是AD边的中点,设，
(1)试用向量 表示向量 ,那么=___；
(2)在图中求作： . (保留作图痕迹,不要求写作法,写出结果).
【答案】（1）；（2）见解析
【分析】（1）如图，过点E作EF∥AB，则点F是BC的中点，所以 ，然后由三角形法则来求 ；
（2）连接BE．由 ，可得 ,向量 即为所求；
【解析】(1)如图,过点E作EF∥AB,则点F是BC的中点,所以
则 .
(2)连接BE.
∵，
∴.
∴向量即为所求．
【点睛】此题考查平行四边形的性质，平面向量，解题关键在于掌握平面向量的加减法法则.
22．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点A、B、C的坐标分别为（2,0）、（-1,3）、（-2，-2）.
（1）在图中作向量；
（2）在图中作向量；
（3）填空： .
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）.
【分析】（1）根据平行四边形法则，即可画出向量；
（2）根据平行四边形法则，即可画出向量；
（3）根据平行四边形法则，首先求得 与 的和，然后求得结果．
【解析】(1)如图：
(2)如图：
(3) =.
故答案为 .
【点睛】此题考查平面向量，解题关键在于掌握向量得加法法则.
23．如图，D、E是△ABC中AB、AC的中点，M、N分别是DE、BC的中点，已知，试用分别表示.
【答案】；；
【分析】由D、E是△ABC中AB、AC边的中点，所以，故可表达；和在△ABC中，由向量的共线和三角形法则表达即可.
【解析】解：由三角形中位线定理知：DE//BC且DE=BC
故
又如图，由三角形法则可得：
【点睛】本题考查平面向量的基本定理、向量的表示，其中三角形的中位线定理和用三角形法则求向量的和是解答本题的关键.
24．已知▱ABCD，点E是BC边的中点，请回答下列问题：
(1)在图中求作 与 的和向量：+=___；
(2)在图中求作与的差向量：-=___；
(3)如果把图中线段都画成有向线段,那么在这些有向线段所表示的向量中,所有与互为相反向量的向量是___；
【答案】（1）+= ，图见解析；（2）-= ，图见解析；（3）.
【分析】（1）根据向量的加法法则求作即可；
（2）根据向量的减法法则求作即可；
（3）根据相反向量的定义，方向相反，大小相等即可解答；
【解析】(1) += ；
(2) -= ；
(3)与互为相反向量的向量是： .
【点睛】此题考查平面向量，解题关键在于掌握平面向量的加法法则.
25．材料一，在平面里有两点，，若为起点，为终点，则把有方向且有长度的线段叫做向量，记为：，并且可用坐标表示这个向量，表示方法为：
，向量的长度可以表示成
例如：，则，
即所以
材料二：若，，则
若时，则．
根据材料解决下列问题：
已知中，，，
（1）________ ___________
（2）当时，求证：是直角三角形．
（3）若，，求使恒成立的的取值范围．
【答案】（1）(11,1)，；（2）证明见解析；（3）m<2
【分析】（1）利用向量的定义和向量的长度的计算公式解答；
（2）利用两点间的距离公式和勾股定理逆定理进行证明；
（3）利用向量的乘法法则求得a、b的值；然后代入不等式，解不等式即可求得m的取值范围．
【解析】（1）∵A(−3，3)，B(8，4)，
∴AB=(8−(−3)，4−3)，即AB=(11，1)，
|AB|=
故答案为：(11，1)；
（2）当x=2时，A(−3，3)，B(8，4)，C(2，−2)
此时AB2=(−3−8)2+(4−3)2=122，
AC2=(−3−2)2+[3−(−2)]2=50，BC2=(2−8)2+(−2−4)2=72．
得AB2=AC2+BC2
∴△ABC是直角三角形．
（3）∵A(−3，3)，B(8，4)，C(x，−x)
∴AB=(11，1)，AC=(x+3，−x−3)，BC=(x−8，−x−4)
∴a=AB⋅AC=11x+33−x−3=10x+30
b=AC⋅BC=x2−5x−24+x2+7x+12=2x2+2x−12
∴a+b=10x+30+2x2+2x−12=2x2+12x+18
∴由a+b>m−2得到：2x2+12x+18>m−2
即：m<2x2+12x+20
∴m<2(x+3)2+2
∵2(x+3)2+2⩾2．
∴m<2
∴使a+b>m−2恒成立的m的取值范围是：m<2
故答案为：m<2
【点睛】本题考查了向量的定义、向量的长度的计算公式、两点间的距离公式、向量的乘法法则和勾股定理逆定理．