大同市第一中学校2023-2024学年八年级上学期12月素养评估数学试卷(含解析)

这是一份大同市第一中学校2023-2024学年八年级上学期12月素养评估数学试卷(含解析)，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

满分120分 时间120分钟
一、选择题（每题3分共30分．在每个小题的四个选项中，只有一个最符合题意，请将正确的答案选项填入答题卡相应的位置．）
1. 第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州成功举行，中国运动健儿发扬拼搏精神，共获得201金再次金牌榜蝉联第一．下列体育运动图标是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
解析：A选项：沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意；
B选项：沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故是轴对称图形，符合题意；
C选项：沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意；
D选项：沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意．
故选：B
2. 若分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A. B. 且C. D.
【答案】D
解析：解：∵分式有意义，
∴，
解得：；
故选D
3. 下列各式计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
解析：解：A、，故原选项计算错误，不符合题意；
B、，故原选项计算错误，不符合题意；
C、，故原选项计算错误，不符合题意；
D、，故原选项计算正确，符合题意；
故选：D．
4. 信息课上，小文同学利用计算机软件绘制了美丽的蝴蝶，如图，在绘图过程中，小文建立平面直角坐标系，先画出一半图形，利用对称性画出另一半．若图中点A的坐标为，则其关于y轴对称的点B的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
解析：解：若图中点的坐标为，则其关于轴对称的点的坐标为．
故选：A．
5. 下列各式左到右的变形正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
解析：解：当时，，故A不符合题意；
，故B符合题意；
，原变形不准确，故C不符合题意；
，故D不符合题意；
故选：B．
6. 计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
解析：
．
故选：C
7. 下列各式因式分解正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
解析：解：A、原式不能分解，故原选项计算错误，不符合题意；
B、，故原选项计算错误，不符合题意；
C、，故原选项计算错误，不符合题意；
D、，故原选项计算正确，符合题意；
故选：D．
8. 若是完全平方式，则的值是（ ）
A. B. C. 10D. 5
【答案】A
解析：解：∵，
∴，
故选A．
9. 如图，螳螂亦称刀螂，无脊椎动物，属肉食性昆虫，在螳螂的示意图中，．是等腰三角形，，，则的度数为（ ）
A. 32°B. 48°C. 44°D. 30°
【答案】B
解析：解：延长交于点F，如图：
是等腰三角形，
，
，
，
，
，
，
故选：B．
10. 如图，在等边三角形中，边上的中线，E是上的一个动点，F是边上的一个动点，在点E，F运动的过程中，的最小值是（ ）
A. 6B. 4C. 3D. 2
【答案】A
解析：解：如图：连接，
是等边三角形，是中线，
垂直平分，
，
，
当点C，点E，点F三点共线，且时，值最小，即的值最小．
此时：是等边三角形，，，
，
即的最小值是6，
故选A．
二、填空题（本大题共5小题，每题3分，共15分）
11. 已知等腰三角形的两边长分别为3和7，则它的周长等于__________．
【答案】17
解析：解：当等腰三角形的腰长为3，底边长为7时，，不满足三角形三边关系，不符合题意；
当等腰三角形的腰长为7，底边长为3时，，满足三角形三边关系，此时周长为；
综上所述，它的周长等于17，
故答案为：17．
12. 若，，则的值为__________．
【答案】
解析：解：，，
，
故答案为：．
13. 因式分解：（2x+y）2﹣（x+2y）2=_____．
【答案】3（x+y）（x﹣y）
解析：（2x+y）2﹣（x+2y）2
=（2x+y+x+2y）（2x+y﹣x﹣2y）
=（3x+3y）（x﹣y）
=3（x+y）（x﹣y），
故答案为3（x+y）（x﹣y）．
14. 观察下列各式探索发现规律；
；；；，…
用含正整数的等式表示你所发现的规律为__________________．
【答案】
解析：解：∵；；；，，……，
∴；；；，，……，
由此发现规律为．
故答案为：
15. 如图，在中，边的垂直平分线与的平分线交于点．交的延长线于点，交于点．，．则的长是__________．
【答案】7
解析：解：如图，连接，
，
垂直平分，
，
平分，，，
，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，，
，
，
故答案为：．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. 计算：
（1）；
（2）；
（3）．
【答案】（1）
（2）
（3）
【小问1解析】
解：
【小问2解析】
解：
【小问3解析】
17. 下面是小红练习册上的一道题目的解答过程，请认真阅读并完成相应的任务．
………………第一步
………………第二步
………………第三步
①第一步运用了哪些乘法公式，请用字母表示出来__________、__________．
②小红的解答过程从第 步开始出错，错误原因是__________；请你直接写出正确的答案．
【答案】①，；②二；括号前面是负号，去括号后，括号内的第二项没有变号；
解析：解：①由题意得：第一步运用了完全平方公式和平方差公式，即，，
故答案为：，；
②小红的解答过程从第二步开始出错，错误原因是括号前面是负号，去括号后，括号内的第二项没有变号；

；
故答案为：二；括号前面是负号，去括号后，括号内的第二项没有变号．
18. 如图，点B，E，C，F在一条直线上，与相交于点O，，，．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【小问1解析】
证明：∵，
∴，
∵
∴，
∴，
在和中
，
∴，
∴，
∴；
【小问2解析】
由（1）得，
，
∴．
19. “筑牢民生之基，增强百姓幸福感”，平城区如火如荼地进行着社区环境的改善，提升老百姓的生活品质，如图，某小区内有一块长为米，宽为米的长方形地块，小区计划在中间留一块边长为米的正方形地块修建一座假山，然后将剩余阴影部分进行绿化．
（1）求绿化部分的面积（用含的代数式表示）；
（2）当，时，求绿化部分的面积．
【答案】（1）绿化面积是平方米
（2）绿化面积是40平方米
【小问1解析】
解：依题意得：
平方米，
答：绿化面积是平方米；
【小问2解析】
解：当，时，
（平方米），
答：绿化面积是40平方米．
20. 已知：如图中，，，平分，平分，过作直线平行于，交，于，．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）求的周长．
【答案】（1）见解析 （2）
【小问1解析】
证明：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴等腰三角形；
【小问2解析】
∵，
∴
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴
．
21. 尺规作图：有一块土地形状是三角形，其中，．
（1）在图1中，要把这块三角形的土地均匀分给甲、乙两家农户，要使这两家农户所得土地是面积相等的等腰三角形，请用无刻度直尺和圆规画出分法；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在图2中，要把这块三角形的土地均匀分给甲、乙、丙三家农户，要使这三家农户所得土地的大小、形状都相同，请用无刻度直尺和圆规画出分法．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【小问1解析】
解：如图，、即所求，
，
由作图可得：为的中点，
，
，
为的中线，
，，
、均为等腰三角形且面积相等；
【小问2解析】
解：如图，、、即为所求，
，
由作图可得：垂直平分，
，，，
，
，
在中，，，
，
，，
，
，
，
、、即为所求．
22. 阅读材料
乘法公式是多项式乘法的特殊情形，都可以用图形表示说明，
知识再现
如图1，大正方形的面积有两种表示方法．
方法一：大正方形可以看作是边长为的正方形，则大正方形的面积可以表示为 ；
方法二：大正方形的面积还可以看作是两个正方形的面积与两个长方形的和，即，，，的和，则大正方形的面积可以表示为__________；
所以图1中大正方形的面积可以说明的乘法公式是__________（请用字母表示）；
经验总结
乘法公式可以从“数”和“形”两个角度进行探究，并通过公式的变形或图形的转化可以解决很多数学问题．
例如：如图1，已知，，求的值．
方法一：解：∵，∴，即：，又∵，∴．
方法二：解：∵，即大正方形的面积为9，∵，∴，
∴．即．
应用迁移
如图2，点C是线段AB上的一点，以、为边向两边作正方形，连接，若，两正方形的面积和，求的面积．（用两种方法解答）

【答案】；；；的面积为
解析：解：知识再现
方法一：大正方形可以看作是边长为的正方形，则大正方形的面积可以表示为；
方法二：大正方形的面积还可以看作是两个正方形的面积与两个长方形的和，即，，，的和，则大正方形的面积可以表示为；
所以图1中大正方形的面积可以说明的乘法公式是；
故答案为：；；；
应用迁移：
设正方形的边长为a，正方形的边长为b，
方法一：由于，两正方形的面积和，
∴，，
∵，即，
∴，
∴阴影部分的面积为，即的面积为6；
方法二：如图，

∵，即，
∴大正方形的面积为49，
又∵，
∴，即，
∴，
∴的面积为．
23. 某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．
（1）如图1．已知：在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别点D、E．证明：．
（2）组员小明对图2进行了探究，若，，直线l经过点A．直线l，直线l，垂足分别为点D、E．他发现线段、、之间也存在着一定的数量关系，请你直接写出段、、之间的数量关系，
（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：
如图3，过的边、向外作正方形和正方形（正方形的4条边都相等，4个角都是直角），是边上的高，延长交于点，若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）
【小问1解析】
证明：∵直线l，直线l，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴
∴，，
∴；
【小问2解析】
∵直线l，直线l，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴
∴，，
∴；
【小问3解析】
如图，过作于，的延长线于，
∴
∵，，
∴
在和中，
，
∴
∴，，
同理可得：
∴，，
即：，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；