福建省莆田第十中学2022-2023学年高二下学期3月月考数学试卷(含答案)

这是一份福建省莆田第十中学2022-2023学年高二下学期3月月考数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．下列导数运算正确的是( )
A.B.C.D.
2．甲,乙两人下棋,和棋的概率为40%,甲获胜的概率为40%,则甲不输的概率为( )
A.80%B.60%C.40%D.10%
3．设等差数列的前n项和为,若,,则等于( )
A.9B.11C.13D.25
4．若双曲线的右焦点与抛物线重合,则( )
A.2B.C.1D.
5．数列的前n项和为,则数列的前n项和为( )
A.B.C.D.
6．南宋数学家杨辉的重要著作《详解九章算法》中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列.以高阶等差数列中的二阶等差数列为例,其特点是从数列中的第二项开始,每一项与前一项的差构成等差数列.若某个二阶等差数列的前4项为:2,3,6,11,则该数列的第15项为( )
A.196B.197C.198D.199
7．若函数在区间内存在单调递减区间,则实数a的取值范围是( )
A.B.C.D.
8．与已知点M与点N分别在函数图像上,则的最小值为( )
A.B.C.D.1
二、多项选择题
9．已知空间向量,,,则( )
A.B.,,是共面向量
C.D.
10．对于函数,下列说法正确的有( )
A.在处取得极大值B.在处取得最大值
C.有两个不同零点D.
11．设d,分别为等差数列的公差与前n项和,若,则下列论断中正确的有( )
A.当时,取最大值B.当时,
C.当时,D.当时,
12．已知,函数,则( )
A.对任意a,b,存在唯一极值点
B.对任意a,b,曲线过原点的切线有两条
C.当时,存在零点
D.当时,的最小值为1
三、填空题
13．抛掷两枚质地均匀的骰子,则两个点数相等的概率是______.
14．已知函数的导函数为,且,则___________.
15．已知数列的前n项和为,,,且,则______.
16．已知实数a,b满足,则的取值范围是___________.
四、解答题
17．已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程.
（2）求在区间上的最大值和最小值.
18．已知数列是等差数列,其中,且.
（1）求数列的通项公式;
（2）设,求数列的前n项和.
19．如图,四棱锥中,底面ABCD为直角梯形,,,平面ABCD,,,M为PC的中点.
（1）求证:平面平面PCD;
（2）若,求直线PB与面PCD所成角的正弦值.
20．已知数列的前n项和为,且满足.
（1）求数列的通项公式:
（2）设为数列的前项和,求大于的最小的整数k.
21．已知椭圆的离心率为,C上的点到其焦点的最大距离为.
（1）求C的方程;
（2）若圆的切线l与C交于点A,B,求的最大值.
22．设函数.
（1）求函数的单调区间;
（2）若方程有两个不相等的实数根,,证明:.
参考答案
1．答案：C
解析：对于A,,故A错;
对于B,,故B错;
对于C,,故C正确;
对于D,,故D错.
故选:C.
2．答案：A
解析：由题意可得,甲不输的情况有:和棋或获胜两种,
故其不输的概率为:.
故选:A.
3．答案：B
解析：设公差为d,,
因为,
,
所以,
故选:B.
4．答案：D
解析：由题知,双曲线焦点在x轴上,其中,
圆,其中圆心为,半径为1,
所以渐近线为,其中一条为,即,
因为双曲线的渐近线与圆相切,
所以,解得,
故选:D
5．答案：D
解析：依题意,设数列的前n项和为,即,
当时,,
当时,由得,
两式相减得,
也符合上式,所以,
,所以数列是等比数列,首项为2,公比为3.
所以数列是首项为,公比为的等比数列,
所以数列的前n项和为.
故选:D
6．答案：C
解析：若某个二阶等差数列的前4项为:2,3,6,11,
即,,,,
可知,,,…,,
累加即可得到,
则,则
故选:C.
7．答案：A
解析：函数的定义域是,
.
当时,,在上单调递增,不符合题意.
当时,由解得(负根舍去),
所以在区间,,递增;
在区间,,递减,
依题意,函数在区间内存在单调递减区间,
所以,解得,
所以a的取值范围是.
故选:A
8．答案：A
解析：设,则当时,.
因为(当且仅当时,取等号),所以,
于是在单调递增,所以,可得.
设,则当时,,
所以在单调递减,所以,可得.
综上,.
故选:A.
9．答案：ABC
解析：,A项正确;
设,即,解得,,
即,所以,,共面,B项正确;
,所以,C项正确;
,D项错误.
故选:ABC.
10．答案：ABD
解析：函数的导数,
令得,
则当时,,函数为增函数,
当时,,函数为减函数,
则当时,函数取得极大值,极大值为,
故A正确,
由上述可知当时,函数的极大值即为最大值,且最大值为,
故B正确,
由,得,得,即函数只有一个零点,
故C错误,
由,,
所以,
由时,函数为减函数,知,
故成立,
故D正确.
故选:ABD.
11．答案：BCD
解析：设等差数列的首项为,则
由,得,解得,
所以,
当时,当时,取最小值;当时,当时,取最大值;故A错误;
当时,,故B正确;
当时,,故C正确;
当时,,,
所以,故D正确.
故选:BCD.
12．答案：ABD
解析：对于A,由已知,函数,可得,
令,,
则即在R上单调递增,
令,则,
当时,作出函数,的大致图象如图:
当时,作出函数,的大致图象如图:
可知,的图象总有一个交点,即总有一个根,
当时,;当时,,
此时存在唯一极小值点,A正确;
对于B,由于,故原点不在曲线上,且,
设切点为,,则,
即,即,
令,,
当时,,在上单调递减,
当时,,在上单调递增,
故,
当时,的值趋近于0,趋近于无穷大,故趋近于正无穷大,
当时,的值趋近于正无穷大,趋近于无穷大,故趋近于正无穷大,
故在和上各有一个零点,即有两个解,
故对任意a,b,曲线过原点的切线有两条,B正确;
对于C,当时,,,
故,该函数为R上单调增函数,,
故,使得,即,
结合A的分析可知,的极小值也即最小值为,
令,则,且为增函数,
当时,,当且仅当时取等号,
故当时,,则在上单调递增,
故,令,则,,
此时的最小值为,无零点,C错误;
对于D,当时,为偶函数,考虑视情况;
此时,,
结合A的分析可知在R上单调递增,,
故时,,则在上单调递增,
故在上单调递减,为偶函数,
故,D正确,
故选:ABD
13．答案：
解析：抛掷两枚质地均匀的骰子,所有基本事件为:,,,…,,共有36种;
两个点数相等的基本事件为:,,,,,,共有6种,
所以两个点数相等的概率是.
故答案为:.
14．答案：
解析：因为,则
令,则,即
故答案为:
15．答案：3
解析：由题意,,,
,,,
所以数列是周期数列,周期为6,
所以.
故答案为:3.
16．答案：
解析：因为,
所以,
设,则,
所以函数在上单调递增,
所以,
所以,,
设,,
则,
当时,,函数在上单调递增,
当时,,函数在上单调递减,
又,,
当时,,当时,,
当时,,当且时,,
所以函数的值域为,
所以的取值范围为.
故答案为:.
17．答案：（1）
（2）最大值为12,最小值为
解析：（1）由已知,
则,
所以曲线在点处的切线方程为,
即;
（2）令,得或,
令,得,
所以在上单调递减,在上单调递增,
又,,,
所以在区间上的最大值为12,最小值为.
18．答案：（1）;
（2）.
解析：（1）设数列的公差为d,
由题设,,可得,
所以的通项公式为.
（2）由（1）知:,
所以,
所以.
19．答案：（1）证明见解析;
（2）.
解析：（1）在直角梯形ABCD中,,,则,而,,
于是,,
有,则,因为平面ABCD,平面ABCD,
即有,而,AC,平面PAC,因此平面PAC,又平面PCD,
所以平面平面PCD.
（2）M为PC的中点,,则,
以A为原点,射线AB,AD,AP分别为x,y,z轴的非负半轴,建立空间直角坐标系,如图,
则,,,,,,,
设平面AMB的法向量,则,令,得,
显然平面PAB的一个法向量为,则,
而二面角的平面角为锐角,
所以二面角的余弦值为.
20．答案：（1）;
（2）.
解析：（1）①
时,②
①-②得,,
当时,,满足上式,
故;
（2）由（1）得:,
③,
两边同乘以得:④
③-④得:
,,.
21．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为C的离心率为,所以.
因为C上的点到其焦点的最大距离为,
所以,解得,.
因为,所以,故C的方程为.
（2）当l的斜率不存在时,可得.
当时,可得,,则.
当时,同理可得.
当l的斜率存在时,设.
因为l与圆相切,所以圆心到l的距离为,
即.
联立得.
设,,则,.
.
令,
则,
当且仅当,即时,等号成立.
因为,所以的最大值为.
22．答案：（1）当时,函数的单调增区间为;
当时,单调增区间为,单调减区间为.
（2）证明见解析
解析：（1）因为,则.
当时,,函数在上单调递增,
此时函数的单调增区间为.
当时,由,得;由,得,
所以函数的单调增区间为,单调减区间为.
（2）因为,是方程的两个不等实根,由（1）知.
不妨设,则,,
两式相减得.
所以.因为,
当时,,当时,,
要证原命题成立,只需证即可,即证明,
即证明,
即证明.设.
令,则.
因为,所以,在上是增函数,故,
所以当时,总成立.所以原题得证.