河南省名校联盟2023-2024学年高一下学期3月测试数学试题

这是一份河南省名校联盟2023-2024学年高一下学期3月测试数学试题，共8页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上，若向量，满足，，，则，在平行四边形中，，设，，则向量，已知，，则，已知，，，，则等于，关于函数有下述四个结论，若x，y满足，则等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合，，若，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
3．若向量，满足，，，则（ ）
A．2B．C．1D．
4．在平行四边形中，，设，，则向量（ ）
A．B．C．D．
5．已知，，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知，，，，则等于（ ）
A．B．C．D．
7．已知向量，的夹角为，，与同向，则的最小值为（ ）
A．1B．C．D．
8．关于函数有下述四个结论：
①是奇函数；②在区间单调递增；
③是的周期；④的最大值为2．
其中所有正确结论的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．若是平面内的一个基底，则下列四组向量不能作为平面向量的基底的是（ ）
A．B．
C．D．
10．若x，y满足，则（ ）
A．B．C．D．
11．已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．的最小正周期为
B．当时，的值域为
C．将函数的图象向右平移个单位长度可得函数的图象
D．将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点对称
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．若函数在上单调递减，则a的取值范围是______．
13．已知向量，满足，且，则在方向上的投影向量为______．
14．如图，正方形的边长为2，E，F分别为，的动点，且，设，则的最大值是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）（1）已知向量，，若，求．
（2）已知，，，的夹角为，若，求的值．
16．（15分）已知函数（且）．
（1）求函数的定义域；
（2）是否存在实数a，使得函数在区间上的最大值为2？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
17．（15分）已知向量，，函数，先将的图象向右平移个单位，再将所得图象上的所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标伸长到原来的倍，得到的图象．
（1）求的最小正周期；
（2）若，求的值域；
（3）若，，，试求的最小值．
18．（17分）中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术．在中国，剪纸具有广泛的群众基础，交融于各族人民的社会生活，是各种民俗活动的重要组成部分，传承视觉形象和造型格式，蕴涵了丰富的文化历史信息，表达了广大民众的社会认知、道德观念、实践经验、生活理想和审美情趣．现有一张矩形卡片，对角线长为t（t为常数），从中裁出一个内接正方形纸片，使得点E，H分别，上，设，矩形纸片的面积为，正方形纸片的面积为．
（1）当时，求正方形纸片的边长（结果用t表示）；
（2）当变化时，求的最大值及对应的值．
19．（17分）固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线．1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程，其中c为参数．当时，就是双曲余弦函数，类似地我们可以定义双曲正弦函数．它们与正、余弦函数有许多类似的性质．
（1）类比正弦函数的二倍角公式，请写出双曲正弦函数的一个正确的结论：______．（只写出即可，不要求证明）；
（2），不等式恒成立，求实数m的取值范围；
（3）若，试比较与的大小关系，并证明你的结论．
数学参考答案
1．A 2．D 3．C 4．A 5．B 6．A 7．D 8．C 9．ABC 10．BC 11．ACD
12．13．14．
【详解】建立如图所示的直角坐标系，其边长为2，，
则，，，，所以，，，
由，，得，解得，，（其中），所以，
令，则，
当且仅当时，即时取等号，所以的最大值为．
故答案为：．
15．（1），，由可得，解得，则，，；
（2）由可得，化简得，即，化简得，解得．
16．（1）依题意，即，
所以，即，
所以函数的定义域为．
（2），
令，，则，
，．
易知二次函数的图像开口向下，对称轴为直线，
所以函数在上单调递增，所以，．
假设存在满足题意的实数a，
当时，函数单调递增，
，解得或（舍去），
当时，函数单调递减，
，解得（舍去），
综上，存在实数时，
使得函数在区间上的最大值为2．
17．（1）
；
（2），，，；
（3）由图象变换得，
，
设，，
，，，；
，，
当时，在单调递增，则当时，，
当时，在单调递减，则当时，．
18．（1）设正方形的边长为a，则，，
则，，，即，
整理得到，
当时，．
（2），，
，则，，
则
在上单调递减，故，
故的最大值为，，，故．
19．（1）
（2）依题意，，不等式，
函数在上单调递增，，令，
显然函数在上单调递增，在上单调递增，，
又，于是，，
因此，，显然函数在上单调递减，
当时，，从而，
所以实数m的取值范围是．
（3），．
依题意，，，
当时，，，即，
于是，而，因此，
当时，，则，，
即，而，因此，
于是，，所以．
【点睛】结论点睛：函数的定义区间为D，①若，总有成立，则；②若，总有成立，则；③若，使得成立，则；④若，使得成立，则．