重庆市康德卷2024年普通高等学校招生全国统一考试高考模拟调研卷（四）数学试题（原卷版+解析版）

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数学测试卷共4页，满分 150分.考试时间120分钟
注意事项：
1. 答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、 姓名、 考试科目”与考生本人准考证号、 姓名是否一致.
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答. 若在试题卷上作答，答案无效.
3. 考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 为弄清两随机变量、之间的关系，某人经过调研得到一组数据，并计算出、之间的相关系数为， 则随机变量、存在（ ）
A. 相互独立B. 基本不相关C. 高度正相关D. 高度负相关
2. 若全集，集合，，则（ ）
A. B. C. D.
3. 中，，，，则（ ）
A. 2B. 3C. D. 4
4. 已知是周期为的函数，且都有，则（ ）
A. B. C. D.
5. 若双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为2a，则双曲线的离心率为
A. 2B. C. D.
6. 已知等比数列的前项和为，若，，则（ ）
A. 2B. 4C. 5D. 6
7. 设，，，则（ ）
A. b>c>aB. C. D.
8. 设点(异于原点)在曲线上，已知过的直线垂直于曲线过点的切线，若直线的纵截距的取值范围是，则（ ）
A. 2B. 1C. D.
二、选择题；本题共3 小题，每小题6分，共 18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.
9. 设非零复数的共轭复数为，则下列计算结果为实数的是（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，16枚钉子钉成4×4正方形板，现用橡皮筋去套钉子，则下列说法正确的有(不同的图形指两个图形中至少有一个顶点不同)（ ）
A. 可以围成20个不同的正方形
B. 可以围成24个不同的长方形(邻边不相等)
C. 可以围成516个不同的三角形
D. 可以围成16个不同的等边三角形
11. 如图所示，一个圆锥底面是一个半径为的圆，为直径，且，点为圆上一动点（异于，两点），则下列结论正确的是（ ）
A. 取值范围是
B. 二面角的平面角的取值范围是
C. 点到平面的距离最大值为
D. 点为线段上的一动点，当 时，
三、填空题: 本题共 3 小题， 每小题5 分， 共 15分.
12. 设函数在上为减函数，如果 ，，，那么 _______________ . (写出 一个即可)
13 设直线和圆相交于， 两点，若，则 _______.
14. 已知对，，，当时，都有 ，则实数的取值范围是___________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数 在时取得极值.
（1）求实数；
（2）若，求的单调区间和极值.
16. 甲、 乙两同学参加趣味数学对抗赛，比赛规则：两人轮流作答且每题仅一人作答，每答一次视为一轮比赛；答正确一方积分加2分，另一方积分加0分；答错误一方积分加0分，另一方积分加2分； 一方比另一方积分多6分或进行了7轮比赛，对抗赛结束； 结束时积分多者获胜. 已知甲、乙每次作答正确的概率都是 ，且每次作答是否正确相互独立.
（1）求甲恰在第5轮比赛后获胜的概率；
（2）设表示对抗赛结束时比赛进行轮数，求的分布列和数学期望 .
17. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，且底面，，若且 .
（1）求的值；
（2）若平面，求点到平面的距离.
18. 已知点和直线，点到的距离 .
（1）求点的轨迹方程；
（2）不经过圆点的直线与点的轨迹交于，两点. 设直线，的斜率分别为，，记 ，是否存在值使得的面积为定值，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
19. 已知恒等式 .
（1）求数列的通项公式；
（2）记数列前项积为求数列的前项和.