黑龙江省哈尔滨市南岗区松雷中学2022年中考数学二模试卷

这是一份黑龙江省哈尔滨市南岗区松雷中学2022年中考数学二模试卷，共33页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．﹣3的相反数为（ ）
A．﹣3B．﹣C．D．3
2．下列运算正确的是（ ）
A．（a2）5＝a7B．a2•a4＝a6
C．3a2b﹣3ab2＝0D．（）2＝
3．在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
4．由4个相同的小立方体搭成的几何体如图所示，则它的主视图是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，CD为⊙O的直径，过点D的弦DE平行于半径OA，若∠D的度数是50°，则∠A的度数为（ ）
A．50°B．40°C．30°D．25°
6．将二次函数y＝x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是（ ）
A．y＝（x﹣1）2+2B．y＝（x+1）2+2C．y＝（x﹣1）2﹣2D．y＝（x+1）2﹣2
7．方程＝的解为（ ）
A．x＝﹣1B．x＝0C．x＝﹣3D．x＝1
8．如图，在△ABC中，∠B＝60°，AB＝4，BC＝6，将△ABC向右平移得到△DEF，再将△DEF绕点D逆时针旋转至点E、C重合，则平移的距离和旋转角的度数分别为（ ）
A．1，30°B．4，30°C．2，60°D．4，60°
9．反比例函数的图象在每个象限内，y随x的增大而增大，则a的取值范围是（ ）
A．a≥﹣3B．a＞﹣3C．a≤﹣3D．a＜﹣3
10．如图，在▱ABCD中，点E是AB上任意一点，过点E作EF∥BC交CD于点F，连接AF并延长交BC的延长线于点H，则下列结论中错误的是（ ）
A．B．C．＝D．＝
二、填空题：（每题3分，共30分）
11．将1060000用科学记数法表示为 ．
12．函数y＝中的自变量x的取值范围 ．
13．计算﹣的结果是 ．
14．分解因式：2ab2+4ab+2a＝ ．
15．不等式组的解集是 ．
16．二次函数y＝﹣（x﹣1）2+2的图象与y轴交点坐标是 ．
17．一个不透明的袋子中装8个小球，其中3个红球，3个白球，2个黑球，小球除颜色外形状、大小完全相同．现从中随机摸出一个小球，摸出的小球是红色的概率为 ．
18．某扇形的圆心角是45°，面积为18π，该扇形的半径是 ．
19．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝10，M为AD的中点，把矩形沿着过点M的直线折叠，点A刚好落在边BC上的点E处，则AE的长为 ．
20．如图，平行四边形ABCD中，点E在CD边上，连接BE，∠ABE＝60°，F在BE上，AF＝CE，∠BAF＝∠CBE，若AD＝7，AB＝6，则BF＝ ．
三、解答题：（21题7分，22题7分，23-24每题8分，25-27每题10分，共60分）
21．（7分）先化简，再求代数式的值，其中x＝2sin60°﹣tan45°．
22．（7分）如图，在小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段AB，点A、B均在小正方形的顶点上．
（1）在图1中画一个以线段AB为一边的平行四边形ABCD，点C、D均在小正方形的顶点上，且平行四边形ABCD的面积为10；
（2）在图2中画一个钝角三角形ABE，点E在小正方形的顶点上，且三角形ABE的面积为4，tan∠AEB＝．请直接写出BE的长．
23．（8分）某校组织学生书法比赛，在限定每人只交一份书法作品的条件下，对参赛作品按A、B、C、D四个等级进行了评定．现随机抽取部分学生书法作品的评定结果进行分析，并绘制扇形统计图和条形统计图如下：
根据上述信息完成下列问题：
（1）求这次抽取的学生书法作品共计多少份；
（2）请在图②中把条形统计图补充完整；
（3）已知该校这次活动共收到参赛作品750份，请你估计参赛作品达到B级以上（即A级和B级）有多少份？
24．（8分）在△ABC中，过A作BC的平行线，交∠ACB的平分线于点D，点E是BC上一点，连接DE，交AB于点F，∠CAD+∠BED＝180°．
（1）如图1，求证：四边形ACED是菱形；
（2）如图2，若∠ACB＝90°，BC＝2AC，点G、H分别是AD、AC边中点，连接CG、EG、EH，不添加字母和辅助线，直接写出图中与△CEH所有的全等的三角形．
25．（10分）某商品经销店欲购进A、B两种纪念品，用160元购进的A种纪念品与用240元购进的B种纪念品的数量相同，每件B种纪念品的进价比A种纪念品的进价贵10元．
（1）求A、B两种纪念品每件的进价分别为多少元？
（2）若该商店A种纪念品每件售价24元，B种纪念品每件售价35元，这两种纪念品共购进1 000件，这两种纪念品全部售出后总获利不低于4 900元，求A种纪念品最多购进多少件．
26．（10分）如图1，在⊙O中，AB和CD是两条弦，且AB⊥CD，垂足为点E，连接BC，过A作AF⊥BC于F，交CD于点G；
（1）求证：GE＝DE；
（2）如图2，连接AC、OC，求证：∠OCF+∠CAB＝90°；
（3）如图3，在（2）的条件下，OC交AF于点N，连接EF、EN、DN，若OC∥EF，EN⊥AF，DN＝2，求NO的长．
27．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝﹣ax2+6ax+6与y轴交于点B，交x轴的负半轴于点A，交x轴的正半轴于点C，且S△ABC＝30．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，点P为第一象限抛物线上一点，其横坐标为t，PD⊥x轴于点D，设tan∠PAD等于m，求m与t之间的函数关系式；
（3）如图3，在（2）的条件下，当m＝时，过点B作BN⊥AB交∠PAC的平分线于点N，点K在线段AB上，点M在线段AN上，连接KM、KN，∠MKN＝2∠BNK，作MT⊥KN于点T，延长MT交BN于点H，若NH＝4BH，求直线KN的解析式．
参考答案与试题解析
一、选择题：（每题3分，共30分）
1．﹣3的相反数为（ ）
A．﹣3B．﹣C．D．3
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数解答．
【解答】解：﹣3的相反数是3．
故选：D．
【点评】本题考查了相反数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．
2．下列运算正确的是（ ）
A．（a2）5＝a7B．a2•a4＝a6
C．3a2b﹣3ab2＝0D．（）2＝
【分析】根据幂的乘方、同底数幂的乘法和同类项合并计算即可．
【解答】解：A、（a2）5＝a10，错误；
B、a2•a4＝a6，正确；
C、3a2b与3ab2不能合并，错误；
D、（）2＝，错误；
故选：B．
【点评】此题考查幂的乘方、同底数幂的乘法和同类项合并，关键是根据法则进行计算．
3．在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确；
故选：D．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
4．由4个相同的小立方体搭成的几何体如图所示，则它的主视图是（ ）
A．B．C．D．
【分析】主视图有2列，每列小正方形数目分别为2，1．
【解答】解：几何体的主视图有2列，每列小正方形数目分别为2，1，
故选：A．
【点评】本题考查实物体的三视图．在画图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来，看得见的轮廓线都画成实线，看不见的画成虚线，不能漏掉．本题画几何体的三视图时应注意小正方形的数目及位置．
5．如图，CD为⊙O的直径，过点D的弦DE平行于半径OA，若∠D的度数是50°，则∠A的度数为（ ）
A．50°B．40°C．30°D．25°
【分析】根据平行线的性质可证∠D＝∠AOD＝50°，又根据三角形外角与内角的关系可证∠ACO＝∠OAC＝∠AOD＝25°
【解答】解：∵OA∥DE，
∴∠D＝∠AOD＝50°，
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠OAC＝∠AOD＝25°．
故选：D．
【点评】此题主要考查了考查的是两直线平行的性质及三角形外角与内角的关系的知识．关键是掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
6．将二次函数y＝x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是（ ）
A．y＝（x﹣1）2+2B．y＝（x+1）2+2C．y＝（x﹣1）2﹣2D．y＝（x+1）2﹣2
【分析】根据函数图象右移减、左移加，上移加、下移减，可得答案．
【解答】解：将二次函数y＝x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是 y＝（x﹣1）2+2，
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，函数图象右移减、左移加，上移加、下移减是解题关键．
7．方程＝的解为（ ）
A．x＝﹣1B．x＝0C．x＝﹣3D．x＝1
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：x+5＝6x，
解得：x＝1，
经检验x＝1是分式方程的解，
故选：D．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
8．如图，在△ABC中，∠B＝60°，AB＝4，BC＝6，将△ABC向右平移得到△DEF，再将△DEF绕点D逆时针旋转至点E、C重合，则平移的距离和旋转角的度数分别为（ ）
A．1，30°B．4，30°C．2，60°D．4，60°
【分析】由平移的性质和旋转的性质可证△DEC是等边三角形，可得DE＝EC＝CD＝4，∠EDC＝60°，即可求解．
【解答】解：∵将△ABC向右平移得到△DEF，
∴∠B＝∠DEF＝60°，AB＝DE＝4，
∵将△DEF绕点D逆时针旋转至点E、C重合，
∴DE＝DC，
∴△DEC是等边三角形，
∴DE＝EC＝CD＝4，∠EDC＝60°，
∴BE＝2，
故选：C．
【点评】本题考查了旋转的性质，平移的性质，等边三角形的判定和性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
9．反比例函数的图象在每个象限内，y随x的增大而增大，则a的取值范围是（ ）
A．a≥﹣3B．a＞﹣3C．a≤﹣3D．a＜﹣3
【分析】先根据反比例函数的图象在每个象限内，y随x的增大而增大得出关于a的不等式，求出a的取值范围即可．
【解答】解：∵反比例函数的图象在每个象限内，y随x的增大而增大，
∴a+3＜0，解得a＜﹣3．
故选：D．
【点评】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数y＝中，当k＜0时函数图象在二、四象限，在每一象限内y随x的增大而减小是解答此题的关键．
10．如图，在▱ABCD中，点E是AB上任意一点，过点E作EF∥BC交CD于点F，连接AF并延长交BC的延长线于点H，则下列结论中错误的是（ ）
A．B．C．＝D．＝
【分析】根据平行四边形的性质可得出AD＝EF＝BC、AE＝DF、BE＝CF．
A、易证△ADF∽△HCF，根据相似三角形的性质即可得出＝，即＝，结论A正确；
B、易证△ABH∽△FCH，根据相似三角形的性质即可得出＝，即＝，结论B正确；
C、易证△ADF∽△HBA，根据相似三角形的性质即可得出＝，即＝，结论C正确；
D、易证△FCH∽△AEF，根据相似三角形的性质即可得出＝，即＝，结论D错误．
此题得解．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，EF∥BC，
∴AD＝EF＝BC，AE＝DF，BE＝CF．
A、∵AD∥CH，
∴△ADF∽△HCF，
∴＝，即＝，结论A正确；
B、∵AB∥CD，
∴△ABH∽△FCH，
∴＝，即＝，结论B正确；
C、∵AD∥BH，
∴△ADF∽△HBA，
∴＝，即＝，结论C正确；
D、∵AE∥CF，EF∥CH，
∴△FCH∽△AEF，
∴＝，即＝，结论D错误．
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性以及平行四边形的性质，根据相似三角形的性质逐一分析四个结论的正误是解题的关键．
二、填空题：（每题3分，共30分）
11．将1060000用科学记数法表示为 1.06×106 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将1060000用科学记数法表示为1.06×106．
故答案是：1.06×106．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12．函数y＝中的自变量x的取值范围 x≠4 ．
【分析】根据分式的意义，分母不等于0，可以求出x的范围．
【解答】解：根据题意得：x﹣4≠0，
解得：x≠4．
故答案为：x≠4．
【点评】考查了函数自变量的范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
13．计算﹣的结果是 ．
【分析】先把各二次根式化为最简二次根式，再合并同类项即可．
【解答】解：原式＝2﹣
＝．
故答案为：．
【点评】本题考查的是二次根式的加减法，熟知二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变是解答此题的关键．
14．分解因式：2ab2+4ab+2a＝ 2a（b+1）2 ．
【分析】原式提取2a，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝2a（b2+2b+1）＝2a（b+1）2，
故答案为：2a（b+1）2
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
15．不等式组的解集是 2＜x≤4 ．
【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
【解答】解：，由①得，x≤4，由②得，x＞2，
故不等式组的解集为：2＜x≤4．
故答案为：2＜x≤4．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
16．二次函数y＝﹣（x﹣1）2+2的图象与y轴交点坐标是 （0，1） ．
【分析】求出二次函数y＝﹣（x﹣1）2+2，当x＝0时y的值，即可得出答案．
【解答】解：∵y＝﹣（x﹣1）2+2，当x＝0时，y＝﹣1+2＝1，
∴二次函数y＝﹣（x﹣1）2+2的图象与y轴交点坐标是（0，1）；
故答案为：（0，1）．
【点评】本题考查了二次函数与坐标轴的交点；求出二次函数当x＝0时y的值是解题的关键．
17．一个不透明的袋子中装8个小球，其中3个红球，3个白球，2个黑球，小球除颜色外形状、大小完全相同．现从中随机摸出一个小球，摸出的小球是红色的概率为 ．
【分析】用红球的个数除以总球的个数即可得出答案．
【解答】解：∵不透明的袋子中装8个小球，其中3个红球，3个白球，2个黑球，
∴现从中随机摸出一个小球，摸出的小球是红色的概率为．
故答案为：．
【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．
18．某扇形的圆心角是45°，面积为18π，该扇形的半径是 12 ．
【分析】根据扇形面积公式计算即可．
【解答】解：设扇形的半径为为R，
则＝18π，
解得，R＝12，
故答案为：12．
【点评】本题考查的是扇形面积计算，掌握扇形面积公式S＝是解题的关键．
19．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝10，M为AD的中点，把矩形沿着过点M的直线折叠，点A刚好落在边BC上的点E处，则AE的长为 2或4 ．
【分析】如图1，连接EM，过M作MH⊥BC于H根据矩形的性质得到∠BAD＝∠ABC＝90°，AD＝BC＝10求得BH＝AM＝5，由折叠的性质知MF是线段AE的垂直平分线，得到EM＝AM＝5，根据勾股定理得到AE＝＝＝2，如图2，连接AF，根据线段垂直平分线的性质得到AG＝EG，根据全等三角形的性质得到EF＝AM＝AD＝5，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：∵M为AD的中点，
∴AM＝AD，
如图1，连接EM，过M作MH⊥BC于H，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠ABC＝90°，AD＝BC＝10，
∴四边形ABHM是矩形，AM＝5，
∴MH＝AB＝4，
∴BH＝AM＝5，
由折叠的性质知MF是线段AE的垂直平分线，
∴EM＝AM＝5，
在Rt△AEH中，EH＝＝＝3，
∴BE＝BH﹣EH＝2，
在Rt△ABE中，AE＝＝＝2，
如图2，连接AF，
∵把矩形沿着过点M的直线折叠，点A刚好落在边BC上的点E处，
∴MF垂直平分AE，
∴AG＝EG，
∵AD∥BC，
∴∠AMG＝∠EFG，
∵∠AGM＝∠EGF，
∴△AMG≌△EFG（AAS），
∴EF＝AM＝AD＝5，
∴AF＝5，
∴BF＝＝3，
∴BE＝8，
∴AE＝＝＝4，
故答案为：2或4．
【点评】本题考查了矩形的性质，翻折变换（折叠问题），全等三角形的性质和判定，分类讨论是解题的关键．
20．如图，平行四边形ABCD中，点E在CD边上，连接BE，∠ABE＝60°，F在BE上，AF＝CE，∠BAF＝∠CBE，若AD＝7，AB＝6，则BF＝ 4或9 ．
【分析】过点A作AH⊥BF于点H，根据已知条件解直角三角形，可得BH，AH的长，设BF＝x，根据勾股定理，可得AF2的值，再根据平行四边形的性质，易证△BAF∽△EBC，根据相似三角形的性质列方程，求解即可．
【解答】解：过点A作AH⊥BF于点H，如图所示：
∴∠AHB＝90°，
∵∠ABE＝60°，AB＝6，
∴BH＝AB•cs60°＝3，AH＝AB•sin60°＝，
设BF＝x，
则FH＝x﹣3，
根据勾股定理，得AF2＝，
在平行四边形ABCD中，AB∥CD，BC＝AD，
∴∠ABF＝∠BEC，
∵∠BAF＝∠CBE，
∴△BAF∽△EBC，
∴BF：EC＝AF：BC，
∵AF＝EC，
∴AF2＝BF•BC，
∵BC＝AD＝7，
∴＝7x，
解得x＝4或9，
∴BF＝4或9，
故答案为：4或9．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，涉及勾股定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，本题综合性较强，难度较大．
三、解答题：（21题7分，22题7分，23-24每题8分，25-27每题10分，共60分）
21．（7分）先化简，再求代数式的值，其中x＝2sin60°﹣tan45°．
【分析】先计算括号内的加法，再算括号外的除法即可化简题目中的式子，再将x的值代入化简后的式子计算即可．
【解答】解：
＝
＝
＝
＝，
当x＝2sin60°﹣tan45°＝2×﹣1＝﹣1时，原式＝＝．
【点评】本题考查分式的化简求值、特殊角的三角函数值，解答本题的关键是明确分式混合运算的运算法则和运算顺序．
22．（7分）如图，在小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段AB，点A、B均在小正方形的顶点上．
（1）在图1中画一个以线段AB为一边的平行四边形ABCD，点C、D均在小正方形的顶点上，且平行四边形ABCD的面积为10；
（2）在图2中画一个钝角三角形ABE，点E在小正方形的顶点上，且三角形ABE的面积为4，tan∠AEB＝．请直接写出BE的长．
【分析】（1）由图可知A、B间的垂直方向长为2，要使构建平行四边形ABCD的面积为10，则可以在A的水平方向取一条长为5的线段，可得点C；
（2）由图可知A、B间的垂直方向长为2，要使构建的钝角三角形ABE面积为4，则可以在A的水平方向取一条长为4的线段，可得点E，且tan∠AEB＝，BE的长可以根据勾股定理求得．
【解答】解：（1）如图1所示；
（2）如图2所示；
BE＝＝2．
【点评】本题考查勾股定理运用及面积计算方法等，灵活利用数据之间的联系，结合图形解决问题是关键．
23．（8分）某校组织学生书法比赛，在限定每人只交一份书法作品的条件下，对参赛作品按A、B、C、D四个等级进行了评定．现随机抽取部分学生书法作品的评定结果进行分析，并绘制扇形统计图和条形统计图如下：
根据上述信息完成下列问题：
（1）求这次抽取的学生书法作品共计多少份；
（2）请在图②中把条形统计图补充完整；
（3）已知该校这次活动共收到参赛作品750份，请你估计参赛作品达到B级以上（即A级和B级）有多少份？
【分析】（1）A的人数除以A 的百分比即可得到总人数；
（2）总人数乘以C的百分比即可得到C的人数，补全条形图即可；
（3）用样本估计总体．
【解答】解：（1）2÷20%＝10（人）；
（2）C有10×30%＝3（人），D有10﹣2﹣4﹣3＝1（人）；
如图：
（3）750×＝450（份）．
答：估计参赛作品达到B级以上（即A级和B级）有450份．
【点评】本题考查了条形统计图和扇形统计图，两图结合是解题的关键．
24．（8分）在△ABC中，过A作BC的平行线，交∠ACB的平分线于点D，点E是BC上一点，连接DE，交AB于点F，∠CAD+∠BED＝180°．
（1）如图1，求证：四边形ACED是菱形；
（2）如图2，若∠ACB＝90°，BC＝2AC，点G、H分别是AD、AC边中点，连接CG、EG、EH，不添加字母和辅助线，直接写出图中与△CEH所有的全等的三角形．
【分析】（1）根据平行线的性质得到∠ADC＝∠BCD，根据角平分线的定义得到∠ACD＝∠BCD，等量代换得到∠ADC＝∠ACD，推出DE∥AC，于是得到结论；
（2）根据已知条件得到菱形ACED是正方形，求得∠D＝∠CAG＝∠DEC＝90°，AC＝AD＝CE，根据全等三角形的判定定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠ADC＝∠BCD，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD，
∴∠ADC＝∠ACD，
∴AD＝AC，
∵AD∥BC，
∴∠ADE＝∠DEB，
∵∠DEB+∠DEC＝180°，∠DEB+∠CAD＝180°，
∴∠DEC＝∠DAC，
∴∠ADE+∠DAC＝180°，
∴DE∥AC，
∴四边形ACED是菱形；
（2）解：∵∠ACB＝90°，
∴菱形ACED是正方形，
∴∠D＝∠CAG＝∠DEC＝90°，
AC＝AD＝CE，
∵G是AD的中点，H是AC边中点，
∴AG＝DG＝CE，
∴△EDG≌△CAG≌△ECH（SAS），
∵BC＝2AC，
∴BE＝CE＝AD，
∵AD∥BE，
∴∠B＝∠DAF，
∵∠AFE＝∠BFE，
∴△BFE≌△AFD（AAS），
∵AD＝CE＝BE，
∴△BEF≌△ECH，
∴图中与△CEH全等的三角形有△ADF，△EDG，△CAG，△EBF．
【点评】本题考查了菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义，证得△EDG≌△CAG≌△ECH是解题的关键．
25．（10分）某商品经销店欲购进A、B两种纪念品，用160元购进的A种纪念品与用240元购进的B种纪念品的数量相同，每件B种纪念品的进价比A种纪念品的进价贵10元．
（1）求A、B两种纪念品每件的进价分别为多少元？
（2）若该商店A种纪念品每件售价24元，B种纪念品每件售价35元，这两种纪念品共购进1 000件，这两种纪念品全部售出后总获利不低于4 900元，求A种纪念品最多购进多少件．
【分析】（1）设A种纪念品每件的进价为x元，则B种纪念品每件的进价（x+10）元，根据用160元购进的A种纪念品与用240元购进的B种纪念品的数量相同列出方程，再解即可；
（2）设A种纪念品购进a件，由题意得不等关系：A种纪念品的总利润+B种纪念品的总利润≥4 900元，根据不等关系列出不等式，再解即可．
【解答】解：（1）设A种纪念品每件的进价为x元，则B种纪念品每件的进价（x+10）元，
由题意得：＝，
解得：x＝20，
经检验：x＝20是原分式方程的解，
x+10＝30，
答：A种纪念品每件的进价为20元，则B种纪念品每件的进价30元；
（2）设A种纪念品购进a件，由题意得：
（24﹣20）a+（35﹣30）（1000﹣a）≥4900，
解得：a≤100，
∵a为整数，
∴a的最大值为100．
答：A种纪念品最多购进100件．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系或不等关系，再列出不等式或方程组即可．
26．（10分）如图1，在⊙O中，AB和CD是两条弦，且AB⊥CD，垂足为点E，连接BC，过A作AF⊥BC于F，交CD于点G；
（1）求证：GE＝DE；
（2）如图2，连接AC、OC，求证：∠OCF+∠CAB＝90°；
（3）如图3，在（2）的条件下，OC交AF于点N，连接EF、EN、DN，若OC∥EF，EN⊥AF，DN＝2，求NO的长．
【分析】（1）连接AD，可证得∠AGE＝∠D，从而AG＝AD，进而得出结论；
（2）延长CO交⊙O于G，连接BG，可证得OCF+∠G＝90°，∠CAB＝∠G，进而得出结论；
（3）作NH⊥CD于H，连接BD，连接OB，可证得∠CAB＝∠NEF＝∠OCF，结合（2）的结论∠OCF+∠CAB＝90°，从而得出∠CAB＝∪OCF＝45°，根据平行四边形性质得出CG＝GE＝DE＝a，依次解Rt△ABF求得BF，解Rt△CBE求得BF，从而得出CF，CN，解Rt△ACE求得AC，从而得出∠CAF的正余弦三角函数值，从而得出∠NCD的三角函数值，解斜三角形CDN，从而求得a的值，进一步可求得结果．
【解答】（1）证明：如图1，
连接AD，
∵＝，
∴∠B＝∠D，
∵CD⊥AB，AF⊥BC，
∴∠AEG＝∠AFB＝90°，
∴∠B+∠BAF＝90°，∠AGE+∠BAF＝90°，
∴∠B＝∠AGE，
∴∠AGE＝∠D，
∴AG＝AD，
∴EG＝DE＝；
（2）证明：如图2，
延长CO交⊙O于G，连接BG，
∵CG是⊙O的直径，
∴∠CBG＝90°，
∴∠OCF+∠G＝90°，
∵＝，
∴∠CAB＝∠G，
∴∠OCF+∠CAB＝90°；
（3）解：如图3，
作NH⊥CD于H，连接BD，连接OB，
∵EN⊥AF，BF⊥AF，
∴EN∥BC，
∵OC∥EF，
∴四边形EFCN是平行四边形，
∴CG＝EG＝DE，∠OCB＝∠FEN，
∵∠AFC＝∠AEC＝90°，
∴点A、C、F、E共圆，
∴∠CAF＝∠CEF，∠BAF＝∠ECF，
∵EN∥BC，
∴∠ECF＝∠CEN，
∴∠BAF＝∠CEN，
∴∠CAF+∠BAF＝∠CEF+∠CEN，
∴∠CAB＝∠FEN，
∴∠CAB＝∠OCF，
由（2）得：∠CAB+∠OCN＝90°，
∴∠CAB＝∠OCF＝45°，
∵∠AEC＝90°，
∴∠ACE＝90°﹣∠CAB＝45°，
∴∠CAB＝∠ACE，
∴AE＝CE，
设CG＝EG＝DE＝a，
∴AE＝CE＝2a，
∵＝，
∴∠BDE＝∠CAB＝45°，∠BOC＝2∠CAB＝90°，
∴∠EBD＝90°﹣∠BDE＝45°，
∴BE＝DE＝a，
∴AB＝CD＝3a，
在Rt△AEG中，
AG＝＝2a，
∴sin∠BAF＝，
∴，
∴BF＝a，
在Rt△BCE中，
BC＝＝a，
∴CF＝BC﹣BF＝a﹣a＝a，
在Rt△ACE中，
AC＝＝2a，
∴sin∠CAF＝＝＝，
cs∠CAF＝，
∵∠NCE＝∠CEF＝∠CAF，
∴sin∠NCE＝，cs∠NCE＝，
在Rt△NCF中，∠NCF＝45°，CF＝，
∴CN＝＝，
在Rt△CHN中，
NH＝CN•sin∠NCE＝＝，
CH＝CN•cs∠NCE＝，
∴DH＝CD﹣CH＝3a﹣＝，
在Rt△DHN中，
∵NH2+DH2＝DN2，
∴（）+（）2＝（2）2，
∴a＝2，
∴CN＝＝4，BC＝×＝10，
∵OC＝＝5，
∴ON＝OC﹣CN＝5＝．
【点评】本题考查了圆周角定理及其推论，解直角三角形，确定圆的条件，等腰三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是探究角之间的数量关系，发现角度和图形的特殊性．
27．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝﹣ax2+6ax+6与y轴交于点B，交x轴的负半轴于点A，交x轴的正半轴于点C，且S△ABC＝30．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，点P为第一象限抛物线上一点，其横坐标为t，PD⊥x轴于点D，设tan∠PAD等于m，求m与t之间的函数关系式；
（3）如图3，在（2）的条件下，当m＝时，过点B作BN⊥AB交∠PAC的平分线于点N，点K在线段AB上，点M在线段AN上，连接KM、KN，∠MKN＝2∠BNK，作MT⊥KN于点T，延长MT交BN于点H，若NH＝4BH，求直线KN的解析式．
【分析】（1）由﹣ax2+6ax+6＝0，根据根与系数的关系可得x1+x2＝6，x1•x2＝﹣，求出AB的长为，再由三角形ABC的面积可求a的值；
（2）由题意知P（t，﹣t2+t+6），分别求出AD与PD，根据tan∠PAD＝m，建立方程即可求m与t的函数关系式；
（3）连接BC与AP交于点E，证明△ABO≌△EAB（AAS），从而推导出△ABN是等腰直角三角形，求出tan∠PAN＝，设N（m，n），由＝，2＝，求出N点坐标，过A作AL⊥AB交于HM的延长线于L，过B作BS∥HL交AL于点S，交KN于点Q，再证明△AKM≌△ALM（ASA），四边形BHLS是平行四边形，△NBK≌△BAS（ASA），设BH＝a，KB＝b，则NH＝4a，AB＝5a，由AL＝AK，可得到b＝2a，则BK：AB＝2：5，过K作KG⊥x轴交于G，由△ABO∽△AKG，求出K（﹣，），再用待定系数法求直线KN的解析式即可．
【解答】解：（1）令x＝0，则y＝6，
∴B（0，6），
令y＝0，则﹣ax2+6ax+6＝0，
∴x1+x2＝6，x1•x2＝﹣，
∴|x1﹣x2|＝，
∵S△ABC＝30＝6×，
解得a＝，
∴y＝﹣x2+x+6；
（2）∵P点横坐标为t，
∴P（t，﹣t2+t+6），
∵PD⊥x轴，
∴PD＝﹣t2+t+6，
令y＝0，则﹣x2+x+6，
解得x＝﹣2或x＝8，
∴A（﹣2，0），C（8，0），
∴AD＝t+2，
∵tan∠PAD＝m，
∴＝m，
整理得，m＝﹣（t﹣8）（0＜t＜8）；
（3）连接BC与AP交于点E，
∵A（﹣2，0），B（0，6），C（8，0），
∴AC＝10，BC＝10，
∴AC＝BC，
∴∠BAO＝∠ABE，
∵OB＝6，OC＝8，
∴tan∠OCB＝，
∵m＝，
∴∠PAD＝∠OBC，
∴∠BCO＝∠APD，
∴∠PAD+∠BCO＝90°，
∴BC⊥AP，
∴∠BEA＝90°，
∴△ABO≌△EAB（AAS），
∴∠BAE＝∠ABO，
∵AN平分∠PAC，
∴∠EAN＝∠NAC，
∴2∠OAE+2∠EAN＝90°，
∴∠BAN＝45°，
∴△ABN是等腰直角三角形，
∴BN＝AB＝2，
在Rt△APD中，设AN与PD交于Z，过Z作ZY⊥AP交于Y，
∵AZ是∠PAD的平分线，
∴YZ＝ZD，
∵tan∠PAD＝，
设PD＝4，ZD＝y，则AD＝3，AP＝5，YZ＝y，
在Rt△PYZ中，（4﹣y）2＝y2+22，
∴y＝，
∴tan∠ZAD＝，
设N（m，n），则＝，
∵2＝，
解得m＝6，n＝4，
∴N（6，4），
过A作AL⊥AB交于HM的延长线于L，过B作BS∥HL交AL于点S，交KN于点Q，
∵MT⊥KN，
∴∠NHT＝90°﹣∠HNT，∠BKN＝90°﹣∠HNT，
∵∠MKN＝2∠BNK，
∴∠AKM＝180°﹣（∠BKN+∠NKM）＝90°﹣∠HNT，
∴∠AKM＝∠HTN，
∵∠BAN＝∠BNA＝45°，
∴∠HMN＝∠KMA，
∵∠HMN＝∠AML，
∴∠KMA＝∠AML，
∵AL⊥AB，∠PAN＝∠CAN，
∴∠CAL＝∠BAE，
∴∠KAM＝∠MAL，
∴△AKM≌△ALM（ASA），
∴AK＝AL，∠ALM＝∠AKN，
∵BN⊥AB，AL⊥AB，
∴BN∥AL，
∵BS∥HL，
∴四边形BHLS是平行四边形，
∴∠ALM＝∠BSA，
∴∠BKN＝∠BSA，
∵AB＝BN，∠ABN＝∠BAS＝90°，
∴△NBK≌△BAS（ASA），
∴BK＝AS，
∴HL＝KN，
∵NH＝4BH，
设BH＝a，KB＝b，则NH＝4a，AB＝5a，
∵AK＝AL，
∴5a﹣b＝a+b，
∴b＝2a，
∴BK：AB＝2：5，
过K作KG⊥x轴交于G，
∴△ABO∽△AKG，
∴＝＝＝，
∴KG＝，AG＝，
∴K（﹣，），
设直线KN的解析式为y＝sx+h，
∴，
解得，
∴y＝x+．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形全等的判定与性质，三角形相似的判定与性质，直角三角形的性质，角平分线的性质等是解题的关键．