2024年江苏省扬州中学高考数学模拟试卷（一）

这是一份2024年江苏省扬州中学高考数学模拟试卷（一），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）已知集合A＝{x|lg3x＞2}，B＝{x∈N|x≤2024}，则集合A∩B的元素个数为（ ）
A．2014B．2015C．2023D．2024
2．（5分）设复数z＝x+yi（x＞0，y∈R），且满足z2＝18i，则z＝（ ）
A．3+2iB．3+3iC．3﹣2iD．3﹣3i
3．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2（sin2A﹣sin2C）＝（a﹣b）sinB，△ABC的外接圆半径为，则△ABC面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
4．（5分）如图，在长方形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点P满足，其中，则的取值范围是（ ）
A．[4，5]B．[8，10]C．[4，]D．[，10]
5．（5分）已知函数f（x）＝ax2+bx+c，若b是a与c的等比中项，则f（x）的零点个数为（ ）
A．0B．0或1C．2D．0或1或2
6．（5分）函数f（x）＝cs（x）ln（ex+e﹣x）的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（5分）对于一个给定的数列{an}，令，则数列{bn}称为数列{an}的一阶商数列，再令，则数列{cn}是数列{an}的二阶商数列．已知数列{An}为1，2，8，64，1024，…，且它的二阶商数列是常数列，则A7＝（ ）
A．215B．219C．221D．228
8．（5分）已知焦点分别在x，y轴上的两个椭圆C1，C2，且椭圆C2经过椭圆C1的两个顶点与两个焦点，设椭圆C1，C2的离心率分别是e1，e2，则（ ）
A．且
B．
C．
D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
（多选）9．（5分）若实数x1，x2，x3满足，则下列不等关系可能成立的是（ ）
A．x1＜x2＜x3B．x2＜x3＜x1C．x3＜x2＜x1D．x3＜x1＜x2
（多选）10．（5分）等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S10＝0，S15＝25，则（ ）
A．
B．{an}的前n项和中S5最小
C．nSn的最小值为﹣49
D．的最大值为0
（多选）11．（5分）已知函数f（x）＝csx|tanx|，则（ ）
A．f（x）为偶函数
B．是f（x）的一个单调递增区间
C．f（π+x）＝﹣f（x）
D．当时，f（x）≥f（0）
（多选）12．（5分）已知实数m，n满足，且，则（ ）
A．B．mn2＝1
C．D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）若，则a5＝ ．
14．（5分）等差数列{an}中的a1，a2023是函数f（x）＝x3﹣6x2+4x﹣1的极值点，则lg8a1012＝ ．
15．（5分）已知点P是直线l1：mx﹣ny﹣5m+n＝0和l2：nx+my﹣5m﹣n＝0（m，n∈R，m2+n2≠0）的交点，点Q是圆C：（x+1）2+y2＝1上的动点，则|PQ|的最大值是 ．
16．（5分）已知直线y＝x﹣2与双曲线C：的两条渐近线分别交于点A，B（不重合）线段AB的垂直平分线过点（4，0），则双曲线C的离心率为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）（1）已知角α终边上一点P（﹣4，3），求的值；
（2）化简求值：．
18．（12分）在△ABC中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a，b，c是公差为1的等差数列．
（1）若3sinC＝5sinA，求△ABC的面积；
（2）是否存在正整数a，使△ABC为钝角三角形？若存在，求a的值；若不存在，说明理由．
19．（12分）已知a＞0且a≠1，函数f（x）＝lgax﹣x．
（1）若a＝e且，求函数f（x）的最值；
（2）若函数f（x）有两个零点，求实数a的取值范围．
20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD＝2AB＝2BC＝2，O为AD中点．
（1）求证：PO⊥平面ABCD；
（2）求异面直线PB与CD所成角的大小．
21．（12分）已知椭圆的两焦点分别为F1，F2，C的离心率为上有三点Q、R、S，直线QR、QS分别过F1，F2，△QRF2的周长为8．
（1）求C的方程；
（2）①若Q（0，b），求△QRS的面积；
②证明：当△QRS面积最大时，△QRS必定经过C的某个顶点．
22．（12分）在三维空间中，立方体的坐标可用三维坐标（a1，a2，a3）表示，其中ai∈{0，1}（1≤i≤3，i∈N）．而在n维空间中（n≥2，n∈N），以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为n维坐标（a1，a2，a3，⋯⋯，an），其中ai∈{0，1}（1≤i≤n，i∈N）．现有如下定义：在n维空间中两点间的曼哈顿距离为两点（a1，a2，a3，⋯⋯，an）与（b1，b2，b3，⋯⋯，bn）坐标差的绝对值之和，即为|a1﹣b1|+|a2﹣b2|+|a3﹣b3|+⋯⋯+|an﹣bn|．回答下列问题：
（1）求出n维“立方体”的顶点数；
（2）在n维“立方体”中任取两个不同顶点，记随机变量X为所取两点间的曼哈顿距离
①求出X的分布列与期望；
②证明：在n足够大时，随机变量X的方差小于0.25n2．
（已知对于正态分布X～N（μ，σ2），P随X变化关系可表示为）
2024年江苏省扬州中学高考数学模拟试卷（一）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知集合A＝{x|lg3x＞2}，B＝{x∈N|x≤2024}，则集合A∩B的元素个数为（ ）
A．2014B．2015C．2023D．2024
【解答】解：因为A＝{x|lg3x＞2}＝{x|x＞9}，B＝{x∈N|x≤2024}＝{0，1，2，3，⋯，2024}，
所以A∩B＝{10，11，12，⋯，2024}．
故选：B．
2．（5分）设复数z＝x+yi（x＞0，y∈R），且满足z2＝18i，则z＝（ ）
A．3+2iB．3+3iC．3﹣2iD．3﹣3i
【解答】解：复数z＝x+yi（x＞0，y∈R），
则z2＝（x+yi）2＝x2﹣y2+2xyi＝18i，
∴，解得或，
∵x＞0，
∴z＝3+3i．
故选：B．
3．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2（sin2A﹣sin2C）＝（a﹣b）sinB，△ABC的外接圆半径为，则△ABC面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：∵△ABC的外接圆半径为R，
∴由正弦定理，可得a＝2RsinA＝2sinA，b＝2RsinB＝2sinB，
代入已知等式得 2sin2A﹣2sin2C＝2sinAsinB﹣2sin2B，
即sin2A+sin2B﹣sin2C＝sinAsinB，
∴a2+b2﹣c2＝ab，
由此可得csC，
结合C∈（0°，180°），得C＝60°．
∵ab＝a2+b2﹣c2＝a2+b2﹣（2RsinC）2＝a2+b2﹣9≥2ab﹣9，
∴ab≤9（当且仅当a＝b时，取等号），
∵△ABC面积为SabsinC9，
∴当且仅当a＝b＝3时，△ABC的面积的最大值为．
故选：D．
4．（5分）如图，在长方形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点P满足，其中，则的取值范围是（ ）
A．[4，5]B．[8，10]C．[4，]D．[，10]
【解答】解：由题意，以A为坐标原点，AB所在的直线为x 轴，AD所在的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
所以A（0，0），B（6，0），C（6，4），D（0，4），设P（x，y），
所以，，因为，所以（x，y﹣4）＝λ（6，0），
所以x＝6λ，y＝4，即P（6λ，4），
所以（6﹣12λ，﹣8），
所以，
因为，所以当λ时，；
当λ＝0时，，
所以的取值范围是[8，10]．
故选：B．
5．（5分）已知函数f（x）＝ax2+bx+c，若b是a与c的等比中项，则f（x）的零点个数为（ ）
A．0B．0或1C．2D．0或1或2
【解答】解：由b是a与c的等比中项，得a≠0，b≠0，ac＝b2，
方程ax2+bx+c＝0的判别式Δ＝b2﹣4ac＝﹣3b2＜0，因此方程ax2+bx+c＝0无实根，
所以f（x）的零点个数为0．
故选：A．
6．（5分）函数f（x）＝cs（x）ln（ex+e﹣x）的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：f（x）＝cs（x）ln（ex+e﹣x）＝sinxln（ex+e﹣x），
f（﹣x）＝sin（﹣x）ln（e﹣x+ex）＝﹣sinxln（ex+e﹣x）＝﹣f（x），
∴函数f（x）为奇函数，其图象关于原点对称，故排除D，
∵y＝ex+e﹣x≥22，当且仅当x＝0时取等号，
∴ln（ex+e﹣x）≥ln2＞ln1＝0，
当x∈[0，π）时，sinx≥0，当x∈[π，2π）时，sinx≤0，
∴当x∈[0，π）时，f（x）＞0，当x∈[π，2π）时，f（x）≤0，故排除AB，
故选：C．
7．（5分）对于一个给定的数列{an}，令，则数列{bn}称为数列{an}的一阶商数列，再令，则数列{cn}是数列{an}的二阶商数列．已知数列{An}为1，2，8，64，1024，…，且它的二阶商数列是常数列，则A7＝（ ）
A．215B．219C．221D．228
【解答】解：设数列{An}的一阶商数列为{bn}，二阶商数列为{cn}，
则，，，
又数列{An}的二阶商数列{cn}是常数列，
则cn＝c1＝2，
则{bn}满足，
∴数列{bn}是2为首项，2为公比的等比数列，
则，
∴，
则，，，⋯，，，
等式左右分别相乘可得2（n﹣1）+（n﹣2）+（n﹣3）+⋯+2+1，
∴，
则．
故选：C．
8．（5分）已知焦点分别在x，y轴上的两个椭圆C1，C2，且椭圆C2经过椭圆C1的两个顶点与两个焦点，设椭圆C1，C2的离心率分别是e1，e2，则（ ）
A．且
B．
C．
D．
【解答】解：因为焦点分别在x，y轴上的两个椭圆C1，C2，
不妨设椭圆C1对应的参数为a1，b1，c1，椭圆C2对应的参数为a2，b2，c2，
因为椭圆C2经过椭圆C1的两个顶点与两个焦点，
所以a2＝b1，b2＝c1，
此时，，
因为a2＞b2，
即b1＞c1，
所以，
可得，
此时，
解得，，
即，，
不妨令，
此时，
易知函数在上单调递减，
所以．
故选：A．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
（多选）9．（5分）若实数x1，x2，x3满足，则下列不等关系可能成立的是（ ）
A．x1＜x2＜x3B．x2＜x3＜x1C．x3＜x2＜x1D．x3＜x1＜x2
【解答】解：由题意可知，，
如右图在同一平面直角坐标系中作出函数y＝3x，y＝2x， 的图象，
则由图象得，x1，x2，x3 的大小关系可能为x3＝x2＜x1，
x3＜x2＜x1，x2＜x3＜x1，x2＜x3＝x1，x2＜x1＜x3，x2＝x1＜x3，x1＜x2＜x3，故A、B、C正确，D错误．
故选：ABC．
（多选）10．（5分）等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S10＝0，S15＝25，则（ ）
A．
B．{an}的前n项和中S5最小
C．nSn的最小值为﹣49
D．的最大值为0
【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，
则，解得，
所以，则A正确；

，
则当n＝5时，取得最小值，故B正确；
，
设函数，
则，则当时，f′（x）＜0，
当时，f′（x）＞0，
所以f（x）在上单调递减，在上单调递增，
故，
因为，且f（6）＝﹣48，f（7）＝﹣49，
所以最小值为﹣49，C正确；
，没有最大值，故D错误，
故选：ABC．
（多选）11．（5分）已知函数f（x）＝csx|tanx|，则（ ）
A．f（x）为偶函数
B．是f（x）的一个单调递增区间
C．f（π+x）＝﹣f（x）
D．当时，f（x）≥f（0）
【解答】解：因为f（x）的定义域为，关于原点对称，
且f（﹣x）＝cs（﹣x）|tan（﹣x）|＝csx|tanx|＝f（x），所以f（x）是偶函数，故A正确．
因为，所以，
且，所以不是函数的递增区间，故B不正确．
f（π+x）＝cs（π+x）|tan（π+x）|＝﹣csx|tanx|＝﹣f（x），故C正确；
因为当时，csx＞0，tanx≥0，sinx≥0，所以f（x）＝sinx≥0，
同理，当时，f（x）＝﹣sinx≥0，即时，f（x）≥f（0）＝0，故D正确．
故选：ACD．
（多选）12．（5分）已知实数m，n满足，且，则（ ）
A．B．mn2＝1
C．D．
【解答】解：∵⇒me2m＝4n2ln2n⇒me2m＝（ln2n）e2ln2n，
⇒m＞0，f（x）＝xe2x在（0，+∞）上是增函数，
∴m＝ln2n⇒em＝2n，故A正确；
∴⇒，故B错误；
∵在（0，+∞）上是增函数，，，
∴由g（m）＝0得：，
∵在上是增函数，
∴，故C正确；
令，
则F（m）＝H′（m）＝em﹣2m，F′（m）＝em﹣2，
H′（m）在上是减函数，，
H（m）在上是增函数，，
又，，
∴，故D正确．
故选：ACD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）若，则a5＝ ﹣592 ．
【解答】解：（x2﹣2x+2）5表示5个因数（x2﹣2x+2）的乘积．而a5为展开式中x5的系数，
设这5个因数（x2﹣2x+2）中分别取x2、﹣2x、2这三项分别取i，j，k个，
所以i+j+k＝5，若要得到含x5的项，则由计数原理知i，j，k的取值情况如下表：
由上表可知．
故答案为：﹣592．
14．（5分）等差数列{an}中的a1，a2023是函数f（x）＝x3﹣6x2+4x﹣1的极值点，则lg8a1012＝ ．
【解答】解：由函数f（x）＝x3﹣6x2+4x﹣1，可得f′（x）＝3x2﹣12x+4，
因为a1，a2023是函数f（x）的极值点，
即a1，a2023是方程3x2﹣12x+4＝0的两个根，
可得a1+a2023＝4，
又由，
所以．
故答案为：．
15．（5分）已知点P是直线l1：mx﹣ny﹣5m+n＝0和l2：nx+my﹣5m﹣n＝0（m，n∈R，m2+n2≠0）的交点，点Q是圆C：（x+1）2+y2＝1上的动点，则|PQ|的最大值是 ．
【解答】解：因为直线l1：mx﹣ny﹣5m+n＝0，即m（x﹣5）﹣n（y﹣1）＝0，
令，解得，可知直线l1过定点A（5，1），
同理可知：直线l2过定点B（1，5），
又因为m×n+（﹣n）×m＝0，可知l1⊥l2，
所以直线l1与直线l2的交点P的轨迹是以AB的中点M（3，3），半径的圆，
因为圆C的圆心C（﹣1，0），半径R＝1，
所以|PQ|的最大值是．
故答案为：．
16．（5分）已知直线y＝x﹣2与双曲线C：的两条渐近线分别交于点A，B（不重合）线段AB的垂直平分线过点（4，0），则双曲线C的离心率为 ．
【解答】解：直线y＝x﹣2与线段AB的垂直平分线垂直，
则线段AB的垂直平分线的斜率为﹣1，
线段AB的垂直平分线过点（4，0），
线段AB的垂直平分线为：y＝﹣（x﹣4），即x+y﹣4＝0，
联立，解得：，
即AB的中点坐标为（3，1），
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则，两式作差可得，
∵AB的中点坐标为（3，1），AB的斜率为1，
∴x1+x2＝6，y1+y2＝2，，
则，
所以双曲线C的离心率．
故答案为：．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）（1）已知角α终边上一点P（﹣4，3），求的值；
（2）化简求值：．
【解答】解：（1）因为角α终边上一点P（﹣4，3），
所以，
所以
．
（2）

．
18．（12分）在△ABC中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a，b，c是公差为1的等差数列．
（1）若3sinC＝5sinA，求△ABC的面积；
（2）是否存在正整数a，使△ABC为钝角三角形？若存在，求a的值；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）由a，b，c是公差为1的等差数列，则a＝b﹣1，c＝b+1，
又3sinC＝5sinA，由正弦定理得：3c＝5a，
则3（b+1）＝5（b﹣1），解得b＝4，∴a＝3，c＝5，
故a2+b2﹣c2＝9+16﹣25＝0，所以△ABC为直角三角形，
∴；
（2）△ABC为钝角三角形，即c2＞a2+b2，
由a，b，c是公差为1的等差数列，得（a+2）2＞a2+（a+1）2⇒a＜3，显然a＝1，b＝2，c＝3，不能构成三角形，
当a＝2，b＝3，c＝4可构成三角形，此时．
19．（12分）已知a＞0且a≠1，函数f（x）＝lgax﹣x．
（1）若a＝e且，求函数f（x）的最值；
（2）若函数f（x）有两个零点，求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）当a＝e时，函数f（x）＝lgax﹣x＝lnx﹣x，
故，
当x∈（1，e）时，f′（x）＜0，故y＝f（x）在（1，e）单调减，
当时，f′（x）＞0，故y＝f（x）在单调增，
所以f（x）max＝f（1）＝﹣1，
又因为f（e）＝1﹣e，，
所以f（x）min＝f（e）＝1﹣e；
（2）因为函数f（x）有两个零点
故有两解，
所以方程有两个不同的解，
即为函数的图象与函数y＝lna的图象有两个不同的交点，
令，故，
当x∈（e，+∞）时，g′（x）＜0，故y＝g（x）在（e，+∞）单调减，
当x∈（0，e）时，g′（x）＞0，故y＝g（x）在（0，e）单调增，
如图所示：
而，所以，所以，
令，
因为h（1）＝﹣lna＜0，，
所以在（0，e）上有一个零点，
又当x→+∞时，g（x）→0，h（x）→﹣lna＜0，，
所以在（e，+∞）上有一个零点，
所以函数h（x）有两个零点，即当时，函数f（x）有两个零点．
所以a的取值范围为．
20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD＝2AB＝2BC＝2，O为AD中点．
（1）求证：PO⊥平面ABCD；
（2）求异面直线PB与CD所成角的大小．
【解答】解：（1）证明：由已知可得，PA＝PD，O为AD中点，
所以，PO⊥AD．
因为面PAD⊥底面ABCD，面PAD∩底面ABCD＝AD，PO⊂平面PAD，
所以，PO⊥平面ABCD．
（2）连接OC，因为AD＝2BC，O为AD中点，
所以OA＝BC＝1，．
又因为BC∥AD，所以四边形BCOA为平行四边形，
所以，OC∥AB，且OC＝AB＝1．
由已知AB⊥AD，所以OC⊥AD．
如图，建立空间直角坐标系，
则P（0，0，1），C（1，0，0），B（1，﹣1，0），D（0，1，0），
所以，，，
所以，cs，
所以，异面直线PB与CD所成角的余弦值为，大小为．
21．（12分）已知椭圆的两焦点分别为F1，F2，C的离心率为上有三点Q、R、S，直线QR、QS分别过F1，F2，△QRF2的周长为8．
（1）求C的方程；
（2）①若Q（0，b），求△QRS的面积；
②证明：当△QRS面积最大时，△QRS必定经过C的某个顶点．
【解答】解：（1）易知△QRF2的周长，
解得a＝2，
因为椭圆C的离心率为，
所以，
解得，
则b2＝a2﹣c2＝1，
故C的方程为；
（2）①由（1）知，，
所以直线QR的方程为，
联立，消去y并整理得，
解得，
由椭圆的对称性可得，
所以；
②证明：不妨设直线QR和直线QS的方程为，Q（x0，y0），R（x1，y1），S（x2，y2），
联立，消去x并整理得，
由韦达定理得，
同理得，
因为，
所以，
可得，
即；
同理可得，
即，
不妨设y0＞0，
此时，
则
，
因为，
所以，
不妨设，
下面证明，
因为，
整理得，
此时需证147x3﹣192x2+49x﹣4≤0，
即证，
因为的判别式小于等于0，
所以，
则，原命题得证．
故当△QRS面积最大时，△QRS必定经过C的上或下顶点．
22．（12分）在三维空间中，立方体的坐标可用三维坐标（a1，a2，a3）表示，其中ai∈{0，1}（1≤i≤3，i∈N）．而在n维空间中（n≥2，n∈N），以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为n维坐标（a1，a2，a3，⋯⋯，an），其中ai∈{0，1}（1≤i≤n，i∈N）．现有如下定义：在n维空间中两点间的曼哈顿距离为两点（a1，a2，a3，⋯⋯，an）与（b1，b2，b3，⋯⋯，bn）坐标差的绝对值之和，即为|a1﹣b1|+|a2﹣b2|+|a3﹣b3|+⋯⋯+|an﹣bn|．回答下列问题：
（1）求出n维“立方体”的顶点数；
（2）在n维“立方体”中任取两个不同顶点，记随机变量X为所取两点间的曼哈顿距离
①求出X的分布列与期望；
②证明：在n足够大时，随机变量X的方差小于0.25n2．
（已知对于正态分布X～N（μ，σ2），P随X变化关系可表示为）
【解答】解：（1）对于n维坐标（a1，a2，a3，⋯⋯，an）有{0，1}两种选择（1≤i≤n，i∈N），
所以共有2n种选择，
即共有2n个顶点；
（2）①对于X＝k的随机变量，在坐标（a1，a2，a3，⋯⋯，an）与（b1，b2，b3，⋯⋯，bn）中有k个坐标值不同，
即ai≠bi，剩下n﹣k个坐标值满足ai＝bi，
此时所对应情况数为种，
所以，
则X的分布列为：
所以，
倒序相加得，
故；
②证明：当n足够大时，，
设正态分布，正态分布曲线为f（x），
因为该正态分布期望为，方差为，
不妨设分布列所形成的曲线为g（x），
所以函数g（x）与f（x）均在处取最大值，
当，且g（∞）＜f（∞）时，
此时可认为方差，
若g（∞）＜f（∞），
当x→+∞时，，
所以g（∞）＜f（∞）；
若 ，
当n足够大时，，
当n＝2k（k∈N）时，，
当n＝2k+1（k∈N）时，，
所以．
综上所述，可以认为．
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﹣2x
2
i个
j个
k个
0
5
0
1
3
1
2
1
2
X
0
1
2
…
n
P



…