2023年山东省济南市长清区中考数学一模试卷（含解析）

2023年山东省济南市长清区中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共9小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  以下给出的几何体中，主视图是矩形，俯视图是圆的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  在国家“一带一路”战略下，我国与欧洲开通了互利互惠的中欧班列．行程最长，途经城市和国家最多的一趟专列全程长，将用科学记数法表示应为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图，，平分，若，则的度数为(    )
 

A.
B.
C.
D.

4.  下列关于防范“新冠肺炎”的标志中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(    )

A. 戴口罩讲卫生 B. 勤洗手勤通风
C. 有症状早就医 D. 少出门少聚集

5.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

6.  “学雷锋”活动月中，“飞翼”班将组织学生开展志愿者服务活动，小晴和小霞从“图书馆，博物馆，科技馆”三个场馆中随机选择一个参加活动，两人恰好选择同一场馆的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，在中，，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点和，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，以下结论错误的是(    )

A. 是的平分线 B.
C. 点在线段的垂直平分线上 D. ：：

8.  若二次函数的图象如图所示，则一次函数在坐标系内的大致图象为(    )

A.
B.
C.
D.

9.  已知抛物线：经过点，，，当时，在抛物线上任取一点，设点的纵坐标为，若，则的取值范围是(    )

A.  B.  C. 或 D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

10.  因式分解：______．

11.  如果小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机停留在某块方砖上，那么小球最终停留在黑色区域的概率是______．

12.  写出一个最简二次根式，使得，则可以是______．

13.  若代数式与的值相等，则的值是______．

14.  秤是我国传统的计重工具为了方便了人们的生活如图，我们可以用秤砣到秤纽的水平距离得出秤构上所挂物体的重量，称重时，若称杆上秤砣到秤纽的水平距离为厘米时，秤钩所挂物重为斤，则是的一次函数表中为若干次称重时所记录的一些数据在如表，的数据中，发现有一对数据记录错误当为斤时，对应的水平距离为        ．

15.  如图，把正方形铁片置于平面直角坐标系中，顶点的坐标为，点在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转，第一次旋转至图位置，第二次旋转至图位置，，则正方形铁片连续旋转次后，点的坐标为        ．

三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）

16.  如图，某广场一灯柱被一钢缆固定，与地面成夹角，且米．
求钢缆的长度；精确到米
若米，灯的顶端距离处米，且，则灯的顶端距离地面多少米？参考数据：，，



 

四、解答题（本大题共9小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
解不等式组：，并写出它的所有整数解．

19.  本小题分
已知：如图，在平行四边形中，，是对角线上两点，连接，，求证：．

20.  本小题分
习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”某校响应号召，鼓励师生利用课余时间广泛阅读该校文学社为了解学生课外阅读情况，抽样调查了名学生每天用于课外阅读的时间，以下是部分数据和不完整的统计图表：
阅读时间在范围内的数据：
，，，，，，，
不完整的统计表：

结合以上信息回答下列问题：
统计表中的        ；
统计图中组对应扇形的圆心角为        度；
阅读时间在范围内的数据的众数是        ；调查的名同学课外阅读时间的中位数是        ；
根据调查结果，请你估计全校名同学课外阅读时间不少于的人数．

21.  本小题分
如图，在中，为的直径，为上一点，是的切线，过点作的垂线，交的延长线于点．
求证：平分；
若，，求的长．

22.  本小题分
某商场选购、两种品牌的儿童服装，品牌服装每套进价比品牌服装每套进价多元，用元购进种服装数量是用元购进种服装数量的倍．
求、两种品牌服装每套进价分别为多少元？
品牌每套售价为元，品牌服装每套售价为元，商场决定，购进品牌服装的数量比购进品牌服装的数量的倍还多套，两种服装全部售出后，可使总的获利不低于元，则最少购进品牌的服装多少套？

23.  本小题分
如图，已知一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，与反比例函数的图象分别交于、两点，点，点是线段的中点．
求一次函数与反比例函数的解析式；
求的面积；
动点在轴上运动，当的值最大时，求点的坐标．

24.  本小题分
如图，在中，，点，分别在边，上，且，若，，则的值是______；
如图，在的条件下，将绕点逆时针方向旋转一定的角度，连接和，的值变化吗？若变化，请说明理由；若不变化，请求出不变的值；
如图，在四边形中，于点，，且，当，时，请直接写出线段的长度______．
 

25.  本小题分
抛物线：经过点，与它的对称轴直线交于点．
求抛物线的解析式；
在直线上方的抛物线上，过点作，垂足为，求的最大值；
如图，将抛物线向上平移，当时，表示向下平移个单位长度得到抛物线，抛物线与轴交于点，过点作轴的垂线交抛物线于另一点为抛物线的对称轴与轴的交点，为线段上一点若与相似，并且符合条件的点恰有个，求的值及相应点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了简单几何体的三视图，熟记简单几何的三视图是解题关键根据几何体的正面看得到的图形，可得答案．
【解答】
解：、主视图是圆，俯视图是圆，故A不符合题意；
B、主视图是正方形，俯视图是正方形，故B不符合题意；
C、主视图是三角形，俯视图是圆，故C不符合题意；
D、主视图是个矩形，俯视图是圆，故D符合题意；
故选D．  

2.【答案】 

【解析】解：将用科学记数法表示为．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．
此题考查了科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义可得答案．
【解答】
解：因为，，
所以，
因为平分，
所以，
故选：．
【点评】
本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，关键是掌握两直线平行，内错角相等．  

4.【答案】 

【解析】解：、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：．

直接利用轴对称图形和中心对称图形的概念求解．
本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．寻找轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；寻找中心对称图形是要寻找对称中心，图形绕对称中心旋转后与原图重合．
 

5.【答案】 

【解析】解：，故选项A正确；
B.，故选项B错误；
C.与不能合并，故选项C错误；
D.，故选项D错误；
故选：．
分析：根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．
本题考查积的乘方、同底数幂的乘法、合并同类项、完全平方公式，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．
 

6.【答案】 

【解析】解：画树状图为：用、、分别表示“图书馆，博物馆，科技馆”三个场馆

共有种等可能的结果数，其中两人恰好选择同一场馆的结果数为，
所以两人恰好选择同一场馆的概率．
故选：．
画树状图用、、分别表示“图书馆，博物馆，科技馆”三个场馆展示所有种等可能的结果数，找出两人恰好选择同一场馆的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．
 

7.【答案】 

【解析】解：由作法得平分，所以选项的结论正确；
，，
，
，
，所以选项的结论正确；
，
，
点在的垂直平分线上，所以选项的结论正确；
在中，
，
，
而，
，
：：，
：：，所以选项的结论错误．
故选：．
利用基本作图可对选项进行判断；通过角度的计算得到，，则可对选项的结论正确；利用得到，则根据线段的垂直平分线的性质定理的逆定理可对选项进行判断；根据含度的直角三角形三边的关系得到，则，所以：：，然后根据三角形面积公式可对选项进行判断．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线是解题的关键．也考查了角平分线的性质和线段垂直平分线的性质．
 

8.【答案】 

【解析】解：二次函数的图象开口向上，对称轴在轴右边，与轴的交点在轴正半轴，
，，，
，，
一次函数的图象经过第二、三、四象限，
故选：．
根据二次函数的图形判断出，，的符号，可得结论．
本题考查二次函数的性质，一次函数的性质，关键是掌握二次函数图象与系数的关系和一次函数图象与系数的关系．
 

9.【答案】 

【解析】解：经过点，，
，
，
，
，，
抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向下，抛物线解析式为：，当时，，，
当时，，即，解得：，
当时，，即，解得：，
，
故选：．
将点，，代入解析式，根据，得出，，进而得出对称轴为，根据当时，，即可求解．
本题考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键
 

10.【答案】 

【解析】解：原式．
故答案为：．
直接提取公因式即可．
此题考查的是提公因式法分解因式，找准公因式是解决此题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：由图可知，黑色方砖有块，共有块方砖，
黑色方砖在整个地板中所占的比值，
小球最终停留在黑色区域的概率是，
故答案为：．
先求出黑色方砖在整个地板中所占的比值，再根据其比值即可得出结论．
本题考查的是几何概率，用到的知识点为：几何概率相应的面积与总面积之比．
 

12.【答案】 

【解析】解：是最简二次根式，且，
则可以是．
故答案为：．
根据最简二次根式的概念、实数的大小比较法则解答即可．
本题考查的是最简二次根式的概念、实数的大小比较，掌握最简二次根式的概念是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：由题意得，，
去分母，，
去括号，，
最后移项，，
合并同类项，，
系数化为，．
故答案为：．
先列出方程，再根据一元一次方程的解法，去分母，去括号，最后移项，合并同类项，系数化为，从而得到方程的解．
本题主要考查了解一元一次方程，注意在去分母时，方程两端同乘各分母的最小公倍数时，不要漏乘没有分母的项，同时要把分子如果是一个多项式作为一个整体加上括号．
 

14.【答案】 

【解析】解：由表格可知，
从从厘米增加到厘米，增加斤，从厘米到厘米，增加斤，而从厘米增加到厘米，增加了斤，
故，这组数据错误，
设与的函数解析式为，
时，，时，，
，
解得，
即与的函数解析式为，
当时，，
解得，
即当为斤时，对应的水平距离为，
故答案为：．
根据题意，先判断表格中的哪组数据错误，然后求出一次函数解析式，再将代入求出相应的的值即可．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式．
 

15.【答案】 

【解析】解：第一次，
第二次，
第三次，
第四次，
第五次，

发现点的位置次一个循环，
，
的纵坐标与相同为，横坐标为，
，
故答案为．
首先求出的坐标，探究规律后，利用规律解决问题．
本题考查坐标与图形的旋转、规律型：点的坐标等知识，学会从特殊到一般的探究规律的方法是解题的关键．
 

16.【答案】解：在中，，
； 

在中，， 
过作的垂线，垂足为，
在中，，，
 
米． 
答：钢缆的长度为米，灯的顶端距离地面米． 

【解析】利用三角函数求得的长；
过作的垂线，垂足为，根据三角函数求得、的长，则的长就是点到地面的距离．
此题主要考查学生对坡度坡角的理解及解直角的综合运用能力．
 

17.【答案】解：原式

． 

【解析】利用零指数幂的意义，负整数指数幂的意义，特殊角的三角函数值和二次根式的性质化简运算即可．
本题主要考查了实数的运算，零指数幂的意义，负整数指数幂的意义，特殊角的三角函数值和二次根式的性质，正确利用上述性质与法则运算是解题的关键．
 

18.【答案】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组的解集为，
不等式组的所有整数解为，． 

【解析】先求出不等式的解集，再求出不等式组的解集，即可得出答案．
本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用，能求出不等式组的解集是解此题的关键．
 

19.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
在与中，
，
≌，
． 

【解析】根据平行四边形的想着全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．
本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
 

20.【答案】       

【解析】解：由题意得，，
．
故答案为：；
统计图中组对应扇形的圆心角为，
故答案为：；
由题意可知，阅读时间在范围内的数据的众数是，调查的名同学课外阅读时间的中位数是．
故答案为：；；
名，
答：估计全校名同学课外阅读时间不少于的人数大约为名．
用样本容量乘可得的值，再用样本容量分别减去其他等级的频数可得的值；
用乘等级所占比例即可；
分别根据众数和中位数的定义解答即可；
用乘样本中课外阅读时间不少于的人数所占比例即可．
本题考查了频数分布表、中位数、众数、扇形统计图以及用样本估计总体，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
 

21.【答案】证明：连接，
与圆相切于，
半径，
，
，
，
，
，
，
平分；
解：连接，
是圆的直径，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
四边形是矩形，
． 

【解析】由切线的性质，垂直的定义推出，得到，由得到，因此，即可证明平分；
由圆周角定理得到，因此，求出的长，由勾股定理求出的长，由垂径定理求出的长，由矩形的性质即可求出的长．
本题考查切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，关键是掌握切线的性质，圆周角定理．
 

22.【答案】解：设品牌服装每套进价为元，则品牌服装每套进价为元，
由题意得：，
解得：，
经检验：是原分式方程的解，
，
答：、两种品牌服装每套进价分别为元、元；
设购进品牌的服装套，则购进品牌服装套，
由题意得：，
解得：，
答：至少购进品牌服装的数量是套． 

【解析】首先设品牌服装每套进价为元，则品牌服装每套进价为元，根据关键语句“用元购进种服装数量是用元购进种服装数量的倍．”列出方程，解方程即可；
首先设购进品牌的服装套，则购进品牌服装套，根据“可使总的获利超过元”可得不等式，再解不等式即可．
本题考查了分式方程组的应用和一元一次不等式的应用，弄清题意，表示出、两种品牌服装每套进价，根据购进的服装的数量关系列出分式方程，求出进价是解决问题的关键．
 

23.【答案】解：点在反比例函数的图象上，
，
；
如图，作轴于，
，点是线段的中点，
，
，在的图象上，
，
解得，，
；

由，
解得，，
，
；

如图，作关于轴的对称点，延长交轴于点，
由和的坐标可得，直线为，
令，则，
当的值最大时，点的坐标为 

【解析】把点的坐标代入反比例函数，利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式，作轴于，根据题意求得的坐标，然后利用待定系数法求得一次函数的解析式；
联立方程求得的坐标，然后根据即可求得的面积；
作关于轴的对称点，延长交轴于点，由和的坐标可得，直线为，进而得到点的坐标．
本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，方程组的解以及三角形的面积等，求得点的坐标是解题的关键．
 

24.【答案】解： ；
的值不变化，值为；理由如下：
由得：，
∽，
，
由旋转的性质得：，
∽，
．
． 

【解析】解：，
；
故答案为：．
见答案；
在上截取，过作交于，把绕点逆时针方向旋转得，连接，如图所示：

则，，，
，
于点，，且，
：：：：，
由得：∽，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为．
由平行线分线段成比例定理即可得出答案；
证明∽，得出．
在上截取，过作交于，把绕点逆时针方向旋转得，连接，则，，，证出：：：：，由得出∽，得出，证明∽，求出，证出，得出，由勾股定理可得出答案．
本题是四边形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、旋转的性质、平行线分线段成比例定理、勾股定理、三角函数定义等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质和勾股定理是解题的关键．
 

25.【答案】解：由题意得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：；

过点作轴交于点，

由抛物线的表达式知，点，
则，则，
由点、的坐标得，直线的表达式为：，
轴，则，
则，
设点，则点，
则，
即的最大值为：，
故EH的最大值为：；

如图，设抛物线的解析式为，
、、，
设，
当∽时，，
，
；
当∽时，，
，
；
Ⅰ当方程有两个相等实数根时，
，
解得：负值舍去，
此时方程有两个相等实数根，
方程有一个实数根，
，
此时点的坐标为和；
Ⅱ当方程有两个不相等的实数根时，
把代入，得：，
解得：负值舍去，
此时，方程有两个不相等的实数根、，
方程有一个实数根，
，此时点的坐标为和；
综上，当时，点的坐标为和；
当时，点的坐标为和． 

【解析】用待定系数法即可求解；
由题意得：，设点，则点，则，即可求解；
设抛物线的解析式为，知、、，再设，分∽和∽两种情况，由对应边成比例得出关于与的方程，利用符合条件的点恰有个，结合方程的解的情况求解可得．
本题是二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、线段长度的计算、相似三角形的判定与性质及一元二次方程根的判别式等知识点．