精品解析：2020年浙江省杭州市江干区中考数学一模试题（解析版+原卷板）

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2020年浙江省杭州市江干区中考数学一模试卷
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分共30分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1. 下列四个数中，2020的相反数是（　　）
A. ﹣2020 B. C. ﹣ D. 20200
【1题答案】
【答案】A
【解析】
【分析】直接利用相反数的定义得出答案．
【详解】2020的相反数是：﹣2020．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了相反数，正确把握相关定义是解题关键．
2. 如图，直线，直线，若，则（　　）

A. B. C. D.
【2题答案】
【答案】C
【解析】
【分析】根据垂直的定义和余角的定义列式计算得到，根据两直线平行，同位角相等可得．
【详解】如图，

直线，
．
，
，
直线，
，
故选C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，垂直的定义，熟记性质并准确识图是解题的关键．
3. 华为手机搭载了全球首款7纳米制程芯片，7纳米就是0.000000007米．数据0.000000007用科学记数法表示为( )．
A. B. C. D.
【3题答案】
【答案】D
【解析】
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：；
故选：D．
【点睛】本题考查科学记数法；熟练掌握科学记数法中与的意义是解题的关键．
4. 在庆祝新中国成立70周年的校园歌唱比赛中，11名参赛同学的成绩各不相同，按照成绩取前5名进入决赛．如果小明知道了自己的比赛成绩，要判断能否进入决赛，小明需要知道这11名同学成绩的( )
A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差
【4题答案】
【答案】B
【解析】
【分析】由于比赛取前5名参加决赛，共有11名选手参加，根据中位数的意义分析即可．
【详解】11个不同的成绩按从小到大排序后，中位数及中位数之后的共有5个数，
故只要知道自己的成绩和中位数就可以知道是否进入决赛了．
故选B．
【点睛】本题考查了中位数意义．解题的关键是正确的求出这组数据的中位数．
5. 下列四个数：3，，，中，绝对值最大的数是　　
A. 3 B. C. D.
【5题答案】
【答案】A
【解析】
【分析】根据绝对值的性质以及正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小判断即可．
【详解】解：下列四个数：3，，，中，绝对值最大的数是3，
故选：．
【点睛】此题主要考查了实数大小比较的方法以及绝对值的性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
6. 以下计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【6题答案】
【答案】D
【解析】
【分析】利用幂的乘方与积的乘方，单项式乘以多项式法则，合并同类项法则即可求解；
【详解】，故A选项错误；
不能合并同类项，故B选项错误；
，故C选项错误；
，故D选项正确.
故选D．
【点睛】本题考查整式的运算；熟练掌握幂的乘方与积的乘方，单项式乘以多项式法则，合并同类项法则是解题的关键．
7. 已知正比例函数的图象与反比例函数图象相交于点，下列说法正确的是（ ）
A. 反比例函数的解析式是
B. 两个函数图象的另一交点坐标为
C 当或时，
D. 正比例函数与反比例函数都随的增大而增大
【7题答案】
【答案】C
【解析】
【分析】由题意可求正比例函数解析式和反比例函数解析式，由正比例函数和反比例函数的性质可判断求解．
【详解】解：正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点，
正比例函数，反比例函数
两个函数图象的另一个角点为
，选项错误
正比例函数中，随的增大而增大，反比例函数中，在每个象限内随的增大而减小，
选项错误
当或时，
选项正确
故选C．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练运用反比例函数与一次函数的性质解决问题是本题的关键．
8. 如图．在△ABC中，DE∥BC，∠B=∠ACD，则图中相似三角形有（　　）

A. 2对 B. 3对 C. 4对 D. 5对
【8题答案】
【答案】C
【解析】
【分析】根据相似三角形的判定定理即可得到结论．
【详解】∵∠B=∠ACD，∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴△ACD∽△ADE，
∵DE∥BC，
∴∠EDC=∠DCB，
∵∠B=∠DCE，
∴△CDE∽△BCD，
故共4对，
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定．注意掌握数形结合思想的应用，注意平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．
9. 设x，y，z是实数，则下列结论正确的是（　　）
A. 若x＞y，则xz≠yz B. 若＜，则3x≠4y
C. 若x＜y，则＜ D. 若x＞y，则x+z＞y﹣z
【9题答案】
【答案】B
【解析】
【分析】根据不等式的性质分别对每一项进行分析，即可得出答案．
【详解】A、当z=0时，xz=yz，故本选项错误；
B、若＜，则3x≠4y，故本选项正确；
C、当z是负数时，＞，故本选项错误；
D、不知道z是正数还是负数，不能判断x+z与y﹣z的大小，故本选项错误；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质．“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱．不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
10. 若，则x2+y2+z2可取得的最小值为（　　）
A. 3 B. C. D. 6
【10题答案】
【答案】B
【解析】
【分析】设，把x，y，z用k的代数式表示，则x2+y2+z2转化为关于k的二次三项式，运用配方法求其最小值．
【详解】设，
则，，，
∴x2+y2+z2

=14k2+10k+6，
．
故最小值为：．
故选：B．
【点睛】本题考查了完全平方公式，配方法的应用，关键是把x2+y2+z2转化为关于k的二次三项式，运用配方法求其最小值．
二、填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分
11. 计算19+（﹣20）=_____=_____．（请写出中间步骤）
【11题答案】
【答案】 ①. ﹣（20﹣19） ②. -1
【解析】
【分析】根据有理数的加法法则解答即可．
【详解】19+（﹣20）=﹣（20﹣19）=﹣1，
故答案为：﹣（20﹣19）；﹣1．
【点睛】本题考查了有理数的加法，关键是根据绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值解答．
12. 用一组a，b的值说明命题“如果，那么”是错误的，这组值可以是_______.
【12题答案】
【答案】答案不唯一，如a=1,b=-2
【解析】
【分析】举出一个反例：a=1，b=-2，说明命题“若a>b，则”是错误的即可．
【详解】当a=1,b=−2时,满足a>b,但是，
∴命题“若a>b,则”是错误的.
故答案为：1、−2.(答案不唯一).
【点睛】本题主要考查了举例说明真（假）命题，根据题意找到反例是解题的关键．
13. 函数自变量x的取值范围是 _____.
【13题答案】
【答案】x≥1且x≠3
【解析】
【分析】根据分式成立的条件，二次根式成立的条件列不等式组，从而求解.
【详解】解：根据题意得：，
解得x≥1，且x≠3，
即：自变量x取值范围x≥1且x≠3．
故答案为x≥1且x．
【点睛】本题考查函数自变量的取值范围；分式有意义的条件；二次根式有意义的条件．
14. 下表显示了在同样条件下对某种小麦种子进行发芽实验的部分结果．
试验种子数n（粒）
1
5
50
100
200
500
1000
2000
3000
…
发芽频率m
0
4
45
92
188
476
951
1900
2850
…
发芽频率
0
0.8
0.9
0.92
0.94
0.952
0.951
0.95
0.95
…
则下列推断：
①随着试验次数的增加，此种小麦种子发芽的频率总在0.95附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计此种小麦种子发芽的概率是0.95；
②当试验种子数为500粒时，发芽频率是476，所以此小麦种子发芽的概率是0.952；
③若再次试验，则当试验种子数为1000时，此种小麦种子发芽的频率一定是0.951；
其中合理的是____________（填序号）
【14题答案】
【答案】①
【解析】
【分析】根据表中信息，当随着小麦种子粒数的增加，小麦的发芽率越来越稳定，可以用频率估计概率．
【详解】解：①随着试验次数的增加，从第500粒开始，此种小麦种子发芽的频率分别是0.952、0.951、0.95、0.95总在0.95附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计此种小麦种子发芽的概率是0.95，故正确；
②当试验种子数为500粒时，发芽频数是476，此时小麦种子发芽的频率是0.952，不能说明小麦种子发芽的概率就是0.952，此推断错误；
③若再次试验，则当试验种子数为1000时，此种小麦种子发芽的频率不一定是0.951，此推断错误；
故答案为：①．
【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．
15. 抛物线经过点、两点，则关于的一元二次方程的解是___________
【15题答案】
【答案】，.
【解析】
【分析】由题意可得关于a、b、c的方程组，解方程组用含a的式子表示出b、c，然后把b、c代入到一元二次方程组进行求解即可得.
【详解】依题意，得：，
解得：，
所以，关于x的一元二次方程a(x－1)2＋c＝b－bx为：，
即：，
化为：，
解得：，，
故答案为，.
【点睛】本题考查了抛物线上点的坐标特征，解方程组，解一元二次方程等，综合性较强，正确把握抛物线上的点的坐标一定满足抛物线的解析式，得到用含a的式子表示出b和c是解题的关键.
16. 如图，已知正方形ABCD的边长为2，延长BC至E点，使CE=BC，连结AE交CD于点F，连结BF并延长与线段DE交于点G，则FG的长是_____．

【16题答案】
【答案】．
【解析】
【分析】用全等三角形的判定AAS得出△ADF≌△ECF，进而得出FG是△DCP的中位线，得出DG=GP=PE=DE=，再利用勾股定理得出BG的长，进而得出FG即可．
【详解】如图，过点C作CP∥BG，交DE于点P．

∵BC=CE=2，
∴CP是△BEG的中位线，
∴P为EG的中点．
又∵AD=CE=2，AD∥CE，
在△ADF和△ECF中，
，
∴△ADF≌△ECF（AAS），
∴CF=DF，又CP∥FG，
∴FG是△DCP的中位线，
∴G为DP的中点．
∵CD=CE=2，
∴DE=2，
因此DG=GP=PE=DE=．
连接BD，
易知∠BDC=∠EDC=45°，
所以∠BDE=90°，
又∵BD=2，
∴BG=，
∴FG=，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理应用等知识，根据已知得出正确辅助线是解题关键．
三、解答题：本大题有7个小题，共66分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 某大型旅游景区分4个独立区域A、B、C、D，小虎一家用了两天时间游览两个区域：第1天从4个中随机选择1个，第2天从余下的3个中再随机选择一个，如果每个独立区域被选中的机会均等．
（1）请用树状图或列表的方法表示出所有可能出现的结果；
（2）求小虎一家第一天游览A区域，第二天游览B区域的概率；
（3）求C区域被选中的概率．
【17题答案】
【答案】（1）答案见解析；（2）；（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意，可以画出相应的树状图；
（2）根据（1）中的树状图可以得到小虎一家第一天游览A区域，第二天游览B区域的概率；
（3）根据（1）中的树状图，可以得到C区域被选中的概率．
【详解】（1）树状图如下图所示，

（2）由上图可得，
小虎一家第一天游览A区域，第二天游览B区域的概率；
（3）由（1）中的统计图可知，
C区域被选中的概率是=，
即C区域被选中的概率是．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图，求出相应的概率．
18. （1）计算：（）×；
（2）解不等式组，并在数轴上表示该不等式组的解集．
【18题答案】
【答案】（1）3；（2）﹣＜x≤1，数轴上表示见解析
【解析】
【分析】（1）利用二次根式的乘法法则运算；
（2）分别解两不等式得到x＞﹣和x≤1，再根据大小小大中间找确定不等式组解集，然后用数轴表示解集．
【详解】（1）（）×


；
（2）解不等式得，
解不等式得，
所以不等数组的解集为:﹣＜x≤1，
用数轴表示为：
．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，二次根式的混合运算，在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
19. 某小型客车油箱的容积为60L，老王把油箱加满油后驾驶汽车从杭州家中到200km外的上海浦东机场接客人，接到客人后立即按原路返回．请回答下列问题：
（1）油箱加满油后，求汽车行驶的总路程S（单位：km）与平均耗油量b（单位：L/km）的函数关系式；
（2）老王以平均每千米耗油0.1L速度驾驶汽车到达浦东机场，返程时由于下雨，老王降低了车速，已知降低车速会造成平均耗油量的增加，且油量低于6L时该汽车将无法行驶．如果老王始终以此速度行驶，要保证不需加油回到杭州家中，求平均耗油量的范围．
【19题答案】
【答案】（1）S＝；（2）0.1＜a≤0.17．
【解析】
【分析】（1）利用路程＝总容积平均油耗，即可得出函数关系式；
（2）分别得出往返需要的油量进而得出答案．
【详解】解：（1）汽车能够行驶的总路程S（单位：km）与平均耗油量b（单位：L/km）之间的函数关系为：S＝；
（2）去省城的耗油量＝200×0.1＝20（L），
设返回时的平均油耗量为a L/km，
∵20+200a≤60﹣6，且a＞0.1，
∴0.1＜a≤0.17．
答：平均耗油量的范围是0.1＜a≤0.17．
【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出函数关系式是解题关键．
20. 已知：如图，在△ABC中，AB＞AC，∠B=45°，点D是BC边上一点，且AD=AC，过点C作CF⊥AD于点E，与AB交于点F．
（1）若∠CAD=α，求：
①∠BCA的大小；
②∠BCF的大小；（用含α的式子表示）
（2）求证：AC=FC．

【20题答案】
【答案】（1）①90°﹣；②α；（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）①关键等腰三角形的性质即可得到结论；
②过点A作AG⊥BC于点G，由等腰三角形的性质得出∠CAG=∠DAG∠CADα，求出∠DCE=∠DAG∠CADα，即可得出结论；
（2）由直角三角形的性质得出∠BAG=45°，证出∠BAC=∠AFC，即可得出结论．
【详解】（1）①∵AD=AC，∠CAD=α，
∴∠BCA=（180°﹣α）=90°﹣，
②过点A作AG⊥BC于点G，如图所示：

∴∠DAG+∠ADG=90°，
∴∠CAG=∠DAG=∠CAD=α，
∵CF⊥AD于点E，
∴∠DCE+∠ADG=90°，
∴∠DCE=∠DAG=∠CAD=α，
即∠BCF=α；
（2）∵∠B=45°，AG⊥BC，
∴∠BAG=45°，
∵∠BAC=45°+∠CAG，∠AFC=45°+∠DCE，∠DCE=∠DAG，∠CAG=∠DAG，
∴∠BAC=∠AFC，
∴AC=FC．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
21. 如图，有一个半径为3cm球形的零件不能直接放在地面上，于是我们找了两个三角形的垫块把这个零件架起来．两个三角形与球的接触点分别是P，Q，已知α=70°，β=40°，一侧接触点离地面距离PM是4cm．（sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75；sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）
（1）求圆心O距离地面的高度；
（2）直接写出∠QOP与α、β的关系；
（3）另一间接触点离地面距离QN又是多少？

【21题答案】
【答案】（1）5.02（cm）；（2）∠POQ =α+β=110°；（3）2.71（cm）．
【解析】
【分析】（1）过O作OA⊥PM，与MP的延长线交于点A，根据互余角的性质求得∠OPA=70°，再解直角三角形得AP，进而求AM；
（2）根据切线的性质求出∠OPC和∠OQB的度数，再通过邻补角的性质求得∠PCB和∠QBC，最后根据五边形的内角和求得∠POQ；
（3）过O作OD⊥NQ，与NQ的延长线交于点D，仿（1）题方法求得DQ，再由圆心O距离地面的高度减去DQ便可得QN．
【详解】（1）过O作OA⊥PM，与MP的延长线交于点A，连接OP，如图1，

则OP=3cm，∠OAP=90°，
∵CP是⊙O的切线，
∴∠OPC=90°，
∴∠PCM+∠MPC=90°，∠APO+∠MPC=90°，
∴∠APO=∠PCM=70°，
∴PA=OP•cos70°≈3×0.34=1.02（cm），
∴圆心O距离地面的高度：AM=1.02+4=5.02（cm）；
（2）∵BQ与CP都是⊙O的切线，
∴∠OPC=∠OQB=90°，
∵∠PCM=，∠QBN=，
∴∠PCB=，∠QBC=，
∴∠POQ=540°﹣90°﹣90°﹣()﹣()=，
∴∠POQ=；

（3）过O作OD⊥NQ，与NQ的延长线交于点D，如图3，

按（1）的方法得，∠OQD=∠NBQ=40°，
∴DQ=OQ•cos40°≈3×0.77=2.31（cm），
由（1）知，圆心O距离地面的高度5.02cm，
∴QN=5.02﹣2.31=2.71（cm）．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，切线的性质，多边形内角和定理，圆的有关性质，正确构造直角三角形是解题的关键所在．
22. 已知关于x的二次函数y＝ax2﹣4ax+a+1（a＞0）
（1）若二次函数的图象与x轴有交点，求a的取值范围；
（2）若P（m，n）和Q（5，b）是抛物线上两点，且n＞b，求实数m的取值范围；
（3）当m≤x≤m+2时，求y的最小值（用含a、m的代数式表示）．
【22题答案】
【答案】（1）a≥；（2）m＜﹣1或m＞5；（3）y的最小值为：am2﹣3a+1或﹣3a+1或am2﹣4am+a+1．
【解析】
【分析】（1）令对应一元二次方程根的判别式大于等于0，然后解答即可；
（2）根据抛物线的对称轴为直线x=，当n=b时，根据函数的对称性，可得m=-1，最后确定m的取值范围即可；
（3）分m<0，0≤m≤2，m>2三种情况别求解即可．
【详解】解：（1）由题意得：
△＝（﹣4a）2﹣4a（a+1）≥0，且a＞0，
解得：a≥；
（2）抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝2，
当n＝b时，根据函数的对称性，则m＝﹣1或m=5，
故实数m的取值范围为：m＜﹣1或m＞5；
（3）①当m+2＜2时，即m＜0时，
函数在x＝m+2时，取得最小值，
ymin＝a（m+2）2﹣4a（m+2）+a+1＝am2﹣3a+1；
②当m≤2≤m+2时，即0≤m≤2，
函数在顶点处取得最小值，
即ymin＝4a﹣4a×2+a+1＝﹣3a+1；
③当m＞2时，
函数在x＝m时，取得最小值，
ymin＝am2﹣4am+a+1；
综上，y的最小值为：am2﹣3a+1或﹣3a+1或am2﹣4am+a+1．
【点睛】本题考查了二次函数图像与x轴的交点、二次函数图像与一元二次方程的关系及二次函数图像与不等式的关系等知识点，掌握二次函数的性质是解答本题的关键．
23. 如图，点O是矩形ABCD对角线的交点，过点O的两条互相垂直的直线分别交矩形于点E、F、G、H，点E在线段AB上运动，AD=4，AB=2，设AE=x，AH=y．
（1）四边形EFGH是什么特殊四边形？请说明理由；
（2）写出y关于x的关系式，并写出y的取值范围；
（3）求四边形EFGH的面积及其最值．

【23题答案】
【答案】（1）菱形，证明见解析；（2）y=﹣；≤y≤；（3）当x=1时，四边形EFGH的面积的最小值为4，当x=0或2时，四边形EFGH的面积的最大值为5．
【解析】
【分析】（1）由矩形的性质可得AO=CO，BO=DO，AB∥CD，AD∥BC，由“AAS”可证△AEO≌△CGO，△DHO≌△BFO，可得EO=GO，AE=CG，HO=FO，BF=DH，可证四边形EHGF是平行四边形，且EG⊥HF，可得四边形EHGF是菱形；
（2）由菱形的性质可得EH=EF，由勾股定理可得AE2+AH2=BE2+BF2，即可求解；
（3）由面积的和差关系可得四边形EFGH的面积=x2﹣2x+5=(x﹣1)2+4，由二次函数的性质可求解．
【详解】（1）四边形EHGF是菱形，
理由如下：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=CO，BO=DO，AB∥CD，AD∥BC，
∴∠BAO=∠DCO，∠AEO=∠CGO，
∴△AEO≌△CGO（AAS），
∴EO=GO，AE=CG，
同理：可证：△DHO≌△BFO（AAS），
∴HO=FO，BF=DH，
∴四边形EHGF是平行四边形，
∵EG⊥HF，
∴四边形EHGF是菱形；
（2）∵四边形EHGF是菱形，
∴EH=EF，
∵EH2=AE2+AH2，EF2=BE2+BF2，
∴AE2+AH2=BE2+BF2，
∴x2+y2=(2﹣x)2+(4﹣y)2，
∴y=﹣，
∵0≤x≤2，
∴≤y≤；
（3）∵四边形EFGH的面积=S矩形ABCD﹣S△AEH﹣S△DHG﹣S△GFC﹣S△BEF，
∴四边形EFGH的面积=8﹣2×[xy+(2﹣x)(4﹣y)]
=2y+4x﹣2xy
=x2﹣2x+5
=(x﹣1)2+4，
∴当x=1时，四边形EFGH的面积的最小值为4，
当x=0或2时，四边形EFGH的面积的最大值为5．
【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理，一次函数的性质，二次函数的性质，利用勾股定理列出方程是解本题的关键．