重庆市康德卷2024年普通高等学校招生全国统一考试高考模拟调研卷（四）数学

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1～4 DAAC 5～8 DDBB
8题提示：设，由直线垂直于曲线过点的切线，则其斜率为，则直线的方程为，即，则的纵截距为，设函数，若，则，因为其纵截距的取值范围为，则解得。若，，不合题意。
二、选择题：本题共4小题，每小题6分，共18分。
9． ABD 10． ABC 11． BD
11题提示：因为为等腰三角形，且的取值范围是，所以的取值范围是.
D
如图取的中点，则是二面角的平面角，
则，又，所以的范围是，
所以的范围是.
如图所示建立直角坐标系，则有，，
，则有面的法向量为 ，，则点A到面SBC的距离，所以的取值范围是 .
当时，则，，则三角形为等边三角形，展开面，使得它与面位于同一平面内，，则的最小值时点在与的交点，则.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12． （答案不唯一） 13． 14．
14题提示：有，又，则有，即，则有函数为增函数，则，则需成立，令函数，则，所以在上是增函数，是减函数，则 ，则有即可。
四、解答题：本大题共5小题，共77分．
15．（13分）
解：（1）因为，由题意得，
即，解得；……………………………5分
（2）由（1）得，，
由得或，得，
即的单调递增区间为或，单调递减区间为，………………9分
所以的极大值为，极小值为……………13分
16．（15分）
解：（1）因为第5轮比赛后甲、乙共有积分10分，由题意可知甲积分8分，
故前3轮必须恰有1轮为乙积分2分，另2轮甲积分2分，
第4轮和第5轮都必须是甲积分2分，甲一次积分为2分的概率为
故概率为，
答：甲恰在第5轮比赛后获胜的概率；……………………6分
（2）依题意只能为，当时，甲、乙各自获胜的概率为，
即；当时，由（1）得甲获胜的概率为，
由于每轮甲、乙积分2分的概率相等，故，
所以即，所以的分布列为：
所以．…………………15分
17．（15分）
解：（1）如图，以点A为原点，以，，所在直线为轴，
建系如图：；故，
由知；
故，；…………………（4分）
由知，解得.………………（7分）
【注】先下结论后证明给3分．
（2）若平面，结合平面平面，平面知；
由（1）知，即为的中点；故为的中点，即；…………（10分）
故；，；
故；；
设平面的法向量，则，取，…………（13分）
所以点到平面的距离．……………………（15分）
18．（17分）
解：（1）（1）设，由题意
化简得
当时，有，
当时，有，即，
此时，不符合题意，舍去．
所以，点的轨迹方程为．……………………………………7分
（2）当直线的斜率存在时，设直线，且，
将直线非常代入得，
设，则，
而，……………………10分
点到直线的距离，，
即，的面积，
∴，，
又∵，∴，
∴，若值存在，
则必有，可解得，这时，即，
当直线的斜率不存在时，则此时设，则，
则当时成立，
∴存在时，的面积为定值。…………………………17分
19．（17分）
解：（1）由，
第1次求导得：，……………………（3分）
第2次求导得：，
第3次求导得：，
第4次求导得：，
依次类推，第次求导得；
………………………（6分）
令：，故．…………………………………（8分）
（2）由（1）知，故；……………………………（11分）
因为，所以，所以，
所以．……… （17分）
【注】（1）问直接用Taylr展开式得到结果给5分．
3
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