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2024春七下数学第8章整式乘法与因式分解集训课堂练素养1活用乘法公式的八种技巧课件（沪科版）
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第8章 整式乘法与因式分解沪科版七年级下集训课堂第8章练素养 1.活用乘法公式的八种技巧习题链接乘法公式是指平方差公式和完全平方公式，公式可以正用， 也可以逆用.在使用公式时，要注意以下几点：1.公式中的字母a，b可以是任意一个式子. 2.公式可以连续使 用. 3.要掌握好公式中各项的关系及整个公式的结构特点. 4. 在运用公式时要学会运用一些变形技巧.技巧1 巧用乘法公式的变形求式子的值1.已知(a＋b)2＝7，(a－b)2＝4，求a2＋b2和ab的值. 技巧2 巧用乘法公式进行简便运算3.计算：(1)2042＋204×192＋962；【解】原式＝2042＋2×204×96＋962＝(204＋96)2＝3002＝90 000. (4)1002－992＋982－972＋…＋42－32＋22－12. 技巧3 巧用乘法公式解决整除问题4.对任意正整数n，整式(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)能不能 被10整除？为什么？【解】对任意正整数n，整式(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n) 能被10整除.理由：(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)＝(3n)2－1－(32－n2) ＝9n2－1－9＋n2＝10n2－10＝10(n2－1).因为对任意正整数n，10(n2－1)能被10整除，所以(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)能被10整除.技巧4 巧用乘法公式进行计算5. [新考法 归纳法] (1)观察下列各式的规律：(a－b)(a＋b)＝a2－b2；(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3；(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3)＝a4－b4；…可得到(a－b)(a2 024＋a2 023b＋…＋ab2 023＋b2 024)＝ ；a2 025－ b2 025 (2)猜想：(a－b)(an－1＋an－2b＋…＋abn－2＋bn－1)＝ (其中n为正整数，且n≥2)；(3)利用(2)中猜想的结论计算：29－28＋27－…＋23－22＋2.an－ bn 技巧6 巧用乘法公式解决规律问题7. [新视角 规律探究题]有一系列等式：1×2×3×4＋1＝52＝(12＋3×1＋1)2；2×3×4×5＋1＝112＝(22＋3×2＋1)2；3×4×5×6＋1＝192＝(32＋3×3＋1)2；4×5×6×7＋1＝292＝(42＋3×4＋1)2；….(1)根据你观察、归纳、发现的规律，写出8×9×10×11＋ 1的结果为 ；(2)试猜想n(n＋1)(n＋2)(n＋3)＋1是哪一个数的平方，并予 以说明.892 【解】猜想：n(n＋1)(n＋2)(n＋3)＋1＝(n2＋3n＋1)2.说明 如下：等式左边＝(n2＋n)(n2＋5n＋6)＋1＝n4＋5n3＋6n2＋n3＋ 5n2＋6n＋1＝n4＋6n3＋11n2＋6n＋1.等式右边＝[(n2＋1)＋3n)]2＝(n2＋1)2＋2·3n·(n2＋1)＋9n2＝ n4＋2n2＋1＋6n3＋6n＋9n2＝n4＋6n3＋11n2＋6n＋1.因为左边＝右边，所以n(n＋1)(n＋2)(n＋3)＋1＝(n2＋3n＋1)2.技巧7 巧用乘法公式解决实际问题(分类讨论思想)8.王老师在一次团体操队列队形设计中，先让全体队员排成 一个方阵(行与列的人数一样多的队形，且总人数不少于25 人)，队员正好排完，然后再进行各种队形变化，其中一个 队形需分为5人一组，手执彩带变换队形.在讨论分组方案 时，有人说现在的队员人数按5人一组分将多出3人，你说 这可能吗？(分类讨论思想)【解】不可能.理由如下：由题意得总人数可能为(5n)2人，(5n＋1)2人，(5n＋2)2人， (5n＋3)2人，(5n＋4)2人，n为正整数.(5n)2＝5×5n2，(5n＋1)2＝25n2＋10n＋1＝5(5n2＋2n)＋1，(5n＋2)2＝25n2＋20n＋4＝5(5n2＋4n)＋4，(5n＋3)2＝25n2＋30n＋9＝5(5n2＋6n＋1)＋4，(5n＋4)2＝25n2＋40n＋16＝5(5n2＋8n＋3)＋1.由此可见，无论哪一种情况，总人数按每组5人分，要么不 多出人数，要么多出的人数是1人或4人，但不可能是3人.技巧8 巧用乘法公式解决最值问题9. [新考法 阅读类比法]先仔细阅读材料，再尝试解决问题：x2±2xy＋y2＝(x±y)2及(x±y)2的值恒为非负数的特点在数 学中有着广泛的应用，比如探求多项式2x2＋12x－4的最小 值时，我们可以这样处理：解：原式＝2(x2＋6x－2)＝2(x2＋6x＋9－9－2)＝2[(x＋3)2 －11]＝2(x＋3)2－22.因为无论x取什么数，都有2(x＋3)2≥0，即2(x＋3)2的最小值为0，此时x＝－3，所以当x＝－3时，原多项式的最小值是－22.请根据上面的解题思路，探求多项式3x2－6x＋12的最小 值，并写出相应的x的值.【解】原式＝3(x2－2x＋4)＝3(x2－2x＋1－1＋4)＝3(x－1)2＋9.因为无论x取什么数，都有3(x－1)2≥0，即3(x－1)2的最小值为0，此时x＝1.所以当x＝1时，原多项式的最小值是9.
第8章 整式乘法与因式分解沪科版七年级下集训课堂第8章练素养 1.活用乘法公式的八种技巧习题链接乘法公式是指平方差公式和完全平方公式，公式可以正用， 也可以逆用.在使用公式时，要注意以下几点：1.公式中的字母a，b可以是任意一个式子. 2.公式可以连续使 用. 3.要掌握好公式中各项的关系及整个公式的结构特点. 4. 在运用公式时要学会运用一些变形技巧.技巧1 巧用乘法公式的变形求式子的值1.已知(a＋b)2＝7，(a－b)2＝4，求a2＋b2和ab的值. 技巧2 巧用乘法公式进行简便运算3.计算：(1)2042＋204×192＋962；【解】原式＝2042＋2×204×96＋962＝(204＋96)2＝3002＝90 000. (4)1002－992＋982－972＋…＋42－32＋22－12. 技巧3 巧用乘法公式解决整除问题4.对任意正整数n，整式(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)能不能 被10整除？为什么？【解】对任意正整数n，整式(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n) 能被10整除.理由：(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)＝(3n)2－1－(32－n2) ＝9n2－1－9＋n2＝10n2－10＝10(n2－1).因为对任意正整数n，10(n2－1)能被10整除，所以(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)能被10整除.技巧4 巧用乘法公式进行计算5. [新考法 归纳法] (1)观察下列各式的规律：(a－b)(a＋b)＝a2－b2；(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3；(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3)＝a4－b4；…可得到(a－b)(a2 024＋a2 023b＋…＋ab2 023＋b2 024)＝ ；a2 025－ b2 025 (2)猜想：(a－b)(an－1＋an－2b＋…＋abn－2＋bn－1)＝ (其中n为正整数，且n≥2)；(3)利用(2)中猜想的结论计算：29－28＋27－…＋23－22＋2.an－ bn 技巧6 巧用乘法公式解决规律问题7. [新视角 规律探究题]有一系列等式：1×2×3×4＋1＝52＝(12＋3×1＋1)2；2×3×4×5＋1＝112＝(22＋3×2＋1)2；3×4×5×6＋1＝192＝(32＋3×3＋1)2；4×5×6×7＋1＝292＝(42＋3×4＋1)2；….(1)根据你观察、归纳、发现的规律，写出8×9×10×11＋ 1的结果为 ；(2)试猜想n(n＋1)(n＋2)(n＋3)＋1是哪一个数的平方，并予 以说明.892 【解】猜想：n(n＋1)(n＋2)(n＋3)＋1＝(n2＋3n＋1)2.说明 如下：等式左边＝(n2＋n)(n2＋5n＋6)＋1＝n4＋5n3＋6n2＋n3＋ 5n2＋6n＋1＝n4＋6n3＋11n2＋6n＋1.等式右边＝[(n2＋1)＋3n)]2＝(n2＋1)2＋2·3n·(n2＋1)＋9n2＝ n4＋2n2＋1＋6n3＋6n＋9n2＝n4＋6n3＋11n2＋6n＋1.因为左边＝右边，所以n(n＋1)(n＋2)(n＋3)＋1＝(n2＋3n＋1)2.技巧7 巧用乘法公式解决实际问题(分类讨论思想)8.王老师在一次团体操队列队形设计中，先让全体队员排成 一个方阵(行与列的人数一样多的队形，且总人数不少于25 人)，队员正好排完，然后再进行各种队形变化，其中一个 队形需分为5人一组，手执彩带变换队形.在讨论分组方案 时，有人说现在的队员人数按5人一组分将多出3人，你说 这可能吗？(分类讨论思想)【解】不可能.理由如下：由题意得总人数可能为(5n)2人，(5n＋1)2人，(5n＋2)2人， (5n＋3)2人，(5n＋4)2人，n为正整数.(5n)2＝5×5n2，(5n＋1)2＝25n2＋10n＋1＝5(5n2＋2n)＋1，(5n＋2)2＝25n2＋20n＋4＝5(5n2＋4n)＋4，(5n＋3)2＝25n2＋30n＋9＝5(5n2＋6n＋1)＋4，(5n＋4)2＝25n2＋40n＋16＝5(5n2＋8n＋3)＋1.由此可见，无论哪一种情况，总人数按每组5人分，要么不 多出人数，要么多出的人数是1人或4人，但不可能是3人.技巧8 巧用乘法公式解决最值问题9. [新考法 阅读类比法]先仔细阅读材料，再尝试解决问题：x2±2xy＋y2＝(x±y)2及(x±y)2的值恒为非负数的特点在数 学中有着广泛的应用，比如探求多项式2x2＋12x－4的最小 值时，我们可以这样处理：解：原式＝2(x2＋6x－2)＝2(x2＋6x＋9－9－2)＝2[(x＋3)2 －11]＝2(x＋3)2－22.因为无论x取什么数，都有2(x＋3)2≥0，即2(x＋3)2的最小值为0，此时x＝－3，所以当x＝－3时，原多项式的最小值是－22.请根据上面的解题思路，探求多项式3x2－6x＋12的最小 值，并写出相应的x的值.【解】原式＝3(x2－2x＋4)＝3(x2－2x＋1－1＋4)＝3(x－1)2＋9.因为无论x取什么数，都有3(x－1)2≥0，即3(x－1)2的最小值为0，此时x＝1.所以当x＝1时，原多项式的最小值是9.
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