2024年山东省菏泽市九年级数学中考模拟预测题

这是一份2024年山东省菏泽市九年级数学中考模拟预测题，共25页。试卷主要包含了已知，则______等内容，欢迎下载使用。
数学试题
本试卷共4页，共24个题。满分120分，时间120分钟。
注意事项：
1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考生号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答案写在试卷上无效。
3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。
第I卷选择题部分（共24分）
一、选择题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确选项的序号涂在答题卡的相应位置．
1．下面四个数中，最小的是（ ）
A．B．C．D．
2．2020年12月3日．中共中央政治局常务委员会召开会议，听取脱贫攻坚总结评估汇报．中共中央总书记习近平主持会议并发表重要讲话．指出经过8年持续奋斗，我们如期完成了新时代脱贫攻坚目标任务，现行标准下农村贫困人口全部脱贫，贫困县全部摘帽，消除了绝对贫困和区域性整体贫困，近1亿贫困人口实现脱贫，取得了令全世界刮目相看的重大胜利．将100000000用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
3．如图几何体中，主视图是三角形的是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，将矩形纸片沿折叠，使点落到点处，等于（ ）
第4题图
A．B．C．D．
5．如图是护士统计一位病人的体温变化图，这位病人在16时的体温约是（ ）
第5题图
A．B．C．D．
6．如图，是半圆的直径，为线段上一个动点，连接，则的最小值为（ ）
第6题图
A．B．1C．D．2
7．二次函数的图象如图所示，则一次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
第7题图
A．B．C．D．
8．正的边长为，动点从点出发，以每秒的速度，沿的方向运动，到达点时停止，设运动时间为（秒），，则关于的函数的图像大致为（ ）
第8题图
A．B．C．D．
第II卷 非选择题部分（共96分）
二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分，只要求把最后结果填写在答题卡的相应区域内．
9．已知，则______．
10．若代数式有意义，则实数的取值范围是______．
11．如图，是一张撕掉一个角的四边形纸片，根据图中所标示的数据，可得被撕掉的大小为______．
第11题图
12．如图，两半圆的圆心点、分别在直角的两直角边、上，直径分别为、，如果两半圆相外切，且，那么图中阴影部分的面积为______．
第12题图
13．设实数满足：，则______．
14．直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，过上的点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点依次进行下去，则点的横坐标为______．
第14题图
三、解答题：本题共78分，把解答和证明过程写在答题卡的相应区域内．
15．（6分）（1）解分式方程：；
（2）计算：
16．（5分）解不等式组，并在数轴上表示出其解集．
17．（5分）如图，中，是上一个动点，于，交延长线于．
第17题图
（1）试判断、的大小关系，并说明理由；
（2）当点在的延长线上时，其他条件不变，（1）中的结论是否成立？不需说明理由．
18．（8分）已知：如图，斜坡的坡度为，坡长为39米，在坡顶处的同一水平面上有一座古塔，在斜坡底处测得该塔的塔顶的仰角为，在坡顶处测得该塔的塔顶的仰角为．求：
第18题图
（1）坡顶到地面的距离；
（2）古塔的高度（结果精确到1米）．
（参考数据：）
19．（8分）学校需要购进甲、乙两种笔记本电脑，每台甲种电脑的价格比每台乙种电脑的价格少0.2万元，用12万元购买的甲种电脑数量与用20万元购买的乙种电脑的数量相同．
（1）求每台甲种电脑、每台乙种电脑的价格分别为多少万元；
（2）学校计划用不超过34.5万元购进甲、乙两种电脑共80台，其中乙种电脑的数量不少于甲种电脑数量的1.5倍，学校有哪几种购买方案？哪种方案最省钱？
20．（8分）如果一个点的横纵坐标均为常数，那么我们把这样的点称为确定的点，简称定点，比如点就是一个定点．在一次函数（是常数）的图像中，由于，当即时，无论为何值，一定等于2，我们就说直线一定经过定点．
（1）已知抛物线（是常数），无论取何值，该抛物线都经过定点，请直接写出点的坐标；
（2）已知抛物线（是常数）．
①无论取何值，该抛物线都经过定点，求出点的坐标；
②若在的范围内，至少存在一个的值，使，直接写出的取值范围．
21．（6分）为了解某校八年级男生在体能测试中引体向上项目的情况，随机抽查了部分男生引体向上项目的测试成绩，绘制如图统计图，请根据相关信息，解答下列问题：
第21题图
（1）本次接受随机抽样调查的男生人数为______，图①中的值为______；本次调查获取的样本数据的平均数为______，中位数为______．
（2）若规定引体向上6次及以上为该项目良好，根据样本数据，估计该校320名男生中该项目良好的人数．
22．（10分）如图，在中，，以为直径的与边分别交于，两点，过点作于点．
（1）判断与的位置关系，并说明理由；
（2）求证：为的中点；
（3）若，求的长．
23．（10分）小明在学习过程中，对一个问题做如下探究．
【习题回顾】如图1，在中，是角平分线，是高，相交于点．求证：；
【变式思考】如图2，在中，是边上的高，若的外角的平分线交的延长线于点，其反向延长线与边的延长线交于点，判断与还相等吗？并说明理由；
【探究延伸】如图3，在中，在上存在一点，使得，角平分线交于点，交于点．的外角的平分线所在直线与的延长线交于点，请直接写出与之间的数量关系．
24．（12分）如图，已知抛物线与一直线相交于两点，与轴交于点，其顶点为．
（1）求抛物线及直线的函数关系式；
（2）若是抛物线上位于直线上方的一个动点，设点的横坐标为；
①当时，求点的坐标；
②是否存在点，使得是以为斜边的直角三角形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
数学
参考答案：
1．C
【分析】直接利用正数大于0，负数小于0，正数大于负数，两个负数比较大小，绝对值大的，反而小即可求解．
【详解】解：，，，
，
最小的是．
故选：C．
【点睛】本题考查了有理数的大小比较，熟知正数大于0，负数小于0，正数大于负数，两个负数比较大小，绝对值大的，反而小是解题的关键．
2．C
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：100000000＝1.0×108，
故选：C．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要定a的值以及n的值．
3．A
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【详解】解：A．该圆锥主视图是等腰三角形，故符合题意；
B．该圆柱主视图是矩形，故不符合题意；
C．该正方体主视图是正方形，故不符合题意；
D．该三棱柱的主视图是矩形，故不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
4．B
【分析】根据折叠的性质得出，再根据矩形的性质得出AD//BC，从而得出即可得出结论
【详解】解：∵将矩形纸片沿折叠，使点落到点处
∴，AD//BC；
∴，；
∴
故选：B
【点睛】本题主要考查的是翻折的性质、矩形的性质，熟练掌握相关的性质是解题的关键
5．C
【分析】直接根据统计图得出15时到18时病人的体温呈上升趋势，求出15时到18时的平均体温，进而得出答案．
【详解】解：由图象可得：15时到18时病人的体温呈上升趋势，
从38.5℃到39.2℃，
故16时约为：38.5+（39.2-38.5）÷3≈38.7（℃），
故选：C．
【点睛】此题主要考查了折线统计图，求平均数，从统计图获取正确信息是解题关键．
6．A
【分析】过O点作于F，如图，利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出， 再利用圆周角定理得到，则，利用等腰直角三角形的性质得到，然后根据垂线段最短求解．
【详解】解：过O点作于F，如图，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴的最小值为．
故选∶ A．
【点睛】本题考查了圆周角定理∶在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
7．A
【分析】根据二次函数的图象开口向上，与轴交于负半轴，得，，根据二次函数的对称轴可得，从而即可得到一次函数经过一、二、三象限，反比例函数经过二、四象限，即可得到答案．
【详解】解：二次函数的图象开口向上，与轴交于负半轴，
，，
二次函数的对称轴为，
，
一次函数经过一、二、三象限，反比例函数经过二、四象限，
故选：A．
【点睛】本题主要考查二次函数的图形、一次函数的图形、反比例函数的图形，根据二次函数的图象得到，，，是解题的关键．
8．C
【分析】需要分类讨论：①当0≤x≤3，即点P在线段AB上时，根据余弦定理知csA，所以将相关线段的长度代入该等式，即可求得y与x的函数关系式，然后根据函数关系式确定该函数的图像．②当3＜x≤6，即点P在线段BC上时，y与x的函数关系式是y＝（6﹣x）2＝（x﹣6）2（3＜x≤6），根据该函数关系式可以确定该函数的图像．
【详解】解：∵正△ABC的边长为3cm，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，AC＝3cm．
①当0≤x≤3时，即点P在线段AB上时，AP＝xcm（0≤x≤3）；
根据余弦定理知csA，
即
解得，y＝x2﹣3x+9（0≤x≤3）；
该函数图像是开口向上的抛物线；
②当3＜x≤6时，即点P在线段BC上时，PC＝（6﹣x）cm（3＜x≤6）；
则y＝（6﹣x）2＝（x﹣6）2（3＜x≤6），
∴该函数的图像是在3＜x≤6上的抛物线；
故选：C．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图像．解题的关键是需要对点P的位置进行分类讨论，以防错选．
9．
【分析】先利用平方差公式计算，再将整体代入即可；
【详解】解：∵，，
∴原式=
；
故答案为：9
【点睛】本题考查了求代数式的值，平方差公式，熟练掌握平方差公式和整体代入的思想是解题的关键
10．
【分析】根据分式有意义的条件求出的取值范围即可．
【详解】解：依题意得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解答此题的关键．
11．100°
【分析】先求出∠ABC度数，再求出四边形的内角和，再代入求出即可．
【详解】解：，
.
，，，
.
故答案为：100°.
【点睛】本题考查了多边形的内角和外角，能求出四边形的内角和是即此题的关键，注意：边数为n的多边形的内角和=（n-2）×180°．
12．/
【分析】本题考查求图形面积，不规则图形的面积一般要转化为一些规则图形的面积的和差来求解．利用勾股定理求出的半径，证明弓形，弓形，利用割补法将阴影部分面积转化成，即可求解．
【详解】解：
如图，连接，，，
设半径为，则，
是等腰直角三角形，
，，
两半圆相外切，
，
在中，由勾股定理得，
解得：，
，、为两半圆直径，
，
，，
弓形，弓形，
．
故答案为：．
13．9
【分析】由，得到，代入原式利用平方差公式化简，约分后将代入计算即可求出值．
【详解】解：由，得到，且，
代入得：原式
故答案为：9
【点睛】此题考查了因式分解的应用，分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
14．
【分析】据题意可以发现题目中各点的坐标变化规律，依此规律即可得出结论．
【详解】解：点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，
与横坐标相同，与纵坐标相同，
当时，，
，
当时，则，
，
，
当时，，
，，
同理可得：，，，
的横坐标为，
，
点的横坐标为：，
故答案为： ．
【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，找出题目中点的横坐标的变化规律．
15．(1)，理由见解析
(2)成立
【分析】（1）由等边对等角，得，由直角三角形两锐角互余得，，结合对顶角相等，得出结论．
（２）由等边对等角，得，由直角三角形两锐角互余得，，结合对顶角相等，得出结论．
【详解】（1）解：；
理由：∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：成立．
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴；

【点睛】本题考查等腰三角形等边对等角，直角三角形两锐角互余，对顶角相等；由相关定理导出角之间的数量关系是解题的关键．
16．(1)x=-1；(2) 2+2
【分析】（1）先把方程两边同乘以（x+2）（x-2）得到整式方程x+2-4=x2-4，再解此整式方程，然后进行检验确定原方程的解；
（2）根据零指数幂、负整数整数幂和特殊角的三角函数值得到原式，然后去绝对值后合并即可．
【详解】解：（1）去分母得x+2﹣4＝x2﹣4，
整理得x2﹣x﹣2＝0，解得x1＝2，x2＝﹣1，
检验：当x＝2时，（x+2）（x﹣2）＝0，则x＝2是原方程的增根；
当x＝﹣1时，（x+2）（x﹣2）≠0，
所以原方程的解为x＝﹣1；
（2）原式＝﹣1+3++1+|1﹣|
＝﹣1+3++1+﹣1
＝2+2．
【点睛】本题考查了分式方程当的解法和实数的混合计算，分式方程先去分母再解整式方程，最后检验．实数运算关键是利用负指数幂法则．特殊角的三角函数值、零指数幂进行运算.
17．，数轴见解析
【分析】分别解不等式组中的两个不等式，再在数轴上表示两个不等式的解集，再利用数轴确定解集的公共部分即可．
【详解】解：
解①得，
解②得，
解集在数轴上表示为：

∴不等式组的解集为．
【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的解法，掌握解不等式组的方法与步骤是解本题的关键．
18．(1)15米
(2)28米
【分析】（1）过点A作，垂足为点H，根据坡度的定义可得，设米，则米，由勾股定理可得（米），则，求出a的值，即可得出答案．
（2）延长交于点D，可得，设米，则米，进而可得米，在中，，求出x的值，即可得出答案．
【详解】（1）解：（1）过点A作，垂足为点H，
∵斜坡的坡度为，
∴，
设米，则米，
由勾股定理得，（米），
∴，
解得，
∴米．
答：坡顶A到地面的距离为15米．
（2）解：延长交于点D，由题意得，米，，
∵，
∴，
设米，则米，
由（1）可得（米），
∴米，
在中，，
解得，
经检验，是原方程的解且符合题意．
古塔的高度约为28米．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
19．（1）每台甲种电脑的价格为0.3万元、每台乙种电脑的价格为0.5万元；（2）见解析
【分析】（1）设每台甲种电脑的价格为x万元，则每台乙种电脑的价格为（x+0.2）万元，根据用12万元购买的甲种电脑的数量与用20万元购买的乙种电脑的数量相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设购买乙种电脑m台，则购买甲种电脑（80-m）台，根据“购买两种电脑的总费用不超过34.5万元，且购进乙种电脑的数量不少于甲种电脑数量的1.5倍”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为整数即可得出各购买方案．
【详解】解：（1）设每台甲种电脑的价格为x万元，则每台乙种电脑的价格为（x+0.2）万元，
根据题意得：，
解得：x=0.3，
经检验，x=0.3是原分式方程的解，且符合题意，
∴x+0.2=0.3+0.2=0.5．
答：每台甲种电脑的价格为0.3万元、每台乙种电脑的价格为0.5万元．
（2）设购买乙种电脑m台，则购买甲种电脑（80-m）台，
根据题意得：，
解得：48≤m≤．
又∵m为整数，
∴m可以取48，49，50，51，52．
∴学校有5种购买方案，
方案1：购买甲种电脑32台，乙种电脑48台，需要32×0.3+48×0.5=33.6万元，
方案2：购买甲种电脑31台，乙种电脑49台，需要31×0.3+49×0.5=33.8万元，
方案3：购买甲种电脑30台，乙种电脑50台，需要30×0.3+50×0.5=34万元，
方案4：购买甲种电脑29台，乙种电脑51台，需要29×0.3+51×0.5=34.2万元，
方案5：购买甲种电脑28台，乙种电脑52台，需要28×0.3+52×0.5=34.4万元，
故方案1最省钱．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
20．(1)
(2)①；②
【分析】（1）根据“定点”的定义结合函数的解析式，可知当时，函数值y与a的取值无关，可得此时点A的坐标；
（2）①将抛物线的解析式进行整理得，可得“定点D”的坐标为；②设抛物线与y轴交于点B，当时，由函数图像可知，需满足点B在x轴的上方，列不等式求出m的取值范围即可；当时，由函数的图像可知，抛物线与x轴的另一个交点在点D的右侧，可见此时不存在符合条件的x值．
【详解】（1）解：∵抛物线，当时，，
∴无论为何值一定等于,
∴抛物线一定过定点，
∴．
（2）解：①,
当，即时，,
∴无论为何值一定等于0,
∴抛物线一定过定点．
∴．
②∵
∴抛物线与轴有两个不同的交点．
当时，抛物线开口向下，且对称轴．
图像如下图，不合题意．

当时，抛物线开口向上，且对称轴，与轴交点，
由图像可知，只需满足点在轴的上方，则在的范围内，至少存在一个的值，使，
∴，
∴．
综上所述，的取值范围是．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图像与性质，列不等式求自变量的取值范围，含参数的二次函数问题的求解等知识点，结合二次函数的图像探究函数图像经过的定点以及定点对函数自变量取值范围是解题的关键．
21．(1)40，25，5.8，6
(2)176人
【分析】本题考查了数据的分析．
（1）根据条形统计图中的各组数据即可求出本次接受随机抽样调查的男生人数，由条形统计图可知测试成绩为6次的人数和被调查的总人数，由此可求出m的值，再根据平均数的计算方法及中位数的计算方法求出平均数和中位数即可．
（2）利用该校男生总人数引体向上6次及以上的男生所占的百分比，即可求出该校320名男生中该项目良好的人数．
掌握平均数、中位数的概念及计算方法，能够把扇形统计图和条形统计图结合起来分析数据是解题的关键．
【详解】（1）（名），
，即，
平均数为（次），
将这40名男生引体向上的次数从小到大排列后，处在中间位置的两个数的平均数是次，因此中位数是6次，
故答案为：40，25，5.8，6
（2）（人），
答：该校320名男生中该项目良好的人数大约为176人.
22．【习题回顾】证明见解析；【变式思考】相等；理由见解析；【探究延伸】．
【分析】习题回顾：根据角平分线的定义及三角形外角的性质求解即可；
变式思考：根据角平分线的性质和直角三角形的性质可得到结果；
探究延伸：由题可知，证明，即可得结论．
【详解】习题回顾
证明：∵，是高，
∴，，
∴．
∵是角平分线，
∴．
∵，，
∴；
变式思考
解：相等；理由：∵为的平分线，
∴．
∵为边上的高，，
∴．
又∵， ，
∴，
∴，
∴；
探究延伸
解：．理由如下：
∵C，A，G三点共线，AE，AN分别为的平分线，
．
，
，，，，
．
【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理和三角形外角性质，利用角平分线的性质是解题的关键．
23．（1）y＝﹣x2+2x+3，y＝x+1；（2）①P（1，4）；②存在，P（，）
【分析】（1）设直线AC的函数关系式为y＝kx+n，A（﹣1，0），C（2，3）代入y＝﹣x2+bx+c和y＝kx+n即可得答案；
（2）①过N作直线AC的平行线与抛物线交点即为P；
②构相似造三角形，设P横坐标为t，用t表示相关线段列方程即可得出P的坐标．
【详解】解：（1）设直线AC的函数关系式为y＝kx+n，将A（﹣1，0），C（2，3）代入得：
，解得，
∴直线AC的函数关系式为y＝x+1，
将A（﹣1，0），C（2，3）代入y＝﹣x2+bx+c得：
，解得，
∴抛物线函数关系式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）①在函数关系式y＝﹣x2+2x+3中令x＝0得y＝3，
∴N（0，3），
过N作AC的平行线与抛物线交点即为P，设所作直线为y＝x+m，
将N（0，3）代入y＝x+m得3＝m，
∴所作平行线为y＝x+3，
由得（与N重合舍去）或，
∴P（1，4），
②若△ACP是以AC为斜边的直角三角形，
过A作AEy轴，过C作CFy轴，过P作EFx轴，交点分别为E、F，如答图：
∵∠APC＝90°，
∴∠EPA＝90°﹣∠FPC＝∠PCF，
而∠E＝∠F＝90°，
∴△AEP∽△PFC，
∴，
∵点P的横坐标为t，
∴P（t，﹣t2+2t+3），
又A（﹣1，0），C（2，3），
∴AE＝﹣t2+2t+3，PF＝2﹣t，EP＝t﹣（﹣1）＝t+1，CF＝（﹣t2+2t+3）﹣3＝﹣t2+2t，
∴，解得t＝或t＝，
∵P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，
∴﹣1＜t＜2，
∴t＝，
∴P（，）．
【点睛】本题主要考查二次函数与几何综合，掌握待定系数法和相似三角形的判定及性质是关键．
24．（1）与相切，理由见解析；（2）详见解析；（3）．
【分析】（1）连结、，如图1，先利用AB是圆的直径得到，再根据等腰三角形的性质得，然后利用三角形中位线定理可得，而，进一步即可证得结论；
（2）连结，如图2，根据圆内接四边形的性质和等腰三角形的性质可得，从而DE=DC，然后根据等腰三角形三线合一的性质即可证得结论；
（3）易得，利用余弦的定义，分别在和中计算出AC与CH的长，则CE即可求出，然后计算即可得到的长．
【详解】解：（1）与相切．理由如下：
连结、，如图1，∵为直径，∴，即，
∵，∴，
而，∴为的中位线，∴，
∵，∴，∴为的切线；
（2）证明：连结，如图2，
∵四边形为的内接四边形，∴，
∵，∴，∴，∴DE=DC.
∵，∴，即为的中点；
（3）解：如图2，在中，∵，，∴.
在中，∵，∴，∴，
∴．
【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理的推论、切线的判定定理、三角形中位线定理、圆内接四边形的性质、等腰三角形的判定与性质和锐角三角函数的知识，考查的知识点多，综合性强，正确添加辅助线、熟练掌握相关知识是解题的关键．