河北省名校2023-2024学年高二下学期开学联考数学试卷(含答案)

这是一份河北省名校2023-2024学年高二下学期开学联考数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．若直线与直线平行，则实数a的值为( )
A.1或-1B.-1C.1D.0
2．等差数列的前n项和为，且，则( )
A.15B.10C.25D.20
3．已知，为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于A，B两点，若，则( )
A.4B.16C.12D.8
4．若函数在处的导数等于a，则的值为( )
A.aB.C.D.
5．已知直线与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，且，交AB于点D，点D的坐标为，则抛物线C的焦点坐标为( )
A.B.C.D.
6．给出下列命题，其中正确的命题是( )
A.若向量，，共面，则它们所在的直线共面
B.已知，若P，A，B，C四点共面，则
C.为单位向量
D.已知向量，，则在上的投影向量为
7．已知数列满足，，则满足的n的最小取值为( )
A.5B.6C.7D.8
8．已知双曲线的左、右焦点分别为，，A是双曲线C的左顶点，P，QQ在第一象限）是双曲线C上关于y轴对称的两个点，若直线AP与直线AQ的斜率之积为.直线与双曲线C的右支交于另一点M，且，的周长为20，则该双曲线的标准方程为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．下列求导运算正确的是( )
A.若，则
B.
C.
D.
10．已知圆，圆，则( )
A.两个圆心所在直线的斜率为
B.两个圆公共弦所在直线的方程为
C.过点作直线l使圆上有且只有一个点到l的距离为1，则直线l的方程为
D.过点作圆的两条切线，切点为A，B，则直线AB的方程为
11．如图，该形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法・商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，……设第n层有个球，从上往下n层球的总数为，则下列结论正确的是( )
A.
B.
C.
D.数列的前100项和为
12．如图，在正方体中，，E，F分别为，的中点，点P满足，，.下列说法正确的是( )
A.若，则与的夹角为
B.若，，则平面
C.若，，则四面体的外接球的表面积为
D.若，，则三棱锥的体积为
三、填空题
13．过点且横截距是纵截距2倍的直线方程为_______.（写成一般式方程）
14．已知函数，若，则_______.
15．已知抛物线的焦点为F，准线为l，过F的直线与C交于A，B两点（点A在第一象限），与l交于点D，若，，则_______.
16．已知定义在R上的连续偶函数，其导函数为，当时，不等式成立，若对任意的，不等式恒成立，则正整数a的最大值为_______.
四、解答题
17．已知圆，直线.
（1）证明:直线l恒过定点.
（2）设直线l交圆C于A，B两点，求弦长的最小值及相应m的值.
18．已知函数(a，)的图象过点，且.
（1）求a，b的值;
（2）求曲线过点的切线方程.
19．已知函数.
（1）讨论的极值;
（2）求在上的最小值.
20．若数列满足，.
（1）求的通项公式;
（2）求数列的前n项和.
21．如图，在四棱锥中，，且，，，，，E为PA的中点.
（1）证明:平面PDC.
（2）在线段PD（不含端点）上是否存在点K，使得平面KEB与平面PDC的夹角的余弦值为?若存在，求出的值;若不存在，说明理由.
22．已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，上、下顶点分别为，，且四边形的面积为4.
（1）求椭圆C的方程.
（2）平行于x轴的直线l与椭圆C的一个交点为P，与以为直径的圆的一个交点为Q，且P，Q位于y轴两侧，M，N分别是椭圆C的左、右顶点，直线MP，NP分别与轴交于点E，F.证明:为定值.
参考答案
1．答案：B
解析：若直线与直线平行，则需满足，解得，当时，两直线重合，因此.故选B.
2．答案：A
解析：因为等差数列的前n项和为，且，则，则.故选A.
3．答案：B
解析：由，可得，根据椭圆的定义得，所以.故选B.
4．答案：D
解析：由已知得.故选D.
5．答案：A
解析：，.，，直线AB的方程为.设，，由得，，，，，，焦点坐标为.故选A.
6．答案：D
解析：对于A，直线可以是异面直线;对于B，若O与P，A，B，C共面，则系数和不确定;对于C，，不是单位向量;对于D，在上的投影向量为.故选D.
7．答案：C
解析：因为，所以，所以，又，所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列，所以，所以.由，得，即，解得.因为n为正整数，所以n的最小值为7.故选C.
8．答案：C
解析：设双曲线的右顶点为，则，所以，所以.因为直线与双曲线C的右支交于另一点M，所以，，即，，则的周长为，所以，则1，所以该双曲线的标准方程为.故选C.
9．答案：AC
解析：对于A，若，则，故A正确;对于B，，故B错误;对于C，，故C正确;对于D，，故D错误.故选AC.
10．答案：AD
解析：根据题意，圆，其圆心为，半径，圆，即，其圆心为，半径，则两个圆心所在直线的斜率，故A正确;
圆心距，两圆外离，不存在公共弦，故B不正确;
因为圆上有且只有一个点到l的距离为1，所以点到l的距离为3，当直线斜率不存在时，l的方程为，满足题意，故C不正确;
连接，（图略），则，A，，B四点共圆，该圆的方程为，而圆，且AB为圆与圆的公共弦，两式相减得直线AB的方程为，故D正确.故选AD.
11．答案：ACD
解析：对于A，，，，，A正确.
对于B，由每层球数变化规律可知，B错误.
对于C，当时，，
当时，满足，.
，
，C正确.
对于D，，则其前100项和为，D正确.故选ACD.
12．答案：BC
解析：对于A，若，则P在线段（不含A）上，与的夹角为，向量与的夹角为，故A错误;
对于B，如图1，以A为坐标原点，分别以，，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，，，则，，，
则，，又，，
所以，，
则是平面的一个法向量，所以平面，故B正确;
对于C，若，，则点P即点D，连接DF，
由正方体的性质可知几何体是侧棱垂直于底面DCF的三棱锥，
而底面DCF是直角三角形，易得，所以外接圆的半径，
设其外接球的半径为R，则，
所以四面体即三棱锥的外接球的表面积为，故C正确;
对于D，若，，则P为的中点，如图2，取点H，满足，连接FH，易知，故，也可以将三棱锥的高转化为点面距，用空间向量求解，故D错误.故选BC.
13．答案：或
解析：当直线过原点时，直线的斜率为，此时直线的方程为，即;当直线不过原点时，设所求直线的方程为，即，将点的坐标代入直线方程可得，解得，此时直线的方程为.因此，所求直线方程为或.
14．答案：
解析：由，倒序相加可得，则.
15．答案：
解析：如图，设准线与x轴的交点为K，作，，垂足分别为，，所以.又，所以.设，则.因为，所以，所以，所以，即.（或由，得），故抛物线C的方程为，焦点为，准线为，所以直线AF的方程为.联立方程，得，解得，，所以.（或）.
16．答案：5
解析：令，因为当时，不等式成立，
所以，所以，所以函数在上单调递减.
由题意得，且，
所以是奇函数，所以在R上单调递减.
因为对任意的，不等式恒成立，
所以，所以，所以.
因为，所以当时，上式显然成立.
当时，，令，
所以，所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以，所以正整数a的最大值为5.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）直线l的方程可化为，联立解得故直线l恒过定点.
（2）可化为，则圆心为，.
设圆心C到直线l的距离为d，要使直线l被圆C截得的线段长度最小，则需d最大，
当直线CP垂直于直线l时，d取得最大值，最大值为的线段长度.
因为，所以，解得.
由两点间距离公式可得，
所以直线l被圆C截得的最短弦长为.
综上，弦长的最小值为，对应m的值为.
18．答案：（1），
（2）
解析：（1）因为函数的图象过点，所以①.
又，，所以②，
由①②解得，.
（2）由（1）知，
设所求切线在曲线上的切点为，则，所以切线方程为，
又切线过点，所以，解得，
所以切点为，切线方程为.
故曲线过点的切线方程为.
19．答案：（1）的极小值为，无极大值
（2）
解析：（1）由题意得的定义域为，且.
①若，则，所以在上单调递增，所以无极值;
②若，则当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，所以的极小值为，无极大值.
（2）当时，在上单调递增，所以;
当时，在上单调递减，在上单调递增，所以;
当时，在上单调递减，所以.
综上，.
20．答案：（1）
（2）
解析：（1）由，知，
两式相减得，
则，故当时，为常数列.
当时，，则当时，，即.又不适合上式，
所以.
（2）当时，，
当时，，
，
，
两式相减得，
所以，又符合式子，
所以.
21．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）如图1，取PD的中点M，连接ME，CM.因为M，E分别为PD，PA的中点，所以.又，所以，又，
所以四边形CMEB为平行四边形，则，又平面，平面PDC，所以平面PDC.
（2）如图2，取DA的中点N，连接CN.
由且，得四边形NABC是平行四边形，
所以，又，，所以，
所以.由，得.
在中，，，，
由余弦定理得，
则，又，，所以，
所以，则，又，所以平面PAB.
在平面PAB内作交BP于F.
以，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
所以，，，.
假设存在点K满足题意，设，
则，.
设平面KEB的法向量为，
则
令，则.
设平面PDC的法向量为，
则令，则，
所以，
整理得，解得或，与矛盾，
所以假设不成立，即不存在K，使得平面KEB与平面PDC的夹角的余弦值为.
22．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）由题意知，，.
又，，，
椭圆C的方程为.
（2）如图，设，则MP的方程为，令，得，
由得，，，
，即.
又，，
的方程为，令，得.
设，则，
，，
，
代入，化简得，即，，得证.