江苏省无锡市滨湖区2022-2023学年八年级上学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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注意：（1）考试时间为100分钟，试卷满分130分．
（2）本试卷分试题和答题卡两部分，所有答案一律写在答题卡上．
一、选择题（本大题共10题，每小题3分，满分30分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔在答题卡上相应的选项标号涂黑）
1. 下列轴对称图形中，只有两条对称轴的图形是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】关于某条直线对称图形叫轴对称图形，看各个图形有几条对称轴即可．
【详解】解：A、只有两条对称轴，故本选项符合题意；
B、只有一条对称轴，故本选项不符合题意；
C、只有一条对称轴，故本选项不符合题意；
D、有六条对称轴，故本选项不符合题意；
故选：A
【点睛】本题考查了轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
2. 下列各式中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查平方根，算术平方根及立方根的运算．根据定义对各项进行计算即可．
【详解】A，，此选项错误；
B，，此选项错误；
C，，此选项正确；
D，开立方开不尽，此选项错误．
故选：C．
3. 在实数：﹣3.14，，π，4.3333，中，无理数的个数为( )
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
【答案】B
【解析】
【分析】由于无理数就是无限不循环小数，利用无理数的定义即可判定选择项．
【详解】解：﹣3.14，4.3333，是分数，=4是整数，无理数只有π这1个数，
故选B．
【点睛】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
4. 如果是9的平方根，那么等于（ ）．
A. －3B. －C. ±3D. 或－
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了平方根及立方根，熟练掌握一个正数的平方根有两个，它们互为相反数是解题关键．先根据平方根的定义可求得的值，再根据立方根的定义即可得答案．
【详解】解：∵是9的平方根，
∴，
∴或，
故选：D．
5. 如图，已知，，那么与全等的理由是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据直角三角形证明全等．
【详解】解：在和中，
，
∴．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了直角三角形全等，解题的关键是熟悉直角三角形全等证明方法．
6. 如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，EC＝5，△ABC的周长为26，则△BDC的周长为( )
A. 14B. 16C. 18D. 19
【答案】B
【解析】
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DA=DC，AC=2EC=10，根据三角形的周长公式计算即可．
【详解】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA=DC，AC=2EC=10，
∵△ABC的周长为26，
∴AB+AC+BC=26，
∴AB+BC=16，
∴△BDC的周长=BD+CD+BC=BD+AD+BC=AB+BC=16，
故选B．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
7. 如图，在的网格中，画与原三角形成轴对称的格点三角形（顶点在格点上），这样的三角形的个数是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形的作图，先根据图形特点确定对称轴，再根据对称轴作图即可.
【详解】解：如图所示，共有3种，

故选：B．
8. 如图，已知中，（），用尺规在线段上确定一点，使得，则符合要求的作图痕迹是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查作图．根据题意不难知道，题中需要作线段的垂直平分线，再结合题意，可以得到答案．
【详解】A，只能得到,此选项不符合题意；
B，只能得到,此选项不符合题意；
C，只能得到,此选项不符合题意；
D，能得到，进而得到．
故选：D．
9. 如图，在线段上求作一点，使它到的距离相等，则点是（ ）
A. 线段的中点
B. 线段的垂直平分线与线段的交点
C. 线段的垂直平分线与线段的交点
D. 线段与的平分线的交点
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了角平分线的性质定理，根据角平分线的性质定理求解即可，掌握角平分线的性质定理是解题的关键．
【详解】解：∵角平分线上的点到角的两边的距离相等，
∴点是线段与的平分线的交点，
故选：．
10. 已知＝，则的取值范围是( )
A. a≤0B. a＜0C. 0＜a≤1D. a＞0
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次根式的性质及二次根式有意义的条件、分式有意义的条件计算即可得答案．
【详解】∵，，
∴，即，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查二次根式的性质、二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，二次根式的性质，二次根式有意义的条件为被开方数为非负数；分式有意义的条件为分母不为0；熟练掌握相关知识点是解题关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，其中第17题第一空1分，第二空2分．只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置）
11. 平方等于16的数是______.
【答案】
【解析】
【分析】根据平方运算的概念，即可求解.
【详解】∵，∴平方等于16的数是.
【点睛】掌握平方运算的反则，是解题的关键.
12. 若一个等腰三角形两边长分别为，则其周长为______．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了等腰三角形的性质与三角形三边关系，由等腰三角形两边长为，分别从等腰三角形的腰长为或去分析即可求得答案，注意分析能否组成三角形．
【详解】①若等腰三角形的腰长为，底边长为
能组成三角形
它的周长是：
②若等腰三角形腰长为，底边长为
不能组成三角形
综上所述，它的周长是：
故答案为：．
13. 如图，点是上的一点，若，且，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的性质、等边对等角、三角形内角和定理，由全等三角形的性质可得，，从而得出，，再由三角形内角和定理得出，即可得解．
【详解】解：，
，，
，即，
，
，
，
，
故答案为：．
14. 若都是实数，且，的值为______．
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，求代数式的值，由题意得：，，从而得出代入式子求得，即可得出答案．
【详解】解：由题意得：，，
解得：，
将代入得：，
，
故答案为：．
15. 下列命题中：①近似数精确到十分位；②近似数精确到十分位；③近似数千万和近似数万的精确度一样；④近似数和近似数的精确度一样．正确的是______．（填序号）
【答案】①④##④①
【解析】
【分析】本题考查的知识点是判断命题真假、指出一个近似数精确到哪一位，解题关键是熟练掌握近似数的精确度的判断方法．
根据近似数精确度的定义对命题进行逐一判断即可求解．
【详解】解：：①近似数精确到十分位，命题①正确；
②中近似数精确到百分位，命题②错误；
③近似数千万和近似数万的精确度不一样，近似数千万精确到千万位，近似数万精确到万位，命题③错误；
④近似数和近似数的精确度一样，命题④正确；
命题中①④正确．
故答案为：①④．
16. 如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=4，连接BD，BD⊥CD，∠ADB=∠C．若P是BC边上一动点，则DP长最小值为_______．
【答案】4
【解析】
【详解】如图，过点D作DE⊥BC于点E，当DP=DE时，DP最小，
∵BD⊥DC，∠A=90°，
∴∠DEB=∠DEC=90°=∠A，∠BDC=90°，
∴∠C+∠CDE=90°，∠CDE+∠BDE=90°，
∴∠BDE=∠C，
又∵∠ADB=∠C，
∴∠ADB=∠BDE，
∴在△ABD和△EBD中 ，
∴DE=AD=4，
即DP的最小值为4．
故答案为：4．
17. 如图，在中，，，平分，，则______；若，则的长为______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】由和间角的关系可得；延长交于点，由ASA证得，求出，再由ASA证得，得到，从而求出的长．
【详解】
，即
，平分
如图所示，延长交于点
在和中，
（ASA）
平分
在和中，
（ASA）
故答案为：，
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，延长构造全等三角形是解题的关键．
18. 如图，点是边长为6的等边三角形边上一点，连接并绕点顺时针旋转60度得线段，连接，当是等腰三角形时，的长为______．
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、等腰三角形的性质、旋转的性质，连接，由旋转的性质可得：，，从而得出是等边三角形，证明，得出，，从而得出，当是等腰三角形时，只存在，得出，从而得出，结合等边三角形的性质即可得解．
【详解】解：如图，连接，
，
由旋转的性质可得：，，
是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，，
，即，
，
，
，
当是等腰三角形时，只存在，
为的中点，
，
故答案为：．
三、解答题（本大题共9小题，共76分．）
19. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）5 （2）
【解析】
【分析】本题考查实数的运算．
（1）直接利用二次根式的性质，立方根的性质，有理数的乘方化简即可；
（2）利用零指数幂性质，二次根式性质，绝对值性质进行化简即可．
【小问1详解】
解：原式
；
小问2详解】
原式
．
20. 求下列各式中x的值：
（1）；
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了利用立方根和平方根的定义解方程，熟练掌握平方根和立方根的定义是解此题的关键．
（1）将方程化为，再利用平方根的定义解方程即可；
（2）将方程化为，再利用立方根的定义解方程即可．
【小问1详解】
解：，
，
，
；
【小问2详解】
解：，
，
，
．
21. 已知的立方根是2，的算术平方根是3．
（1）求的值
（2）求的平方根．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了立方根、平方根、算术平方根的定义，根据立方根和算术平方根的定义求出的值是解此题的关键．
（1）根据立方根和算术平方根的定义得出，，求解即可得出答案；
（2）由（1）得：，求出的值，最后根据平方根的定义即可得出答案．
小问1详解】
解：的立方根是2，的算术平方根是3，
，，
解得：；
【小问2详解】
解：由（1）得：，
，
的平方根为．
22. 已知：如图，点A，D，C，F在一条直线上，且，，，求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是根据证明．
【详解】证明：∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
23. 如图，在长度为1个单位的小正方形组成的正方形网格中，点在小正方形的顶点上．完成下列作图（不写画法，保留作图痕迹）

（1）在图中画出与关于直线成轴对称的；
（2）仅使用无刻度的直尺作出边上的高．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了作图—轴对称变换、作三角形的高，熟练掌握轴对称的性质是解此题的关键．
（1）根据轴对称的性质作出点的对应点，再顺次连接即可；
（2）根据格点作出边上的高即可．
【小问1详解】
解：如图，即为所求；
；
【小问2详解】
解：如图，线段即为所求，
．
24. 如图，在中，点在边上，，是的中点，是的中点．
（1）求证：；
（2）若点是边的中点，连接，当满足______时（添加一个条件），有线段，并说明理由．
【答案】（1）见解析 （2），理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）连接，由等腰三角形的性质可得，再根据直角三角形斜边上的中线的性质即可证明；
（2）连接，由等腰三角形的性质可得，再根据直角三角形斜边上的中线的性质可得，结合（1）中的结论即可解答．
【小问1详解】
证明：连接，
，
∵，是的中点，
∴，
又∵是的中点，
∴；
【小问2详解】
解：当时，线段，
理由如下：
连接，
，
∵，是的中点，
∴，
∵点是边的中点，
∴，
由（1）可得
∴当时，．
25. 如图，和均为等边三角形，、、在同一直线上．
（1）证明：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的性质与判定．
（1）利用等边三角形能得出有两条边对应相等，不难得到其夹角也相等，最后利用即可；
（2）根据前面证得三角形全等可得对应角相等，后用三角形内角和及整体思想求，具体见详解．
【小问1详解】
证明：和都是等边三角形
，，
，即
在和中
【小问2详解】
，
．
26. 已知：如图，四边形中，，，，．回答下列问题：
（1）在四边形的边上点除外，是否存在点，使得为等腰三角形，如果存在，这样的点共有个．
（2）现有，其两边分别与、交于点、，连接．将绕着点旋转，使得、始终在边和边上．试判断在这一过程中，的周长是否发生变化？若没有变化，请求出其周长；若发生变化，请说明理由．
【答案】（1）
（2）的周长不发生变化，其周长为
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的定义，全等三角形的性质与判定；
（1）如果为等腰三角形，那么分在边或者边上或边上三种情形，分别讨论，得出答案；
（2）延长至点，使，连接．
证明得出，，进而可得，证明得出，进而得出的周长，即可得出结论
【小问1详解】
解：在边，当，则点与点重合；
当在边，则，有1个点，
当在边，当，有1个点，
综上所述，共3个点，使得为等腰三角形，
故答案为：．
【小问2详解】
的周长不发生变化．理由如下：
延长至点，使，连接．
，
又，
，
，．
，
．
又已证，公共边，
，
．
的周长
．
的周长不变，其周长为．
27. 已知，是的平分线．三角板的直角顶点在射线上移动，
（1）在图1中，三角板的两直角边分别与，交于，，求证：；
（2）在图2中，三角板的一条直角边与交于点，另一条直角边与的反向延长线交于点，猜想此时（1）中的结论是否成立，画出图形，并说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）结论仍成立，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查角了角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，作出辅助线构三角形是解题的关键．
（1）过作于，于，由为的平分线，利用角平分线定理得到，利用同角的余角相等得到一对角相等，利用得到与全等，利用全等三角形的对应边相等即可得证；
（2）同（1）可证明．
【小问1详解】
解：过作于，于，
∵是的平分线，
∴，，
∵，，
∴
，
∴．
【小问2详解】
画出图形，结论仍成立，
理由如下：
过作于，于，
∵是的平分线，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴．