河南省部分重点中学2023届高三下学期2月开学联考数学（文）试卷(含答案)

这是一份河南省部分重点中学2023届高三下学期2月开学联考数学（文）试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合,集合,则的真子集个数为( )
A.3B.4C.7D.8
2．若复数z满足（i是虚数单位）,则z等于( )
A.B.C.D.
3．《九章算术》中方田篇有如下问题:“今有田广十五步,从十六步.问田为几何?答曰:一亩.”其意思:“现有一块田,宽十五步,长十六步.问这块田的面积是多少?答:一亩.”如果百亩为一顷,今有田宽480步,长600步,则该田有( )
A.12顷B.13顷C.14顷D.16顷
4．函数在区间上的最大值为( )
A.1B.C.D.
5．在1,2,3,4中任取2个不同的数,作为a,b的值,使方程有2个不相等的实数根的概率为( )
A.B.C.D.
6．若点是抛物线的焦点,点A,B分别是抛物线C上位于第一,四象限的点,且轴,,则点B的坐标为( )
A.B.C.D.
7．已知,,,则( )
A.B.C.D.
8．已知函数的图像关于直线对称,则函数的最大值为( )
A.1B.C.2D.
9．已知平面向量,满足,,的夹角为,若,则的最小值为( )
A.B.C.D.
10．如图,网格纸上小正方形的边长为1,图中画出的是某四棱锥的三视图,则该四棱锥中最长的棱长为( )
A.4B.C.D.6
11．已知双曲线的渐近线方程为,且焦距为10,过双曲线C中心的直线与双曲线C交于两点,在双曲线C上取一点(异于M,N),直线PM,PN的斜率分别为,,则等于( )
A.B.C.D.
12．已知直线与圆相切,若函数,满足,对于任意的恒成立,则实数a的取值范围为( )
A.B.C.D.
二、填空题
13．若实数x,y满足约束条件,则的最小值为__________.
14．已知倾斜角为直线l与直线垂直,则___________.
15．已知四棱锥的顶点都在半径为3的球面上,底面ABCD是正方形,且底面ABCD经过球心O,E是AB的中点,底面ABCD,则该四棱锥的体积等于___________.
16．在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,,,则__________.
三、解答题
17．已知等比数列的各项均为正数,,.
（1）求数列的通项公式;
（2）若,数列的前n项和为,求.
18．某地区为了调查年龄区间在岁的居民的上网时间,从该地区抽取了名居民进行调查,并将调查结果按年龄分组,得到的频率分布直方图如图所示.
（1）若用分层抽样的方法进一步从被调查的名居民中抽取60人进行深度调研,则年龄在以及年龄在的居民分别有多少人?
（2）在中抽取4人,中抽取2人,若从这6人中再次随机抽取2人调查浏览新闻的时间,求两人年龄都在上的概率.
19．如图,在直三棱柱中,,,D,E分别是和中点.
（1）求证:平面平面;
（2）求三棱锥的体积.
20．已知椭圆的离心率为,且过点.
（1）求椭圆C的方程;
（2）过点作直线l与椭圆C交于A,B两点,且椭圆C的左,右焦点分别为,,,的面积分别为,,求的最大值.
21．已知函数,.
（1）若,求函数的图像在处的切线方程;
（2）若对任意的,恒成立,求a的取值范围.
22．已知曲线的参数方程为(t为参数)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴,曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线的极坐标方程;
（2）求曲线与曲线的交点的极坐标.
23．已知函数,.
（1）当时,求不等式的解集;
（2）当时,若存在,使得成立,求的取值范围.
参考答案
1．答案：A
解析：因为,所以的真子集个数为个.
故选:A
2．答案：C
解析：由得.
故选：C.
3．答案：A
解析：依题意可得该田有亩,
则该田有顷.
故选:A
4．答案：B
解析：由题意得,
当时,,,
所以在区间单调递减,故函数最大值为,
故选:B
5．答案：D
解析：取为,,,,,,,,,,,共12种,
其中使有2个不等实根,即,的有8个,
所以.
故选:D.
6．答案：A
解析：由题意可知,
因为轴,所以,,
所以,解得,所以,
故选:A
7．答案：A
解析：,,
即.
故选:A
8．答案：C
解析：因为函数的图像关于直线对称,所以,
即,解得,
所以,所以的最大值为2.
故选:C
9．答案：C
解析：因为,,的夹角为,
所以,
不妨设,,,则,,
则,解得或,
设,由得C在以B为圆心,1为半径的圆上,
或
所以的最小值为.
故选:C
10．答案：D
解析：作出四棱锥的直观图如图所示:
由三视图可知底面BCDE是平行四边形,,面ABE,
且,,,
所以最长的棱是,长为.
故选:D.
11．答案：B
解析：双曲线C的两条渐近线方程为,所以,
因为焦距为,所以,
又,所以,,故双曲线的方程为.
设点,则根据对称性可知,点,,,
所以,且,,两式相减可得.
故选:B
12．答案：B
解析：由圆可得圆心,半径为m,
直线与圆相切,则,,
因为,所以为奇函数.
且在R上为单调递增函数,
对于任意的,有,即
所以,
,
令(当且仅当时取等号),可得,
所以.
故选:B
13．答案：
解析：平移直线,当经过可行域内的点A时,取得最小值,
联立,解得,即,
则当,时,取得最小值为,
故答案为:
14．答案：5
解析：直线的斜率为,
因为倾斜角为的直线l与直线垂直,所以解得,
所以,则.
故答案为:.
15．答案：
解析：连接OP,OE,则,,因为底面ABCD,所以.
所以,,.
故答案为:
16．答案：
解析：,由正弦定理,得;
又,
由正弦定理,得,
将代入上式,化简整理得,
两边同除以,得,
解得或(舍).
故答案为:.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）设等比数列的公比为q,
因为,,所以,即,
解得或(舍去),
所以.
（2）因为,
所以.
18．答案：（1）12人,6人
（2）
解析：（1）依题意,各组的比例为,
故抽取的60名居民中,
年龄在的人数为人,
年龄在的人数为人.
（2）记在中的4个人分别为,,,,
在中的2个人分别为,,
则从6人中抽取2人,所有的情况为:
,,,,,,,,,,,,,,共15种;
其中满足条件的有,,,,,共有6种;
故所求概率为是:.
19．答案：（1）证明见解析
（2）12
解析：（1）连接,因为,,
所以.
因为E是的中点,所以.
因为,E是的中点,所以.
因为,且BE,平面,所以平面BED.
因为平面,所以平面平面.
（2）因为,平面BCE,平面BCE,所以平面BCE,
所以,
,
设G为BC的中点,
因为,所以,
由条件知,,所以,
所以,所以.
20．答案：（1）
（2）
解析：（1）由椭圆C的离心率为,且过点得
椭圆C的方程为
（2）当直线l的斜率不存在时,,则;
当直线l斜率存在且不等于零时,设直线,
联立可得,
设,,则,,
,,
显然A,B在x轴两侧,,异号,
所以
,
当且仅当,时,取等号.
所以的最大值为.
21．答案：（1）
（2）
解析：（1）当时,,
,
所以,,
所以函数图像在处的切线方程为:,
即.
（2）,
则.
又令,
则,
所以在上单调递增,且.
①当时,恒成立,
即函数在上单调递增,
从而必须满足,
解得,又,
所以.
②当时,则存在,
使且时,,
即,即单调递减;
时,,
即,即单调递增
所以,
又,
从而,解得.
由.
令,,
则,
所以在上单调递减,
则,又,
故,
综上可知,.
22．答案：（1）;
（2）和.
解析：（1）(t为参数)化为普通方程为,
整理得,
把代入,
可得,
即的极坐标方程为;
（2）曲线的直角坐标方程为,
由,得或,
当交点坐标为时,化为极坐标为;
当交点坐标为时,化为极坐标为;
则与的交点的极坐标为和.
23．答案：（1）;
（2）.
解析：（1）当时,
则由,得;由,得无解;
由,得.
所以不等式的解集为;
（2）当时,,则
若存在,使成立,则,,
所以a的取值范围为.