2023-2024学年江苏省盐城市、南京市高三（上）期末调研数学试卷

这是一份2023-2024学年江苏省盐城市、南京市高三（上）期末调研数学试卷，共16页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）（2i）（2i）＝（ ）
A．5B．﹣1C．1D．7
2．（5分）已知集合A＝{0，1，2}，B＝{x|y＝lg（﹣x2+2x）}，则A∩B＝（ ）
A．{0，1，2}B．{1}C．{0}D．（0，2）
3．（5分）已知x＞0，y＞0（x，y∈R），则“x+y≥2”是“xy≥1”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
4．（5分）下列函数中是偶函数的是（ ）
A．y＝ex+e﹣xB．y＝ex﹣e﹣x
C．yD．y＝（ex+e﹣x）（ex﹣e﹣x）
5．（5分）从4位男同学、5位女同学中选出3位同学，男女生都要有的选法有（ ）
A．140种B．44种C．70种D．252种
6．（5分）已知反比例函数y（k≠0）的图象是双曲线，其两条渐近线为x轴和y轴，两条渐近线的夹角为，将双曲线绕其中心旋转可使其渐近线变为直线y＝±x，由此可求得其离心率为．已知函数yx的图象也是双曲线，其两条渐近线为直线yx和y轴，则该双曲线的离心率是（ ）
A．B．2C．D．
7．（5分）已知直线l与椭圆在第二象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，若|AM|＝|BN|，则l的倾斜角是（ ）
A．B．C．D．
8．（5分）平面向量，，满足||＝||•2，||＝1，则（）•（）的最小值是（ ）
A．﹣3B．C．D．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
（多选）9．（5分）《中华人民共和国国民经济和社会发展第十四个五年规划和2035年远景目标纲要》中明确提出要创新实施文化惠民工程，提升基层综合性文化服务中心功能，广泛开展群众性文化活动．某乡镇为了考核甲、乙两村的文化惠民工程，在两村的村民中进行满意度测评，满分100分，规定：得分不低于80分的为“高度满意”，得分低于60分的为“不满意”．经统计发现甲村的评分X和乙村的评分Y都近似服从正态分布，其中X～N（70，σ12），Y～N（75，σ22），0＜σ1＜σ2，则（ ）
A．X对应的正态曲线比Y对应的正态曲线更扁平
B．甲村的平均分低于乙村的平均分
C．甲村的高度满意率与不满意率相等
D．乙村的高度满意率比不满意率大
（多选）10．（5分）已知{an}是等比数列，Sn是其前n项和，满足a3＝2a1+a2，则下列说法中正确的有（ ）
A．若{an}是正项数列，则{an}是单调递增数列
B．Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n一定是等比数列
C．若存在M＞0，使|an|≤M对n⊆N*那成立，则{|an|}是等差数列
D．若存在M＞0，使|an|≤M对n∈N*都成立，则{Sn}是等差数列
（多选）11．（5分）设M，N，P为函数f（x）＝Asin（ωx+φ）图象上三点，其中A＞0，ω＞0，，已知M，N是函数f（x）的图象与x轴相邻的两个交点，P是图象在M，N之间的最高点，若．△MNP的面积是，M点的坐标是，则（ ）
A．
B．
C．
D．函数f（x）在M，N间的图象上存在点Q，使得
（多选）12．（5分）在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD＝CD＝2，四棱锥P﹣ABCD的外接球为球O，则（ ）
A．AB⊥BC
B．VP﹣ABCD＞2VP﹣ACD
C．VP﹣ABCD＝2VO﹣ABCD
D．点O不可能在平面PBC内
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）满足f（xy）＝f（x）+f（y）的函数f（x）可以为f（x）＝ ．（写出一个即可）
14．（5分）计算tan ．
15．（5分）抛物线有一条重要性质：从焦点出发的光线，经过抛物线上一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴．已知点F为抛物线C：y2＝2px（p＞1）的焦点，从点F出发的光线经抛物线上一点反射后，反射光线经过点（10，1），若入射光线和反射光线所在直线都与圆E：（x）2+y2＝1相切，则p的值是 ．
16．（5分）若数列{an}满足a1＝a2＝1，，则a100＝ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）
17．（10分）设数列{an}的前n项和为Sn，an+Sn＝1．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）数列{bn}满足anbn＝cs，求{bn}的前50项和T50．
18．（12分）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，AB＝AA1＝2，∠A1AB，侧面CDD1C1⊥底面ABCD．
（1）求证：平面A1BC⊥平面CDD1C1；
（2）求直线AB1和平面A1BC1所成角的正弦值．
19．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且ctanB＝（2a﹣c）tanC．
（1）求角B的大小；
（2）若点D在边AC上，BD平分∠ABC，b＝2，求BD长的最大值．
20．（12分）春节临近，为了吸引顾客，我市某大型商超策划了抽奖活动，计划如下：有A、B、C三个抽奖项目，它们之间相互不影响，每个项目每位顾客至多参加一次，项目A中奖的概率是，项目B和C中奖的概率都是．
（1）若规定每位参加活动的顾客需要依次参加A、B、C三个项目，如果A、B、C三个项目全部中奖，顾客将获得100元奖券；如果仅有两个项目中奖，他将获得50元奖券；否则就没有奖券，求每位顾客获得奖券金额的期望；
（2）若规定每位顾客等可能地参加三个项目中的一个项目．已知某顾客中奖了，求他参加的是A项目的概率．
21．（12分）已知函数，m∈R．
（1）当m＝1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）的图象与x轴相切，求证：1+ln2＜m＜2+ln6．
22．（12分）已知双曲线C：1（a＞0，b＞0）的两个焦点是F1，F2，顶点A（0，﹣2），点M是双曲线C上一个动点，且|的最小值是8．
（1）求双曲线C的方程；
（2）设点P是y轴上异于C的顶点和坐标原点O的一个定点，直线l过点P且平行于x轴，直线m过点P且与双曲线C交于B，D两点，直线AB，AD分别与直线l交于G，H两点．若O，A，G，H四点共圆，求点P的坐标．
2023-2024学年江苏省盐城市、南京市高三（上）期末调研数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）（2i）（2i）＝（ ）
A．5B．﹣1C．1D．7
【解答】解：原式＝4+3＝7．
故选：D．
2．（5分）已知集合A＝{0，1，2}，B＝{x|y＝lg（﹣x2+2x）}，则A∩B＝（ ）
A．{0，1，2}B．{1}C．{0}D．（0，2）
【解答】解：由题意得，﹣x2+2x＞0，解得0＜x＜2，即B＝（0，2），
所以A∩B＝{1}．
故选：B．
3．（5分）已知x＞0，y＞0（x，y∈R），则“x+y≥2”是“xy≥1”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【解答】解：当x＝0，01，y＝2时，满足x+y≥2，但xy≥1不成立，即充分性不成立，
当xy≥1时，x+y≥22，即必要性成立，
即“x+y≥2”是“xy≥1”的必要不充分条件，
故选：B．
4．（5分）下列函数中是偶函数的是（ ）
A．y＝ex+e﹣xB．y＝ex﹣e﹣x
C．yD．y＝（ex+e﹣x）（ex﹣e﹣x）
【解答】解：A：定义域为R，f（﹣x）＝e﹣x+ex＝f（x），即f（x）为偶函数，A正确；
B：定义域为R，f（﹣x）＝e﹣x﹣ex＝﹣f（x），即f（x）为奇函数，B错误；
C：定义域{x|x≠0}，f（﹣x）f（x），即f（x）为奇函数，C错误；
D：定义域为R，f（﹣x）＝（ex+e﹣x）（e﹣x﹣ex）＝﹣f（x），即f（x）为奇函数，D错误．
故选：A．
5．（5分）从4位男同学、5位女同学中选出3位同学，男女生都要有的选法有（ ）
A．140种B．44种C．70种D．252种
【解答】解：男女生都要有的选法有种．
故选：C．
6．（5分）已知反比例函数y（k≠0）的图象是双曲线，其两条渐近线为x轴和y轴，两条渐近线的夹角为，将双曲线绕其中心旋转可使其渐近线变为直线y＝±x，由此可求得其离心率为．已知函数yx的图象也是双曲线，其两条渐近线为直线yx和y轴，则该双曲线的离心率是（ ）
A．B．2C．D．
【解答】解：∵渐近线yx的斜率为，∴该渐近线的倾斜角为，
∴两条渐近线yx和y轴的夹角为，
∴将双曲线yx的图象绕其中心旋转可使其渐近线变为直线yx，
∴，
∴该双曲线的离心率是．
故选：C．
7．（5分）已知直线l与椭圆在第二象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，若|AM|＝|BN|，则l的倾斜角是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：设AB的中点为E，由题意知，点E既是AB的中点又是MN的中点，
设l：y＝kx+b（k＞0，b＞0），设A（x1，y1），B（x2，y2），
由x＝0，可得y＝b，由y＝0，可得x，
则，M（，0），N（0，b），E（，）；
直线l与椭圆在第二象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且|AM|＝|BN|，
故MN的中点与AB的中点重合，
把直线代入椭圆方程得，
即，
故，
故．解得，从而．
故选：A．
8．（5分）平面向量，，满足||＝||•2，||＝1，则（）•（）的最小值是（ ）
A．﹣3B．C．D．
【解答】解：设，
由||＝1，
则，
则（）•（），
又||＝||•2，
则，
则，
则（）•（），
即（）•（）的最小值是．
故选：B．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
（多选）9．（5分）《中华人民共和国国民经济和社会发展第十四个五年规划和2035年远景目标纲要》中明确提出要创新实施文化惠民工程，提升基层综合性文化服务中心功能，广泛开展群众性文化活动．某乡镇为了考核甲、乙两村的文化惠民工程，在两村的村民中进行满意度测评，满分100分，规定：得分不低于80分的为“高度满意”，得分低于60分的为“不满意”．经统计发现甲村的评分X和乙村的评分Y都近似服从正态分布，其中X～N（70，σ12），Y～N（75，σ22），0＜σ1＜σ2，则（ ）
A．X对应的正态曲线比Y对应的正态曲线更扁平
B．甲村的平均分低于乙村的平均分
C．甲村的高度满意率与不满意率相等
D．乙村的高度满意率比不满意率大
【解答】解：X～N（70，σ12），Y～N（75，σ22），0＜σ1＜σ2，
故Y对应的正态曲线比X对应的正态曲线更扁平，故A错误；
甲村的平均分为70，乙村的平均分为75，
故甲村的平均分低于乙村的平均分，故B正确；
X～N（70，σ12），得分不低于80分的为“高度满意”，得分低于60分的为“不满意”，
由正态分布的对称性可知，甲村的高度满意率与不满意率相等，故C正确；
Y～N（75，σ22），得分不低于80分的为“高度满意”，得分低于60分的为“不满意”，
由正态分布的对称性可知，乙村的高度满意率比不满意率大，故D正确．
故选：BCD．
（多选）10．（5分）已知{an}是等比数列，Sn是其前n项和，满足a3＝2a1+a2，则下列说法中正确的有（ ）
A．若{an}是正项数列，则{an}是单调递增数列
B．Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n一定是等比数列
C．若存在M＞0，使|an|≤M对n⊆N*那成立，则{|an|}是等差数列
D．若存在M＞0，使|an|≤M对n∈N*都成立，则{Sn}是等差数列
【解答】解：根据题意，{an}是等比数列，设其公比为q，
若a3＝2a1+a2，则有q2＝q+2，解可得q＝﹣1或q＝2，
依次分析选项：
对于A，若{an}是正项数列，则 a1＞0 q＝2，A正确；
对于B，当q＝﹣1且n为偶数时，Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n均为0，B错误；
对于C，若存在M＞0，使|an|≤M对n∈N*都成立，则q＝﹣1，此时|an|＝|a1|为常数，C正确；
对于D，当n为偶数时，Sn＝0 当n为奇数时，Sn＝a1≠0，D错误．
故选：AC．
（多选）11．（5分）设M，N，P为函数f（x）＝Asin（ωx+φ）图象上三点，其中A＞0，ω＞0，，已知M，N是函数f（x）的图象与x轴相邻的两个交点，P是图象在M，N之间的最高点，若．△MNP的面积是，M点的坐标是，则（ ）
A．
B．
C．
D．函数f（x）在M，N间的图象上存在点Q，使得
【解答】解：如图，
对于AB，由图有，
所以，
而，故，A错误、B正确；
对于C，因为M点的坐标是，则（k∈Z），而，故，C正确；
地图D，显然，函数f（x）的图象有一部分位于以MN为直径的圆内，当Q位于以MN为直径的圆内时，，D正确．
故选：BCD．
（多选）12．（5分）在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD＝CD＝2，四棱锥P﹣ABCD的外接球为球O，则（ ）
A．AB⊥BC
B．VP﹣ABCD＞2VP﹣ACD
C．VP﹣ABCD＝2VO﹣ABCD
D．点O不可能在平面PBC内
【解答】解：对于A，因为四棱锥P﹣ABCD有外接球，所以四边形ABCD为圆内接四边形，
因此∠ADC+∠ABC＝180°，结合AD⊥CD，得AB⊥BC，故A正确；
对于B，由于AD＝CD＝2，当底面ABCD为正方形时，
S正方形ABCD＝2S△ACD，此时VP﹣ABCD＝2VP﹣ACD，故B不正确；
对于C，因为四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，
所以外接球的球心O到平面ABCD的距离等于P到平面ABCD的距离的一半，
因此可得VP﹣ABCD＝2VO﹣ABCD，故C正确；
对于D，当底面ABCD为正方形时，外接球的球心O恰好是PB的中点，点O可能在平面PBC内，故D不正确．
故选：AC．
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）满足f（xy）＝f（x）+f（y）的函数f（x）可以为f（x）＝ lgx ．（写出一个即可）
【解答】解：满足f（xy）＝f（x）+f（y）的函数f（x）可以为f（x）＝lgx．
故答案为：lgx（答案不唯一）．
14．（5分）计算tan ﹣2 ．
【解答】解：tan2．
故答案为：﹣2．
15．（5分）抛物线有一条重要性质：从焦点出发的光线，经过抛物线上一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴．已知点F为抛物线C：y2＝2px（p＞1）的焦点，从点F出发的光线经抛物线上一点反射后，反射光线经过点（10，1），若入射光线和反射光线所在直线都与圆E：（x）2+y2＝1相切，则p的值是 ．
【解答】解：当y＝1时，，故入射光线经过和，k，
故入射光线的方程为，
化简得2px+（p2﹣1）y﹣p2＝0，圆心为，半径为r＝1，
所以，
而p＞1，故6p2﹣11p+3＝0，即（2p﹣3）（3p﹣1）＝0，
解得．
故答案为：．
16．（5分）若数列{an}满足a1＝a2＝1，，则a100＝ 3268 ．
【解答】解：由已知可得，
两式作差得：an+3﹣an＝2n+1，即an+3＝an+2n+1，
故a100＝a97+2×97+1＝a94+2×94+1+2×97+1
＝…＝1+（2×1+1）+（2×4+1）+...+（2×97+1）
＝2×（1+4+…+97）+34＝234＝3268．
故答案为：3268．
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）
17．（10分）设数列{an}的前n项和为Sn，an+Sn＝1．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）数列{bn}满足anbn＝cs，求{bn}的前50项和T50．
【解答】解：（1）由题意，当n＝1时，
a1+S1＝a1+a1＝2a1＝1，解得a1，
当n≥2时，由an+Sn＝1，
可得an﹣1+Sn﹣1＝1，
两式相减，可得an﹣an﹣1+an＝0，
化简整理，得anan﹣1，
∴数列{an}是以为首项，为公比的等比数列，
∴an•（）n﹣1，n∈N*．
（2）由题意及（1），
可得bn2n•cs，
∵cs，k∈N*，
∴bn，k∈N*，
∴T50＝b1+b2+b3+b4+b5+b6+b7+b8+…+b45+b46+b47+b48+b49+b50
＝0﹣22+0+24+0﹣26+0+28+…+0﹣246+0+248+0﹣250
＝（24﹣22）+（28﹣26）+…+（248﹣246）﹣250
＝22•（22﹣1）+26•（22﹣1）+…+246•（22﹣1）﹣250
＝3•（22+26+…+246）﹣250
＝3•250
•（250+1）．
18．（12分）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，AB＝AA1＝2，∠A1AB，侧面CDD1C1⊥底面ABCD．
（1）求证：平面A1BC⊥平面CDD1C1；
（2）求直线AB1和平面A1BC1所成角的正弦值．
【解答】（1）证明：因为底面ABCD为正方形，
所以BC⊥CD，
又侧面CDD1C1⊥底面ABCD，面CDD1C1∩面ABCD＝CD，且BC⊂平面ABCD，
所以BC⊥平面CDD1C1，又因为BC⊂平面A1BC，
所以平面A1BC⊥平面CDD1C1；
（2）解：因为，连接CD1，
则△CDD1为正三角形，取CD中点O，则DlO⊥CD，
又BC⊥平面CDD1C1，D1O⊂平面CDD1C1，
所以D1O⊥BC，又CD∩BC＝C，
所以D1O⊥底面ABCD，过点O作OM∥BC交AB于M，
则以O为原点，建立如图所示空间直角坐标系O﹣xyz，
则，
所以．
设平面A1BC1的法向量，
所以
令z＝1，则，可得平面A1BC1的法向量．
所以，
故直线AB1和平面A1BC1所成角的正弦值为．
19．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且ctanB＝（2a﹣c）tanC．
（1）求角B的大小；
（2）若点D在边AC上，BD平分∠ABC，b＝2，求BD长的最大值．
【解答】解：（1）因为ctanB＝（2a﹣c）tanC，
由正弦定理得：，
由sinC＞0，得sinBcsC＝2sinAcsB﹣sinCcsB，
所以sinBcsC+csBsinC＝2sinAcsB，
即sin（B+C）＝2sinAcsB，
因为B+C+A＝π，所以sinA＝2sinAcsB，
又sinA＞0，所以．
因为0＜B＜π，所以；
（2）由S△ABD+S△CBD＝S△ABC，
得，
所以，
在△ABC中，由余弦定理得：AB2+BC2﹣AB×BC＝12，
所以，从而，当且仅当AB＝BC取等号．
则，当且仅当取等号，
则BD长的最大值为3．
20．（12分）春节临近，为了吸引顾客，我市某大型商超策划了抽奖活动，计划如下：有A、B、C三个抽奖项目，它们之间相互不影响，每个项目每位顾客至多参加一次，项目A中奖的概率是，项目B和C中奖的概率都是．
（1）若规定每位参加活动的顾客需要依次参加A、B、C三个项目，如果A、B、C三个项目全部中奖，顾客将获得100元奖券；如果仅有两个项目中奖，他将获得50元奖券；否则就没有奖券，求每位顾客获得奖券金额的期望；
（2）若规定每位顾客等可能地参加三个项目中的一个项目．已知某顾客中奖了，求他参加的是A项目的概率．
【解答】解：（1）设一位顾客获得X元奖券，X可能取值为0，50，100，
，
P（X＝50），
P（X＝100），
所以每位顾客获得奖券金额的期望是E（X）＝1005016元．
（2）设“该顾客中奖”为事件M，参加项目A，B，C分别记为事件N1，N2，N3，
则P（M），
所以，
即已知某顾客中奖了，则他参加的是A项目的概率是．
21．（12分）已知函数，m∈R．
（1）当m＝1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）的图象与x轴相切，求证：1+ln2＜m＜2+ln6．
【解答】（1）解：当 m＝1时，f（x）＝ex﹣1的定义域为（0，+∞），
f′（x）＝ex﹣1，
又f′（1）＝0，y＝x2ex﹣1+lnx﹣1 在（0，+∞）上单调递增，
所以当x∈（0，1）时，f′（x）＜0；当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，
所以 f（x）单调递减区间为（0，1），单调递增区间为 （1，+∞）．
（2）证明：设函数f（x）的图象与x轴相切于点P（x0，0），
则，即，
所以lnx00，
设h（x）＝lnx，则h（x）在 （0，+∞）上单调递增且图象不间断，
又h（1）＜0，h（2）＞0，所以x0∈（1，2），
由 0，得em，
又因为 ，所以 ，则em＝x0（x0+1），
所以 m＝ln（x0+1）+x0+lnx0∈（1+ln2，2+ln6）．
22．（12分）已知双曲线C：1（a＞0，b＞0）的两个焦点是F1，F2，顶点A（0，﹣2），点M是双曲线C上一个动点，且|的最小值是8．
（1）求双曲线C的方程；
（2）设点P是y轴上异于C的顶点和坐标原点O的一个定点，直线l过点P且平行于x轴，直线m过点P且与双曲线C交于B，D两点，直线AB，AD分别与直线l交于G，H两点．若O，A，G，H四点共圆，求点P的坐标．
【解答】解：（1）因为双曲线C的顶点A（0，﹣2），
所以a＝2，
此时双曲线C的方程为，
不妨设M（x，y），F1（0，﹣c），F2（0，c），c＞0，
此时|[x2+（y+c）2]﹣[x2+（y﹣c）2]＝4c|y|≥4ac＝8c，
当且仅当y＝±a时，等号成立，
则|的最小值为，
解得，
则b2＝c2﹣a2＝5﹣4＝1，
故双曲线C的方程为；
（2）不妨设P（0，t），t≠0，t≠±2，
此时直线l的方程为y＝t，
不妨设直线BD的方程为y＝kx+t，k≠±2，B（x1，y1），D（x2，y2），
联立，消去y并整理得（k2﹣4）x2+2ktx+t2﹣4＝0，
此时Δ＞0，
由韦达定理得，，
不妨设直线AB的倾斜角为α，直线OH的倾斜角为β，
所以或，
则直线AB的斜率与直线OH的斜率满足kABkOH＝1，
因为直线AD的方程为，
所以，
此时，
又，
所以1，
因为，，
整理得5t2+8t﹣4＝0，
解得或t＝﹣2（舍去），
故．
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