中考数学复习指导：分式方程增根的妙用试题

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例1.（重庆）若关于的方程有增根，则的值为___________.
分析：分式方程有增根，指的是解分式方程时，在把分式方程转化为整式方程的变形过程中，方程的两边都乘了一个可能使分母为零的整式，从而扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值；即增根就是使分式方程的分母为零的未知数的值，所以增根只能是，它应该是原方程去分母后的整式方程的根.
解：因为分式方程有增根，所以增根只能是，原方程去分母得：，将代入并整理得,故应填.
例2.（山东）若解分式方程－＝产生增根，则的值是（ ）.
（A）－1或－2 （B）－1或2 （C）1或2 （D）1或－2
分析：解分式方程会产生增根，则产生的增根就是使分式方程的分母为零的未知数的值，即增根就是或.因此可以将或分别代入去分母后的整式方程中来求解.
解：因为解此分式方程会产生增根，所以增根就是或.原方程去分母得：，分别将或代入，求得或.故选（B）.
例3. 若关于的方程无解，则 ．
分析：分式方程无解是指不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等．它包含两种情形：（一）原方程化去分母后的整式方程无解；（二）原方程化去分母后的整式方程有解，但这个解却使原方程的分母为0，它是原方程的增根，从而原方程无解．本题属于第二种情况，即原方程去分母之后得到的整式方程的解恰好是原分式方程的增根：.
解：方程两边都乘以，得．解这个方程，得．因为原方程无解，所以这个解应是原方程的增根,即.所以，解得．故当时，原方程无解．
例4．若关于的分式方程无解，则 ．
分析：本题中的分式方程去分母后转化为整式方程，除了考虑这个整式方程的解恰好是原分式方程的增根外，还要考虑它本身无解的情况.
解：方程两边都乘以，得,整理得.若原方程无解，则有两种情形：
（1）当时，,方程为，此方程无解，所以原方程无解.
（2）如果方程的解恰好是原分式方程的增根，那么原分式方程无解．原方程若有增根，增根为或，.把 代入，a值不存在；把 代入，解得．
综上所述，当或时，原方程无解．