初中数学沪科版九年级下册24.4.3 切线长定理作业课件ppt

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如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，若∠BAC＝26°，则∠P的度数为(　　)A．32° B．52° C．64° D．72°
∵PA，PB是⊙O的切线，∴PA＝PB，CA⊥PA.∴∠PAB＝∠PBA，∠PAC＝90°.∵∠BAC＝26°，∴∠PAB＝90°－26°＝64°.∴∠P＝180°－2∠PAB＝52°.
如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B，∠P＝70°，C为⊙O上一点，则∠ACB的度数为(　　)A．110° B．120° C．125° D．130°
连接OA，OB，在优弧AB上取点D，连接AD，BD，由切线的性质得∠OAP＝∠OBP＝90°，利用四边形内角和可求∠AOB＝110°，再利用圆周角定理求∠ADB＝55°，再根据圆内接四边形对角互补可求∠ACB＝125°.
[2023·河南]如图，PA与⊙O相切于点A，PO交⊙O于点B，点C在PA上，且CB＝CA.若OA＝5，PA＝12，则CA的长为________．
如图，连接OC.∵PA与⊙O相切于点A，∴∠OAP＝90°.∵OA＝OB，OC＝OC，CA＝CB，∴△OAC≌△OBC，∴∠OAP＝∠OBC＝90°.∴∠PBC＝90°.
如图，AC是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，且∠APB＝60°.
(1)求∠BAC的度数；
【解】∵PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，∴PA＝PB，∠PAC＝90°.∵∠APB＝60°，∴△APB是等边三角形，∴∠BAP＝60°.∴∠BAC＝∠PAC－∠BAP＝30°.
(2)若PA＝1，求点O到弦AB的距离．
切线长定理揭示了两个方面的内容，一是切线长相等，揭示线段之间的数量关系；二是圆外一点与圆心的连线平分两条切线的夹角．这两个方面的内容为证明线段之间的关系或者角之间的关系提供了条件．
如图，设光盘的圆心为O，由题意可知AB，AC分别切⊙O于点B，C，连接OC，OB，OA.∵AC，AB分别为⊙O的切线，∴AO为∠CAB的平分线，OC⊥AC，OB⊥AB.
已知PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，点C是⊙O上异于A，B的一点，过点C作⊙O的切线分别交PA和PB于点D，E，若PA＝10 cm，DE＝7 cm，则△PDE的周长为________cm.
分两种情况：(1)点C在劣弧AB上时，如图①.根据切线长定理得AD＝CD，BE＝CE，PA＝PB，则△PDE的周长为PD＋DE＋PE＝PD＋CD＋CE＋PE＝PD＋AD＋PE＋BE＝PA＋PB＝2PA＝20 cm.
(2)点C在优弧AB上时，如图②.根据切线长定理得AD＝CD，BE＝CE，PA＝PB，则△PDE的周长为PD＋DE＋PE＝PA＋AD＋CD＋CE＋BE＋PB＝2PA＋2CD＋2CE＝2PA＋2DE＝2×10＋2×7＝34(cm)．综上，△PDE的周长为20 cm或34 cm.
题目中没有给出图形，需要根据题意画出草图，本题易因考虑问题不全面而导致漏解．
[2022·衡阳]如图，AB为⊙O的直径，过圆上一点D作⊙O的切线CD交BA的延长线于点C，过点O作OE∥AD交CD于点E，连接BE.
(1)直线BE与⊙O相切吗？并说明理由．
【解】直线BE与⊙O相切．理由：如图，连接OD.∵CD与⊙O相切于点D，∴∠ODE＝90°.∵AD∥OE，∴∠ADO＝∠DOE，∠DAO＝∠EOB.
∵OD＝OA，∴∠ADO＝∠DAO.∴∠DOE＝∠EOB.∵OD＝OB，OE＝OE，∴△DOE≌△BOE(SAS)．∴∠OBE＝∠ODE＝90°.∵OB是⊙O的半径，∴直线BE与⊙O相切．
(2)若CA＝2，CD＝4，求DE的长．
【解】设⊙O的半径为r.在Rt△DOC中，OD2＋DC2＝OC2，∴r2＋42＝(r＋2)2，解得r＝3.∴AB＝2r＝6.∴BC＝AC＋AB＝2＋6＝8.∵DE，BE与⊙O相切，∴DE＝BE.在Rt△BCE中，BC2＋BE2＝CE2，∴82＋BE2＝(4＋DE)2，即64＋DE2＝(4＋DE)2，解得DE＝6.
如图，AB是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线AC，P是射线AC上的动点，连接OP，过点B作BD∥OP，交⊙O于点D，连接PD.
(1)求证：PD是⊙O的切线；
【证明】如图，连接OD.∵PA切⊙O于A，∴PA⊥AB，即∠PAO＝90°.∵OP∥BD，∴∠DBO＝∠AOP，∠BDO＝∠DOP.∵OD＝OB，∴∠BDO＝∠DBO.∴∠DOP＝∠AOP.又∵OA＝OD，OP＝OP∴△AOP≌△DOP(SAS)．∴∠PDO＝∠PAO＝90°，即OD⊥PD.∵OD是⊙O的半径，∴PD是⊙O的切线．
(2)当四边形POBD是平行四边形时，求∠APO的度数．
【解】由(1)可知PA＝PD.∵四边形POBD是平行四边形，∴PD＝OB.∵OB＝OA，PA＝PD，∴PA＝OA.∴∠APO＝∠AOP.∵∠PAO＝90°，∴∠APO＝∠AOP＝45°.
下面是小颖对一道题目的解答．题目：如图，Rt△ABC的内切圆与斜边AB相切于点D，AD＝3，BD＝4，求△ABC的面积．解：设△ABC的内切圆分别与AC，BC相切于点E，F，CE的长为x，如图所示．
小颖发现12恰好就是3×4，即△ABC的面积等于AD与BD的积．这仅仅是巧合吗？请你帮她完成下面的探索．已知：△ABC的内切圆与AB相切于点D，AD＝m，BD＝n.可以一般化吗？
(1)若∠C＝90°，求证：△ABC的面积等于mn.倒过来思考呢
【解】设△ABC的内切圆分别与AC，BC相切于点E，F，CE的长为x.根据切线长定理，得AE＝AD＝m，BF＝BD＝n，CF＝CE＝x.
(2)若AC·BC＝2mn，求证：∠C＝90°.改变一下条件……
【证明】由AC·BC＝2mn，得(x＋m)(x＋n)＝2mn.整理，得x2＋(m＋n)x＝mn.∴AC2＋BC2＝(x＋m)2＋(x＋n)2＝2[x2＋(m＋n)x]＋m2＋n2＝2mn＋m2＋n2＝(m＋n)2＝AB2.根据勾股定理逆定理可得∠C＝90°.
(3)若∠C＝60°，用m，n表示△ABC的面积．