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备战中考数学《重难点解读•专项训练》专题03 平行线四大模型（知识解读）
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这是一份备战中考数学《重难点解读•专项训练》专题03 平行线四大模型（知识解读），共22页。试卷主要包含了复习方法，复习难点等内容，欢迎下载使用。
一、复习方法
1.以专题复习为主。 2.重视方法思维的训练。
3.拓宽思维的广度，培养多角度、多维度思考问题的习惯。
二、复习难点
1.专题的选择要准，安排时间要合理。 2.专项复习要以题带知识。
3.在复习的过程中要兼顾基础，在此基础上适当增加变式和难度，提高能力。
专题03 平行线四大模型（知识解读）
【专题说明】
历年中考考试中，有不少题目都考查了平行线的性质及应用，现汲取四大模型，供同学们赏析，希望能到达指导学习之目的。
【方法技巧】
结论1：若AB∥CD，则∠P+∠AEP+∠PFC=3 60°
结论2：若∠P+∠AEP+∠PFC= 360°，则AB∥CD.
结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP+∠CFP；
结论2：若∠P=∠AEP+∠CFP，则AB∥CD.
结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP；
结论2：若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，则AB∥CD.
结论1：若AB∥CD，则∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP；
结论2：若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP，则AB∥CD.
【典例分析】
【模型1 “铅笔”模型】
【典例1】如图，直线a∥b，点M、N分别在直线a、b上，P为两平行线间一点，那么∠1+∠2+∠3等于（ ）
A．360°B．300°C．270°D．180°
【变式1-1】把一块等腰直角三角尺和直尺按如图所示的方式放置，若∠1＝32°，则∠2的度数为（ ）
A．20°B．18°C．15°D．13°
【典例2】问题情境：
（1）如图1，AB∥CD，∠BAP＝120°，∠PCD＝130°，求∠APC的度数．
（提示：如图2，过P作PE∥AB）问题迁移：
（2）如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝α，∠PCB＝β，α、β、∠DPC之间有何数量关系？请说明理由；
（3）在（2）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出α、β、∠DPC之间的数量关系．（提示：三角形内角和为180°）
【变式2-1】已知，AB∥CD，试解决下列问题：
（1）如图1，∠1+∠2＝ ；
（2）如图2，∠1+∠2+∠3＝ ；
（3）如图3，∠1+∠2+∠3+∠4＝ ；
（4）如图4，试探究∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n＝ ．
【变式2-2】如图，已知BQ∥GE，AF∥DE，∠1＝50°．
（1）求∠AFG的度数；
（2）若AQ平分∠FAC，交BC于点Q，且∠Q＝15°，求∠ACB的度数．
【模型2 “猪蹄”模型（M模型）】
【典例3】【问题背景】同学们，观察小猪的猪蹄，你会发现一个熟悉的几何图形，我们就把这个图形的形象称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系．
【问题解决】（1）如图1，AB∥CD，E为AB、CD之间一点，连接AE、CE．若∠A＝42°，∠C＝28°．则∠AEC＝ ．
【问题探究】（2）如图2，AB∥CD，线段AD与线段BC交于点E，∠A＝36°，∠C＝54°，EF平分∠BED，求∠BEF的度数．
【问题拓展】（3）如图3．AB∥CD，线段AD与线段BC相交于点G，∠BCD＝56°，∠GDE＝20°，过点D作DF∥CB交直线AB于点F，AE平分∠BAD，DG平分∠CDF，求∠AED的度数．
【变式3-1】如图所示是汽车灯的剖面图，从位于O点灯发出光照射到凹面镜上反射出的光线BA，CD都是水平线，若∠ABO＝α，∠DCO＝60°，则∠BOC的度数为（ ）
A．180°﹣αB．120°﹣αC．60°+αD．60°﹣α
【变式3-2】学习完平行线的性质与判定之后，我们发现借助构造平行线的方法可以帮我们解决许多问题．
（1）小明遇到了下面的问题：如图1，l1∥l2，点P在l1，l2内部，探究∠A，∠APB，∠B的关系，小明过点P作l1的平行线，可得∠APB，∠A，∠B之间的数量关系是：∠APB＝ ．
（2）如图2，若AC∥BD，点P在AC，BD外部，∠A，∠B，∠APB的数量关系是否发生变化？请写出证明过程．
【变式3-3】平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．
（1）如图1，若AB∥CD，点P在AB、CD外部，则有∠B＝∠BOD，又因∠BOD是△POD的外角，故∠BOD＝∠BPD+∠D．得∠BPD＝∠B﹣∠D．将点P移到AB、CD内部，如图2，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？请证明你的结论；
（2）在如图2中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图3，则∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之间有何数量关系？（不需证明）；
（3）根据（2）的结论求如图4中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数．
【模型3“锯齿”模型】
【典例4】如图，点P在直线CD上，∠BAP+∠APD＝180°，∠1＝∠2．
求证：∠E＝∠F．
【变式4-1】2022北京冬奥会掀起了滑雪的热潮，很多同学纷纷来到滑雪场，想亲身感受一下奥运健儿在赛场上风驰电掣的感觉，但是第一次走进滑雪场的你，学会正确的滑雪姿势是最重要的，正确的滑雪姿势是上身挺直略前倾，与小腿平行，使脚的根部处于微微受力的状态，如图所示，AB∥CD，如果人的小腿CD与地面的夹角∠CDE＝60°，你能求出身体BA与水平线的夹角∠BAF的度数吗？若能，请你用两种不同的方法求出∠BAF的度数．
【变式4-2】如图已知：∠1＝∠2，请再添加一个条件，使AB∥CD成立，并写出证明过程．
【变式4-3】如图（a），已知∠BAG+∠AGD＝180°，AF、EF、EG是三条折线段．
（1）若∠E＝∠F，如图（b）所示，求证：∠1＝∠2；
（2）根据图（a），写出∠1+∠E与∠2+∠F之间的关系，不需证明．
专题03 平行线四大模型（知识解读）
【专题说明】
历年中考考试中，有不少题目都考查了平行线的性质及应用，现汲取四大模型，供同学们赏析，希望能到达指导学习之目的。
【方法技巧】
结论1：若AB∥CD，则∠P+∠AEP+∠PFC=3 60°
结论2：若∠P+∠AEP+∠PFC= 360°，则AB∥CD.
结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP+∠CFP；
结论2：若∠P=∠AEP+∠CFP，则AB∥CD.
结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP；
结论2：若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，则AB∥CD
结论1：若AB∥CD，则∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP；
结论2：若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP，则AB∥CD.
【典例分析】
【模型1 “铅笔”模型】
【典例1】如图，直线a∥b，点M、N分别在直线a、b上，P为两平行线间一点，那么∠1+∠2+∠3等于（ ）
A．360°B．300°C．270°D．180°
【答案】A
【解答】解：如图，过点P作PA∥a，则a∥b∥PA，
∴∠3+∠NPA＝180°，∠1+∠MPA＝180°，
∴∠1+∠2+∠3＝180°+180°＝360°．
故选：A．
【变式1-1】把一块等腰直角三角尺和直尺按如图所示的方式放置，若∠1＝32°，则∠2的度数为（ ）
A．20°B．18°C．15°D．13°
【答案】D
【解答】解：如图，过点O作OP∥AB，则OP∥AB∥CD，
∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，
∵∠3+∠4＝45°，
∴∠1+∠2＝45°，
∴∠2＝45°﹣∠1＝45°﹣32°＝13°．
故选：D．
【典例2】问题情境：
（1）如图1，AB∥CD，∠BAP＝120°，∠PCD＝130°，求∠APC的度数．
（提示：如图2，过P作PE∥AB）问题迁移：
（2）如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝α，∠PCB＝β，α、β、∠DPC之间有何数量关系？请说明理由；
（3）在（2）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出α、β、∠DPC之间的数量关系．（提示：三角形内角和为180°）
【解答】解：（1）∵AB∥CD，∠PAB＝120°，∠PCD＝130°，
∴∠PAB+∠APE＝180°，∠EPC+∠C＝180°，
∴∠APE＝180°﹣120°＝60°，∠EPC＝180°﹣130°＝50°，
∴∠APC＝∠APE+∠EPC＝60°+50°＝110°；
（2）∠CPD＝∠α+∠β，
理由如下：如图3，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠DPE+∠CPE＝∠α+∠β；
（3）①当P在OA延长线时，∠CPD＝∠β﹣∠α；
②当P在AB延长线时，∠CPD＝∠α﹣∠β，
①当P在OA延长线时，∠CPD＝∠β﹣∠α；
理由：如图4，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠CPE﹣∠DPE＝∠β﹣∠α；
②当P在AB延长线时，∠CPD＝∠α﹣∠β，
理由：如图5，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠DPE﹣∠CPE＝∠α﹣∠β．
【变式2-1】已知，AB∥CD，试解决下列问题：
（1）如图1，∠1+∠2＝ ；
（2）如图2，∠1+∠2+∠3＝ ；
（3）如图3，∠1+∠2+∠3+∠4＝ ；
（4）如图4，试探究∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n＝ ．
【解答】
解：（1）∵AB∥CD，∴∠1+∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补）；
（2）过点E作一条直线EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴CD∥EF，
∴∠1+∠AEF＝180°，∠FEC+∠3＝180°，
∴∠1+∠2+∠3＝360°；
（3）过点E、F作EG、FH平行于AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥EG∥FH∥CD，
∴∠1+∠AEG＝180°，∠GEF+∠EFH＝180°，∠HFC+∠4＝180°；
∴∠1+∠2+∠3+∠4＝540°；
（4）根据上述规律，显然作（n﹣2）条辅助线，运用（n﹣1）次两条直线平行，同旁内角互补．即可得到n个角的和是180°（n﹣1）．
【变式2-2】如图，已知BQ∥GE，AF∥DE，∠1＝50°．
（1）求∠AFG的度数；
（2）若AQ平分∠FAC，交BC于点Q，且∠Q＝15°，求∠ACB的度数．
【解答】解：（1）∵BQ∥GE，∠1＝50°，
∴∠E＝∠1＝50°，
∵AF∥DE，
∴∠AFG＝∠E＝50°；
（2）过点A作AM∥BQ，
由（1）得∠AFG＝∠E＝50°，
∵BQ∥GE，
∴AM∥BQ∥GE，
∴∠FAM＝∠AFG＝50°，∠MAQ＝∠Q＝15°，
∴∠FAQ＝∠FAM+∠MAQ＝65°，
∵AQ平分∠FAC，
∴∠QAC＝∠FAQ＝65°，
∴∠MAC＝∠QAC+∠MAQ＝80°，
∵AM∥BQ，
∴∠ACB＝∠MAC＝80°．
【模型2 “猪蹄”模型（M模型）】
【典例3】【问题背景】同学们，观察小猪的猪蹄，你会发现一个熟悉的几何图形，我们就把这个图形的形象称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系．
【问题解决】（1）如图1，AB∥CD，E为AB、CD之间一点，连接AE、CE．若∠A＝42°，∠C＝28°．则∠AEC＝ ．
【问题探究】（2）如图2，AB∥CD，线段AD与线段BC交于点E，∠A＝36°，∠C＝54°，EF平分∠BED，求∠BEF的度数．
【问题拓展】（3）如图3．AB∥CD，线段AD与线段BC相交于点G，∠BCD＝56°，∠GDE＝20°，过点D作DF∥CB交直线AB于点F，AE平分∠BAD，DG平分∠CDF，求∠AED的度数．
【解答】解：（1）延长CE交AB于点F，
∵AB∥CD，
∴∠AFC＝∠C＝28°，
∵∠AEC是△AEF的一个外角，
∴∠AEC＝∠A+∠AFC＝∠A+∠C＝70°，
故答案为：70°；
（2）利用（1）的结论可得：
∠AEC＝∠A+∠C＝36°+54°＝90°，
∴∠AEC＝∠BED＝90°，
∵EF平分∠BED，
∴∠BEF＝∠BED＝45°，
∴∠BEF的度数为45°；
（3）∵BC∥DF，
∴∠CDF＝180°﹣∠BCD＝124°，
∵DG平分∠CDF，
∴∠CDG＝∠CDF＝62°，
∵AB∥CD，
∴∠BAG＝∠CDG＝62°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠BAD＝31°，
∵∠GDE＝20°，
∴∠EDH＝180°﹣∠CDG﹣∠GDE＝98°，
利用（1）的结论可得：
∠AED＝∠BAE+∠EDH＝31°+98°＝129°，
∴∠AED的度数为129°．
【变式3-1】如图所示是汽车灯的剖面图，从位于O点灯发出光照射到凹面镜上反射出的光线BA，CD都是水平线，若∠ABO＝α，∠DCO＝60°，则∠BOC的度数为（ ）
A．180°﹣αB．120°﹣αC．60°+αD．60°﹣α
【答案】C
【解答】解：连接BC，
∵AB∥CD，
∴∠ABO+∠CBO+∠BCO+∠OCD＝180°，
而∠CBO+∠BCO+∠O＝180°，
∴∠O＝∠ABO+∠DCO＝60°+α．
故选：C．
【变式3-2】学习完平行线的性质与判定之后，我们发现借助构造平行线的方法可以帮我们解决许多问题．
（1）小明遇到了下面的问题：如图1，l1∥l2，点P在l1，l2内部，探究∠A，∠APB，∠B的关系，小明过点P作l1的平行线，可得∠APB，∠A，∠B之间的数量关系是：∠APB＝ ．
（2）如图2，若AC∥BD，点P在AC，BD外部，∠A，∠B，∠APB的数量关系是否发生变化？请写出证明过程．
【解答】解：（1）∵记过点P作l1的平行线为PC，
∵PC∥l1，
∴∠A＝∠APC，
∵l1∥l2，
∴PC∥l2，
∴∠B＝∠BPC，
∴∠APB＝∠APC+∠BPC＝∠A+∠B，
故答案为：∠APB＝∠A+∠B；
（2）发生变化，
如图，过点PF∥AC，则∠APF＝∠A，
∵AC∥BD，
∴PF∥BD，
∴∠B＝∠BPF，
∴∠APB＝∠BPF﹣∠APF＝∠B﹣∠A．
【变式3-3】平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．
（1）如图1，若AB∥CD，点P在AB、CD外部，则有∠B＝∠BOD，又因∠BOD是△POD的外角，故∠BOD＝∠BPD+∠D．得∠BPD＝∠B﹣∠D．将点P移到AB、CD内部，如图2，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？请证明你的结论；
（2）在如图2中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图3，则∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之间有何数量关系？（不需证明）；
（3）根据（2）的结论求如图4中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数．
【解答】解：（1）不成立，结论是∠BPD＝∠B+∠D．
延长BP交CD于点E，
∵AB∥CD，
∴∠B＝∠BED，
又∵∠BPD＝∠BED+∠D，
∴∠BPD＝∠B+∠D；
（2）结论：∠BPD＝∠BQD+∠B+∠D．
连接QP并延长，
∵∠BPE是△BPQ的外角，∠DPE是△PDQ的外角，
∴∠BPE＝∠B+∠BQE，∠DPE＝∠D+∠DQP，
∴∠BPE+∠DPE＝∠B+∠D+∠BQE+∠DQP，即∠BPD＝∠BQD+∠B+∠D；
（3）由（2）的结论得：∠AFG＝∠B+∠E．∠AGF＝∠C+∠D．
又∵∠A+∠AFG+∠AGF＝180°
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°．
（或由（2）的结论得：∠AGB＝∠A+∠B+∠E且∠AGB＝∠CGD，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°．
【模型3“锯齿”模型】
【典例4】如图，点P在直线CD上，∠BAP+∠APD＝180°，∠1＝∠2．
求证：∠E＝∠F．
【解答】证明：∵∠BAP+∠APD＝180°（已知），
∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行），
∴∠BAP＝∠APC（两直线平行，内错角相等），
又∵∠1＝∠2（已知），
∠3＝∠BAP﹣∠1，
∠4＝∠APC﹣∠2，
∴∠3＝∠4（等式的性质），
∴AE∥PF（内错角相等，两直线平行），
∴∠E＝∠F（两直线平行，内错角相等）．
【变式4-1】2022北京冬奥会掀起了滑雪的热潮，很多同学纷纷来到滑雪场，想亲身感受一下奥运健儿在赛场上风驰电掣的感觉，但是第一次走进滑雪场的你，学会正确的滑雪姿势是最重要的，正确的滑雪姿势是上身挺直略前倾，与小腿平行，使脚的根部处于微微受力的状态，如图所示，AB∥CD，如果人的小腿CD与地面的夹角∠CDE＝60°，你能求出身体BA与水平线的夹角∠BAF的度数吗？若能，请你用两种不同的方法求出∠BAF的度数．
【解答】解：方法一：延长AB交直线DE于点G，
∵AG∥CD，
∴∠CDE＝∠AGE＝60°，
∵AF∥DE，
∴∠BAF＝∠AGE＝60°；
方法二：过点B作BM∥AF，过点C作CN∥ED，
∴∠BAF＝∠3，∠CDE＝∠4＝60°，
∵AF∥DE，
∴BM∥CN，
∴∠1＝∠2，
∵AB∥CD，
∴∠ABC＝∠BCD，
∴∠ABC﹣∠1＝∠BCD﹣∠2，
∴∠3＝∠4，
∴∠BAF＝∠CDE＝60°．
∴∠BAF的度数为60°．
【变式4-2】如图已知：∠1＝∠2，请再添加一个条件，使AB∥CD成立，并写出证明过程．
【解答】解：添加∠E＝∠F，
证明过程如下：
∵∠E＝∠F，
∴AE∥DF，
∴∠EAD＝∠FDA，
∵∠1＝∠2，
∴∠BAD＝∠CDA，
∴AB∥CD．
【变式4-3】如图（a），已知∠BAG+∠AGD＝180°，AF、EF、EG是三条折线段．
（1）若∠E＝∠F，如图（b）所示，求证：∠1＝∠2；
（2）根据图（a），写出∠1+∠E与∠2+∠F之间的关系，不需证明．
【解答】解：（1）∵∠BAG+∠AGD＝180°，
∴AB∥CD，
∴∠BAG＝∠AGC，
∵∠E＝∠F，
∴AF∥EG，
∴∠FAG＝∠AGE，
∴∠BAG﹣∠FAG＝∠AGC﹣∠AGE
∴∠1＝∠2，
（2）由（1）可知：AB∥CD，
∴∠1+∠GAF＝∠2+∠EGA，
∵∠E+∠EGA＝∠F+∠GAF，
∴上述两式相加得：∴∠1+∠GAF+∠E+∠EGA＝∠2+∠EGA+∠F+∠GAF
∴∠1+∠E＝∠2+∠F；
模型一“铅笔”模型
点P在EF右侧，在AB、 CD内部
“铅笔”模型
模型二“猪蹄”模型（M模型）
点P在EF左侧，在AB、 CD内部
“猪蹄”模型
模型三“臭脚”模型
点P在EF右侧，在AB、 CD外部
“臭脚”模型
模型四“骨折”模型
点P在EF左侧，在AB、 CD外部
·
“骨折”模型
模型一“铅笔”模型
点P在EF右侧，在AB、 CD内部
“铅笔”模型
模型二“猪蹄”模型（M模型）
点P在EF左侧，在AB、 CD内部
“猪蹄”模型
模型三“臭脚”模型
点P在EF右侧，在AB、 CD外部
“臭脚”模型
模型四“骨折”模型
点P在EF左侧，在AB、 CD外部
·
“骨折”模型
一、复习方法
1.以专题复习为主。 2.重视方法思维的训练。
3.拓宽思维的广度，培养多角度、多维度思考问题的习惯。
二、复习难点
1.专题的选择要准，安排时间要合理。 2.专项复习要以题带知识。
3.在复习的过程中要兼顾基础，在此基础上适当增加变式和难度，提高能力。
专题03 平行线四大模型（知识解读）
【专题说明】
历年中考考试中，有不少题目都考查了平行线的性质及应用，现汲取四大模型，供同学们赏析，希望能到达指导学习之目的。
【方法技巧】
结论1：若AB∥CD，则∠P+∠AEP+∠PFC=3 60°
结论2：若∠P+∠AEP+∠PFC= 360°，则AB∥CD.
结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP+∠CFP；
结论2：若∠P=∠AEP+∠CFP，则AB∥CD.
结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP；
结论2：若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，则AB∥CD.
结论1：若AB∥CD，则∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP；
结论2：若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP，则AB∥CD.
【典例分析】
【模型1 “铅笔”模型】
【典例1】如图，直线a∥b，点M、N分别在直线a、b上，P为两平行线间一点，那么∠1+∠2+∠3等于（ ）
A．360°B．300°C．270°D．180°
【变式1-1】把一块等腰直角三角尺和直尺按如图所示的方式放置，若∠1＝32°，则∠2的度数为（ ）
A．20°B．18°C．15°D．13°
【典例2】问题情境：
（1）如图1，AB∥CD，∠BAP＝120°，∠PCD＝130°，求∠APC的度数．
（提示：如图2，过P作PE∥AB）问题迁移：
（2）如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝α，∠PCB＝β，α、β、∠DPC之间有何数量关系？请说明理由；
（3）在（2）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出α、β、∠DPC之间的数量关系．（提示：三角形内角和为180°）
【变式2-1】已知，AB∥CD，试解决下列问题：
（1）如图1，∠1+∠2＝ ；
（2）如图2，∠1+∠2+∠3＝ ；
（3）如图3，∠1+∠2+∠3+∠4＝ ；
（4）如图4，试探究∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n＝ ．
【变式2-2】如图，已知BQ∥GE，AF∥DE，∠1＝50°．
（1）求∠AFG的度数；
（2）若AQ平分∠FAC，交BC于点Q，且∠Q＝15°，求∠ACB的度数．
【模型2 “猪蹄”模型（M模型）】
【典例3】【问题背景】同学们，观察小猪的猪蹄，你会发现一个熟悉的几何图形，我们就把这个图形的形象称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系．
【问题解决】（1）如图1，AB∥CD，E为AB、CD之间一点，连接AE、CE．若∠A＝42°，∠C＝28°．则∠AEC＝ ．
【问题探究】（2）如图2，AB∥CD，线段AD与线段BC交于点E，∠A＝36°，∠C＝54°，EF平分∠BED，求∠BEF的度数．
【问题拓展】（3）如图3．AB∥CD，线段AD与线段BC相交于点G，∠BCD＝56°，∠GDE＝20°，过点D作DF∥CB交直线AB于点F，AE平分∠BAD，DG平分∠CDF，求∠AED的度数．
【变式3-1】如图所示是汽车灯的剖面图，从位于O点灯发出光照射到凹面镜上反射出的光线BA，CD都是水平线，若∠ABO＝α，∠DCO＝60°，则∠BOC的度数为（ ）
A．180°﹣αB．120°﹣αC．60°+αD．60°﹣α
【变式3-2】学习完平行线的性质与判定之后，我们发现借助构造平行线的方法可以帮我们解决许多问题．
（1）小明遇到了下面的问题：如图1，l1∥l2，点P在l1，l2内部，探究∠A，∠APB，∠B的关系，小明过点P作l1的平行线，可得∠APB，∠A，∠B之间的数量关系是：∠APB＝ ．
（2）如图2，若AC∥BD，点P在AC，BD外部，∠A，∠B，∠APB的数量关系是否发生变化？请写出证明过程．
【变式3-3】平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．
（1）如图1，若AB∥CD，点P在AB、CD外部，则有∠B＝∠BOD，又因∠BOD是△POD的外角，故∠BOD＝∠BPD+∠D．得∠BPD＝∠B﹣∠D．将点P移到AB、CD内部，如图2，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？请证明你的结论；
（2）在如图2中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图3，则∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之间有何数量关系？（不需证明）；
（3）根据（2）的结论求如图4中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数．
【模型3“锯齿”模型】
【典例4】如图，点P在直线CD上，∠BAP+∠APD＝180°，∠1＝∠2．
求证：∠E＝∠F．
【变式4-1】2022北京冬奥会掀起了滑雪的热潮，很多同学纷纷来到滑雪场，想亲身感受一下奥运健儿在赛场上风驰电掣的感觉，但是第一次走进滑雪场的你，学会正确的滑雪姿势是最重要的，正确的滑雪姿势是上身挺直略前倾，与小腿平行，使脚的根部处于微微受力的状态，如图所示，AB∥CD，如果人的小腿CD与地面的夹角∠CDE＝60°，你能求出身体BA与水平线的夹角∠BAF的度数吗？若能，请你用两种不同的方法求出∠BAF的度数．
【变式4-2】如图已知：∠1＝∠2，请再添加一个条件，使AB∥CD成立，并写出证明过程．
【变式4-3】如图（a），已知∠BAG+∠AGD＝180°，AF、EF、EG是三条折线段．
（1）若∠E＝∠F，如图（b）所示，求证：∠1＝∠2；
（2）根据图（a），写出∠1+∠E与∠2+∠F之间的关系，不需证明．
专题03 平行线四大模型（知识解读）
【专题说明】
历年中考考试中，有不少题目都考查了平行线的性质及应用，现汲取四大模型，供同学们赏析，希望能到达指导学习之目的。
【方法技巧】
结论1：若AB∥CD，则∠P+∠AEP+∠PFC=3 60°
结论2：若∠P+∠AEP+∠PFC= 360°，则AB∥CD.
结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP+∠CFP；
结论2：若∠P=∠AEP+∠CFP，则AB∥CD.
结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP；
结论2：若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，则AB∥CD
结论1：若AB∥CD，则∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP；
结论2：若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP，则AB∥CD.
【典例分析】
【模型1 “铅笔”模型】
【典例1】如图，直线a∥b，点M、N分别在直线a、b上，P为两平行线间一点，那么∠1+∠2+∠3等于（ ）
A．360°B．300°C．270°D．180°
【答案】A
【解答】解：如图，过点P作PA∥a，则a∥b∥PA，
∴∠3+∠NPA＝180°，∠1+∠MPA＝180°，
∴∠1+∠2+∠3＝180°+180°＝360°．
故选：A．
【变式1-1】把一块等腰直角三角尺和直尺按如图所示的方式放置，若∠1＝32°，则∠2的度数为（ ）
A．20°B．18°C．15°D．13°
【答案】D
【解答】解：如图，过点O作OP∥AB，则OP∥AB∥CD，
∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，
∵∠3+∠4＝45°，
∴∠1+∠2＝45°，
∴∠2＝45°﹣∠1＝45°﹣32°＝13°．
故选：D．
【典例2】问题情境：
（1）如图1，AB∥CD，∠BAP＝120°，∠PCD＝130°，求∠APC的度数．
（提示：如图2，过P作PE∥AB）问题迁移：
（2）如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝α，∠PCB＝β，α、β、∠DPC之间有何数量关系？请说明理由；
（3）在（2）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出α、β、∠DPC之间的数量关系．（提示：三角形内角和为180°）
【解答】解：（1）∵AB∥CD，∠PAB＝120°，∠PCD＝130°，
∴∠PAB+∠APE＝180°，∠EPC+∠C＝180°，
∴∠APE＝180°﹣120°＝60°，∠EPC＝180°﹣130°＝50°，
∴∠APC＝∠APE+∠EPC＝60°+50°＝110°；
（2）∠CPD＝∠α+∠β，
理由如下：如图3，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠DPE+∠CPE＝∠α+∠β；
（3）①当P在OA延长线时，∠CPD＝∠β﹣∠α；
②当P在AB延长线时，∠CPD＝∠α﹣∠β，
①当P在OA延长线时，∠CPD＝∠β﹣∠α；
理由：如图4，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠CPE﹣∠DPE＝∠β﹣∠α；
②当P在AB延长线时，∠CPD＝∠α﹣∠β，
理由：如图5，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠DPE﹣∠CPE＝∠α﹣∠β．
【变式2-1】已知，AB∥CD，试解决下列问题：
（1）如图1，∠1+∠2＝ ；
（2）如图2，∠1+∠2+∠3＝ ；
（3）如图3，∠1+∠2+∠3+∠4＝ ；
（4）如图4，试探究∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n＝ ．
【解答】
解：（1）∵AB∥CD，∴∠1+∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补）；
（2）过点E作一条直线EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴CD∥EF，
∴∠1+∠AEF＝180°，∠FEC+∠3＝180°，
∴∠1+∠2+∠3＝360°；
（3）过点E、F作EG、FH平行于AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥EG∥FH∥CD，
∴∠1+∠AEG＝180°，∠GEF+∠EFH＝180°，∠HFC+∠4＝180°；
∴∠1+∠2+∠3+∠4＝540°；
（4）根据上述规律，显然作（n﹣2）条辅助线，运用（n﹣1）次两条直线平行，同旁内角互补．即可得到n个角的和是180°（n﹣1）．
【变式2-2】如图，已知BQ∥GE，AF∥DE，∠1＝50°．
（1）求∠AFG的度数；
（2）若AQ平分∠FAC，交BC于点Q，且∠Q＝15°，求∠ACB的度数．
【解答】解：（1）∵BQ∥GE，∠1＝50°，
∴∠E＝∠1＝50°，
∵AF∥DE，
∴∠AFG＝∠E＝50°；
（2）过点A作AM∥BQ，
由（1）得∠AFG＝∠E＝50°，
∵BQ∥GE，
∴AM∥BQ∥GE，
∴∠FAM＝∠AFG＝50°，∠MAQ＝∠Q＝15°，
∴∠FAQ＝∠FAM+∠MAQ＝65°，
∵AQ平分∠FAC，
∴∠QAC＝∠FAQ＝65°，
∴∠MAC＝∠QAC+∠MAQ＝80°，
∵AM∥BQ，
∴∠ACB＝∠MAC＝80°．
【模型2 “猪蹄”模型（M模型）】
【典例3】【问题背景】同学们，观察小猪的猪蹄，你会发现一个熟悉的几何图形，我们就把这个图形的形象称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系．
【问题解决】（1）如图1，AB∥CD，E为AB、CD之间一点，连接AE、CE．若∠A＝42°，∠C＝28°．则∠AEC＝ ．
【问题探究】（2）如图2，AB∥CD，线段AD与线段BC交于点E，∠A＝36°，∠C＝54°，EF平分∠BED，求∠BEF的度数．
【问题拓展】（3）如图3．AB∥CD，线段AD与线段BC相交于点G，∠BCD＝56°，∠GDE＝20°，过点D作DF∥CB交直线AB于点F，AE平分∠BAD，DG平分∠CDF，求∠AED的度数．
【解答】解：（1）延长CE交AB于点F，
∵AB∥CD，
∴∠AFC＝∠C＝28°，
∵∠AEC是△AEF的一个外角，
∴∠AEC＝∠A+∠AFC＝∠A+∠C＝70°，
故答案为：70°；
（2）利用（1）的结论可得：
∠AEC＝∠A+∠C＝36°+54°＝90°，
∴∠AEC＝∠BED＝90°，
∵EF平分∠BED，
∴∠BEF＝∠BED＝45°，
∴∠BEF的度数为45°；
（3）∵BC∥DF，
∴∠CDF＝180°﹣∠BCD＝124°，
∵DG平分∠CDF，
∴∠CDG＝∠CDF＝62°，
∵AB∥CD，
∴∠BAG＝∠CDG＝62°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠BAD＝31°，
∵∠GDE＝20°，
∴∠EDH＝180°﹣∠CDG﹣∠GDE＝98°，
利用（1）的结论可得：
∠AED＝∠BAE+∠EDH＝31°+98°＝129°，
∴∠AED的度数为129°．
【变式3-1】如图所示是汽车灯的剖面图，从位于O点灯发出光照射到凹面镜上反射出的光线BA，CD都是水平线，若∠ABO＝α，∠DCO＝60°，则∠BOC的度数为（ ）
A．180°﹣αB．120°﹣αC．60°+αD．60°﹣α
【答案】C
【解答】解：连接BC，
∵AB∥CD，
∴∠ABO+∠CBO+∠BCO+∠OCD＝180°，
而∠CBO+∠BCO+∠O＝180°，
∴∠O＝∠ABO+∠DCO＝60°+α．
故选：C．
【变式3-2】学习完平行线的性质与判定之后，我们发现借助构造平行线的方法可以帮我们解决许多问题．
（1）小明遇到了下面的问题：如图1，l1∥l2，点P在l1，l2内部，探究∠A，∠APB，∠B的关系，小明过点P作l1的平行线，可得∠APB，∠A，∠B之间的数量关系是：∠APB＝ ．
（2）如图2，若AC∥BD，点P在AC，BD外部，∠A，∠B，∠APB的数量关系是否发生变化？请写出证明过程．
【解答】解：（1）∵记过点P作l1的平行线为PC，
∵PC∥l1，
∴∠A＝∠APC，
∵l1∥l2，
∴PC∥l2，
∴∠B＝∠BPC，
∴∠APB＝∠APC+∠BPC＝∠A+∠B，
故答案为：∠APB＝∠A+∠B；
（2）发生变化，
如图，过点PF∥AC，则∠APF＝∠A，
∵AC∥BD，
∴PF∥BD，
∴∠B＝∠BPF，
∴∠APB＝∠BPF﹣∠APF＝∠B﹣∠A．
【变式3-3】平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．
（1）如图1，若AB∥CD，点P在AB、CD外部，则有∠B＝∠BOD，又因∠BOD是△POD的外角，故∠BOD＝∠BPD+∠D．得∠BPD＝∠B﹣∠D．将点P移到AB、CD内部，如图2，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？请证明你的结论；
（2）在如图2中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图3，则∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之间有何数量关系？（不需证明）；
（3）根据（2）的结论求如图4中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数．
【解答】解：（1）不成立，结论是∠BPD＝∠B+∠D．
延长BP交CD于点E，
∵AB∥CD，
∴∠B＝∠BED，
又∵∠BPD＝∠BED+∠D，
∴∠BPD＝∠B+∠D；
（2）结论：∠BPD＝∠BQD+∠B+∠D．
连接QP并延长，
∵∠BPE是△BPQ的外角，∠DPE是△PDQ的外角，
∴∠BPE＝∠B+∠BQE，∠DPE＝∠D+∠DQP，
∴∠BPE+∠DPE＝∠B+∠D+∠BQE+∠DQP，即∠BPD＝∠BQD+∠B+∠D；
（3）由（2）的结论得：∠AFG＝∠B+∠E．∠AGF＝∠C+∠D．
又∵∠A+∠AFG+∠AGF＝180°
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°．
（或由（2）的结论得：∠AGB＝∠A+∠B+∠E且∠AGB＝∠CGD，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°．
【模型3“锯齿”模型】
【典例4】如图，点P在直线CD上，∠BAP+∠APD＝180°，∠1＝∠2．
求证：∠E＝∠F．
【解答】证明：∵∠BAP+∠APD＝180°（已知），
∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行），
∴∠BAP＝∠APC（两直线平行，内错角相等），
又∵∠1＝∠2（已知），
∠3＝∠BAP﹣∠1，
∠4＝∠APC﹣∠2，
∴∠3＝∠4（等式的性质），
∴AE∥PF（内错角相等，两直线平行），
∴∠E＝∠F（两直线平行，内错角相等）．
【变式4-1】2022北京冬奥会掀起了滑雪的热潮，很多同学纷纷来到滑雪场，想亲身感受一下奥运健儿在赛场上风驰电掣的感觉，但是第一次走进滑雪场的你，学会正确的滑雪姿势是最重要的，正确的滑雪姿势是上身挺直略前倾，与小腿平行，使脚的根部处于微微受力的状态，如图所示，AB∥CD，如果人的小腿CD与地面的夹角∠CDE＝60°，你能求出身体BA与水平线的夹角∠BAF的度数吗？若能，请你用两种不同的方法求出∠BAF的度数．
【解答】解：方法一：延长AB交直线DE于点G，
∵AG∥CD，
∴∠CDE＝∠AGE＝60°，
∵AF∥DE，
∴∠BAF＝∠AGE＝60°；
方法二：过点B作BM∥AF，过点C作CN∥ED，
∴∠BAF＝∠3，∠CDE＝∠4＝60°，
∵AF∥DE，
∴BM∥CN，
∴∠1＝∠2，
∵AB∥CD，
∴∠ABC＝∠BCD，
∴∠ABC﹣∠1＝∠BCD﹣∠2，
∴∠3＝∠4，
∴∠BAF＝∠CDE＝60°．
∴∠BAF的度数为60°．
【变式4-2】如图已知：∠1＝∠2，请再添加一个条件，使AB∥CD成立，并写出证明过程．
【解答】解：添加∠E＝∠F，
证明过程如下：
∵∠E＝∠F，
∴AE∥DF，
∴∠EAD＝∠FDA，
∵∠1＝∠2，
∴∠BAD＝∠CDA，
∴AB∥CD．
【变式4-3】如图（a），已知∠BAG+∠AGD＝180°，AF、EF、EG是三条折线段．
（1）若∠E＝∠F，如图（b）所示，求证：∠1＝∠2；
（2）根据图（a），写出∠1+∠E与∠2+∠F之间的关系，不需证明．
【解答】解：（1）∵∠BAG+∠AGD＝180°，
∴AB∥CD，
∴∠BAG＝∠AGC，
∵∠E＝∠F，
∴AF∥EG，
∴∠FAG＝∠AGE，
∴∠BAG﹣∠FAG＝∠AGC﹣∠AGE
∴∠1＝∠2，
（2）由（1）可知：AB∥CD，
∴∠1+∠GAF＝∠2+∠EGA，
∵∠E+∠EGA＝∠F+∠GAF，
∴上述两式相加得：∴∠1+∠GAF+∠E+∠EGA＝∠2+∠EGA+∠F+∠GAF
∴∠1+∠E＝∠2+∠F；
模型一“铅笔”模型
点P在EF右侧，在AB、 CD内部
“铅笔”模型
模型二“猪蹄”模型（M模型）
点P在EF左侧，在AB、 CD内部
“猪蹄”模型
模型三“臭脚”模型
点P在EF右侧，在AB、 CD外部
“臭脚”模型
模型四“骨折”模型
点P在EF左侧，在AB、 CD外部
·
“骨折”模型
模型一“铅笔”模型
点P在EF右侧，在AB、 CD内部
“铅笔”模型
模型二“猪蹄”模型（M模型）
点P在EF左侧，在AB、 CD内部
“猪蹄”模型
模型三“臭脚”模型
点P在EF右侧，在AB、 CD外部
“臭脚”模型
模型四“骨折”模型
点P在EF左侧，在AB、 CD外部
·
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