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2024年浙江省杭州市文澜中学中考数学一模试题（原卷版+解析版）
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1. 实数 ，，，中无理数是（ ）
A. B. C. D.
2. 若，则下列不等式中正确的是（ ）
A. B. C. D.
3. 点在反比例函数的图像上，当时，y的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
4. 已知一个多边形的内角和是540°，则这个多边形是（ ）
A. 五边形B. 六边形C. 七边形D. 八边形
5. 如图，在菱形中，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
6. 《九章算术》是中国传统数学重要著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中《盈不足》卷记载了一道有趣的数学问题：“今有人合伙购物，每人出8钱，会多出3钱；每人出7钱，又差4钱，问人数，物价各多少？”设人数为x人，物价为y钱，根据题意，下面所列方程组正确的是（ ）
A. B.
C. D.
7. 如图，直角三角形中，，中线中线，且相交于，已知，则的长为（ ）
A. B. C. D.
8. 若，且关于x方程的解为，，关于x的方程的解为．则下列结论正确的是（ ）
A B. C. D.
9. 如图，点是正方形对角线上一点，点在上且，连接，，若，，则（ ）
A. B. C. D.
10. 关于二次函数的三个结论：
①对任意实数，都有与对应的函数值相等；
②若，对应的的整数值有4个，则
③若抛物线与轴交于不同两点，，且，则．
其中正确的结论是（ ）
A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11. 因式分解：__________．
12. 从数，，3中任取两个，其和为2的概率是_________．
13. 已知、是方程的两根，则_________．
14. 如图是由6个形状、大小完全相同的菱形组成的网格，菱形的顶点称为格点，已知菱形的一个角（∠O）为60°，点A，B，C都在格点上，则sin∠ABC的值是_____．
15. 如图，一次函数的图象与双曲线在第一象限交于点，在第三象限交于点．点为轴上的一点，连接、，若，则点的坐标为_________．
16. 如图，四边形是的内接四边形，，对角线、相交于点，是直径，于点，． 若，则 的值是_________．
三、解答题（本题有8小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. （）解不等式组： ；
（）解方程：．
18. 为激发学生参与劳动的兴趣，某校开设了以“端午”为主题的活动课程，要求每位学生在“折纸龙”“采艾叶”“做香囊”与“包粽子”四门课程中选且只选其中一门，随机调查了本校部分学生的选课情况，绘制了两幅不完整的统计图．请根据图表信息回答下列问题：
（1）求本次被调查的学生人数，并补全条形统计图．
（2）本校共有名学生，若每间教室最多可安排名学生，试估计开设“折纸龙”课程的教室至少需要几间．
19. 设一次函数（是常数，）．
（1）无论取何值，该一次函数图象始终过一个定点，直接写出这个定点坐标：
（2）若时，该一次函数最大值是6，求的值．
20. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，．
（1）的外接圆的半径为_________．
（2）将绕点顺时针旋转后得到，请在图中画出；
（3）在（2）的条件下，求出线段扫过的区域图形的周长．
21. 四边形中，点E在边上，连结．
（1）如图1，若，证明：．
（2）如图2，若四边形为矩形，，，且与E、B、C为顶点的三角形相似，求的长．
22. 某课桌生产厂家研究发现，倾斜12°至24°的桌面有利于学生保持躯体自然姿势．根据这一研究，厂家决定将水平桌面做成可调节角度得桌面．新桌面的设计图如图1，可绕点旋转，在点处安装一根长度一定且处固定，可旋转的支撑臂，．
（1）如图2，当时，，求支撑臂长；
（2）如图3，当时，求的长．（结果保留根号）
（参考数据：，，，）
23. 【生活情境】
为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中一个长，宽的长方形水池进行加长改造（如图①，改造后的水池仍为长方形，以下简称水池1），同时，再建造一个周长为的矩形水池（如图②，以下简称水池2）．
【建立模型】
如果设水池的边加长长度为，加长后水池1的总面积为，则关于的函数解析式为：；设水池2的边的长为，面积为，则关于的函数解析式为：，上述两个函数在同一平面直角坐标系中的图像如图③．
【问题解决】
（1）若水池2的面积随长度的增加而减小，则长度的取值范围是_________（可省略单位），水池2面积的最大值是_________；
（2）在图③字母标注的点中，表示两个水池面积相等的点是_________，此时的值是_________；
（3）当水池1的面积大于水池2的面积时，的取值范围是_________；
（4）在范围内，求两个水池面积差的最大值和此时的值；
（5）假设水池的边的长度为，其他条件不变（这个加长改造后的新水池简称水池3），则水池3的总面积关于的函数解析式为：．若水池3与水池2的面积相等时，有唯一值，求的值．
24. 如图，已知是圆的直径，点在圆上，且，过点作弦的平行线与的延长线交于点
（1）若圆的半径为，且点为弧的中点时，求线段的长度；
（2）在（1）的条件下，当，α时，求线段的长度；（答案用含α的代数式表示）
（3）若，且，求的面积．
1. 实数 ，，，中无理数是（ ）
A. B. C. D.
2. 若，则下列不等式中正确的是（ ）
A. B. C. D.
3. 点在反比例函数的图像上，当时，y的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
4. 已知一个多边形的内角和是540°，则这个多边形是（ ）
A. 五边形B. 六边形C. 七边形D. 八边形
5. 如图，在菱形中，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
6. 《九章算术》是中国传统数学重要著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中《盈不足》卷记载了一道有趣的数学问题：“今有人合伙购物，每人出8钱，会多出3钱；每人出7钱，又差4钱，问人数，物价各多少？”设人数为x人，物价为y钱，根据题意，下面所列方程组正确的是（ ）
A. B.
C. D.
7. 如图，直角三角形中，，中线中线，且相交于，已知，则的长为（ ）
A. B. C. D.
8. 若，且关于x方程的解为，，关于x的方程的解为．则下列结论正确的是（ ）
A B. C. D.
9. 如图，点是正方形对角线上一点，点在上且，连接，，若，，则（ ）
A. B. C. D.
10. 关于二次函数的三个结论：
①对任意实数，都有与对应的函数值相等；
②若，对应的的整数值有4个，则
③若抛物线与轴交于不同两点，，且，则．
其中正确的结论是（ ）
A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11. 因式分解：__________．
12. 从数，，3中任取两个，其和为2的概率是_________．
13. 已知、是方程的两根，则_________．
14. 如图是由6个形状、大小完全相同的菱形组成的网格，菱形的顶点称为格点，已知菱形的一个角（∠O）为60°，点A，B，C都在格点上，则sin∠ABC的值是_____．
15. 如图，一次函数的图象与双曲线在第一象限交于点，在第三象限交于点．点为轴上的一点，连接、，若，则点的坐标为_________．
16. 如图，四边形是的内接四边形，，对角线、相交于点，是直径，于点，． 若，则 的值是_________．
三、解答题（本题有8小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. （）解不等式组： ；
（）解方程：．
18. 为激发学生参与劳动的兴趣，某校开设了以“端午”为主题的活动课程，要求每位学生在“折纸龙”“采艾叶”“做香囊”与“包粽子”四门课程中选且只选其中一门，随机调查了本校部分学生的选课情况，绘制了两幅不完整的统计图．请根据图表信息回答下列问题：
（1）求本次被调查的学生人数，并补全条形统计图．
（2）本校共有名学生，若每间教室最多可安排名学生，试估计开设“折纸龙”课程的教室至少需要几间．
19. 设一次函数（是常数，）．
（1）无论取何值，该一次函数图象始终过一个定点，直接写出这个定点坐标：
（2）若时，该一次函数最大值是6，求的值．
20. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，．
（1）的外接圆的半径为_________．
（2）将绕点顺时针旋转后得到，请在图中画出；
（3）在（2）的条件下，求出线段扫过的区域图形的周长．
21. 四边形中，点E在边上，连结．
（1）如图1，若，证明：．
（2）如图2，若四边形为矩形，，，且与E、B、C为顶点的三角形相似，求的长．
22. 某课桌生产厂家研究发现，倾斜12°至24°的桌面有利于学生保持躯体自然姿势．根据这一研究，厂家决定将水平桌面做成可调节角度得桌面．新桌面的设计图如图1，可绕点旋转，在点处安装一根长度一定且处固定，可旋转的支撑臂，．
（1）如图2，当时，，求支撑臂长；
（2）如图3，当时，求的长．（结果保留根号）
（参考数据：，，，）
23. 【生活情境】
为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中一个长，宽的长方形水池进行加长改造（如图①，改造后的水池仍为长方形，以下简称水池1），同时，再建造一个周长为的矩形水池（如图②，以下简称水池2）．
【建立模型】
如果设水池的边加长长度为，加长后水池1的总面积为，则关于的函数解析式为：；设水池2的边的长为，面积为，则关于的函数解析式为：，上述两个函数在同一平面直角坐标系中的图像如图③．
【问题解决】
（1）若水池2的面积随长度的增加而减小，则长度的取值范围是_________（可省略单位），水池2面积的最大值是_________；
（2）在图③字母标注的点中，表示两个水池面积相等的点是_________，此时的值是_________；
（3）当水池1的面积大于水池2的面积时，的取值范围是_________；
（4）在范围内，求两个水池面积差的最大值和此时的值；
（5）假设水池的边的长度为，其他条件不变（这个加长改造后的新水池简称水池3），则水池3的总面积关于的函数解析式为：．若水池3与水池2的面积相等时，有唯一值，求的值．
24. 如图，已知是圆的直径，点在圆上，且，过点作弦的平行线与的延长线交于点
（1）若圆的半径为，且点为弧的中点时，求线段的长度；
（2）在（1）的条件下，当，α时，求线段的长度；（答案用含α的代数式表示）
（3）若，且，求的面积．
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