2023年山东省济南市长清区中考二模数学试题（含答案）

九年级阶段检测

数学试题

注意事项：

本试题共8页，满分为150分，考试时间为120分钟．答卷前，请考生务必将自己的姓名、座号和准考证号填写在答题卡上，并将考点、姓名、准考证号和座号填写在试题规定的位置．考试结束后，仅交回答题卡．

第Ⅰ卷（选择题  共40分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）

1．2023的相反数是（    ）

A．2023 B． C． D．

2．如图是由8个完全相同的小正方体组成的几何体，则从正面看得到的形状图是（    ）

A． B． C． D．

3．我国自主研发的北斗系统技术世界领先，2020年6月23日在西昌卫星发射中心成功发射最后一颗北斗三号组网卫星，该卫星发射升空的速度约为7100米/秒．将7100用科学记数法表示为（    ）

A．7100 B． C． D．

4．将一副三角板按如图所示的方式放置，则（    ）

A．75° B．45° C．30° D．80°

5．古钱币是我国悠久的历史文化遗产，以下是在《中国古代钱币》特种邮票中选取的部分图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ）

A． B． C． D．

6．如图，数轴上，两点表示的数分别为，，则下列结论中，错误的是（    ）

A． B． C． D．

7．“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．若要从“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票中抽取两张，则恰好抽到“立夏”、“秋分”两张邮票的概率是（    ）

A． B． C． D．

8．函数与在同一坐标系中的大致图象是（    ）

A． B． C． D．

9．如图，在中，，以为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点．已知，则的长为（    ）

A．8 B．7 C．6 D．5

10．已知函数，当时，函数值随增大而减小，且对任意的和，，相应的函数值，总满足，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

第Ⅱ卷（非选择题  共110分）

二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）

11．因式分解：______．

12．如图，转盘中6个扇形的面积都相等．任意转动转盘1次，当转盘停止转动时（指向两个扇形交线处时，重新转动转盘），事件“指针落在蓝色扇形中”的概率为______．

13．一个多边形的每个内角都为120°，则这个多边形的边数为______．

14．定义运算法则：，例如．若，则的值为______．

15．古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所得两长方形面积相等”（如图1，），问题解决：如图2，点是矩形的对角线上一点，过点作分别交，于点，，连接，．若，，则图中阴影部分的面积和为______．

16．如图，在平面直角坐标系中，，，，点在轴的正半轴上滑动，点在轴的正半轴上滑动，点，点在滑动过程中可与原点重合，下列结论：

①若，两点关于对称，则；②若平分，则；

③四边形面积的最大值为；④的中点运动路径的长为．

其中正确的结论是______（写出所有正确结论的序号）．

三、解答题（本大题共10小题，共86分）

17．（6分）计算：．

18．（6分）解不等式组，并写出它的所有整数解．

19．（6分）如图，在菱形中，点、分别在、上，且，求证：．

20．（8分）某校数学实践小组就近期人们比较关注的五个话题：“．通讯；．民法典；．北斗导航；．数字经济；．小康社会”，对某小区居民进行了随机抽样调查，每人只能从中选择一个本人最关注的话题，根据调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图．

请结合统计图中的信息，解决下列问题：

（1）数学实践小组在这次活动中，调查的居民共有______人；

（2）将上面的最关注话题条形统计图补充完整；

（3）最关注话题扇形统计图中的______，话题所在扇形的圆心角是______度；

（4）假设这个小区居民共有10000人，请估计该小区居民中最关注的话题是“民法典”的人数大约有多少？

21．（8分）为给人们的生活带来方便，共享单车的租赁在我市正方兴未艾．图1是公共自行车的实物图，图2是公共自行车的车架示意图，点、、、在同一条直线上，，，，于点，座杆，且．（参考数据：，，）

（1）求的长；

（2）求点到的距离（结果保留整数）．

22．（8分）如图，中，点是边上一点，以点为圆心，以为半径作，恰好与相切于点，连接，平分．

（1）求的度数；

（2）如果，，求线段的长度．

23．（10分）2023年是中国农历癸卯兔年．春节前，某商场进货员打算进货“吉祥兔”和“如意兔”两种布偶，发现用8800元购进的“吉祥兔”的数量是用4000元购进的“如意兔”的2倍，且每件“吉祥兔”的进价比“如意兔”贵了4元．

（1）“吉祥兔”、“如意兔”每件的进价分别是多少元？

（2）为满足消费者需求，该超市准备再次购进“吉祥兔”和“如意兔”两种布偶共200个，“吉祥兔”售价定价为70元，“如意兔”售价为60元，若总利润不低于4120元，问最少购进多少个“吉祥兔”？

24．（10分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．

（1）求此反比例函数的表达式及点的坐标；

（2）在y轴上存在点，使得的值最小，求的最小值．

（3）为反比例函数图象上一点，为轴上一点，是否存在点、，使是以为底的等腰直角三角形？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由．

25．（12分）已知点为和的公共顶点，将绕点顺时针旋转，连接，，请完成如下问题：

（1）如图1，若和均为等边三角形，线段与线段的数量关系是______；

类比探究：

（2）如图2，若，，其他条件不变，请写出线段与线段的数量关系，并说明理由；

（3）拓展应用：如图3，是内一点，，，，，直接写出的长．

26．（12分）如图，二次函数与轴交于点，，与轴交于点．

（1）求函数表达式及坐标；

（2）在抛物线的对称轴上，连接、，若为以为底的等腰三角形，求点坐标．

（3）在抛物线上且在第一象限内，过点作，轴，求的最大值并写出点坐标．

参考答案

11．  12．  13．6  14．3  15．12  16．①③

17．计算：．

解：

18．解：，

由①，得，由②，得，

∴原不等式组的解集为，∴它的所有整数解有，0，1．

19．证明：∵四边形为菱形，∴，，

∵，∴∴，

在和中，，∴．∴．

20．解：（1）200．

（2）选择的居民有：（人），

选择的有：（人），

（3）25，36．

（4）（人），

答：该小区居民中最关注的话题是“民法典”的人数大约有3000人．

21．解：（1）在中，由勾股定理得，

；

（2），

如图②，过点作于，

在中，，

则．

答：点到的距离为66cm．

22．

解：（1）如图，连接

∵是的半径，是的切线，点是切点，∴

∵，∴，又∵平分，∴

∴∴，∴；

（2）在中，∵，，∴，，

∵，∴，即，∴．

23．（1）解：设如意兔每件的进价为元，则吉祥兔每件的进价为元

题意，得：，解得：，

经检验是原方程的解，∴；

答：“吉祥兔”、“如意兔”每件的进价分别是44元和40元．

（2）解：设购买吉祥兔个，则如意兔个

解得

答：最少购进20个吉祥兔．

24．（1）将带入  所以，

代入 

联立，所以，

（2）作点关于轴的对称点

连接交轴于点，此时的周长最小

（3）设，

易证∴ 

∴  ∴

在点左侧时，同理可得∴或

25．解：（1）

（2）

理由：

∵，，

∴，，

∴，，∴，

∴∴，

（3）如图2，过点作的垂线，过点作的垂线，两垂线交于点，连接，

∵，∴，∴，∴，

又∵，∴，∴，

又∵，∴，即，

∴，∴，

∵，∴，∴，

∴．拓展创新．

26．（1）解：把点、代入得：，

解得：∴，∴点坐标：；

（2）∵对称轴直线设 

  ∴∴

（3）设∴∵  ∴∴

作轴，交于点  易证相似于

∴∴

作轴，垂足为，  相似于

∴∴

∴

时取最大值为

，取最大值为