青海省西宁市部分学校2023-2024学年高二上学期期末联考数学试卷(含答案)

这是一份青海省西宁市部分学校2023-2024学年高二上学期期末联考数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．过点且与直线垂直的直线l的方程为( )
A.B.C.D.
2．如图,在平行六面体中,,,,点P在上,且,则( )
A.B.C.D.
3．若离心率为的双曲线的一条渐近线与直线垂直,则( )
A.B.C.D.
4．在等差数列中,,则( )
A.B.
C.D.
5．在平面直角坐标系xOy中,原点O到直线与的交点的距离为( )
A.B.C.D.
6．若直线和直线间的距离为,则( )
A.或3B.或1C.或1D.或3
7．若直线与直线相交,且交点在第一象限,则直线l的倾斜角的取值范围是( )
A.B.C.D.
8．已知抛物线,过点的直线l与抛物线C交于P,Q两点(点P在第一象限),点F为抛物线的焦点,若,则( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知椭圆C:的左,右焦点分别为,,点P为椭圆C上一动点,则下列说法正确的是( )
A.椭圆C的离心率为
B.的最大值为6
C.的周长为10
D.存在点P,使得为等边三角形
10．在空间直角坐标系中,设,分别是异面直线,的两个方向向量,,分别是平面,的两个法向量,若,,,,下列说法中正确的是( )
A.B.C.D.
11．已知等比数列的前n项和为,公比为,则下列选项中错误的是( )
A.若,,则
B.若,,则
C.若,,则
D.若,,则
12．已知圆,圆,则下列说法正确的是( )
A.若点在圆的内部,则
B.若,则圆,的公共弦所在的直线方程是
C.若圆,外切,则
D.过点作圆的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB的方程是
三、填空题
13．若直线是圆的一条对称轴,则________.
14．已知x,,空间向量,.若,则________.
15．已知抛物线的焦点为F,,P为C上一点,则的最小值为________.
16．任意,有,若,,则________.
四、解答题
17．已知圆C过点,和.
（1）求圆C的方程;
（2）求与AB垂直且被圆C截得弦长等于的直线l的方程.
18．在棱长为2的正方体中,点E是BC的中点,点F是CD中点.
（1）证明:平面;
（2）求D到面的距离.
19．已知等差数列的前n项和为,,.
（1）求的通项公式;
（2）记数列的前n项和为,求.
20．已知,是椭圆的两个焦点,,为C上一点
（1）求椭圆C的标准方程;
（2）若P为C上一点,且,求的面积.
21．如图,在五面体ABCDEF中,平面ABCD,,,M为EC的中点,.
（1）求异面直线BF与DE所成的角的大小;
（2）求二面角的余弦值.
22．已知抛物线的顶点在原点,对称轴为坐标轴,且过,,,四点中的两点.
（1）求抛物线的方程;
（2）若直线l与抛物线交于M,N两点,与抛物线交于P,Q两点,M,P在第一象限,N,Q在第四象限,且,求的值.
参考答案
1．答案：C
解析：因为直线的斜率为1,由题意,所求直线l的斜率为,
又直线l过点,所以由点斜式方程可知直线l的方程为:,
即,
故选:C
2．答案：C
解析：因为,所以,
则有:
故选:C.
3．答案：C
解析：,所以,得渐近线为,
因为其中一条渐近线与直线垂直,则,得.
故选:C
4．答案：A
解析：因为数列为等差数列,
因为,得,所以,
所以,故A项正确.
故选:A.
5．答案：C
解析：因为,所以,所以交点坐标为,
所以原点O到交点的距离为,
故选:C.
6．答案：D
解析：由平行线之间的距离公式有:,
求解关于实数t的方程可得:或.
本题选择D选项.
7．答案：C
解析：联立方程得交点,由交点在第一象限知:解得,即是锐角,故,选C.
8．答案：C
解析：易知点,设点,,其中,,
由于,所以,
将代入得,,,
故直线l的斜率为,故其方程为,
联立,可得,解得,
所以
由抛物线的定义可得.
故选:C
9．答案：ABD
解析：由椭圆,可得,,则,
对于选项A,椭圆C的离心率,故A正确;
对于选项B,当点P为椭圆C的右顶点时,可得,故B正确;
对于选项C,的周长为,故C错误;
对于选项D,当点P为椭圆C的短轴的端点时,可得,,此时为等边三角形,故D正确.
故选:ABD
10．答案：BD
解析：对于A,,,与既不平行也不垂直,
因此直线与平面不垂直,故A错误;
对于B,,,,所以,故B正确;
对于C,,,所以与不平行,
所以平面与平面不平行,故C错误;
对于D,,,
即平面与平面垂直,故D正确.
故选:BD.
11．答案：ACD
解析：对A选项:由等比数列等距片段的性质有,
即,解得,故A错误;
对B选项:,,
,即,故B正确;
对C选项:由,又,解得或,
当时,即,解得,故,故C错误;
对D选项:由,有,即,故或,故D错误.
故选:ACD.
12．答案：BCD
解析：由题,圆为:,圆心,
圆为:,圆心,;
对于A:由点在圆内,得:,解得:,故A项错误;
对于B:若,则圆:,将圆与圆相减得到公共弦所在直线方程:,故B项正确;
对于C:两圆外切,则,即:,解得:,故C项正确;
对于D:点在圆外,则得切点A,B所在的直线为以为直径的圆与圆的公共弦,圆圆心,,方程为:,
将圆与圆相减得:,故D项正确.
故选:BCD.
13．答案：
解析：圆的圆心坐标为,
因为直线是圆的一条对称轴,所以圆心在此直线上,
所以,解得.
故答案为:.
14．答案：1
解析：因为,所以,即,得.
故答案为:.
15．答案：5
解析：过P作准线的垂线,垂足为B,则,
显然点P在抛物线内,则当P,A,B三点共线时,最小,其最小值为.
故答案为:5
16．答案：
解析：因为任意,有,
故,
又,故,
当取正整数时,令,则,
即数列是以为首项,以为公差的等差数列,
故,即,
故答案为:.
17．答案：（1）
（2）或
解析：（1）设圆的一般方程为:,
分别代入点,和.
,解得,
故圆的方程为:.
（2）因为,
所以直线AB的方程为:,
故设直线l的方程为:.
由题意可知,圆心,
被圆C截得弦长等于
则可知到直线AB与直线l的距离相等.
故有,
解得或
所以直线l的方程:或
18．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）以A为原点,直线AB,AD,所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,如图所示:
则,,,,,,
则,,,
设平面的一个法向量为,
则,取,则,,
所以,
又因为,所以,
所以平面.
（2）由（1）知平面的法向量为,
又因为,
所以D到面的距离为.
19．答案：（1）
（2）
解析：（1）设的公差为d,
由已知得,解得,.
故.
（2）,
所以
.
20．答案：（1）
（2）
解析：（1）由,是椭圆的焦点,
且,则,
因为点在椭圆上,所以
则
由,则由,
所以椭圆C的标准方程:
（2）因为P在椭圆上,所以,
又,,
所以,
所以,
所以.
21．答案：（1）
（2）
解析：（1）如图,以点A为原点建立空间直角坐标系,
不妨设,
则,,,,
故,,
则,
即异面直线BF与DE所成的角余弦值为,
所以异面直线BF与DE所成的角的大小为;
（2）,
则,,
设平面CDE的法向量为,
则有,可取,
因为z轴垂直平面ACD,
则可取平面ACD的法向量为,
则,
所以二面角的余弦值为.
22．答案：（1）
（2）
解析：（1）由抛物线的顶点在原点,对称轴为坐标轴可知,
点和点不可能同时在抛物线上,
点和点不可能同时在抛物线上,
点和点不可能同时在抛物线上,
点和点也不可能同时在抛物线上,
,两点分别位于第二,四象限,这样的抛物线不存在,
所以抛物线只能过,,根据两点位置可设,
代入点,则,得,
所以,抛物线过点,满足题意.
综上,抛物线的方程为.
（2）设直线,,,,,
根据题意可知:,且,
联立,得,则,
同理联立,得,则,
由得,即,
所以,
即,整理得,
又因为,,所以,
由,得,
联立,所以,,,
故.