2023-2024学年浙江省杭州市余杭区七年级（上）月考数学试卷（1月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年浙江省杭州市余杭区七年级（上）月考数学试卷（1月份）（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.2的倒数是( )
A. −12B. −2C. 12D. 2
2.“亚运数字火炬手”是由杭州亚组委创新团队开发的一项全新计划，参与的总人数突破了100000000人.数据100000000用科学记数法表示为( )
A. 10×107B. 1×108C. 1×109D. 0.1×109
3.下列运算正确的是( )
A. 2ab−ab=2B. 3a+2a=5a2
C. 3m2−2m=mD. x2y+3x2y=4x2y
4.下列运算正确的是( )
A. −49=−7B. − (−5)2=5C. 81=±9D. (−3)2=3
5.如图，若CB=3cm，DB=7cm，且D是AC的中点，则AC=cm．( )
A. 4B. 6C. 8D. 10
6.若2m+n=2，mn=−1，则2(m+n)−(mn+n)的值是( )
A. 1B. 2C. 3D. 5
7.程大位《算法统宗》：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁，意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分一个，正好分完.试问大、小和尚各多少人？设大和尚有x人，依题意列方程得( )
A. 3x+100−x3=100B. 3x−100−x3=100
C. x3−3(100−x)=100D. x3+3(100−x)=100
8.如图，将三个同样的正方形的一个顶点重合放置，如果∠1=α，∠2=β，那么∠3的度数是( )
A. 90°−α−βB. 90°−α+βC. 90°+α−βD. α−β
9.在解关于y的方程2y−13=y+a2+1时，小明在去分母的过程中，右边的“+1”漏乘了公分母6，因而求得方程的解为y=2，则方程正确的解是( )
A. y=7B. y=5C. y=−3D. y=−7
10.如图，有3种大小不同的7张正方形纸片和1张长方形纸片②，将它们铺满长方形桌面，重叠部分(图中阴影部分)是个正方形，若要求长方形纸片②的周长，只需知道( )
A. 正方形①的边长
B. 重叠部分正方形的边长
C. 正方形③的边长
D. 正方形④的边长
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.单项式5x2的系数是______，次数是______．
12.3−64=______．
13.如图，面积为5的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且表示的数为1，若点E在数轴上，(点E在点A的右侧)且AB=AE，则E点所表示的数为______．
14.定义符号“*”表示的运算法则为a*b=ab+3a，若(3*x)+(x*3)=−27，则x= ______．
15.如图，∠AOC=∠BOD=90°，OE是∠AOB的平分线，且∠COE=75°，则∠AOD= ______．
16.已知A，B两点在数轴上所表示的数分别为a，b，O为原点，M，N均为该数轴上的点.若M为AB的中点，N为OA的中点，且3MN=AB−1，a=−6，则b= ______．
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
17.已知：C为线段AB的中点，D在线段BC上，且AD=7，BD=5，求：线段CD的长度．
四、解答题：本题共7小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题6分)
计算：
(1)−8−(−5)；
(2)4−3×22；
(3)(−32)×(−89)−2÷(−56)．
19.(本小题6分)
解方程：
(1)2x−9=−7x；
(2)5−6(56x−12)=2(x−34)．
20.(本小题6分)
已知：A=2a2−2a，B=−3a2+a+3．
(1)化简4A−(2A−B)(用含a的代数式表示)．
(2)若a=−3，求4A−(2A−B)的值．
21.(本小题8分)
放置在水平地面上两个无盖(朝上的面)的长方体纸盒，大小、形状如图.小长方体的长、宽、高分别为：a(cm)、b(cm)、c(cm)；大长方体的长、宽、高分别为：1.5a(cm)、2b(cm)、2c(cm)．
(1)做这两个纸盒共需要材料多少平方厘米？
(2)做一个大的纸盒比做一个小的纸盒多多少平方厘米材料？
22.(本小题10分)
某校组织七年级师生赴农场参加劳动.如果单独租用45座客车若干辆，刚好坐满.如果单独租用55座客车，可少租一辆，且余5个座位．
(1)求七年级师生参加劳动人数．
(2)已知租45座客车的日租金为每辆2250元，55座客车日租金每辆2680元.问：租哪种客车更合算？
23.(本小题10分)
如图，已知数轴上点A表示的数为−7，点B表示的数为5，点C到点A和点B的距离相等.回答下列问题：
(1)点C表示的数是______．
(2)若点A以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点B以每秒1个单位长度沿数轴向左匀速移动，两点同时移动，当点A运动到−3所在的点处时，求A，B两点间的距离．
(3)若点A以每秒2个单位长度沿数轴向右匀速移动，点B以每秒1个单位长度沿数轴向左匀速移动，两点同时移动，求经过多长时间A，B两点距离为3个单位长度．
24.(本小题12分)
如图，已知直线AB与直线CD相交于点O，夹角∠BOD=α，射线OE，∠BOE与∠AOC互补，ON是∠AOC的角平分线．
(1)∠BOD和∠AOE度数相等吗？请说明理由．
(2)射线OM平分∠AOD，求∠MON的度数．
(3)在(2)的条件下，若∠EOM=13∠MON，求夹角α的度数．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：2的倒数是：12．
故选：C．
直接利用倒数的定义分析得出答案．
此题主要考查了倒数，正确把握定义是解题关键．
2.【答案】B
【解析】解：100000000用科学记数法表示为1×108．
故选：B．
科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正整数，当原数绝对值小于1时，n是负整数；由此进行求解即可得到答案．
本题主要考查了科学记数法的表示方法，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：A.2ab−ab=ab，所以A选项不符合题意；
B.3a+2a=5a，所以B选项不符合题意；
C.3m2与2m不能合并，所以C选项不符合题意；
D.x2y+3x2y=4x2y，所以D选项符合题意．
故选：D．
利用合并同类项的法则对各选项进行判断．
本题考查了合并同类项：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．
4.【答案】D
【解析】解：A、 −49无意义，故错误，不符合题意；
B、− (−5)2=−5，故错误，不符合题意；
C、 81=9，故错误，不符合题意；
D、 (−3)2=3，故正确，符合题意．
故选：D．
根据算术平方根的定义依次计算即可求解．
本题考查了算术平方根，解题的关键是熟练运用算术平方根的定义，本题属于基础题型．
5.【答案】C
【解析】解：∵CB=3cm，DB=7cm，
∴DC=DB−CB=4cm，
∵D是AC的中点，
∴AC=2DC=8cm．
故选：C．
先求出DC=DB−CB=4cm，再根据中点的定义求出AC=2DC=8cm即可．
此题考查了线段中点的相关计算、线段的和差，熟练掌握线段之间的关系是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：因为2m+n=2，mn=−1，
所以2(m+n)−(mn+n)
=2m+2n−mn−n
=2m+n−mn
=2−(−1)
=2+1
=3．
故选：C．
将所求式子进行化简，再把2m+n和mn的值代入即可．
此题主要考查了代数式求值，代数式中的字母没有明确告知，而是隐含在题设中，首先应从题设入手，寻找要求的代数式与题设之间的关系，然后利用“整体代入法”求代数式的值．
7.【答案】A
【解析】解：∵大、小和尚共100人，且大和尚有x人，
∴小和尚有(100−x)人．
根据题意得：3x+100−x3=100．
故选：A．
根据大、小和尚人数间的关系，可得出小和尚有(100−x)人，再利用馒头的个数=3×大和尚人数+13×小和尚人数，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
8.【答案】A
【解析】【分析】根据∠3=∠BOD+∠EOC−∠BOE，利用正方形的角都是直角，即可求得∠BOD和∠EOC的度数从而求解．
本题主要考查了正方形的性质，角度的计算，正确理解∠3=∠BOD+∠EOC−∠BOE这一关系是解决本题的关键．
【解答】解：如图：
∵∠BOD=90°−∠1=90°−α，
∠EOC=90°−∠2=90°−β，
又∵∠3=∠BOD+∠EOC−∠BOE，
∴∠3=90°−α+90°−β−90°=90°−α−β．
故选：A．
9.【答案】A
【解析】解：按小明的方法去分母得：2(2y−1)=3(y+a)+1．
将y=2代入2(2y−1)=3(y+a)+1得：2×(2×2−1)=3×(2+a)+1，
解得：a=−13，
∴原方程为2y−13=y−132+1，
去分母得：2(2y−1)=3(y−13)+6，
去括号得：4y−2=3y+5，
移项、合并同类项得：y=7，
∴原方程正确的解是y=7．
故选：A．
按小明的方法去分母，可得出2(2y−1)=3(y+a)+1，代入y=2可求出a值，进而可得出原方程，再解一元一次方程即可得出结论．
本题考查了一元一次方程的解，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：设正方形①的边长为a，阴影部分的边长为m，
∴长方形纸片②的宽为a+m，
由图可知，正方形③的边长为a+m2，
∴正方形④的边长为a+m2−m=a−m2，
∴长方形纸片②的长为m+4×a−m2=2a−m，
∴长方形纸片②的周长为2[(a+m)+(2a−m)]=6a；
∴要求长方形纸片②的周长，只需知道正方形①的边长；
故选：A．
设正方形①的边长为a，阴影部分的边长为m，可得长方形纸片②的宽为a+m，正方形③的边长为a+m2，正方形④的边长为a−m2，故长方形纸片②的长为2a−m，从而可得长方形纸片②的周长为2[(a+m)+(2a−m)]=6a；即可得答案．
本题考查正方形性质及应用，解题的关键是用含字母的式子表示正方形，长方形的各边长．
11.【答案】5 2
【解析】解：单项式5x2的系数是5，次数是2．
故答案为：5，2．
根据单项式系数和次数的定义即可得出答案．
本题考查单项式，解题的关键是明确单项式系数和次数的定义．
12.【答案】−4
【解析】【分析】
本题考查了立方根的定义，属于基础题，比较简单．
谁的立方等于−64，谁就是−64的立方根．
【解答】
解：∵(−4)3=−64，
∴3−64=−4，
故答案为−4．
13.【答案】1+ 5
【解析】解：∵正方形ABCD的面积为5，
∴AB= 5，
∵AB=AE，
∴AE= 5，
∵点A表示的数为1，且点E在点A的右侧，
∴E点所表示的数为1+ 5．
故答案为：1+ 5．
先根据正方形的面积求出正方形的边长AB= 5，即可求出AE= 5，根据点A表示的数为1，且点E在点A的右侧，即可求出E点所表示的数．
本题主要考查算术平方根的应用，实数与数轴，解题的关键是根据正方形的面积求出AE=AB= 5．
14.【答案】−4
【解析】解：根据题中的新定义得：3x+9+3x+3x=−27，
移项合并得：9x=−36，
解得：x=−4，
故答案为：−4．
先根据运算法则a*b=ab+3a转化方程，然后解出x的值即可．
此题考查了解一元一次方程，解题的关键是正确根据新定义转化方程．
15.【答案】120°
【解析】解：∵∠AOC=∠BOD=90°，∠COE=75°，
∴∠AOE=∠AOC−∠COE=15°，
∵OE是∠AOB的平分线，
∴∠AOB=2∠AOE=30°，
∴∠AOD=∠AOB+∠BOD=120°．
故答案为：120°．
由余角的定义可得∠AOE=15°，再由角平分线的定义得∠AOB=2∠AOE=30°，则可求∠AOD的度数．
本题主要考查余角，角平分线的定义，解答的关键是结合图形分析清楚各角之间的关系．
16.【答案】10或−2
【解析】解：∵A，B两点在数轴上所表示的数分别为a，b，a=−6，
∴AB=b+6，
∵M为AB的中点，
∴点M表示的数为：x−62，
N为OA的中点，
∴点N表示的数为−3，
A在B的左侧，
①当N在M的左侧，
b+6−1=3(3+b−62)
解得：b=10；
②当N在M的右侧，
b+6−1=3(−3−b−62)，
解得：b=−2；
A在B的右侧，
③当N在M的右侧，
−6−b−1=3(−3−b−62)
解得：b=14，
∵b<−6，
∴b=14不成立．
故答案为：10或−2．
由A、B在数轴上表示的数为a、b和a=−6可表示出AB和MN的值，因为3MN−AB−1，分情况讨论A在B的左侧，当N在M的左侧，和N在M的右侧，以及A在B的右侧求值即可．
本题主要考查的是数轴，以及用数轴上的点表示线段长度，确定AB和MN是关键，注意分情况讨论．
17.【答案】解：∵AD=7，BD=5
∴AB=AD+BD=12
∵C是AB的中点
∴AC=12AB=6
∴CD=AD−AC=7−6=1．
【解析】根据已知可求得AB的长，从而可求得AC的长，已知AD的长则不难求得CD的长．
此题主要考查学生对比较线段的长短的掌握情况，比较简单．
18.【答案】解：(1)−8−(−5)
=−8+5
=−3．
(2)4−3×22
=4−3×4
=4−12
=−8．
(3)(−32)×(−89)−2÷(−56)
=43−(−125)
=5615．
【解析】(1)将减法变成加法后，再计算即可；
(2)先算乘方，再算乘法，最后算减法即可；
(3)同时算乘除法，再算减法即可．
本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是按照有理数混合运算的顺序和计算法则进行计算．
19.【答案】解：(1)2x−9=−7x，
2x+7x=9，
9x=9，
x=1；
(2)5−6(56x−12)=2(x−34)，
5−5x+3=2x−32，
5x+2x=5+3+32，
7x=192，
x=1914．
【解析】(1)通过移项、合并同类项、系数化为1即可求解；
(2)通过去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可求解．
本题考查了解一元一次方程，解一元一次方程常见的过程有去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等．
20.【答案】解：(1)4A−(2A−B)
=4A−2A+B
=2A+B
=2(2a2−2a)−3a2+a+3
=4a2−4a−3a2+a+3
=a2−3a+3．
(2)当a=−3时，
4A−(2A−B)=a2−3a+3=9+9+3=21．
【解析】(1)先去括号，再合并同类项即可．
(2)直接将a的值代入计算即可．
本题考查整式的加减−化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
21.【答案】解：(1)小长方体的表面积为：(ab+ac+bc)×2−ab=(ab+2ac+2bc)(cm2)，
大长方体的表面积为：(3ab+3ac+4bc)×2−1.5a×2b=(3ab+6ac+8bc)(cm2)；
(ab+2ac+2bc)+(3ab+6ac+8bc)=(4ab+8ac+10bc)(cm2)；
答：做这两个纸盒共需要材料(4ab+8ac+10bc)平方厘米；
(2)(3ab+6ac+8bc)−(ab+2ac+2bc)=(2ab+4ac+6bc)(cm2)
答：做一个大的纸盒比做一个小的纸盒多(2ab+4ac+6bc)平方厘米材料．
【解析】(1)根据长方体表面积的计算方法列式计算即可(尤其注意该长方体纸盒是无盖的)；
(2)用大长方体的表面积减去小长方体的表面积即可．
本题考查认识立体图形，表面积的计算方法，掌握立体图形的形体特征和表面积的计算方法是正确解答的前提．
22.【答案】解：(1)设单独租用45座客车x辆，则七年级参加劳动的师生共45x人，
根据题意得：45x=55(x−1)−5，
解得：x=6，
∴45x=45×6=270(人)．
答：七年级参加劳动的师生共270人；
(2)单独租用45座客车所需费用为2250×6=13500(元)；
单独租用55座客车所需费用为2680×5=13400(元)．
∵13500>13400，
∴单独租用55座客车更合算．
【解析】(1)设单独租用45座客车x辆，则七年级参加劳动的师生共45x人，根据“如果单独租用55座客车，可少租一辆，且余5个座位”，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值，再将其代入45x中，即可求出结论；
(2)利用总租金=每辆车的日租金×租车数量，可分别求出单独租用45座客车及单独租用55座客车所需费用，比较后即可得出结论．
本题考查了一元一次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出一元一次方程；(2)根据各数量之间的关系，列式计算．
23.【答案】−1
【解析】解：(1)设点C表示的数是x，
根据题意得：x−(−7)=5−x，
解得：x=−1，
∴点C表示的数是−1．
故答案为：−1；
(2)当运动时间为t秒时，点A表示的数为−7+2t，点B表示的数为5−t，
根据题意得：−7+2t=−3，
解得：t=2，
∴5−t=5−2=3，
∵3−(−3)=6，
∴当点A运动到−3所在的点处时，A，B两点间的距离是6；
(3)当运动时间为t秒时，点A表示的数为−7+2t，点B表示的数为5−t，
根据题意得：|5−t−(−7+2t)|=3，
即12−3t=3或3t−12=3，
解得：t=3或t=5．
答：经过3或5秒时，A，B两点距离为3个单位长度．
(1)设点C表示的数是x，根据点C到点A和点B的距离相等，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
(2)当运动时间为t秒时，点A表示的数为−7+2t，点B表示的数为5−t，根据点A表示的数为−3，可列出关于t的一元一次方程，解之可得出t的值，将其代入5−t中，可求出此时点B表示的数，再利用数轴上两点间的距离公式，即可求出结论；
(3)当运动时间为t秒时，点A表示的数为−7+2t，点B表示的数为5−t，根据A，B两点距离为3个单位长度，可列出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论．
本题考查了一元一次方程的应用以及数轴，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
24.【答案】解：(1)∠BOD=∠AOE，理由如下：
∵∠BOE与∠AOC互补，
∴∠BOE+∠AOC=180°，
∵直线AB与直线CD相交于点O，
∴∠BOE+∠AOE=180°，
∴∠AOC=∠AOE，
又∵∠BOD=∠AOC，
∴∠BOD=∠AOE，
(2)∵ON平分∠AOC，OM平分∠AOD，
∴∠AON=12∠AOC，∠AOM=12∠AOD，
∴∠AON+∠AOM=12(∠AOD+∠AOC)，
∵直线AB与直线CD相交于点O，
∴∠AOD+∠AOC=180°，
∴∠AON+∠AOM=90°，
即∠MON=90°；
(3)∵∠EOM=13∠MON，
∵有以下两种情况：
①当OE在OM的左侧时，如图1所示：

由(1)可知：∠AOC=∠AOE=∠BOD=α，
∵ON是∠AOC的角平分线，
∴∠AON=∠CON=12∠AOC=1/2α，
由(2)可知：∠MON=90°，
∴∠EOM=13∠MON=30°，
∴∠EON=∠MON−∠EOM=60°，
又∵∠EON=∠AON+∠AOE=12α+α=3/2α，
∴23α=60°，
解得：α=40°，
②当OE在OM的右侧时，如图2所示：

同理得：∠AOC=∠AOE=∠BOD=α，∠AON=∠CON=12α，∠EOM=30°，
∴∠EON=∠EOM+∠MON=120°，
又∵∠EON=∠AON+∠AOE=12α+α=3/2α，
∴23α=120°，
解得：α=80°．
综上所述：夹角α的度数为40°或80°．
【解析】(1)由∠BOE与∠AOC互补及∠BOE+∠AOE=180°，得∠AOC=∠AOE，再对顶角的性质得∠BOD=∠AOC，由此得可得出结论；
(2)根据角平分线的定义得∠AON=12∠AOC，∠AOM=12∠AOD，则∠AON+∠AOM=12(∠AOD+∠AOC)=90°，由此可得∠MON的度数；
(3)根据∠EOM=13∠MON，分两种情况讨论如下：①当OE在OM的左侧时，由(1)可知AOC=∠AOE=∠BOD=α，再根据角平分线的定义得∠AON=∠CON=12α，由(2)可知∠MON=90°，则∠EOM=13∠MON=30°，进而得∠EON=∠MON−∠EOM=60°，则∠AON+∠AOE=12α+α=60°，据此可得α的度数；
②当OE在OM的右侧时，同理得：∠AOC=∠AOE=∠BOD=α，∠AON=∠CON=12α，∠EOM=30°，进而得∠EON=∠EOM+∠MON=120°，则∠AON+∠AOE=12α+α=120°，据此可得α的度数；综上所述即可得出夹角α的度数．
此题主要考查了邻补角的定义，角平分线的定义，角的计算，准确识图，理解邻补角的定义，角平分线的定义，熟练掌握角的计算是解决问题的关键．