中考数学复习指导：例谈双点运动问题

这是一份中考数学复习指导：例谈双点运动问题，共5页。试卷主要包含了5cm/s．当点F到达点C．等内容，欢迎下载使用。

如图1，四边形ABCD是直角梯形，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝24cm，BC＝26cm．点P从点A出发，以1cm，/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动．其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，从运动开始，经过多少时间，四边形PQCD成为平行四边形？成为等腰梯形？
评析 第(1)问由梯形的定义可知AD∥BC，若使四边形PQCD成为平行四边形，只要求PD＝CQ即可．可设运动时间为t cm/s，因为速度已知，表示CQ长，表示AP长，进一步求得PD长；第(2)问若使四边形成为等腰梯形可根据QC＝PD＋2(BC－AD)求得，第(1)问利用了梯形两底平行这一性质，第(2)问要利用等腰梯形的性质体会“QC＝PD＋2（BC－AD）”，显得略难一些，但是通过所给条件也能顺利解决，点的运动使图形活了起来，此题运用了梯形、平行四边形性质、方程等知识点，转化、建模等数学思想．
将原题进行变式与推广，可得到几道中考试题，本文举例分析．
例1 如图2，点O为矩形ABCD的对称中心，AB＝10cm，BC＝12cm．点E，F，G分别从A，B，C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点E的运动速度为1cm/s，点F的运动速度为3cm/s，点G的运动速度为1.5cm/s．当点F到达点C（即点F与点C重合）时，三个点随之停止运动，在运动过程中，△EBF关于直线EF的对称图形是△EB'F，设点E，F，G运动的时间为t（单位：s）．
(1)当t＝_______s时，四边形EBFB'为正方形；
(2)若以点E，B，F为顶点的三角形与以点F，C，G为顶点的三角形相似，求t的值；
(3)是否存在实数t，使得点B'与点O重合？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
评析 本题特殊之处在于三点同时运动．
第(1)问设AE＝￡，则BF＝3t，根据一组邻边相等的矩形是正方形，由BE＝BF列方程可求解；
第(2)问欲证明△EBF与△FCG相似，可通过求得；
第(3)问若点B'与点O重合，根据条件点D是矩形对称中心，通过计算可求出是否满足条件的t值．本题运用了相似三角形、方程等知识点，转化、分类讨论、建模等数学思想．
例2 如图3，抛物线y＝ax2＋bx＋4的对称轴是直线x＝，与y轴交于点C，又点A的坐标为（－1，0）．
(1)求抛物线的解析式；
(2)过点C作CD∥x轴交抛物线于点D，连结AD交y轴于点E，连结AC．设△AEC的面积为S1，△DEC的面积为S2，求S1：S2的值；
(3)点F坐标为(6，0)，连结DF．在(2)的条件下，点P从点E出发，以每秒3个单位长的速度沿E→C→D→F匀速运动；点Q从点F出发，以每秒2个单位长的速度沿F→A匀速运动，当其中一点到达终点时，另外一点也随之停止运动，若点P、Q同时出发，设运动时间为t秒，当t为何值时，以D.P、Q为顶点的三角形是直角三角形？请直接写出所有符合条件的t值．
评析 本题前两问所给条件充分，根据条件很容易就能求出结果，关键是第(3)问，要根据P、Q两点运动到不同的位置与点D所构造的直角三角形的不同，用分类讨论思想来求出不同的t值，关键在于不能遗漏．
例3 如图4，在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，A点的坐标为(3，0)，以OA为边作等边三角形OAB，点B在第一象限，过点B作AB的垂线交x轴于点C．动点P从O点出发，沿OC向C点运动，动点Q从B点出发，沿BA向A点运动，P，Q两点同时出发，速度均为1个单位／秒．设运动时间为t秒．
(1)求线段BC的长；
(2)连结PQ，交线段OB于点E，过点E作x轴的平行线交线段BC于点F．设线段EF的长为m，求m与t之间的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；
(3)在(2)的条件下，将△BEF绕点B逆时针旋转得到△BE'F'，使点E的对应点E'落在线段AB上，点F的对应点是F'，E'F'交x轴于点G，连结PF、QG．当t为何值时，2BQ－PF＝QC?
评析 本题要充分利用题中所给的等边三角形、直角三角形、平行线、图形旋转等条件，借助相似三角形、方程等数学模型来解决问题．
第(1)问要挖掘隐含条件OC＝OB＝OA等，Rt△ABC中利用三角函数求出BC的长；
第(2)问过Q点作QN∥OB，交x轴于点N，可证得△ANQ是等边三角形；由△POE∽△PNQ，求得m与t的关系；
第(3)问先证得AE'G为等边三角形，由BE'＝BE＝m，可求出用t表示QE'的代数式，进而用t表示GE'和QE'；通过证明△QGA是直角三角形，求出用t表示QG的代数式；因为EF∥OC，所以，再由△FCP∽△BCA，求出t＝1时结论成立，此题第(2)问双点运动同速度同时出发，较为简单，第(3)问由于三角形旋转再加上双点运动，问题较为复杂，需细心观察、作图才能理清思路，本题运用了三角函数、相似三角形、方程等知识点，运用类比、转化、数形结合等数学思想来完成解题，理清解题思路是关键．
例4 如图5，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6 cm，BC＝8cm．点D.E.F分别是边的中点，连结DE.DF，动点P，Q分别从点A.B同时出发，运动速度均为1cm/s，点P沿A→F→D的方向运动到点D停止；点Q沿B→C的方向运动，当点P停止运动时，点Q也停止运动．在运动过程中，过点Q作BC的垂线交AB于点M，以点P，M，Q为顶点作平行四边形PMQN．设平行四边形边形PMQN与矩形FDEC重叠部分的面积为y(cm2)（这里规定线段是面积为0的几何图形），点P运动的时间为x(s)．
(1)当点P运动到点F时，CQ＝_______cm；
(2)在点P从点F运动到点D的过程中，某一时刻，点P落在MQ上，求此时BQ的长度；
(3)当点P在线段FD上运动时，求y与x之间的函数关系式．
评析 本题本着由浅入深原则，体现了以人为本的理念，双点运动速度相同，都是1cm／s，运动开始时间也相同，降低了解题难度．
第(1)问点F是线段AC的中点，AC＝6cm，可得AF＝3cm，由于点B向点C沿着线段BC运动的速度及时间相同，所以此时BQ＝3cm，，再由已知BC＝8cm，，可求得QC的长；
第(2)问中AF＋FP＝x，AF＝3，则PF＝x－3，又BQ＝x，而BQ＋PF＝BC，列方程可求出BQ的长度；
第(3)问是本题解题的精彩部分，要根据双点运动的位置不同，用分类讨论思想，由x的不同取值范围来确定y与x的三种函数关系．
本题运用了方程、相似三角形、函数等知识点，运用了转化、分类讨论、方程建模等思想和方法，其中完成第(3)问时需要分类讨论，其难点是，一定要做到不遗漏．