2020-2023年高考数学专题分类专题十 平面解析几何（教师版）

这是一份2020-2023年高考数学专题分类专题十 平面解析几何（教师版），共32页。

【2023年真题】
1.（2023·新课标 = 1 \* ROMAN I卷 第5题）设椭圆，的离心率分别为，若，则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查椭圆中离心率有关的计算，整体难度不大，利用关系建立方程求解即可.
【解答】
解：易得，，，得，解得故选
2. （2023·新课标 = 1 \* ROMAN I卷 第6题）过点与圆相切的两条直线的夹角为则( )
A. 1B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查直线与圆的位置关系，二倍角公式，属于基础题．
利用切线构造直角三角形，由三角函数定义求出，，再利用二倍角正弦公式即可求解．
【解答】
解：，故圆心，记，设切点为M，
，，
故，，，
，故选B
3 （2023·新课标 = 2 \* ROMAN II卷 第5题）已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若面积是面积的2倍，则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查直线与椭圆的位置关系，分别求出两焦点到直线的距离，建立关系求解，为中档题.
【解答】
解：到AB的距离，到AB距离，，，
，或，
又直线与椭圆相交，消y可得，，
，，选
4. （2023·新课标 = 2 \* ROMAN II卷 第10题）（多选）设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则( )
A. B.
C. 以MN为直径的圆与l相切D. 为等腰三角形
【答案】AC
【解析】
【分析】
本题考查了直线与抛物线位置关系的综合应用，属于中档题.
利用直线过抛物线焦点，得出抛物线方程，再结合抛物线性质，可逐项判断.
【解答】
解：因为过抛物线的焦点，则焦点，，A选项正确；
抛物线，MN的倾斜角，，B选项错误；
以MN为直径的圆一定与准线相切，C选项正确；
联立，解得，设，
，，，
所以不是等腰三角形，D选项错误；
故选：
5. （2023·新课标 = 1 \* ROMAN I卷 第16题）已知双曲线的左右焦点分别为，点A在C上，点B在y轴上，，，则C的离心率为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
主要考查了双曲线的定义以及性质、余弦定理，向量共线的充要条件等.属于一般题.
根据向量的关系设参数t 得到，，的关系，勾股定理得到
由双曲线的定义得到，在中用余弦定理得到a 与c的关系.
【解答】
解：，设，
由对称性知又，故，
由双曲线的定义知，，故
在中，
解得：，故C的离心率为
6. （2023·新课标 = 2 \* ROMAN II卷 第15题）已知直线与交于A、B两点，写出满足“面积为”的m的一个值__________
【答案】答案不唯一
【解析】
【分析】
本题考查了直线与圆的位置关系，属于中档题．
设圆心到直线的距离为d，根据面积为，求得d的值，再根据点到直线的距离公式建立方程，即可求出m的值．
【解答】
解：由题知的圆心为，半径为2，
设圆心到直线的距离为d，则，
于是，，得或，
若取，则，此时有，解得，
若取，则，此时有，解得，
故答案为：答案不唯一
7. （2023·新课标 = 1 \* ROMAN I卷 第22题）在直角坐标系xOy中，点P到x轴的距离等于点P到点的距离，记动点P的轨迹为
求W的方程；
已知矩形ABCD有三个顶点在W上，证明：矩形ABCD的周长大于
【答案】解：设点P的坐标为，由题意得，
整理，得，
故W的方程为：
设矩形的三个顶点，，在轨迹W上，且，，
令，，则，
设矩形的周长为C，由对称性不妨设，，
则当且仅当时等号成立，
令
则
令得当时，；当时，，
所以，
所以，即当且仅当时等号成立
等号不能同时成立，所以
【解析】本题考查轨迹方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，弦长的求解，利用导数求最值，属于压轴题.
（1）设出点P的坐标，由距离公式即可求解；
（2）由轨迹方程设出三点坐标，由对称性结合弦长公式表示出矩形的周长，利用导数求最值即可求解.
8. （2023·新课标 = 2 \* ROMAN II卷 第21题）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为
求C的方程：
记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，
M在第二象限，直线与交于点P，证明：点P在定直线上.
【答案】解：由题意可得，，
则，，
故C的方程为
设直线，，，
由知，
则，
联立得：，
将代入得，
则，且，得
则有，；
代入式可得，
解得，
故点P在定直线上.
【解析】本题考查双曲线的标准方程、双曲线的离心率、双曲线的定直线问题，计算量较大，属于较难题.
根据题意得出a，b的值，即可求出结果；
先设出直线，，，，，可得到，，联立可得式.再将将代入双曲线方程，由韦达定理可得，再结合式，即可得定直线.即可证明点P在定直线上.
【2022年真题】
9.（2022·新高考II卷 第3题）图1是中国古代建筑中的举架结构，，，，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图.其中，，，是举，，，，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为，，，，已知，，成公差为的等差数列，且直线OA的斜率为，则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查等差数列、直线的斜率与倾斜角的关系，比例的性质，属于中档题.
【解答】
解：设，则，，
由题意得，，
且，
解得
10.（2022·新高考I卷 第11题）（多选）已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则( )
A. C的准线为B. 直线AB与C相切
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】
本题考查了抛物线的方程，性质，直线与抛物线的位置关系，属较难题.
先求出抛物线的方程，然后再对选项ABCD一一进行分析判断即可得.
【解答】
解：点在抛物线上，
即，所以准线为，所以A错;
直线代入，
得：，，
所以AB与C相切，故B正确.
由题知直线PQ的斜率一定存在，
则可设直线，，，
则，或，
此时，，
，故C正确;
，故D正确.
11.（2022·新高考II卷 第10题）（多选）已知O为坐标原点，过抛物线的焦点F的直线与C交于A，B两点，点A在第一象限，点，若，则( )
A. 直线AB的斜率为B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】
本题考查了抛物线的定义和性质，属于中档题。
【解答】
解：选项设FM中点为N，则，所以
，所以，故
选项所以
所以
选项
选项由选项A，B知，，所以
，所以为钝角;
又，所以为钝角，
所以
12.（2022·新高考I卷 第14题）写出与圆和都相切的一条直线的方程__________.
【答案】或或填一条即可
【解析】
【分析】
本题考查了圆与圆的公切线问题，涉及圆与圆的位置关系、点到直线的距离等知识，属较难题.
方法设直线方程为，利用点到直线的距离公式可求出b与c的关系，然后再进行后面的求解可得.
方法求出两圆间的位置关系，然后再利用数形结合进行求解可得.
【解答】
解：方法显然直线的斜率不为0，不妨设直线方程为，
于是化简得①，
化简得，，于是或，
再结合①解得或或，
所以直线方程有三条，分别为，，填一条即可
方法设圆的圆心，半径为，
圆的圆心，半径，
则，因此两圆外切，
由图像可知，共有三条直线符合条件，显然符合题意；
又由方程和相减可得方程，即为过两圆公共切点的切线方程，
又易知两圆圆心所在直线OC的方程为，
直线OC与直线的交点为，设过该点的直线为，则，解得，
从而该切线的方程为填一条即可
13.（2022·新高考I卷 第16题）已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为，过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是__________.
【答案】13
【解析】
【分析】
本题主要考查了直线与椭圆的位置关系的应用、椭圆的定义以及椭圆中的弦长问题，考查了运算求解能力，属于中档题.
根据可得，，，则：，：，解得交点M坐标，直线DE垂直平分，即，，联立方程结合韦达定理可求得，即可求得的周长.
【解答】
解：由椭圆离心率为，可得，则，
则椭圆C：，，，，
易得：，：，
可解得与DE的交点，
故直线DE垂直平分，即，，
又，
，
所以的周长
14.（2022·新高考II卷 第15题）设点，，直线 AB关于直线的对称直线为l，已知l与圆有公共点，则a的取值范围为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线关于直线对称的直线求法，直线与圆的位置关系的应用，属于中档题.
【解答】
解：因为，所以AB关于直线的对称直线为，所以，整理可得解得
15.（2022·新高考II卷 第16题）已知直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，l与x轴y轴分别相交于M，N两点，且，，则直线l的方程为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了椭圆的中点弦问题，属于偏难题。
【解答】
解：取AB的中点为E，因为，所以，设，
可得，即
设直线，，，
令，，令，，所以，
所以，，
，，所以直线，即
16.（2022·新高考I卷 第21题）已知点在双曲线上，直线l交C于P，Q两点，直线的斜率之和为
求l的斜率；
若，求的面积．
【答案】
解：将点A代入双曲线方程得，化简得得：
，故双曲线方程为
由题显然直线l的斜率存在，设，设，，则联立直线与双曲线得：
，，
故，，
，
化简得：，
故，
即，而直线l不过A点，
故l的斜率
设直线AP的倾斜角为，由，得，
由，得，即，
联立，及得，，
同理，，，
故，
而，，
由，得，
故
【解析】本题主要考查直线与双曲线的位置关系及双曲线中面积问题，属于较难题.
将点A代入双曲线方程得，求得，则双曲线方程为
由题显然直线l的斜率存在，设，代入双曲线方程，得出关于x的方程，利用根与系数的关系以及斜率公式求出；
设直线AP的倾斜角为，由，求出P，Q的坐标，而，，，即可求出面积.
17.（2022·新高考II卷 第21题）设双曲线的右焦点为，渐近线方程为
求C的方程;
经过F的直线与C的渐近线分别交于A，B两点，点，在C上，且，过P且斜率为的直线与过Q且斜率为的直线交于点M，从下面三个条件①②③中选择两个条件，证明另一个条件成立：①在AB上;②③
【答案】
解：由题意可得，，故，
因此C的方程为
设直线PQ的方程为，将直线PQ的方程代入C的方程得，
则，，
设点M的坐标为，则
两式相减，得，而，
故，解得
两式相加，得，而，故，解得
因此，点M的轨迹为直线，其中k为直线PQ的斜率.
若选择①②
设直线AB的方程为，并设A的坐标为，B的坐标为
则，解得，
同理可得，
此时，
而点M的坐标满足，
解得，，
故M为AB的中点，即
若选择①③
当直线AB的斜率不存在时，点M即为点，此时M不在直线上，矛盾.
故直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为，
并设A的坐标为，B的坐标为
则，解得，
同理可得，
此时，
由于点M同时在直线上，故，解得因此
若选择②③
设直线AB的方程为，并设A的坐标为，B的坐标为
则解得，
同理可得，，
设AB的中点为，则，
由于，故M在AB的垂直平分线上，即点M在直线上.
将该直线与联立，解得，，
即点M恰为AB中点，故点而在直线AB上.
【解析】本题考查双曲线的标准方程和几何性质，考查直线与双曲线的位置关系，考查开放探究能力，属于压轴题.
【2021年真题】
18.（2021· 新高考I卷 第5题）已知，是椭圆C：的两个焦点，点M在C上，则的最大值为( )
A. 13B. 12C. 9D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查椭圆的定义，椭圆中的最值问题，属于一般题.
利用椭圆的定义，结合基本不等式，转化求解即可.
【解答】
解：由，是椭圆的两个焦点，点M在C上，得
所以
当且仅当时，取等号，即有最大值
故选
19.（2021·新高考II卷 第3题）抛物线的焦点到直线的距离为，则( )
A. 1B. 2C. D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了抛物线的基础知识和点到直线的距离公式，题目较易.
首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得p的值.
【解答】
解：抛物线的焦点坐标为，
其到直线的距离为，解得舍去
故选
20.（2021·新高考I卷 第11题）（多选）已知点P在圆上，点，，则( )
A. 点P到直线AB的距离小于10B. 点P到直线AB的距离大于2
C. 当最小时，D. 当最大时，
【答案】ACD
【解析】
【分析】
本题考查点到直线的距离公式以及以及直线与圆相切的问题，属于中档题.
根据点和圆的距离范围判断AB，根据直线与圆相切判断
【解答】
解：由点，，
可得直线AB的方程为
则圆心到直线的距离为，
故P到直线AB的最大距离为，最小距离，所以A正确，B错误.
由题意可知，当直线PB与圆相切时，最大或最小，
由于圆心到B的距离为，
此时，故C，D都正确.
故选
21.（2021·新高考II卷 第11题）（多选）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是( )
A. 若点A在圆C上，则直线l与圆C相切B. 若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C. 若点A在圆C外，则直线l与圆C相离D. 若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
【答案】ABD
【解析】
【分析】
本题考查了直线与圆的位置关系，属于中档题.
转化点与圆、点与直线的位置关系为的大小关系，结合点到直线的距离及直线与圆的位置关系即可得解.
【解答】
解：圆心到直线l的距离，
若点在圆C上，则，所以，
则直线l与圆C相切，故A正确；
若点在圆C内，则，所以，
则直线l与圆C相离，故B正确；
若点在圆C外，则，所以，
则直线l与圆C相交，故C错误；
若点在直线l上，则即，
所以，直线l与圆C相切，故D正确.
故选
22.（2021·新高考I卷 第14题）已知O为坐标原点，抛物线的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且若，则C的准线方程为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查直线与抛物线的综合问题，考查抛物线的准线方程，属于中档题.
根据题意设点P在第一象限，得出点P坐标为，由于PF与x轴垂直，，得出∽，根据相似比得出p的值，从而得到答案.
【解答】
解：与x轴垂直，设点P在第一象限，
点P坐标为，
又，∽，，
则，
，即，故，则准线方程为，
故答案为
23.（2021·新高考II卷 第13题）已知双曲线的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了双曲线离心率的应用及渐近线的求解，考查了运算求解能力，属于基础题.
由双曲线离心率公式可得，再由渐近线方程即可得解.
【解答】
解：因为双曲线的离心率为2，
所以，所以，
所以该双曲线的渐近线方程为
故答案为：
24.（2021·新高考I卷 第21题）在平面直角坐标系xOy中，已知点，，点M满足记M的轨迹为
求C的方程；
设点T在直线上，过T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，且，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.
【答案】
解：由题意知点 M的轨迹 C是焦点在 x轴上的双曲线的右支，且，，
，
的方程为
设，设直线AB的方程为，，，
由，得，
整理得，
，，
，
设，同理可得，
由，得，
，
，，，
【解析】本题考查双曲线的定义及标准方程，直线与双曲线的位置关系的应用，属于拔高题.
由题意知点M的轨迹C是焦点在x轴上的双曲线的右支，且，，由此可求得曲线C的方程；
设，设直线AB的方程为，，，联立直线与双曲线方程，由根与系数的关系结合弦长公式可求出，设，同理可表示出，再结合，可得出直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.
25.（2021·新高考II卷 第20题）已知椭圆C的方程为，右焦点为，且离心率为
求椭圆C的方程；
设M，N是椭圆C上的两点，直线MN与曲线相切．证明：M，N，F三点共线的充要条件是
【答案】
解：由题意，椭圆半焦距且，所以，
又，所以椭圆方程为；
证明：由得，曲线为，
当直线MN的斜率不存在时，直线，不满足M，N，F三点共线；
当直线MN的斜率存在时，设，
必要性：
若M，N，F三点共线，可设直线即，
由直线MN与曲线相切可得，解得，
联立可得，，
所以，
所以，
所以必要性成立；
充分性：
设直线即，
由直线MN与曲线相切可得，所以，
联立可得，，
所以，
所以
，
化简得，所以，
所以或，
所以直线或，
所以直线MN过点，M，N，F三点共线，充分性成立；
所以M，N，F三点共线的充要条件是
【解析】本题考查了直线方程与椭圆方程联立及韦达定理的应用，注意运算的准确性是解题的重中之重.
由离心率公式可得，进而可得，即可得解；
必要性：由三点共线及直线与圆相切可得直线方程，联立直线与椭圆方程可证；
充分性：设直线，由直线与圆相切得，联立直线与椭圆方程结合弦长公式可得，进而可得，即可得解.
【2020年真题】
26.（2020·新高考I卷 第9题、 II卷 第10题）（多选）已知曲线，则( )
A. 若，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B. 若，则C是圆，其半径为
C. 若，则C是双曲线，其渐近线方程为
D. 若，，则C是两条直线
【答案】ACD
【解析】
【分析】
本题考查圆锥曲线的相关概念，考查逻辑推理能力，属于中档题.
根据m，n的范围，结合椭圆、双曲线、圆及直线的标准方程一一判断即可.
【解答】
解：当时，可化为，
若，则，故表示焦点在y轴的椭圆，故A正确；
若，可化为，表示圆心为原点，半径为的圆，故B错误；
若，则C是双曲线，令故其渐近线方程为，故C正确；
若，，可化为，即，表示两条直线，故D正确.
故选
27.（2020·新高考I卷 第13题、II卷 第14题）斜率为的直线过抛物线的焦点，且与C交于A，B两点，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线与抛物线的位置关系，抛物线中的弦长问题，属于基础题.
先求出抛物线的焦点坐标，从而求出直线方程，联立直线与抛物线方程，由根与系数的关系从而可求得答案.
【解答】
解：抛物线的焦点为，
则直线AB的方程为，
联立得，
所以，
从而 ，
故答案为：
28.（2020·新高考I卷 第22题）已知椭圆的离心率为，且过点
求C的方程;
点M，N在C上，且，，D为垂足.证明：存在定点Q，使得为定值.
【答案】
解：由题意可知，，，
解得，，
所以椭圆方程为
证明：设点，，
因为，所以，
所以，①
当k存在的情况下，设，
联立得，
由，得，
由根与系数的关系得，，
所以，
，
代入①式化简可得，
即，
所以或，
所以直线方程为或，
所以直线过定点或，
又因为和A点重合，故舍去，
所以直线过定点，
所以AE为定值，又因为为直角三角形，AE为斜边，
所以AE中点Q满足为定值，此时
【解析】本题考查椭圆的几何性质及直线与椭圆的位置关系，属于较难题.
根据条件列方程求解即可.
联立直线与椭圆的方程，根据根与系数的关系结合两直线的斜率之积为化简即可证明.
29.（2020·新高考II卷 第21题）已知椭圆C：过点，点A为其左顶点，且AM的斜率为
求C的方程；
点N为椭圆上任意一点，求的面积的最大值．
【答案】
解：由题意可知直线AM的方程为：，即，
当时，解得，所以，椭圆C：过点，
可得，解得，
所以C的方程：
设与直线AM平行的直线方程为：，当直线与椭圆相切时，与AM距离比较远的直线与椭圆的切点为N，此时的面积取得最大值．
将与椭圆方程：联立，
化简可得：，
所以，
即，解得，
与AM距离比较远的直线方程为：，
利用平行线之间的距离为：，
又，，所以
所以的面积的最大值：
【解析】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆方程的求法，椭圆的简单性质的应用，考查学生分析问题解决问题的数学素养，属于拔高题．
利用已知条件求出a，然后求解b，得到椭圆方程．
设出与直线AM平行的直线方程，与椭圆联立，利用判别式为0，求出椭圆的切线方程，然后求解三角形的最大值．
真题卷
题号
考点
考向
2023新课标1卷
5
椭圆的性质
已知椭圆离心率求参
6
直线与圆的位置关系
求过圆外一点作圆的两条切线所成角
16
双曲线的性质
求双曲线的离心率
22
抛物线的方程、直线与抛物线的位置关系
求轨迹方程、四边形的周长的最值问题（求弦长）
2023新课标2卷
5
直线与椭圆的位置关系
直线与椭圆相交时的面积问题
10
抛物线的方程与性质
求抛物线的方程、焦点弦问题
15
直线与圆的位置关系
直线与圆相交的弦长问题
21
双曲线的方程、直线与双曲线的位置关系
求双曲线的标准方程、求动点的轨迹
2022新高考1卷
11
抛物线的标准方程、性质
抛物线的性质、直线与抛物线的位置关系
14
圆与圆的位置关系
求两圆的公切线方程
16
直线与椭圆位置关系
椭圆的定义的应用、求椭圆中的弦长
21
双曲线的标准方程、直线与双曲线位置关系
求双曲线的标准方程、交线的斜率，三角形的面积
2022新高考2卷
3
直线的倾斜角与斜率
求直线的斜率
10
抛物线的定义与性质、直线与抛物线位置关系
求交线的斜率、抛物线定义与性质的应用
15
直线与圆的位置关系
求直线方程、已知直线与圆的位置关系求参
16
直线与椭圆的位置关系
求与椭圆相交的直线方程
21
双曲线的标准方程、直线与双曲线的位置关系
求双曲线的标准方程、求点的轨迹方程、判断直线的位置关系
2021新高考1卷
5
椭圆的定义
求椭圆上的点到两焦点距离积的最值
11
直线与圆的位置关系
求点到直线的距离、直线与圆相切的位置关系中的最值问题
14
抛物线的定义与性质
求抛物线的准线方程
21
双曲线的标准方程、直线与双曲线的位置关系
求点的轨迹方程、直线与双曲线位置关系中的定值问题（斜率之和为定值）
2021新高考2卷
3
抛物线的性质、点到直线的距离
求抛物线焦点坐标
11
直线与圆的位置关系
判断直线与圆的位置关系
13
双曲线的性质
求双曲线的渐近线方程
20
椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系
求椭圆的标准方程、求椭圆的弦与圆相切时的弦长
2020新高考1卷
9
圆锥曲线的方程与性质
由参数范围判断圆锥曲线的类型及相关性质
13
直线与抛物线的位置关系
求抛物线的弦长
22
椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系
求椭圆的方程、直线与椭圆位置关系中的定点问题
2020新高考2卷
10
圆锥曲线的方程与性质
由参数范围判断圆锥曲线的类型及相关性质
14
直线与抛物线的位置关系
求抛物线的弦长