安康市高新中学2024届高三下学期2月月考数学（理）试卷(含答案)

这是一份安康市高新中学2024届高三下学期2月月考数学（理）试卷(含答案)，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合,,则( )
A.B.C.D.
2．已知复数z满足,则z的虚部为( )
A.5B.-5C.D.
3．执行如图的程序框图,输出的结果为( )
A.B.C.D.
4．若函数的最小正周期为,则的图象的一条对称轴方程为( )
A.B.C.D.
5．已知等比数列的前n项和为,若,则( )
A.4B.5C.16D.25
6．“”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
7．在区间内随机取一个实数a,则关于x的不等式仅有2个整数解的概率为( )
A.B.C.D.
8．小明将1,4,0,3,2,2这六个数字的一种排列设为自己的六位数字的银行卡密码,若两个2之间只有一个数字,且1与4相邻,则可以设置的密码种数为( )
A.48B.32C.24D.16
9．已知正三棱台中,的面积为,的面积为,,则二面角的余弦值为( )
A.B.C.D.
10．已知双曲线的右焦点为F,过F且与一条渐近线平行的直线与C的右支及另一条渐近线分别交于B,D两点,若,则C的渐近线方程为( )
A.B.C.D.
11．已知中,,,若所在平面内一点D满足,则的最大值为( )
A.B.C.D.
12．若函数在上没有零点,则实数的取值范围为( )
A.B.C.D.
二、填空题
13．已知圆锥的底面半径为1,体积为,则该圆锥的侧面展开图对应的扇形的圆心角为_________．
14．已知数列中,,且,则的前12项和为_________．
15．已知正实数m,n满足,则的最大值为_________．
16．已知抛物线的准线,直线与抛物线C交于M,N两点,P为线段的中点,则下列说法中正确的为_________________.（填写所有正确说法的序号）
①若,则以为直径的圆与相交;
②若,则（O为坐标原点）;
③过点M,N分别作抛物线C的切线,,若,交于点A,则;
④若,则点P到直线l的距离大于等于.
三、解答题
17．已知中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且．
（1）证明：;
（2）若,求的值．
18．如图所示,在三棱锥中,,,．

（1）求证：平面平面;
（2）若,求直线与平面所成角的正弦值．
19．为了验证某种新能源汽车电池的安全性,小王在实验室中进行了次试验,假设小王每次试验成功的概率为,且每次试验相互独立．
（1）若小王某天进行了4次试验,且,求小王这一天试验成功次数X的分布列以及期望;
（2）若恰好成功2次后停止试验,,以表示停止试验时试验的总次数,求．（结果用含有n的式子表示）
20．回答犀利问题
（1）求函数的极值;
（2）若,证明：当时,．
21．已知椭圆的离心率为,直线l过C的上顶点与右顶点且与圆相切．
（1）求C的方程．
（2）过C上一点作圆O的两条切线,（均不与坐标轴垂直）,,与C的另一个交点分别为,．证明：
①直线,的斜率之积为定值;
②．
22．已知平面直角坐标系xOy中,直线l过坐标原点且倾斜角为. 以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为.
（1）求的极坐标方程以及C的直角坐标方程;
（2）若,l与C交于M,N两点,设,求的最大值.
23．已知函数.
（1）若,求不等式的解集;
（2）若对任意,不等式恒成立,求实数m的取值范围.
参考答案
1．答案：A
解析：依题意,,,
所以,
.
故选：A.
2．答案：B
解析：由题意可得：,
所以z的虚部为-5．
故选：B.
3．答案：D
解析：运行程序,,,,,,判断否,
,,,判断否;,,,判断否;
,,,判断是,输出.
故选：D.
4．答案：D
解析：依题意,,由,
得,,所以的图象的一条对称轴为,
D选项正确,ABC选项错误.
故选：D.
5．答案：C
解析：设等比数列的公比为q,,
若,则,所以,
所以,
所以.
故选：C.
6．答案：B
解析：
,
显然,则,解得或．
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
7．答案：C
解析：根据题意可得不等式等价于;
因为,所以不等式的解集为;
依题意可得区间内仅有两个整数,即包含-1,0两个整数,可得;
由几何概型概率公式可得其概率为.
故选：C.
8．答案：C
解析：1与4相邻,共有种排法,
两个2之间插入1个数,
共有种排法,再把组合好的数全排列,共有种排法,
则总共有种密码．
故选：C.
9．答案：B
解析：因为的面积为,的面积,
所以,,
分别延长棱、、交于点P,棱的中点为M,
因为,,则,可得,
则,同理可得,
所以,四面体为正四面体,
延长交于点F,则,所以,,
且,即,则F为BC的中点,
又因为,则M为正的中心,故平面,
所以二面角即正四面体相邻侧面的夹角,
因为F为BC的中点,为等边三角形,则,
且,
因为是边长为6的等边三角形,则,且,
故二面角的平面角为,
因为平面,平面,则,
则,故二面角的余弦值为.
故选：B.
10．答案：C
解析：易知C的渐近线方程为,不妨设直线,,
联立方程得,解得,,所以,
又,而,,得到,
解得,,故,代入中,
得,得到,又,得到,解得,
故所求C渐近线方程为,
故选：C.
11．答案：A
解析：取中点为M,连接,,
由得,
所以,
,
故,
由于,
故,
即,当且仅当时等号成立,
,
故的最大值为,
故选：A.
12．答案：D
解析：,
因为在上没有零点,所以在上,
时,,
时,即可,令,且,
,
所以时,或,
所以时,,单调递增,且,时,,单调递减,时,,单调递增,
,,时,.
所以的值域为,
因为,所以实数的取值范围为.
故选：D.
13．答案：
解析：设圆锥（如图所示）的高为h．
因,所以,母线．
将圆锥沿展开所得扇形的弧长为底面周长,根据弧长公式,
所以圆心角.
故答案为：.
14．答案：-6
解析：依题意,故,,
所以,,,…,
故的前12项和为．
故答案为：-6.
15．答案：2
解析：依题意得,
则,
即,则,
解得,则的最大值为2．当且仅当时取得最大值.
故答案为：2.
16．答案：②③④
解析：由题可得抛物线,设,,
对于①,当时,直线过C的焦点,
此时,
又的中点到准线的距离为,
则以为直径的圆与l相切,故①错误;
对于②,当时,直线,
将代入,得,则,
又易知,,
所以,故②正确;
对于③,由题可设抛物线C在点M处的切线方程为,
由,消x得到,
由,得到,
又,所以,得到,
所以C在点M处的切线方程为,整理得到,
同理可得抛物线C在点N处的切线方程为,
联立,解得,故,故③正确;
对于④,由抛物线的对称性,可知当轴时,点P到直线l的距离最小,
由,不妨取,代入,得到,
所以,点P到直线l的距离为,故④正确．

故答案为：②③④.
17．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明：由正弦定理及条件可得,
由余弦定理可得,化简得．
（2）由得,
化简得,又,故,
所以,故．
18．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明：因为,所以,
同理可得,故,
因为,,平面,所以平面
因为平面,故平面平面．
（2）以C为坐标原点,,所在直线分别为x轴、y轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
因为
则,,,,,
所以,,．
设为平面的法向量,
则即令,得．
设直线与平面所成的角为,
则,
所以直线与平面所成角的正弦值为．
19．答案：（1）分布列见解析;期望为
（2）
解析：（1）依题意,,
则,,
,
,
故X的分布列为：
故．
（2）方法一：设“停止试验时试验总次数不大于n”,
则,
“n次试验中,成功了0次或1次”,
“n次试验中,成功了0次”的概率;
“n次试验中,成功了1次”的概率．
所以．
方法二：事件“”表示前次试验只成功了1次,且第n次试验成功,
故,
所以,
令,
则,
两式相减得：,
则．即
20．答案：（1）极小值为0,无极大值;
（2）证明见解析
解析：（1）依题意,,令,解得,
所以当时,,当时,,
即在上单调递减,在上单调递增,
而,故的极小值为0,无极大值．
（2）由（1）可知,当时,,则．
令,
则,易知在上单调递增．
因为,所以,,
故,使得,即①．
当时,,当时,,
所以在上单调递减,在上单调递增,
故②．
由①可得,
代入②,得
,
而,故,故,即原命题得证．
21．答案：（1）
（2）①证明见解析;②证明见解析
解析：（1）设椭圆的半焦距为．
依题意,离心率,则,①．
直线,即,由题可知②．
联立①②,解得,,故C的方程为．
（2）（i）设过点A且与圆O相切的直线的方程为,
则,整理得,
记直线,的斜率分别为,,则,为定值．
（ii）由（i）的过程可知直线,联立方程得
则有,故．
直线,同理可得．
故
,
则．
22．答案：（1）直线l的极坐标方程是,C的直角坐标方程为
（2）4
解析：（1）直线l过坐标原点且倾斜角为,
所以直线l的极坐标方程是,
由,
得,
所以.
（2）由（1）得C的直角坐标方程为,
即,所以圆C的圆心为,半径,
画出图象如下图所示,由图可知：当时,直线l与圆C有两个交点,
直线l的参数方程为（t为参数）,
将代入并化简得：,
所以,
由于是锐角,所以,,所以,
所以,
由于,所以当,时,取得最大值为4.
23．答案：（1）
（2）
解析：（1）当时,可得;
若,则;
不等式等价于,解得;
此时不等式的解集为;
若,则;
不等式等价于,解得;
此时不等式的解集为;
若,则;
不等式等价于,解得;
此时不等式的解集为;
综上可知,不等式的解集为
（2）若,可得,
不等式恒成立等价于,即;
所以可得,
即对任意恒成立,
利用二次函数单调性可得在上单调递增,其最小值为3;
函数在上单调递减,其最大值为-9;
所以.
即实数m的取值范围为.
X
0
1
2
3
4
P