甘肃省2024届高三下学期3月月考（一模）数学试题及详细答案

这是一份甘肃省2024届高三下学期3月月考（一模）数学试题及详细答案，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．若复数在复平面内对应的点位于第二象限，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．设集合，则（ ）
A．B．C．D．
3．小李一周的总开支分布如图（1）所示，其中一周的食品开支如图（2）所示，则以下判断错误的是（ ）
A．小李这一周用于肉蛋奶的支出高于用于娱乐的支出
B．小李这一周用于食品中其他类的支出在总支出中是最少的
C．小李这一周用于主食的支出比用于通信的支出高
D．小李这一周用于主食和蔬菜的总支出比日常支出高
4．已知点为角终边上一点，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知数列为等差数列，，则（ ）
A．16B．19C．25D．29
6．已知双曲线的右焦点为为坐标原点，过作圆的切线交轴于点，切点为，若，则双曲线的渐近线为（ ）
A．B．
C．D．
7．已知函数，则（ ）
A．B．
C．D．
8．已知函数（为自然对数的底），，记为从小到大的第个极值点，数列的前项和为，且满足，则（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．下列说法正确的有（ ）
A．数据的第75百分位数是40
B．若，则
C．4名学生选报3门校本选修课，每人只能选其中一门，则总选法数为种
D．展开式中项的二项式系数为56
10．梯形中，，沿着翻折，使点到点处，得到三棱锥，则下列说法正确的是（ ）
A．存在某个位置的点，使平面
B．若的中点为，则异面直线与所成角的大小和平面与平面所成角的大小相等
C．若平面平面，则三棱锥外接球的表面积是
D．若的中点为，则必存在某个位置的点，使
11．围棋是古代中国人发明的最复杂的智力博弈游戏之一.东汉的许慎在《说文解字）中说：“弈，围棋也”，因此，“对弈"在当时特指下围棋，现甲与乙对弈三盘，每盘赢棋的概率是，其中甲只赢一盘的概率低于甲只赢两盘的概率.甲也与丙对弈三盘，每盘赢棋的概率是，而甲只赢一盘的概率高于甲只赢两盘的概率.若各盘棋的输赢相互独立，甲与乙､丙的三盘对弈均为只赢两盘的概率分别是和，则以下结论正确的是（ ）
A．
B．当时，
C．，使得对，都有
D．当时，
三、填空题
12．已知单位向量满足，则的范围是 .
13．已知正四棱台的上､下底面边长分别为2和4，侧棱与底面所成的角为，则该四棱台的体积为 .
14．若曲线，且经过这三点中的两点，则曲线的离心率可能为 .（写出一个即可）.
四、解答题
15．已知为椭圆的左､右焦点，为椭圆上任意一点，的最大值为6.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点的直线交椭圆于两点，若，求直线的方程.
16．如图，角的始边为轴非负半轴，终边与单位圆交于点，过点作轴的垂线，垂足为到直线的距离为.若将关于角的函数关系记为.
(1)求的解析式；
(2)将图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，求在的单调递增区间.
17．如图，空间六面体中,,，平面平面为正方形，平面平面.
(1)求证：；
(2)若，求平面与平面所成角的余弦值.
18．下表是2017年至2021年连续5年全国研究生在学人数的统计表：
(1)现用模型作为回归方程对变量与的关系进行拟合，发现该模型的拟合度很高.请计算该模型所表示的回归方程（与精确到0.01）；
(2)已知2021年全国硕士研究生在学人数约为267.2万人，某地区在学硕士研究生人数占该地在学研究生的频率值与全国的数据近似.当年该地区要在本地区在学研究生中进行一项网络问卷调查，每位在学研究生均可进行问卷填写.某天某时段内有4名在学研究生填写了问卷，X表示填写问卷的这4人中硕士研究生的人数，求X的分布列及数学期望.
参考公式及数据：对于回归方程
19．已知函数.
(1)求函数的极值点及极值；
(2)若，且，求证：为自然对数的底.
年份序号
1
2
3
4
5
人数（万人）
263
273
286
314
334
参考答案：
1．A
【分析】
化简复数，根据复数在复平面内对应的点位于第二象限列出不等式组，解出即可.
【详解】因为，
对应的点为，在第二象限，
故，解得，
故选：A.
2．B
【分析】
求出集合，根据交集的定义求解即可.
【详解】因为，所以，
因为，所以.
故选：B.
3．D
【分析】
条形图各支出占食品支出的比例乘以即是条形图各支出占总支出的比例，由此关系即可逐一判断每一个选项.
【详解】对于A，肉蛋奶的支出占食品开支的，
从而小李这一周用于肉蛋奶的支出占比（总开支是单位1）与用于娱乐的支出占比（总开支是单位1）大小关系为，故A描述正确，不符合题意；
对于B，小李这一周用于食品中其他类的支出在总支出中占比为，
对比其他类型的支出占比可知，B描述正确，不符合题意；
对于C，小李这一周用于主食的支出占比（总开支是单位1）与通信的支出占比（总开支是单位1）的大小关系为，
，故C描述正确，不符合题意；
对于D，小李这一周用于主食和蔬菜的总支出占比（总开支是单位1）与日常支出占比（总开支是单位1）的大小关系为，
，故D描述错误，符合题意.
故选：D.
4．C
【分析】
根据三角函数的定义求出，再由二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，最后代入计算可得.
【详解】因为点为角终边上一点，所以，
所以.
故选：C
5．A
【分析】
根据等差数列的通项公式及性质，进行计算即可.
【详解】因为，
所以，
所以，
故选：A.
6．A
【分析】
在，可求得的值，继而求得的值，在利用勾股定理建立等式关系，即可求解.
【详解】如图所示，
根据题意可知,
所以中，，
又因为，所以，,
在中，，
在中，,
即，
化为，即，
则双曲线的渐进性方程为，
故选:A.
7．B
【分析】
用定义证明函数的奇偶性及在上的单调性，利用函数的奇偶性及单调性，对数函数的性质及对数运算可得结果.
【详解】因为函数的定义域为，
又，所以为偶函数，
当时，任取，
，
即，所以在上为减函数，
因为，
所以，即，
设，则，
，若，则，所以，
因为，所以，
又，即，
所以，即，
故选：B.
8．C
【分析】
由题意求导并令，结合题意可求得，对是奇数还是偶数进行分类讨论，再结合等比数列求和公式、分组求和法即可得解.
【详解】由题意，
令，则，即，所以，
又，
所以是以为首项，为公差的等差数列，即，
当时，，
当时，，
从而
.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：关键是在得到之和还要对分类讨论，得，由此即可顺利得解.
9．ABD
【分析】
由百分位数的定义计算结果判断选项A；由正态分布的对称性判断选项B；由分步计数原理判断选项C；由二项式定理求指定项的二项式系数判断选项D.
【详解】数据，共8个数据，
从小到大排列为，，
所以第75百分位数是第6个数据与第7个数据的平均值，即，A选项正确；
若，则正态密度曲线的对称轴为，
所以，B选项正确；
4名学生选报3门校本选修课，每人只能选其中一门，则总选法数为种，C选项错误；
由二项式定理可知，展开式中项的二项式系数为，D选项正确.
故选：ABD.
10．BC
【分析】
由线面垂直的性质判断选项A；由面面角的定义判断选项B；几何法求三棱锥外接球半径，计算表面积判断选项C；由翻折轨迹判断选项D.
【详解】梯形中，，则梯形为等腰梯形，
过作的垂线，垂足为，为中点，
则有，由勾股定理得，，
，，则，
对于A，假设存在某个位置的点，使平面，由平面，则，
即梯形中，，显然不成立，故A错误;
对于B，平面平面，的中点为，
平面，平面，
，则，又，
所以异面直线与所成角的大小和平面与平面所成角的大小相等，故B正确；
对于C，若平面平面，平面平面，
平面，，则平面，
中，，，则，
外接圆的圆心为的中点，半径为，
设三棱锥外接球球心为，半径为，，
过球心作的平行线，与的延长线交于点,
，由，，
则有，解得，则有，
所以三棱锥外接球的表面积是，故C正确；
对于D，梯形中，四边形为菱形，，则，
翻折过程中，点轨迹是的中点为圆心为直径的半圆弧（不包括点和点），则，
所以不存在点，使，故D错误.
故选：BC.
11．ABC
【分析】
对于A，根据题意计算概率建立不等式，解出即可；对于B，计算出和，根据条件即可判断；对于C，结合题意和选项B中结论，即可判断；对于D，根据条件，建立方程，化简后结合的范围即可判断.
【详解】对于A,根据题意，甲与乙对弈只赢一盘的概率为，只赢两盘的概率为，
则，解得，故，
甲与丙对弈只赢一盘的概率为，只赢两盘的概率为，
则，解得，故，
故，则A正确；
对于B，由得，
则，即，
又，所以，所以，故B正确；
对于C，，使得对，结合B分析，只满足，都有，故C正确；
对于D，令，则，化简为，
故，即，
又因为，则，即，故D错误，
故选：ABC.
12．
【分析】根据条件，利用向量数量积的定义及运算得到，再利用，即可求出结果.
【详解】设的夹角为，
因为，
又为单位向量，得到，
又，得到，所以，
故答案为：.
13．/
【分析】
作出图形，结合正四棱台的性质求其高，从而利于棱台的体积公式计算即可.
【详解】记正四棱台的上、下底面中心为，
连接，在平面中，过作,交于,
如图所示：
则由正四棱台的性质可知，
底面,从而底面，
所以为侧棱与底面所成的角，
故，
又该正四棱台的上､下底面边长分别为2和4，，
所以,
则，
故，
即该正四棱台的高为，
所以该正四棱台的体积为
.
故答案为：.
14．（或填或）
【分析】
分三种情况，代入两点并结合离心率公式计算即可.
【详解】当经过点时，得，解得，
此时曲线方程，
此时离心率为；
当经过点时，得，解得，
此时曲线方程，
此时离心率为；
当经过点时，得，解得，
此时曲线方程，
此时离心率为；
故答案为：（或填或）.
15．(1)
(2).
【分析】
（1）求出后可求的标准方程.
（2）直线的方程为，联立直线方程和椭圆方程，用的坐标表示，结合韦达定理化简前者可求直线方程.
【详解】（1）由题意，，解得，
所以椭圆的标准方程是
（2）
由（1）可知
当直线的方程为时，，
则，不符合题意.
不妨设直线的方程为，
由，得.
此时，.
由，得.
又，可得：，
整理得到：即，
解得，所以或.
故直线的方程为.
16．(1)
(2)和
【分析】
（1）根据条件得到直线的方程，利于点到直线的距离公式进行计算即可;
（2）根据函数图象的变换规则得到函数解析式后，整体代入法求解单调区间即可.
【详解】（1）可知，
又直线的方程为，
故根据点到直线距离公式，
即.
（2）可知，
由，
得，
所以当时，函数的单调增区间为和
17．(1)证明见解析
(2).
【分析】（1）根据条件可得平面平面，利于面面平行的性质定理即可证明；
（2）建立空间直角坐标系，根据面面角的向量表达形式进行计算即可.
【详解】（1）平面平面，
平面.
为正方形，，
同理可得平面.
平面平面，
平面平面.
平面平面
平面平面，
.
（2）由于为正方形，平面平面，
可得平面.如图，建立空间直角坐标系，
设，根据条件可知
则,
,
可知平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，
则取，
，
平面与平面所成角的余弦值为.
18．(1)
(2)分布列见解析，3.2人.
【分析】
（1）令，转化为线性回归方程的求法，代入公式计算即可；
（2）根据题意，按公式计算概率得到分布列和期望即可.
【详解】（1）可令，则与成线性回归关系，则的对应关系如下图：
根据公式可得，则，，
则,
,
所以，，则.
（2）可求得该地区硕士研究生在学生数占总在学研究生人数的频率值为，可知，因此随机变量的分布列如下：
（人）.
19．(1)极小值点为，且极小值为；无极大值点和极大值；
(2)证明见解析.
【分析】
（1）求出函数的导数，利用导数探讨单调性，求出极值点及极值.
（2）令，结合已知用表示，变形要证不等式并构造函数，利用导数推理即得.
【详解】（1）函数，求导得，
当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，
因此当时，函数取得极小值，
所以函数的极小值点为，且极小值为；无极大值点和极大值.
（2）令，则，由，得，即，
不等式，，
则要证，只需证，即证，
令，求导得，
令，求导得，
因此在上单调递增，，
则函数在上单调递增，，即成立，
所以原不等式成立.
【点睛】
思路点睛：涉及双变量的不等式证明问题，将所证不等式等价转化，构造新函数，再借助导数探讨函数的单调性、极(最)值问题处理.
4
9
16
25
36
263
273
286
314
334
0
1
2
3
4