专题02 中线四大模型在三角形中的应用（能力提升）-备战中考数学《重难点解读•专项训练》（全国通用）

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专题02 中线四大模型在三角形中的应用（能力提升）
1．直角三角形中有两条边的长分别为4，8，则此直角三角形斜边上的中线长等于（　　）
A．4 B．4 C．4或4 D．4或2
【答案】D
【解答】解：①当4和8均为直角边时，斜边＝4，则斜边上的中线＝2；
②当4为直角边，8为斜边时，则斜边上的中线＝4．
故选：D．
2．如图，点D是Rt△ABC的斜边BC的中点，点E、F分别在边AB、AC上，且BE＝BD＝CF，连接DE、DF，若DE＝7，DF＝10，则线段BE的长为 　 　．

【答案】13
【解答】解：如图，延长FD至点P，使得DP＝DF，连接BP，EP，过点E作EQ⊥FD于点Q，

在△BDP和△CDF中，
，
∴△BDP≌△CDF（SAS），
∴BP＝CF，∠PBD＝∠C，
∵∠C+∠ABC＝90°，
∴∠PBD+∠ABC＝90°，
即∠ABP＝90°，
∵BE＝CF，
∴BE＝BP，
∴△BEP为等腰直角三角形，
∴EP＝BE，
∵∠ABC+∠C＝90°，BD＝BE，CD＝CF，
∴∠BDE+∠CDF＝135°，
∴∠EDQ＝45°，
∵ED＝，
∴EQ＝DQ＝7，
∴EP＝＝，
∴BE＝13．
故答案为：13．
3．如图所示，已知四边形ABCD，R、P分别是DC、BC上的点，点E、F分别是AP、RP的中点，当点P在边BC上从点B向点C移动，且点R从点D向点C移动时，那么下列结论成立的是（　　）

A．线段EF的长逐渐增大
B．线段EF的长逐渐减少
C．线段EF的长不变
D．△ABP和△CRP的面积和不变
【答案】A
【解答】解：连接AR，
∵E，F分别是AP，RP的中点，
∴EF＝AR，
∵当点P在BC上从点C向点B移动，点R从点D向点C移动时，AR的长度逐渐增大，
∴线段EF的长逐渐增大．
S△ABP+S△CRP＝BC•（AB+CR）．
∵CR随着点R的运动而减小，
∴△ABP和△CRP的面积和逐渐减小．
观察选项，只有选项A符合题意．
故选：A．

4．求证：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
已知：如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点O是AC的中点．
求证：OB＝AC．
证明：延长BO到D，使OD＝OB，连接AD、CD，
中间的证明过程排乱了：
①∵∠ABC＝90°，
②∵OB＝OD，OA＝OC，
③∴四边形ABCD是平行四边形，
④∴四边形ABCD是矩形．
∴AC＝BD，∴OB＝BD＝AC．
则中间证明过程正确的顺序是（　　）

A．①④②③ B．①③②④ C．②④①③ D．②③①④
【答案】D
【解答】解：延长BO到D，使OD＝OB，连接AD、CD，
∵OB＝OD，OA＝OC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠ABC＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形．
∴AC＝BD，
∴OB＝BD＝AC．
则中间证明过程正确的顺序是②③①④，
故选：D．
5．如图，AB为⊙O的直径，CA与⊙O相切于点A，BC交⊙O于点D，E是的中点，连接OE并延长交AC于点F，若BD＝CD，AB＝5，则AF的长为（　　）

A． B． C． D．4
【答案】A
【解答】解：连接AD交OF于点G，

∵E是的中点，
∴OE⊥AD，
∴∠AGO＝90°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADB＝∠AGO＝90°，
∴BC∥OF，
∵OA＝OB，
∴AF＝CF，
∴OF是△ABC的中位线，
∴OF＝BC，
∵BD＝CD，
∴BD＝BC，
∵CA与⊙O相切于点A，
∴∠CAB＝90°，
∴∠CAB＝∠ADB＝90°，
∵∠B＝∠B，
∴△BDA∽△BAC，
∴＝，
∴BA2＝BD•BC，
∴25＝BC2，
∴BC＝10，
∴OF＝BC＝5，
∵OA＝AB＝2.5，
∴AF＝＝＝2.5，
故选：A．


6．如图，将△ABC沿DE折叠，使点A与BC边的中点F重合，下列结论中：①EF∥AB且2EF＝AB；②∠BAF＝∠CAF；③S四边形ADEF＝AF•DE；④∠BDF+∠FEC＝2∠BAC，正确的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解答】解：设AF与DE相交于点G，

由折叠得：
∠DAE＝∠DFE，DE是AF的垂直平分线，AE＝EF，
∵点F是BC的中点，点E不是AC的中点，
∴EF不是△ABC的中位线，
∴EF不平行于AB，2EF≠AB，
故①不正确；
∵AB≠AC，点F是BC的中点，
∴∠BAF≠∠CAF，
故②不正确；
∵AF⊥DE，
∴S四边形ADEF＝S△ADF+S△AEF
＝AF•DG+AF•EG
＝AF（DG+EG）
＝AF•DE，
故③正确；
∵∠BDF是△ADF的一个外角，
∴∠BDF＝∠DAF+∠AFD，
∵∠CEF是△AEF的一个外角，
∴∠CEF＝∠EAF+∠EFA，
∴∠BDF+∠FEC＝∠DAF+∠AFD+∠EAF+∠EFA
＝∠DAE+∠DFE
＝2∠DAE，
故④正确；
∴上列结论中，正确的个数是2，
故选：B．
7．矩形ABCD与CEFG，如图放置，点B、C、E共线，点C、D、G共线，连接AF，取AF的中点H，连接GH，若BC＝EF＝4，CD＝CE＝2，则GH＝　 　．

【答案】
【解答】解：如图，延长GH交AD于点P，

∵四边形ABCD和四边形CEFG都是矩形，
∴∠ADC＝∠ADG＝∠CGF＝90°，AD＝BC＝4、GF＝CE＝2，
∴AD∥GF，
∴∠GFH＝∠PAH，
又∵H是AF的中点，
∴AH＝FH，
在△APH和△FGH中，
∵，
∴△APH≌△FGH（ASA），
∴AP＝GF＝2，PH＝HG＝PG，
∵PD＝AD﹣AP＝2，GD＝GC﹣CD＝4﹣2＝2
∴GP＝＝2
∴GH＝GP＝
故答案为：
8．如图，在△ABC中，延长CA到点D，使AD＝AC，点E是AB的中点，连接DE，并延长DE交BC于点F，已知BC＝4，则BF＝　 　．

【答案】
【解答】解：过点B作BG∥CD，交DF的延长线于点G，

∴∠D＝∠G，∠DAE＝∠EBG，
∴点E是AB的中点，
∴AE＝BE，
∴△ADE≌△BGE（AAS），
∴AD＝BG，
∵AD＝AC，
∴AD＝AC＝BG，
∴DC＝2BG，
∵CD∥BG，
∴∠C＝∠FBG，
∵∠D＝∠G，
∴△DCF∽△GBF，
∴＝＝2，
∴BF＝BC＝，
故答案为：．
9．如图，△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，连接BD，△ABD的中线AE的延长线交BC于点F，∠FAC＝60°，若AD＝5，AB＝7，则EF的长为 　 　．

【答案】
【解答】解：延长AE至点G，使得AE＝EG，

∵E是BD的中点，
∴BE＝DE，
在△ADE和△GBE中，
，
∴△ADE≌△GBE（SAS），
∴AD＝GB＝5，∠G＝∠FAC＝60°，
过点B作BH⊥GE于点H，
在Rt△BGH中，∠GBH＝180°﹣90°﹣60°＝30°，
∴GH＝＝，BH＝＝，
在Rt△ABH中，AH＝＝，
∴AG＝AH+GH＝8，
∴AE＝GE＝4，
过点D作DM∥EF，交BC于点M．
∴，
设EF＝x，则DM＝2x，
∵DM∥EF，
∴，
∴AF＝7x，
∴AE＝7x﹣x＝6x＝4，
∴x＝，
∴EF＝，
故答案为：．
10．如图，阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．
已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．求证：AB＝CD．
分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证AB＝CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．请根据上述分析写出详细的证明过程（只需写一种思路）．

【解答】证明：方法一：如图1中，作BF⊥DE于点F，CG⊥DE于点G．

∴∠F＝∠CGE＝90°，
在△BFE和△CGE中，
，
∴△BFE≌△CGE．
∴BF＝CG．
在△ABF和△DCG中，
，
∴△ABF≌△DCG．
∴AB＝CD．
或方法二：如图2中，作CF∥AB，交DE的延长线于点F．

∴∠F＝∠BAE．
又∵∠ABE＝∠D，
∴∠F＝∠D．
∴CF＝CD．
在△ABE和△FCE中，
，
∴△ABE≌△FCE．
∴AB＝CF．
∴AB＝CD．

11．如图所示，D是△ABC边BC的中点，E是AD上一点，满足AE＝BD＝DC，FA＝FE．求∠ADC的度数．

【解答】解：延长AD至G，使AD＝DG，连接BG，在DG上截取DH＝DC，
在△ADC和△GDB中，，
∴△ADC≌△GDB（SAS），
∴AC＝BG，∠G＝∠CAD，
∵FA＝FE，
∴∠CAD＝∠AEF，
∴∠G＝∠CAD＝∠AEF＝∠BED，
∴BG＝BE＝AC，
∵AE＝DC＝BD，
∴AE+ED＝DH+ED，
∴AD＝EH，
在△DAC和△HEB中，
，
∴△DAC≌△HEB（SAS），
∴CD＝BH，
∴BD＝BH＝DH，
∴△BDH为等边三角形，
∴∠C＝∠BDH＝60°＝∠ADC．
故答案为：60°．

12．（1）如图1，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝80°，AD平分∠BAC．求证：AD＝AC；
（2）如图2，在△ABC中，点E在BC边上，中线BD与AE相交于点P，AP＝BC．求证：PE＝BE．

【解答】证明：（1）在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝80°，
∴∠BAC＝180°﹣60°﹣80°＝40°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝BAC＝20°，
∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝60°+20°＝80°，
∵∠C＝80°，
∴∠C＝∠ADC，
∴AD＝AC；
（2）过点A作AF∥BC交BD的延长线于点F，
∴∠F＝∠DBC，∠FAD＝∠C，
∵AD＝CD，
∴△ADF≌△CDB（AAS），
∴AF＝BC，
∵AP＝BC，
∴AP＝AF，
∴∠APF＝∠F，
∵∠APF＝∠BPE，∠F＝∠DBC，
∴∠BPE＝∠PBE，
∴PE＝BE．

13．数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．

小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使DE＝AD，再证明“△ADC≌△EDB”．
（1）探究得出AD的取值范围是　 　；
（2）【问题解决】如图2，△ABC中，∠B＝90°，AB＝2，AD是△ABC的中线，CE⊥BC，CE＝4，且∠ADE＝90°，求AE的长．
【解答】解：（1）AD的取值范围是1＜AD＜7；
故答案为：1＜AD＜7
（2）延长AD交EC的延长线于F，
∵AB⊥BC，EF⊥BC，
∴∠ABD＝∠FCD，
在△ABD和△FCD中，
，
∴△ABD≌△FCD（ASA）
∴CF＝AB＝2，AD＝DF，
∵∠ADE＝90°，
∴AE＝EF，
∵EF＝CE+CF＝CE+AB＝4+2＝6，
∴AE＝6
14．如图，BC为⊙O直径，AB切⊙O于B点，AC交⊙O于D点，E为AB中点．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若∠A＝30°，BC＝4，求阴影部分的面积．

【解答】（1）证明：连接OD，OE，

∵AB切⊙O于B点，
∴∠OBE＝90°，
∵E为AB中点，O为BC的中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE∥AC，
∴∠BOE＝∠C，∠DOE＝∠CDO，
∵OC＝OD，
∴∠C＝∠CDO，
∴∠BOE＝∠DOE，
∵OB＝OD，OE＝OE，
∴△BOE≌△DOE（SAS），
∴∠ODE＝∠OBE＝90°，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：过点O作OF⊥CD，垂足为F，过点E作EG⊥AD，垂足为G，

∵∠ABC＝90°，∠A＝30°，BC＝4，
∴AB＝BC＝4，AC＝2BC＝8，∠C＝90°﹣∠A＝60°，
∵OC＝OD，
∴△COD是等边三角形，
∴∠COD＝∠CDO＝60°，OC＝OD＝CD＝BC＝2，
∴∠BOD＝180°﹣∠COD＝120°，AD＝AC﹣DC＝8﹣2＝6，
∴OF＝OC•sin60°＝2×＝，
∵∠ODE＝90°，
∴∠ADE＝180°﹣∠ODE﹣∠CDO＝30°，
∴∠A＝∠ADE＝30°，
∴AE＝DE，
∴AG＝DG＝AD＝3，
∴GE＝AG•tan30°＝3×＝，
∴阴影部分的面积＝△ABC的面积﹣△COD的面积﹣扇形BOD的面积﹣△DEA的面积
＝AB•BC﹣CD•OF﹣﹣AD•EG
＝×4×4﹣×2×﹣π﹣×6×
＝4﹣π，
∴阴影部分的面积为4﹣π．
15．（1）方法回顾证明：三角形中位线定理．
已知：如图1，DE是△ABC的中位线．求证：　 ．
证明：
（2）问题解决：如图2，在正方形ABCD中，E为AD的中点，G、F分别为AB、CD边上的点，若AG＝3，DF＝4，∠GEF＝90°，求GF的长．

【解答】（1）已知：如图1，DE是△ABC的中位线．求证：DE∥BC，DE＝BC，
证明：过点C作CF∥BA交DE的延长线于点F，

∴∠A＝∠ACF，∠F＝∠ADF，
∵点E是AC的中点，
∴AE＝EC，
∴△ADE≌△CFE（AAS），
∴DE＝EF＝DF，AD＝CF，
∵点D是AB的中点，
∴AD＝DB，
∴DB＝CF，
∴四边形DBCF是平行四边形，
∴DF∥BC，DF＝BC，
∴DE∥BC，DE＝BC，
故答案为：DE∥BC，DE＝BC；
（2）延长GE，CD交于点H，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，
∴∠A＝∠ADH，∠AGE＝∠H，
∵点E是AD的中点，
∴AE＝DE，
∴△AGE≌△DHE（AAS），
∴AG＝DH＝3，GE＝EH，
∵DF＝4，
∴FH＝DH+DF＝7，
∵∠GEF＝90°，
∴FE是GH的垂直平分线，
∴GF＝FH＝7，
∴GF的长为7．


16．如图1，在四边形ABCD中，AC和BD相交于点O，AO＝CO，∠BCA＝∠CAD．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）如图2，E，F，G分别是BO，CO，AD的中点，连接EF，GE，GF，若BD＝2AB，BC＝15，AC＝16，求△EFG的周长．


【解答】（1）证明：∵∠BCA＝∠CAD，
∴AD∥BC，
在△AOD与△COB中，
，
∴△AOD≌△COB（ASA），
∴AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）解：连接DF，

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝15，AB＝CD，AD∥BC，BD＝2OD，OA＝OC＝AC＝8，
∵BD＝2AB，
∴AB＝OD，
∴DO＝DC，
∵点F是OC的中点，
∴OF＝OC＝4，DF⊥OC，
∴AF＝OA+OF＝12，
在Rt△AFD中，DF＝＝＝9，
∴点G是AD的中点，∠AFD＝90°，
∴DG＝FG＝AD＝7.5，
∵点E，点F分别是OB，OC的中点，
∴EF是△OBC的中位线，
∴EF＝BC＝7.5，EF∥BC，
∴EF＝DG，EF∥AD，
∴四边形GEFD是平行四边形，
∴GE＝DF＝9，
∴△EFG的周长＝GE+GF+EF＝9+7.5+7.5＝24，
∴△EFG的周长为24．

17．（1）方法呈现：如图①：在△ABC中，若AB＝6，AC＝4，点D为BC边的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE＝AD，再连接BE，可证△ACD≌△EBD，从而把AB、AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是（直接写出范围即可）．这种解决问题的方法我们称为倍长中线法；
（2）探究应用：
如图②，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，判断BE+CF与EF的大小关系并证明；
（3）问题拓展：
如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD，AF与DC的延长线交于点F、点E是BC的中点，若AE是∠BAF的角平分线．试探究线段AB，AF，CF之间的数量关系，并加以证明．


【解答】解：（1）1＜AD＜5．
∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
∴△BDE≌△CDA（SAS），
∴BE＝AC＝4，
在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，
∴6﹣4＜AE＜6+4，
∴2＜AE＜10，
∴1＜AD＜5．
证明：（2）延长FD至点M，使DM＝DF，连接BM、EM，如图②所示．
同（1）得：△BMD≌△CFD（SAS），
∴BM＝CF，
∵DE⊥DF，DM＝DF，
∴EM＝EF，
在△BME中，由三角形的三边关系得：
BE+BM＞EM，
∴BE+CF＞EF．

（3）如图③，延长AE，DF交于点G，
∵AB∥CD，
∴∠BAG＝∠G，
在△ABE和△GCE中，
CE＝BE，∠BAG＝∠G，∠AEB＝∠GEC，
∴△ABE≌△GEC（AAS），
∴CG＝AB，
∵AE是∠BAF的平分线，
∴∠BAG＝∠GAF，
∴∠FAG＝∠G，
∴AF＝GF，
∵FG+CF＝CG，
∴AF+CF＝AB．

18．我们定义：如图1，在△ABC中，把AC点绕点C顺时针旋转90°得到CA'，把BC绕点C逆时针旋转90°得到CB′，连接A′B′．我们称△A′B′C是△ABC的“旋补交差三角形”，连接AB′、A′B，我们将AB′、A′B所在直线的相交而成的角称之为△ABC“旋补交差角”，C点到A′B′中点E间的距离成为“旋转中距”．如图1，∠B′OB即为△ABC“旋补交差角”，CE即为△ABC“旋补中距”．
（1）若已知图1中AB的长度等于4，当∠ACB＝90°，则△ABC“旋补交差角”∠B′OB＝　90°　，“旋补中距”CE长度＝　2　；
（2）若图1中∠ACB的度数发生改变，则△ABC“旋补交差角”度数是否发生改变？请证明你的结论，并直接判断△ABC“旋补中距”是否也发生改变；
（3）已知图2中△A′B′C是△ABC“旋补交差三角形”，AB的长度等于4，A′B′长度等于6，问OC是否存在最小值？如果存在，请求出具体的值，如果不存在，请说明理由．


【解答】解：（1）如图1，

∵把AC点绕点C顺时针旋转90°得到CA'，把BC绕点C逆时针旋转90°得到CB′，
∴∠ACA'＝90°＝∠BCB'，AC＝A'C，BC＝B'C，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A'CB'＝∠ACB＝90°，∠ACB+∠ACA'＝180°，∠ACB+∠BCB'＝180°，
∴点A，点C，点B'共线，点B，点C，点A'共线，
∴AB′、A′B的交点O与点C重合，
∴△ABC“旋补交差角”∠B′OB＝90°，
∵AC＝A'C，∠A'CB'＝∠ACB＝90°，BC＝B'C，
∴△ACB≌△A'CB'（SAS），
∴AB＝A'B'＝4，
∵点E是A'B'的中点，∠A'CB'＝90°，
∴CE＝2，
故答案为：90°，2；
（2）△ABC“旋补交差角”度数不变，△ABC“旋补中距”长度不变，理由如下：
∵把AC点绕点C顺时针旋转90°得到CA'，把BC绕点C逆时针旋转90°得到CB′，
∴∠ACA'＝90°＝∠BCB'，AC＝A'C，BC＝B'C，
∴∠ACB'＝∠BCA'，
在△ACB'和△A'CB中，
，
∴△ACB'≌△A'CB（SAS），
∴∠CAB'＝∠CA'B，
∴点A，点A'，点C，点O四点共圆，
∴∠ACA'＝∠AOA'＝90°＝∠BOB'，
如图2，延长CE至F，使CE＝EF，连接A'F，B'F，

∵CE＝EF，A'E＝B'E，
∴四边形A'CB'F是平行四边形，
∴∠A'CB'+∠FA'C＝180°，A'F＝B'C，
∵∠A'CB'+∠ACB＝360°﹣∠A'CA﹣∠B'CB＝180°，
∴∠ACB＝∠CA'F，
又∵A'C＝AC，A'F＝B'C＝BC，
∴△ACB≌△CA'F（SAS），
∴AB＝CF＝4，
∴CE＝2；
（3）OC存在最小值，最小值为1，理由如下：
如图3，取A'B'中点E，连接CE，CO，EO，

∵△A′B′C是△ABC“旋补交差三角形”，
∴∠BOB'＝90°，CE＝AB＝2，
∵点E是A'B'中点，∠A'OB'＝90°，
∴OE＝A'B'＝3，
在△OCE中，OC＞OE﹣CE，
∴当点C在线段OE上时，OC有最小值为OE﹣CE＝1．
19．在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝BC，对角线AC、BD相交于点E，过点C作CF垂直于BD，垂足为F，
且CF＝DF．
（1）求证：△ACD∽△BCF；
（2）如图2，连接AF，点P、M、N分别为线段AB、AF、DF的中点，连接PM、MN、PN．
①求证：∠PMN＝135°；
②若AD＝2，求△PMN的面积．

【解答】（1）证明：∵△ABC、△CDF都是等腰直角三角形，
∴∠BCF＝45°+∠ECF，∠ACD＝45°+∠ECF，
∴∠ACD＝∠BCF，
∵BC：AC＝CF：CD＝1：，
∴BC：CF＝AC：CD，
∴△ACD∽△BCF；
（2）①证明：∵△ACD∽△BCF，
∴∠ADC＝∠BFC＝90°，
∵∠CDF＝45°，
∴∠ADB＝45°，
如图，作PM延长线，交AD于点H，

∵点P、M、N分别为线段AB、AF、DF的中点，
∴MH∥DN、MN∥DH，
∴四边形MNDH为平行四边形，
∴∠HMN＝∠ADB＝45°，
∴∠PMN＝135°；
②如图，作PG⊥NM，交NM延长线于点G，

∵△ACD∽△BCF，
∴，
∴BF＝＝2，
∵PM为△ABF中位线，
∴PM＝BF＝1，
同理MN＝AD＝，
又∵∠PMN＝135°，
∴∠PMG＝180°﹣135°＝45°，
∴PG＝＝，
∴S△PMN＝•MN•PG＝××＝．