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甘肃省2024届高三下学期3月月考试题（一模）数学 Word版含答案
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这是一份甘肃省2024届高三下学期3月月考试题（一模）数学 Word版含答案，共9页。试卷主要包含了已知点为角终边上一点，则，已知数列为等差数列，，则，已知函数，则，已知函数，下列说法正确的有等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若复数在复平面内对应的点位于第二象限，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
2.设集合，则（ ）
A. B. C. D.
3.小李一周的总开支分布如图（1）所示，其中一周的食品开支如图（2）所示，则以下判断错误的是（ ）
A.小李这一周用于肉蛋奶的支出高于用于娱乐的支出
B.小李这一周用于食品中其他类的支出在总支出中是最少的
C.小李这一周用于主食的支出比用于通信的支出高
D.小李这一周用于主食和蔬菜的总支出比日常支出高
4.已知点为角终边上一点，则（ ）
A. B. C. D.
5.已知数列为等差数列，，则（ ）
A.16 B.19 C.25 D.29
6.已知双曲线的右焦点为为坐标原点，过作圆的切线交轴于点，切点为，若，则双曲线的渐近线为（ ）
A. B.
C. D.
7.已知函数，则（ ）
A. B.
C. D.
8.已知函数（为自然对数的底），，记为从小到大的第个极值点，数列的前项和为，且满足，则（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.下列说法正确的有（ ）
A.数据的第75百分位数是40
B.若，则
C.4名学生选报3门校本选修课，每人只能选其中一门，则总选法数为种
D.展开式中项的二项式系数为56
10.梯形中，沿着翻折，使点到点处，得到三棱锥，则下列说法正确的是（ ）
A.存在某个位置的点，使平面
B.若的中点为，则异面直线与所成角的大小和平面与平面所成角的大小相等
C.若平面平面，则三棱锥外接球的表面积是
D.若的中点为，则必存在某个位置的点，使
11.围棋是古代中国人发明的最复杂的智力博弈游戏之一.东汉的许慎在《说文解字）中说：“弈，围棋也”，因此，“对弈"在当时特指下围棋，现甲与乙对弈三盘，每盘赢棋的概率是，其中甲只赢一盘的概率低于甲只赢两盘的概率.甲也与丙对弈三盘，每盘赢棋的概率是，而甲只赢一盘的概率高于甲只赢两盘的概率.若各盘棋的输赢相互独立，甲与乙､丙的三盘对弈均为只赢两盘的概率分别是和，则以下结论正确的是（ ）
A.
B.当时，
C.，使得对，都有
D.当时，
三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知单位向量满足，则的范围是___________.
13.已知正四棱台的上､下底面边长分别为2和4，侧棱与底面所成的角为，则该四棱台的体积为___________.
14.若曲线，且经过这三点中的两点，则曲线的离心率可能为___________.（写出一个即可）.
四､解答题：本大题共5小题，共77分.解应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（13分）已知为椭圆的左､右焦点，为椭圆上任意一点，的最大值为6.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点的直线交椭圆于两点，若，求直线的方程.
16.（15分）如图，角的始边为轴非负半轴，终边与单位圆交于点，过点作轴的垂线，垂足为到直线的距离为.若将关于角的函数关系记为.
（1）求的解析式；
（2）将图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，求在的单调递增区间.
17.（15分）如图，空间六面体中，，平面
平面为正方形，平面平面.
（1）求证：；
（2）若，求平面与平面所成角的余弦值.
18.（17分）下表是2017年至2021年连续5年全国研究生在学人数的统计表：
（1）现用模型作为回归方程对变量与的关系进行拟合，发现该模型的拟合度很高.请计算该模型所表示的回归方程（与精确到0.01）；
（2）已知2021年全国硕士研究生在学人数约为267.2万人，某地区在学硕士研究生人数占该地在学研究生的频率值与全国的数据近似.当年该地区要在本地区在学研究生中进行一项网络问卷调查，每位在学研究生均可进行问卷填写.某天某时段内有4名在学研究生填写了问卷，X表示填写问卷的这4人中硕士研究生的人数，求X的分布列及数学期望.
参考公式及数据：对于回归方程
19.（17分）已知函数.
（1）求函数的极值点及极值；
（2）若，且，求证：为自然对数的底.
2024年甘肃省高三月考（3月）
数学试题答案及评分参考
一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
1.A 2.B 3.D 4.C 5.A 6.A 7.B 8.C
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得5分，部分选对的得部分分（9，11题答对一个选项得2分，10题答对一个选项得3分），有选错的得0分.
9.ABD 10.BC 11.ABC
三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 13. 14.（只写一个即可）
四､解答题：本大题共5小题，共77分.解应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.
15.解：（1）由题意，，
解得，
所以椭圆的标准方程是.
（2）由（1）可知
当直线的方程为时，，
则，不符合题意.
不妨设直线的方程为，
由，得.
则有恒成立.
由，得.
又，可得：
即，解得.
所以或.
故直线的方程为.
16.解：（1）可知，
又直线的方程为，
故根据点到直线距离公式，
即.
（2）可知，
由，得，
所以当时，函数的单调增区间为和
17.解：（1）平面平面，
平面.
为正方形，，同理可得平面.
平面平面，
平面平面.
平面平面平面平面，
.
（2）由于为正方形，平面平面，可得平面.如图，建立空间直角坐标系，
设，根据条件可知
则，
可知平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，
则取，
，
平面与平面所成角的余弦值为.
18.解：可令，则与成线性回归关系，
根据公式可得，即.
（2）可求得该地区硕士研究生在学生数占总在学研究生人数的频率值为，可知，因此随机变量的分布列如下：
（人）.
19.解：（1）由于，
故当时，，函数为减函数，
当时，，函数为增函数，
所以当时，函数取极小值，
即函数的极小值点为，且极小值为；无极大值点和极大值..
（2）令，则，
因为，所以，
要证，
而，只需证，即证，
令，则
令，则，
所以在为增函数，，
所以在为增函数，，故原不等式成立.年份序号
1
2
3
4
5
人数（万人）
263
273
286
314
334
0
1
2
3
4
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若复数在复平面内对应的点位于第二象限，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
2.设集合，则（ ）
A. B. C. D.
3.小李一周的总开支分布如图（1）所示，其中一周的食品开支如图（2）所示，则以下判断错误的是（ ）
A.小李这一周用于肉蛋奶的支出高于用于娱乐的支出
B.小李这一周用于食品中其他类的支出在总支出中是最少的
C.小李这一周用于主食的支出比用于通信的支出高
D.小李这一周用于主食和蔬菜的总支出比日常支出高
4.已知点为角终边上一点，则（ ）
A. B. C. D.
5.已知数列为等差数列，，则（ ）
A.16 B.19 C.25 D.29
6.已知双曲线的右焦点为为坐标原点，过作圆的切线交轴于点，切点为，若，则双曲线的渐近线为（ ）
A. B.
C. D.
7.已知函数，则（ ）
A. B.
C. D.
8.已知函数（为自然对数的底），，记为从小到大的第个极值点，数列的前项和为，且满足，则（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.下列说法正确的有（ ）
A.数据的第75百分位数是40
B.若，则
C.4名学生选报3门校本选修课，每人只能选其中一门，则总选法数为种
D.展开式中项的二项式系数为56
10.梯形中，沿着翻折，使点到点处，得到三棱锥，则下列说法正确的是（ ）
A.存在某个位置的点，使平面
B.若的中点为，则异面直线与所成角的大小和平面与平面所成角的大小相等
C.若平面平面，则三棱锥外接球的表面积是
D.若的中点为，则必存在某个位置的点，使
11.围棋是古代中国人发明的最复杂的智力博弈游戏之一.东汉的许慎在《说文解字）中说：“弈，围棋也”，因此，“对弈"在当时特指下围棋，现甲与乙对弈三盘，每盘赢棋的概率是，其中甲只赢一盘的概率低于甲只赢两盘的概率.甲也与丙对弈三盘，每盘赢棋的概率是，而甲只赢一盘的概率高于甲只赢两盘的概率.若各盘棋的输赢相互独立，甲与乙､丙的三盘对弈均为只赢两盘的概率分别是和，则以下结论正确的是（ ）
A.
B.当时，
C.，使得对，都有
D.当时，
三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知单位向量满足，则的范围是___________.
13.已知正四棱台的上､下底面边长分别为2和4，侧棱与底面所成的角为，则该四棱台的体积为___________.
14.若曲线，且经过这三点中的两点，则曲线的离心率可能为___________.（写出一个即可）.
四､解答题：本大题共5小题，共77分.解应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（13分）已知为椭圆的左､右焦点，为椭圆上任意一点，的最大值为6.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点的直线交椭圆于两点，若，求直线的方程.
16.（15分）如图，角的始边为轴非负半轴，终边与单位圆交于点，过点作轴的垂线，垂足为到直线的距离为.若将关于角的函数关系记为.
（1）求的解析式；
（2）将图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，求在的单调递增区间.
17.（15分）如图，空间六面体中，，平面
平面为正方形，平面平面.
（1）求证：；
（2）若，求平面与平面所成角的余弦值.
18.（17分）下表是2017年至2021年连续5年全国研究生在学人数的统计表：
（1）现用模型作为回归方程对变量与的关系进行拟合，发现该模型的拟合度很高.请计算该模型所表示的回归方程（与精确到0.01）；
（2）已知2021年全国硕士研究生在学人数约为267.2万人，某地区在学硕士研究生人数占该地在学研究生的频率值与全国的数据近似.当年该地区要在本地区在学研究生中进行一项网络问卷调查，每位在学研究生均可进行问卷填写.某天某时段内有4名在学研究生填写了问卷，X表示填写问卷的这4人中硕士研究生的人数，求X的分布列及数学期望.
参考公式及数据：对于回归方程
19.（17分）已知函数.
（1）求函数的极值点及极值；
（2）若，且，求证：为自然对数的底.
2024年甘肃省高三月考（3月）
数学试题答案及评分参考
一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
1.A 2.B 3.D 4.C 5.A 6.A 7.B 8.C
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得5分，部分选对的得部分分（9，11题答对一个选项得2分，10题答对一个选项得3分），有选错的得0分.
9.ABD 10.BC 11.ABC
三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 13. 14.（只写一个即可）
四､解答题：本大题共5小题，共77分.解应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.
15.解：（1）由题意，，
解得，
所以椭圆的标准方程是.
（2）由（1）可知
当直线的方程为时，，
则，不符合题意.
不妨设直线的方程为，
由，得.
则有恒成立.
由，得.
又，可得：
即，解得.
所以或.
故直线的方程为.
16.解：（1）可知，
又直线的方程为，
故根据点到直线距离公式，
即.
（2）可知，
由，得，
所以当时，函数的单调增区间为和
17.解：（1）平面平面，
平面.
为正方形，，同理可得平面.
平面平面，
平面平面.
平面平面平面平面，
.
（2）由于为正方形，平面平面，可得平面.如图，建立空间直角坐标系，
设，根据条件可知
则，
可知平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，
则取，
，
平面与平面所成角的余弦值为.
18.解：可令，则与成线性回归关系，
根据公式可得，即.
（2）可求得该地区硕士研究生在学生数占总在学研究生人数的频率值为，可知，因此随机变量的分布列如下：
（人）.
19.解：（1）由于，
故当时，，函数为减函数，
当时，，函数为增函数，
所以当时，函数取极小值，
即函数的极小值点为，且极小值为；无极大值点和极大值..
（2）令，则，
因为，所以，
要证，
而，只需证，即证，
令，则
令，则，
所以在为增函数，，
所以在为增函数，，故原不等式成立.年份序号
1
2
3
4
5
人数（万人）
263
273
286
314
334
0
1
2
3
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