吉林省长春市九台区2023届九年级下学期开学考试数学试卷(含答案)

这是一份吉林省长春市九台区2023届九年级下学期开学考试数学试卷(含答案)，共23页。

本试卷分选择题和非选择题两部分，共8页．满分120分，考试时间为120分钟．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内．
2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效．
一、选择题（每小题3分，共24分）
1. 若有意义，则a的值不可以是（ ）
A. -1B. 0C. 1D. 2022
答案：A
解析：根据题意得：，
选项中只有A选项-1不满足，
故选：A．
2. 下列事件是必然事件的是（ ）
A. 经过有信号灯的十字路口，遇见红灯
B. 从一副扑克中任意抽出一张是黑桃
C. 在一个三角形中，任意两边之和大于第三边
D. 明天一定下雨
答案：C
解析：经过有信号灯的十字路口，遇见红灯是随机事件，故A不符合题意；
从一副扑克中任意抽出一张是黑桃是随机事件，故B不符合题意；
在一个三角形中，任意两边之和大于第三边是必然事件，故C符合题意；
明天一定下雨是随机事件，故D不符合题意；
故选：C．
3. 如图，E是的边的延长线上的一点，连接，交边于点P．若，则与的周长之比为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：解：∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴与的周长之比；
故选A．
4. 将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移6个单位，所得抛物线对应的函数表达式为（ ）
A. B.
C. D.
答案：C
解析：解：∵抛物线的顶点坐标为 ，
∴将先向左平移2个单位，再向上平移6个单位后得到点 ，
∴抛物线先向左平移2个单位，再向上平移6个单位，所得抛物线对应的函数表达式为．
故选：C
5. 如图，已知，现将A点绕原点O逆时针旋转90°得到，则的坐标是（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：解：，现将A点绕原点O逆时针旋转90°得到，则的坐标是
故选A
6. 某书店拿取高处书籍的登高梯如图位置摆放，登高梯的顶端A恰好放在书架的第七层的顶端．已知登高梯的长度为3米，登高梯与地面的夹角为，则书架第七层顶端离地面的高度为（ ）
A. 米B. 米C. 米D. 米
答案：A
解析：解：由题意可得，
，米，，
，
（米），
故选：A．
7. 已知，点都在函数的图象上，则（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：解：∵二次函数解析式为，
∴二次函数开口向上，对称轴为y轴，
∴离y轴越远函数值越大，
∵，
∴，
∴，
故选D．
8. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象在轴上方的部分沿轴翻折后，所得新函数的图象如图所示（实线部分）．若直线与新函数的图象有3个公共点，则的值是（ ）
A. 0B. -3C. -4D. -5
答案：C
解析：解：原二次函数，
∴顶点，
翻折后点对应的点为，
∴当直线与新函数的图象有3个公共点，直线过点，此时．
故选：C.
二、填空题（每小题3分，共18分）
9. 最简二次根式与二次根式是同类二次根式，则x=___________．
答案：
解析：解：，
∵与是同类二次根式，
，
解得：，
故答案为：．
10. 如图，在平面直角坐标系中，△与△是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为3:2.点的坐标为（3，），则点的坐标是_________．
答案：
解析：∵△与△是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为3:2，
∴的横坐标为，纵坐标为，
故答案为：．
11. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是___________．
答案：
解析：解：∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴，
∴，
故答案为：．
12. 如图，在2×4的方格中，两条线段的夹角（锐角）为∠1，则sin∠1=______________．
答案：
解析：解：如图添加字母，过A作AB∥ED，使AB=ED，
∠1=∠CAB，
连结BC，
在△ABC中，
AC=，
AB =，BC=，
∵AB2+BC2=5+5=10=AC2，
∴∠ABC=90°，AB=BC，
∴∠CAB=45°，
sin∠CAB，
故答案为：．
13. 如图，在△ABC中，D，E分别是边AC，BC的中点，连接BD，DE，若△ABC的面积为16，则△DBE的面积是_____________．
答案：4
解析：解：∵D为AC的中点，S△ABC=16，
∴S△BCD=S△ABC=8，
∵E为BC的中点，
∴S△BDE=S△BCD=4，
故答案为：4．
14. 如图，正方形的点在轴的负半轴上，点在轴的负半轴上，抛物线的顶点为，且经过点、．若为等腰直角三角形，则的值是______．
答案：
解析：解：∵抛物线y＝a（x+2）2+c（a＞0）的顶点为E，且经过点A、B，
∴抛物线的对称轴是直线x＝﹣2，且A、B关于直线x＝﹣2对称，
过E作EF⊥x轴于F，交AB于D，
∵△ABE为等腰直角三角形，
∴AD＝BD＝2，
∴AB＝4，DE＝AB＝2，
∵四边形OABC是正方形，
∴OA＝AB＝BC＝OC＝4，EF＝4+2＝6，
∴A（0，﹣4），E（﹣2，﹣6），
把A、E的坐标代入y＝a（x+2）2+c得：
，
解得：
故答案为：．
三、解答题（共10小题，共78分）
15. 计算：
答案：3
解析：解：原式

．
16. 解方程：
答案：，
解析：解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，．
17. 如图，不透明的管中放置着三根完全相同的绳子AA1、BB1、CC1．在不看的情况下，小明从左端A、B、C三个绳头中随机选一个绳头，小刚从右端A1、B1、C1三个绳头中随机选一个绳头，用画树状图（或列表）的方法，求小明和小刚选中的两个绳头恰好是同一根绳子的概率．
答案：见解析，
解析：解：列表得：
由表可知共有9种等可能结果，其中选中的两个绳头恰好是同一根绳子的有3种结果，
∴小明和小刚选中的两个绳头恰好是同一根绳子的概率为＝．
18. 如图，在中，D为AC边上一点，，，，求AD的长．
答案：1
解析：解：在和中，
∵，
∴
∴ 即
∴
∴．
19. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B、C均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按照要求作图（保留作图痕迹）．
（1）在图①中作的中线BD．
（2）在图②中作的高BE．
（3）在图③中作的角平分线BF．
答案：（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析．
解析：解：（1）如图①，BD即为所求作的中线．
证明：由题意得∠AMD=∠CND=90°，∠ADM=∠CDN，
又∵AM=CN=2，
∴△AMD≌△CND，
∴AD=CD，
∴BD为△ABC的中线．
（2）如图②，BE即为所求作的高线．
证明：BC=CH=4，CG=AH=1， ∠BCG=∠CHA，
∴△BCG≌△CHA，
∴∠CBG=∠HCA，
∵∠BCG=90°，
∴∠BCE+∠ACH=90°，
∴∠BCE+∠GBC=90°，
∴∠BEC=90°，
即BE⊥AC，
∴BE为△ABC的高线．
（3）如图③，BF即为所求作的角平分线．
证明：如图，由题意得，
，
，
∴，
∴△ABP∽△PBC，
∴∠ABP=∠PBC，
即∠ABF=∠CBF，
∴ BF为△ABC的角平分线．
20. 如图，利用22米长的墙为一边，用篱笆围成一个长方形仓库，中间用篱笆分割出两个小长方形，在与墙平行的一边要开两扇1米宽的门，总共用去篱笆34米，为了使这个长方形的面积为96平方米，求和的长．
答案：AB=8米，BC=12米．
解析：解：设AB为x米，则BC为（36-3x）米，
x（36-3x）=96，
解得：x1=4，x2=8，
当x=4时，
36-3x=24＞22（不合题意，舍去），
当x=8时，
36-3x=12．
答：AB=8米，BC=12米．
21. 如图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，其中，可分别绕点，转动，测量知，．为用眼舒适，经市场调研小组多次试验发现，当，转动到，时，人们的感受最为舒适，求此时点到的距离．（结果保留小数点后一位，参考数据：，，，，）
答案：
解析：过点B作，过点C作，垂足分别为M、N，过点C作，垂足为D，则，
在中，，
∴，
∵
∴
∴
在中，
∴
∴
∴
∴点到的距离约为
22. [教材呈现]如图是华师版九年级上册数学教材第103页部分内容．
（1）请根据教材提示，结合图1，写出完整的证明过程．
（2）[结论应用]如图2，直角三角形纸片中，，点D是边上的中点，连接，将沿折叠，点A落在点E处，此时恰好有．若，那么 ．
（3）如图3，在中，是边上的高线，是边上的中线，G是的中点，．若，则 ．
答案：（1）见解析 （2）
（3）
小问1解析：
证明：延长到E，使，连接，
∴则．
∵是斜边上的中线，
∴，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴平行四边形是矩形，
∴，
∴；
小问2解析：
解：如图2中，设交于点O．
∵，
∴，
∴．
由翻折的性质可知．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，，
∴．
∵，
∴，
∴．
故答案为：；
小问3解析：
解：如图3中，连接．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
故答案：．
23. 如图，在中，，，．点P从点A出发，沿线段以每秒4个单位长度的速度向终点B匀速运动．当点P不与点A、点B重合时，过点P作，其中点Q在上方，，以、为邻边作．设点P运动的时间为t（秒）．
（1）边的长为___________；点C到边的距离为___________．
（2）当点F落在边上时，求t的值．
（3）设线段与边BC交于点M，线段与边交于点N．当时，求的长．
（4）连结，沿直线将剪开，当剪开的两部分可以拼成一个不重叠无缝隙的三角形时，直接写出的值．
答案：（1）25，12
（2）
（3）11 （4）或或
小问1解析：
解：过点C作于D，
∵，，，
∴AB=，
∴S△ABC=，
∴，
故答案为：25；12；
小问2解析：
解：过点F作于E，
∵，，
∴，
∴
∵四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∴tanB=，即，
解得，经检验符合题意，
小问3解析：
解：过点N作于H，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
解得，经检验符合题意，
∴；
小问4解析：
分三种情况：
当平分，交于G，延长交于K，延长交于L，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是拼成的无缝隙的三角形，
∵，
∴，
∵，
∴即，
解得，
当平行四边形对角线在时，
，
解得，
当点P与点B重合时，交于K，
∵，
∴，
∴，
∵绕点K旋转使与重合得，组成无缝隙的三角形，
∴，
解得，
沿直线将剪开，当剪开的两部分可以拼成一个不重叠无缝隙的三角形时， t的值为或或．
24. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象交x轴于点和点．
（1）此二次函数的图象与y轴的交点的纵坐标为______．
（2）求此二次函数的关系式．
（3）当时，求二次函数的最大值和最小值．
（4）点P为二次函数图象上任意一点，其横坐标为m，过点P作轴，点Q的横坐标为．已知点P与点Q不重合，且线段PQ的长度随m的增大而减小．直接写出线段PQ与二次函数的图象只有1个公共点时m的取值范围．
答案：（1）2；（2）；（3）最大值为，最小值为-8；（4）或．
解析：解：（1）令x=0，则y=2，
∴二次函数的图象与y轴的交点的纵坐标为2；
故答案为：2；
（2）将A（-3，0），B（1，0）代入得：
，解得，
∴二次函数的关系式为；
（3）∵，
∵抛物线开口向下，对称轴为直线．
∴当时，y取最大值为，
∵，
∴当时，y取最小值；
（4）PQ=，
当时，PQ=-3m-4，PQ的长随m的增大而减少；
当时，PQ=3m+4，PQ的长随m的增大而增大；
∴满足题意，解得：m<-，
①P到对称轴直线x=-1的距离为-1-m，
当PQ<2(-1-m)时，线段PQ与二次函数y=ax2+bx+2(-3∴2(-1-m)，
解得：m>-2，
∴；
②如图：
当x=时，
y=-x2-x+2=，
在y=-x2-x+2中，令y=，
得：-x2-x+2=，
解得：x=或x=，
∴当时，线段PQ与二次函数y=ax2+bx+2(-3综上，线段PQ与二次函数y=ax2+bx+2(-3A1
B1
C1
A
AA1
AB1
AC1
B
BA1
BB1
BC1
C
CA1
CB1
CC1
例2 如图，在中，，是斜边上的中线．求证： ．
证明：延长至点E，使，连接．