2022-2023学年福建省莆田第十五中学高二下学期期中测试数学试题含答案

2022-2023学年福建省莆田第十五中学高二下学期期中测试数学试题

一、单选题

1．在空间直角坐标系中，与点关于平面对称的点为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据空间直角坐标系的对称点坐标特点直接求解即可.

【详解】解：因为点，则其关于平面对称的点为.

故选：A.

2．如图是函数的导函数的图象，则下面判断正确的是（    ）

A．在区间上是增函数 B．在上是减函数

C．当时，取极大值 D．在上是增函数

【答案】D

【分析】根据导函数的图象与原函数的单调性与极值之间的关系，逐项判定，即可求解.

【详解】  

由导函数的图象可得，

当时，，函数单调递减，所以A不正确；

当时，，函数单调递增，所以B不正确；

当时，,函数单调递减，当时，，函数单调递增，

所以是函数的极小值点，为极小值，所以C不正确；

当时，，函数单调递增，所以D正确，

故选：D.

3．直线的方向向量，直线的方向向量，则不重合直线与的位置关系是（    ）

A．相交 B．平行 C．垂直 D．不能确定

【答案】B

【分析】根据向量的关系，判断直线的位置关系.

【详解】因为，所以，

所以直线与平行.

故选：B

4．如图，直三棱柱中，若，，，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由空间向量的线性运算求解．

【详解】因为三棱柱是直三棱柱，

所以四边形是平行四边形，故，

所以．

故选：D．

5．已知盒中装有大小形状完全相同的3个红球、2个白球、5个黑球.甲每次从中任取一球且不放回，则在他第一次拿到的是红球的前提下，第二次拿到白球的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】设“第一次拿到的是红球”为事件A,“第二次拿到白球”为事件B，分别计算出，的值，由条件概率公式可得，可得答案.

【详解】解：设“第一次拿到的是红球”为事件A,“第二次拿到白球”为事件B，

可得：，,

则所求事件的概率为：,

故选：D.

【点睛】本题主要考查条件概率与独立事件的计算，属于条件概率的计算公式是解题的关键.

6．若函数为增函数，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】求出函数的导数，恒成立,分离参数得到恒成立，结合基本不等式即可求得答案.

【详解】由题意可知：恒成立，

即恒成立，

因为 ，故，当且仅当 时取等号，

故，

故选：C

7．一袋中装有10个球，其中3个黑球、7个白球，从中先后随意各取一球(不放回)，则第二次取到的是黑球的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】设事件：表示第1次取到黑球，事件：表示第1次取到白球，事件：表示第2次取到黑球，结合，即可求解.

【详解】设事件：表示第1次取到黑球，事件：表示第1次取到白球，

事件：表示第2次取到黑球，可得，

则.

故选：B.

8．函数，若关于的方程恰有四个不同的实数根，则实数范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】作出函数，关于的方程恰有四个不同的实数根，

等价于或与图像有四个不同交点，根据图像判断即可.

【详解】作出函数的图像如下所示，当，时，，所以时递增，

当时递减，所以当时，

在处取最大值为：（如下图所示平行于直线）；

因为，即，解得或，

当时，观察图像易知此时只有一个交点，即有一个根，

要使关于的方程恰有四个不同的实数根，

则需要与图像有三个不同交点，只需要，即.

故选：D.

二、多选题

9．下列运算正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BC

【分析】利用基本初等函数的导数公式可判断AC选项，利用复合函数的求导法则可判断BD选项.

【详解】，，，

，故AD错误，BC正确.

故选：BC.

10．已知为直线l的方向向量,分别为平面,的法向量（,不重合）,那么下列说法中正确的有（    ）．

A． B．

C． D．

【答案】AB

【分析】根据法线面垂直平行的性质及法向量、方向向量的概念即可选出选项.

【详解】解:若,因为,不重合,所以,

若,则共线,即,故选项A正确;

若,则平面与平面所成角为直角,故,

若,则有,故选项B正确;

若,则,故选项C错误;

若,则或,故选项D错误.

故选:AB

11．如图，在棱长为2的正方体中，E为的中点F为的中点，如图建系，则下列说法正确的有（    ）

A． B．向量与所成角的余弦值为

C．平面的一个法向量是 D．点D到直线的距离为

【答案】BCD

【分析】A选项，利用空间向量表示出，进而求出；B选项，利用空间向量夹角公式求解；C选项，利用数量积为0进行证明线线垂直，进而得到答案；D选项，利用点到直线的空间向量公式进行求解.

【详解】，，，，所以，所以，故，A错误；

，B正确；

设，则，，而，所以平面的一个法向量是，C正确；

，，则，所以，故点D到直线的距离为，故D正确.

故选：BCD

12．已知函数，则（    ）

A．和0是函数的极值点

B．在上单调递增

C．的极大值为

D．的极小值为

【答案】ACD

【分析】先求导，再求出函数的单调区间和极值，判断即得解.

【详解】解：由题得

当或时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减.

所以和0分别是函数的极大值点和极小值点，所以选项A正确；

所以在上单调递减，所以选项B错误；

函数的极大值为，所以选项C正确；

函数的极小值为，所以选项D正确.

故选：ACD

三、填空题

13．已知，则曲线在点处的切线方程为      ．

【答案】/

【分析】求出的值，利用点斜式可得出所求切线的方程.

【详解】因为，则，，

因此，曲线在点处的切线方程为，即.

故答案为：.

14．已知，，，点，若平面，则点的坐标为        ．

【答案】

【分析】根据线面垂直的性质，结合空间向量数量积的坐标表示公式进行求解即可.

【详解】因为，，，点，

所以，

因为平面，

所以，

所以点的坐标为，

故答案为：

15．如图，在直三棱柱中，，、分别为棱、的中点，则      .

【答案】

【分析】分析可知，，利用空间向量数量积的运算性质可求得的值.

【详解】因为平面，平面，则，同理可知，

所以，

.

故答案为：.

16．如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中以顶点A为端点的三条棱长都为，且它们彼此的夹角都是，则的长为       .

【答案】

【分析】由两边同时平方后展开计算即可.

【详解】，

，

，

即的长为.

故答案为：.

四、解答题

17．在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边交单位圆于点

(1)求的值；

(2)求的值．

【答案】(1)

(2)-7

【分析】先求出 和 ，在根据诱导公式和两角和正切公式计算即可.

【详解】（1）由题意，， ；

（2） ；

综上， .

18．已知函数在处取得极值，其中.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）当时，求的最大值.

【答案】（I）；（II）

【分析】（I）利用列方程组，解方程组求得的值.

（II）利用导数，通过比较在区间的端点的函数值，由此求得在区间上的最大值.

【详解】（I），

依题意可知，即，解得.

（II）由（I）得，

令解得或.

所以在上递减，在上递增，

所以在区间上，的最大值为或，

而，.

所以在区间上的最大值为.

【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的极值、最值，属于中档题.

19．如图，正方体中，棱长为2，，分别是，的中点．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）．

【分析】（Ⅰ）取的中点，连接，，即可证明且，即四边形是平行四边形，从而得到，即可得证．

（Ⅱ）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出线面角的正弦值；

【详解】解：（Ⅰ）证明：取的中点，连接，．

因为是的中点，所以，．

因为是的中点，所以，．

所以，．

所以四边形是平行四边形．

所以．

因为平面，平面，

所以平面．

（Ⅱ）因为正方体中，以点为坐标原点，分别以直线，，为，，轴建立空间直角坐标系．

所以，，，

所以，，，

设平面的法向量为，

所以  

所以直线与平面所成角的正弦值．

20．甲、乙两名跳高运动员一次试跳米高度成功的概率分别是，，且每次试跳成功与否相互之间没有影响，求：

（1）甲试跳三次，第三次才成功的概率；

（2）甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率；

（3）甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率．

【答案】（1）；（2）；（3）

【分析】（1）根据概率的乘法公式求解即可；

（2）利用对立事件的概率和为1，求解甲、乙两人在第一次试跳中都失败的概率即可；

（3）分析所有满足条件的情况的概率，再求和即可

【详解】设“甲第i次试跳成功”为事件，“乙第i次试跳成功”为事件，依题意得P（）＝0.7、P（）＝0.6，且、（i＝1、2、3）相互独立．

（1）“甲第三次试跳才成功”为事件A3，且三次试跳相互独立，

∴P（A3）＝P（）P（）P（A3）＝0.3×0.3×0.7＝0.063.

即甲第三次试跳才成功的概率为0.063.

（2）“甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功”为事件C，

P（C）＝1－P（）·P（）＝1－0.3×0.4＝0.88.

即甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率为0.88.

（3）设“甲在两次试跳中成功i次”为事件Mi（i＝0、1、2），

“乙在两次试跳中成功i次”为事件（i＝0、1、2），

∵事件“甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次”可表示为M1N0＋M2N1，且M1N0、M2N1为互斥事件，

∴所求的概率为P（M1N0＋M2N1）＝P（M1N0）＋P（M2N1）＝P（M1）P（N0）＋P（M2）P（N1）＝0.7××0.3×0.42＋0.72××0.6×0.4＝0.0672＋0.2352＝0.3024.

即甲、乙每人试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率为0.3024.

21．如图，在棱长为的正方体中，、、、分别是棱、、、的中点，点、分别在棱、上移动，且.

（1）当时，证明：直线平面；

（2）是否存在，使面与面所成的二面角为直二面角？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

【答案】（1）证明见解析；（2）存在，.

【分析】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，证明出，利用线面平行的判定定理可证得平面；

（2）计算出面与面的法向量，由已知条件得出这两个平面的法向量垂直，结合求出实数的值，即可得解.

【详解】（1）证明：以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则、、、，当时，，

，，，，

平面，平面，因此，平面；

（2）、、、、，

设平面的一个法向量为，，，

由，可得，取，则，，，

设平面的一个法向量为，，，

由，可得，取，则，，

，

若存在，使得面与面所成的二面角为直二面角，则.

且，整理可得，

，解得.

因此，存在，使得面与面所成的二面角为直二面角.

【点睛】方法点睛：立体几何开放性问题求解方法有以下两种：

（1）根据题目的已知条件进行综合分析和观察猜想，找出点或线的位置，然后再加以证明，得出结论；

（2）假设所求的点或线存在，并设定参数表达已知条件，根据题目进行求解，若能求出参数的值且符合已知限定的范围，则存在这样的点或线，否则不存在．

22．设函数，.

（1）求函数的单调区间；

（2）当时，若函数没有零点，求的取值范围.

【答案】 当时，的增区间是，当时，的增区间是，减区间是；

【分析】（1）求函数f（x）的导数，利用导数和单调性之间的关系即可求函数的单调区间；（2）根据函数f（x）没有零点，转化为对应方程无解，即可得到结论．

【详解】，，，

当时，，在区间上单调递增，

当时，令，解得；

令，解得，

综上所述，当时，函数的增区间是，

当时，函数的增区间是，减区间是；

依题意，函数没有零点，

即无解，

由1知：当时，函数在区间上为增函数，区间上为减函数，

只需，

解得．

实数a的取值范围为

【点睛】本题主要考查函数的单调性和导数之间的关系，函数的零点，考查学生的运算能力，是中档题