扬州市宝应县2022-2023学年八年级下学期数学期末试卷（含答案解析）

这是一份扬州市宝应县2022-2023学年八年级下学期数学期末试卷（含答案解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分）
1．下列剪纸图形中，是中心对称图形的有（）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
2．观察如图所示的频数直方图，其中组界为99.5~124.5这一组的频数为（）
A．5B．6C．7D．8
3．若、的值均扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（）
A．B．C．D．
4．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
5．一元二次方程的根的情况是（）
A．有两个不相等实数根B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根D．没有实数根
6．下列各式计算正确的是（）
A．B．C．D．
7．已知点、在反比例函数的图象上，且，则下列结论一定正确的是（）
A．B．C．D．
8．如图，菱形中，，对角线相交于点O，过点D作于点H，连接，若菱形的面积为，则的长为（）
A．4B．C．8D．
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分）
9．为了了解“双减”背景下全国中小学生完成课后作业的时间情况，比较适合的调查方式是________（填“全面调查”或“抽样调查”）．
10．若分式有意义，则的取值范围是________
11．▱ABCD中，∠A+∠C＝200°，则∠A＝_______．
12．若无理数x与的积是一个正整数，则x的最小值是___________．
13．若关于x的方程有两个相等的实数根，则实数c的值是______．
14．如图，在平行四边形ABCD中，，，，分别以A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，过M，N两点作直线，与BC交于点E，与AD交于点F，连接AE，CF，则四边形AECF的周长为______．
15．已知反比例函数的图象过点（2，3），则该函数的解析式为___________．
16．若一元二次方程两个根是、，则的值是________
17．设函数y=x－4与的图象的交点坐标为（m，n），则的值为________．
18．如图，点A在反比例函数的图像上，以为一边作等腰，其中，则线段长的最小值是__________
三、解答题（本大题共有10小题，共96分）
19．化简或计算：
（1）（2）
20．先化简，再求值：，其中
21．为落实国家“双减”政策，某学校在课后托管时间里开展了“音乐社团、体育社团、文学社团、美术社团”活动。该校从全校1200名学生中随机抽取了部分学生进行“你最喜欢哪一种社团活动（每人必选且只选一种）”的问卷调查，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图。
根据图中信息，解答下列问题：
（1）参加问卷调查学生共有__________人；
（2）条形统计图中的值为_________，扇形统计图中的度数为_____________°；
（3）根据调查结果，可估计该校1200名学生中最喜欢“音乐社团”的约有多少人？
22．观察下面的等式：，，，……
（1）按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）
（2）请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的．
23．第十四届国际数学教育大会（ICME-14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0~7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是，表示ICME-14的举办年份．
（1）八进制数3746换算成十进制数_______；
（2）小华设计了一个进制数143，换算成十进制数是120，求的值．
24．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且∠CDF=∠BDC、∠DCF=∠ACD．
（1）求证：DF=CF；
（2）若∠CDF=60°，DF=6，求矩形ABCD的面积．
25．小明和小刚约定周末到某体育公园去打羽毛球．他们到体育公园的距离分别是1200米、3000米．小刚骑自行车的速度是小明步行速度的3倍，若二人同时到达，则小明需提前4分钟出发，求小明和小刚两人的速度．
26．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与y轴交于点B，与x轴交于点．
（1）求k与m的值；
（2）为x轴上的一动点，当△APB的面积为时，求a的值．
27．如图，正方形的边长为1，是一个直角边长为1的等腰直角三角形，把正方形和拼成一个如图所示的直角梯形，E、F分别为线段上两个动点（不与D、P、C重合），且，的延长线分别交于H、G．
（1）求证：①；②；
（2）设，试问：是否存在这样的值，使得和互相垂直平分，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
28．【提出问题】某数学活动小组在学习完反比例函数后，类比学到的方法尝试研究函数时，提出了如下问题：
（1）初步思考：自变量的取值范围是_______________
（2）探索发现：当时，；当时，．由此我们可猜想，该函数图像在第_________象限；
（3）深入思考：当时，，于是，当时，即时，的最小值是2．
请仿照上述过程，求当时，的最大值；
【实际应用】（4）如图，四边形的对角线相交于点O，的面积分别为4和9，求四边形面积的最小值．
参考答案
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分）
1．A
【解析】根据中心对称图形的概念：如果一个图形绕着某点旋转后，能与原来图形完全重合，则这个图形叫中心对称图形，这点叫对称中心．逐个进行判断即可．
【详解】解：①②③是中心对称图形，④不是中心对称图形，
故选：A．
【点睛】本题考查的是中心对称图形的概念．解题关键是掌握中心对称图形是要寻找对称中心，旋转后与自身重合．
2．D
【解析】用总人数减去其他三组的人数即为所求频数．
【详解】解：20－3－5－4=8，
故组界为99.5~124.5这一组的频数为8，
故选：D．
【点睛】本题考查频数分布直方图，能够根据要求读出相应的数据是解决本题的关键．
3．B
【解析】根据分式的基本性质，x，y的值均扩大为原来的2倍，求出每个式子的结果，结果等于原式的即是答案．
【详解】解：A．，不符合题意；
B．，符合题意；
C．，不符合题意；
D．，不符合题意；
故选：B．
【点睛】此题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质．
4．B
【解析】直接利用同类二次根式的定义分别化简二次根式求出答案．
【详解】解：A、，与不是同类二次根式，故该选项不符合题意；
B、，与，是同类二次根式，故该选项符合题意；
C、，与不是同类二次根式，故该选项不符合题意；
D、，与不是同类二次根式，故该选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了同类二次根式，解题的关键是正确化简二次根式．
5．A
【解析】根据即可判断．
【详解】解：，，，
，
一元二次方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点睛】本题主要考查利用判别式来判断一元二次方程根的个数：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根，掌握利用判别式判断方程根的方法是解题的关键．
6．C
【解析】由合并同类二次根式判断A，B，由二次根式的乘除法判断C，D．
【详解】解：A、原计算错误，该选项不符合题意；
B、原计算错误，该选项不符合题意；
C、正确，该选项符合题意；
D、原计算错误，该选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查合并同类二次根式，二次根式的乘法，二次根式的乘方运算，掌握以上知识是解题关键．
7．C
【解析】根据反比例函数性质可得反比例函数图象经过第一、三象限，在每个象限内y随x增大而减小，则可得到，由此即可得到答案．
【详解】解：∵在反比例函数中，，
∴反比例函数图象经过第一、三象限，在每个象限内y随x增大而减小，
∵点、在反比例函数的图象上，且，
∴，∴四个选项中只有C结论一定正确，故选C．
【点睛】本题考查比较反比例函数图象的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质：当时，图象在一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当时，图象在二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大．
8．A
【解析】先由菱形的性质得到，，进而证明是等边三角形，得到，利用勾股定理求出，进而利用菱形面积公式求出，再证明是的中位线，即可得到．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，，
∵，∴是等边三角形，
∵，∴，
∴，
∵菱形的面积为，∴，∴，
∴（负值舍去），
∵O、H分别是的中点，∴是的中位线，∴，
故选A．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，等边三角形的性质与判定等等，证明是等边三角形是解题的关键．
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分）
9．抽样调查
【解析】
【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似进行判断．
【详解】解：为了了解“双减”背景下全国中小学生完成课后作业的时间情况，比较适合的调查方式是抽样调查，
故答案为：抽样调查．
【点睛】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
10．
【解析】
【分析】根据分式有意义的条件进行求解即可．
【详解】解：∵分式有意义，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不为0是解题的关键．
11．100°
【解析】
【分析】根据平行四边形的对角相等，可得∠A＝∠C，又由∠A+∠C＝200°，可得∠A的度数．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，
又∵∠A+∠C＝200°，
∴∠A＝100°．
故答案是：100°．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握平行四边形的性质．
12．
【解析】
【分析】由题意可得x是含有的无理数，再根据最小的正整数是1，从而可求x的值．
【详解】∵，无理数x与的积是一个正整数，
∴x是含有的无理数，
∵最小的正整数是1，
∴x其最小值为：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查二次根式的乘除法，无理数，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
13．9
【解析】
【分析】若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式，建立关于c的方程，求出c的值即可．
【详解】解：∵关于x的方程有两个相等的实数根，
∴，
解得．
故答案为：9．
【点睛】此题考查了根的判别式．一元二次方程的根与有如下关系：（1）⇔方程有两个不相等的实数根；（2）⇔方程有两个相等的实数根；（3）⇔方程没有实数根．
14．10
【解析】
【分析】根据作图可得，且平分，设与的交点为，证明四边形为菱形，根据平行线分线段成比例可得为的中线，然后勾股定理求得，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半可得的长，进而根据菱形的性质即可求解．
【详解】解：如图，设与的交点为，
根据作图可得，且平分，
，
四边形是平行四边形，
，
，
又，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
垂直平分，
，
四边形是菱形，
，，
，
，
为的中点，
中，，，
，
，
四边形AECF的周长为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，菱形的性质与判定，勾股定理，平行线分线段成比例，平行四边形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键．
15．y=．
【解析】
【分析】待定系数法求反比例函数解析式．首先设反比例函数解析式,再根据反比例函数图象上点的坐标特点可得,
【详解】解：设反比例函数解析式为,
【点睛】此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，关键是掌握凡是函数图象经过的点，必能满足解析式.
16．
【解析】
【分析】根据、是一元二次方程的两个根，则有，求解即可．
【详解】解：由题意得
，
，故答案：．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握根与系数的关系是解题的关键．
17．##
【解析】
【详解】分析:把（m，n）代入y=x－4可得n-m=-4，把（m，n）代入可得mn=3，然后把通分，再把求得的n-m=-4，mn=3代入即可.
详解: ∵把（m，n）代入y=x－4得n-m=-4，把（m，n）代入得mn=3，
∴=.
故答案为.
点睛:本题考查了函数图像上点的坐标特征，熟练掌握函数图像上的点的横纵坐标满足函数关系式是解答本题的关键.
18．
【解析】
【分析】设，利用勾股定理得到，进而得到；根据推出，由此即可得到答案．
【详解】解：设，
∴，
∵中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴线段长的最小值是，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，勾股定理，完全平方公式的应用，正确利用勾股定理求出是解题的关键．
三、解答题（本大题共有10小题，共96分）
19．（1）（2）
【解析】
【分析】（1）根据二次根式的混合计算法则求解即可；
（2）根据二次根式的乘除混合计算法则求解即可．
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
解：原式
．
【点睛】本题主要考查了二次根式的乘除混合计算，四则混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
20．，
【解析】
【分析】先根据分式的混合计算法则化简，然后代值计算即可．
【详解】解：
，
当时，原式．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，二次根式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
21．（1）60（2）11，（3）200人
【解析】
【分析】（1）用喜欢体育社团的人数除以其人数占比求出参与调查的学生人数；
（2）根据（1）所求求出m和的值即可；
（3）用1200乘以样本中喜欢“音乐社团”的人数占比即可得到答案．
【小问1详解】
解：人，
∴参加问卷调查的学生共有60人，
故答案为：60；
【小问2详解】
解：由题意得，，，
故答案为：11，；
【小问3详解】
解：人，
∴估计该校1200名学生中最喜欢“音乐社团”的人数为200人．
【点睛】本题主要考查了条形统计图与扇形统计图信息相关联，用样本估计总体，正确读懂统计图是解题的关键．
22．（1）（2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据所给式子发现规律，第一个式子的左边分母为2，第二个式子的左边分母为3，第三个式子的左边分母为4，…；右边第一个分数的分母为3，4，5，…，另一个分数的分母为前面两个分母的乘积；所有的分子均为1；所以第（n+1）个式子为．
（2）由（1）的规律发现第（n+1）个式子为，用分式的加法计算式子右边即可证明．
【小问1详解】
解：∵第一个式子，
第二个式子，
第三个式子，
……
∴第（n+1）个式子；
【小问2详解】
解：∵右边==左边，
∴．
【点睛】此题考查数字的变化规律，分式加法运算，解题关键是通过观察，分析、归纳发现其中各分母的变化规律．
23．（1）2022 （2）9
【解析】
【分析】（1）根据八进制换算成十进制的方法即可作答；
（2）根据n进制换算成十进制方法可列出关于n的一元二次方程，解方程即可求解．
【小问1详解】
，
故答案为：2022；
【小问2详解】
根据题意有：，
整理得：，
解得n=9，（负值舍去），
故n的值为9．
【点睛】本题考查了有理数的运算以及一元二次方程的应用等知识，根据题意列出关于n的一元二次方程是解答本题的关键．
24．（1）见解析（2）
【解析】
【分析】（1）先证明△DCF≌△DCO得到DF=DO，CF=CO，再由矩形的性质证明OC=OD，即可证明DF=CF=OC=OD；
（2）由全等三角形的性质得到∠CDO=∠CDF=60°，OD=DF=6，即可证明△OCD是等边三角形，得到CD=OD=6，然后解直角三角形BCD求出BC的长即可得到答案．
【小问1详解】
解：在△DCF和△DCO中，
，
∴△DCF≌△DCO（ASA），
∴DF=DO，CF=CO，
∵四边形ABCD是矩形，
∴，
∴DF=CF=OC=OD；
【小问2详解】
解：∵△DCF≌△DCO，
∴∠CDO=∠CDF=60°，OD=DF=6，
又∵OD=OC，
∴△OCD是等边三角形，
∴CD=OD=6，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCD=90°，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，解直角三角形，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
25．小明的速度是50米/分钟，则小刚骑自行车的速度是150米/分钟
【解析】
【分析】设小明的速度是米/分钟，则小刚骑自行车的速度是米/分钟，根据如果两人同时到达，则小明需提前4分钟出发列出方程求解即可．
【详解】解：设小明的速度是米/分钟，则小刚骑自行车的速度是米/分钟，
根据题意可得：，
解得：，
经检验得：是原方程的根，
∴，
答：小明的速度是50米/分钟，则小刚骑自行车的速度是150米/分钟．
【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键．
26．（1）k值为，的值为6（2）或
【解析】
【分析】（1）把代入，先求解k的值，再求解A的坐标，再代入反比例函数的解析式可得答案；
（2）先求解．由为x轴上的一动点，可得．由，建立方程求解即可．
【小问1详解】
解：把代入，
得．
∴．
把代入，
得．
∴．
把代入，
得．
∴k的值为，的值为6．
【小问2详解】
当时，．
∴．
∵为x轴上的一动点，
∴．
∴，
．
∵，
∴．
∴或．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解反比例函数与一次函数的解析式，坐标与图形面积，利用数形结合的思想，建立方程都是解本题的关键．
27．（1）①证明见解析；②证明见解析
（2）存在使得和互相垂直平分
【解析】
【分析】（1）①根据正方形的性质和等腰直角三角形的性质得到，，再证明即可利用证明；②根据全等三角形的性质得到，进而利用三角形内角和定理推出，从而推出，即；
（2）如图所示，连接，根据题意可证明四边形是菱形，则，再利用勾股定理得到，，据此建立方程求解即可．
【小问1详解】
证明：①∵四边形是正方形，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴；
②∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：假设存在这样的值，使得和互相垂直平分，
如图所示，连接，
∵和互相垂直平分，
∴四边形菱形，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴
∴，
解得，
∴存在使得和互相垂直平分．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，菱形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判断，三角形内角和定理等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
28．（1）；（2）一、三；（3）；（4）25
【解析】
【分析】（1）根据分母不为0即可求解；
（2）根据当时，；当时，即可判断；
（3）模仿题干所给的求解过程，利用配方法即可求解；
（4）设，已知，，则由等高三角形可知：，用含的式子表示出，四边形的面积用含的代数式表示出来，再按照题中所给公式求得最小值，加上常数即可．
【详解】解：（1）函数的自变量x的取值范围为：，
故答案：；
（2）∵当时，；当时，．
∴该函数的函数图象在第一、三象限，
故答案为：一、三；
（3）当时，，
∵，
∴当时，即时，的最大值是．
当时，的最大值为．
故答案为：；
（4）设，已知，
由等高三角形可知：，
四边形面积，
∵
当且仅当，即时取等号，即四边形面积的最小值为25．
【点睛】本题考查了配方法在最值问题中的应用，同时本题还考查了函数的相关知识和等高三角形的性质，熟练掌握配方法是解题的关键．