2022-2023学年甘肃省白银市高一（下）开学数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年甘肃省白银市高一（下）开学数学试卷（含解析），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.命题“∀x∈R，x3−5x2>11”的否定是( )
A. ∀x∈R，x3−5x2≤11B. ∃x∈R，x3−5x2<11
C. ∃x∈R，x3−5x2≤11D. ∃x∉R，x3−5x2≤11
2.若集合A={x∈N|x2−6≤0}，则A的子集个数为( )
A. 16B. 8C. 4D. 2
3.函数f(x)=−3x−2x+9的零点所在区间为( )
A. (1,2)B. (2,3)C. (3,4)D. (4,5)
4.若幂函数f(x)=(2m2−17)xm−2在(0,+∞)上单调递增，则m=( )
A. −3或3B. 3C. 4D. −4或4
5.若a=lg50.99，b=30.11，c=1e，则( )
A. a6.若x>3，则4x+1x−3的最小值为( )
A. 4B. 5C. 16D. 17
7.已知函数f(x)的大致图象如图所示，则f(x)的解析式可能为( )
A. f(x)=2x+2−x+3x2
B. f(x)=2x+2−x+3x
C. f(x)=2x+2−x−3x2
D. f(x)=2x+2−x−3x
8.已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)=f(4−x)，若y=|x−2|与y=f(x)图象的交点为(x1,y1)，(x2,y2)，(x3,y3)，(x1,y4)，则x1+x2+x3+x4=( )
A. −4B. 0C. 4D. 8
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.“x2−3x−40<0”的充分不必要条件可以是( )
A. −110.下列函数中最小值为1的是( )
A. y=5x+1B. y=2 x+1
C. y=x2−6x+10D. y=1x，x∈(0,1]
11.压缩袋(真空压缩袋)也叫PE拉链复合袋.在我们的日常生活中，各类大小的压缩袋不但能把衣柜解放出来，而且可以达到防潮、防虫咬、清洁保存的效果.其中抽气式压缩袋是通过外接抽气用具如抽气泵或吸尘器，来进行排气的.现选用某种抽气泵对装有棉被的压缩袋进行排气，已知该型号的抽气泵每次可以抽出压缩袋内气体的40%，则(参考数据：取lg2=0.301，lg3=0.477)( )
A. 要使压缩袋内剩余的气体少于原来的10%，至少要抽5次
B. 要使压缩袋内剩余的气体少于原来的10%，至少要抽9次
C. 抽气泵第4次抽出了最初压缩袋内气体的8.64%
D. 抽3次可以使压缩袋内剩余的气体少于原来的25%
12.若3a+lg7a=3b+lg7(7b)，则( )
A. abD. a>7b
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若函数f(x)=ax+3−3(a>0，且a≠1)的图象过定点P，则P的坐标为______．
14.已知函数f(x)=x3−1,x≤2f(x−3),x>2，则f(8)= ______．
15.写出一个满足f(x)+f(y)=f(x+y+xy)且f(x)不是常数函数的函数：f(x)= ______．
16.已知函数f(x)=−x2+bx−c的最大值为0，关于x的不等式−x2+bx−c>m的解集为(t−1,t+2)，则b2−4c= ______，m的值为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
求值：
(1)(179)−12+eln2−42×234；
(2)lg7×lg710+lg5100−lg54.
18.(本小题12分)
已知集合A=[−3,2]，B=[2a−3,2a]．
(1)若a=2，求A∩(∁RB)；
(2)若A∪B=A，求a的取值范围．
19.(本小题12分)
已知a>0，b>0，且3a+7b=10．
(1)求ab的最大值；
(2)求3a+7b的最小值．
20.(本小题12分)
已知函数f(x)的图象与函数y=3x的图象关于直线y=x对称．
(1)求f(x−4)在[5,7]上的值域；
(2)判断函数g(x)=f(8−x)−lg3(x+8)的奇偶性，并说明理由．
21.(本小题12分)
甲市民计划对长6米，宽2米的阳台进行改造，设计图如图所示，A区域用来打造休闲区域，B区域用来种植辣椒，C区域用来种植青菜，D区域用来种植大蒜.已知B，D两区域是边长为x米的全等正方形，打造休闲区域每平方米需花费30元，打造辣椒区域每平方米需花费40元，打造青菜区域每平方米需花费20元，打造大蒜区域每平方米需花费25元．
(1)用y(单位：平方米)表示C区域的面积，求y关于x的函数解析式；
(2)当x为何值时，阳台改造的总费用最少，最少为多少？
22.(本小题12分)
已知f(x)=7x+1+ba⋅7x+2是定义在R上的奇函数．
(1)求a，b的值；
(2)判断f(x)在R上的单调性，并用定义证明；
(3)若f(4+m⋅2−x+1+22−4m2)+f(4−x+m⋅2x+1)>0对x∈R恒成立，求m的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：“∀x∈R，x3−5x2>11”的否定是∃x∈R，x3−5x2≤11．
故选：C．
任意改存在，将结论取反，即可求解．
本题主要考查全称命题的否定，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：由题意得A={0,1,2}，所以A的子集个数为23=8．
故选：B．
将集合A的元素确定下来，可得其子集个数．
本题考查集合的子集，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：函数f(x)在R上单调递减，
且f(1)=−31−2+9=4>0，f(2)=−32−4+9=−4<0，
则由函数零点存在性定理可知，函数f(x)的零点所在区间为(1,2)．
故选：A．
由函数零点存在性定理判断即可．
本题考查函数零点的判定定理，考查运算求解能力，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：∵幂函数f(x)=(2m2−17)xm−2在(0,+∞)上单调递增，
∴2 m2−17=1m−2>0，
解得m=3．
故选：B．
利用幂函数的定义和性质直接求解．
本题考查幂函数的定义和性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5.【答案】A
【解析】解：a=lg50.9930=1，0则a故选：A．
利用指数函数与对数函数的单调性即可得出结论．
本题考查运用对数函数和指数函数的性质比较三个数的大小，考查计算能力，是基础题．
6.【答案】C
【解析】解：因为x>3，所以x−3>0，
所以4x+1x−3=4(x−3)+1x−3+12≥2 4(x−3)⋅1x−3+12=16，
当且仅当4(x−3)=1x−3，即x=72时，等号成立，
所以4x+1x−3的最小值为16．
故选：C．
拼凑可得4x+1x−3=4(x−3)+1x−3+12，再利用基本不等式，得解．
本题考查利用基本不等式求最值，熟练掌握基本不等式的使用条件，“拼凑法”等是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
7.【答案】D
【解析】解：由图象可知，函数的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，且有两个零点，
又2x+2−x>2 2x⋅2−x=2(x≠0)，
则2x+2−x+3>5，
由此可排除选项AB；
对于C，f(−x)=2−x+2x−3(−x)2=2x+2−x−3x2=f(x)(x≠0)，
则f(x)为偶函数，不合题意；
综上，只有选项D符合题意．
故选：D．
由2x+2−x>2(x≠0)，可排除选项AB，由选项C中的函数为偶函数，可知其不合题意，由此可得答案．
本题考查函数图象，考查数形结合思想以及运算求解能力，属于基础题．
8.【答案】D
【解析】解：由f(x)=f(4−x)可知y=f(x)的图象关于直线x=2对称，y=|x−2|的图象关于直线x=2对称，
所以x1+x2+x3+x4=4×2=8．
故选：D．
由y=f(x)和y=|x−2|的图象都关于直线x=2对称，利用对称性求解．
本题考查函数的对称性，属于基础题．
9.【答案】AB
【解析】解：又x2−3x−40<0可得−5因为(−1,2)⊆(−5,8)，{5}⫋(−5,8)，
故“x2−3x−40<0”的充分不必要条件可以是AB．
故选：AB．
先求出已知不等式的解集，然后结合充分必要条件与集合包含关系的转化即可求解．
本题主要考查了集合充分必要条件的判断，属于基础题．
10.【答案】BCD
【解析】解：选项A，因为5x>0，所以y=5x+1>1，取不到1，即选项A不符合题意；
选项B，因为 x≥0，所以y=2 x+1≥1，当且仅当x=0时，等号成立，即选项B符合题意；
选项C，y=x2−6x+10=(x−3)2+1≥1，当且仅当x=3时，等号成立，即选项C符合题意；
选项D，因为函数y=1x在x∈(0,1]上单调递减，所以当x=1时，y取得最小值1，即选项D符合题意．
故选：BCD．
选项A，由5x>0，即可判断；
选项B，根据 x≥0，可得y=2 x+1≥1，得解；
选项C，采用配方法，得解；
选项D，根据反比例函数的单调性，得解．
本题考查函数的最值，熟练掌握基本初等函数的图象与性质是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
11.【答案】ACD
【解析】解：第一次抽气，抽出的气体占原来的40%，压缩袋中还剩60%；
第二次抽气，抽出的气体占原来的(40%)×(60%)=24%，压缩袋中还剩36%；
第三次抽气，抽出的气体占原来的(40%)×(36%)=14.4%，压缩袋中还剩21.6%；
第四次抽气，抽出的气体占原来的(40%)×(21.6%)=8.64%，压缩袋中还剩12.96%；
第五次抽气，抽出的气体占原来的(40%)×(12.96%)=5.184%，压缩袋中还剩7.776%，
根据计算结果可知，.要使压缩袋内剩余的气体少于原来的10%，至少要抽5次，所以选项A正确，选项B错误，
根据计算结果可知，抽气泵第4次抽出了最初压缩袋内气体的8.64%，所以选项C正确，
根据计算结果可知，抽3次可以使压缩袋内剩余的气体为原来的21.6%，所以D正确，
故选：ACD．
计算出前五次抽气之后压缩袋内剩余的气体比例，进而判断即可．
本题主要考查根据实际问题选择合适的函数模型，属于中档题．
12.【答案】BC
【解析】解：由题意可知a>0，b>0，
令g(x)=3x+lg7x，显然函数g(x)在(0,+∞)是增函数，
由于3a+lg7a=3b+lg7(7b)=3b+lg7b+1，所以(3a+lg7a)−(3b+lg7b)=1，
又函数g(x)在(0,+∞)是增函数，所以a>b，即C正确；
令h(x)=3x，显然函数h(x)在(0,+∞)是增函数，
又7b>b>0，
所以3a+lg7a=3b+lg7(7b)<37b+lg7(7b)，
由于函数g(x)在(0,+∞)是增函数，
所以a<7b，即B正确．
故选：BC．
令h(x)=3x，g(x)=3x+lg7x，显然函数h(x)，g(x)是增函数，而后结合函数的增减性即可判断a，b大小．
本题主要考查函数增减性，属中档题．
13.【答案】(−3,−2)
【解析】【分析】
本题考查了含有参数的指数型函数过定点的问题，自变量的取值使函数值不含参数即可求出其定点，属于基础题．
利用a0=1(a≠0)，取x=−3，得f(−3)=−2，即可求函数f(x)的图象所过的定点．
【解答】解：当x=−3时，f(−3)=a−3+3−3=a0−3=−2，
∴函数f(x)=ax+3−3的图象一定经过定点(−3,−2)．
故答案为(−3,−2)．
14.【答案】7
【解析】解：根据题意，函数f(x)=x3−1,x≤2f(x−3),x>2，
则f(8)=f(5)=f(2)=23−1=7．
故答案为：7．
根据题意，由函数的解析式分析可得答案．
本题考查分段函数的性质，涉及函数值的计算，属于基础题．
15.【答案】lg2(x+1)(答案不唯一)
【解析】解：若f(x)=lg2(x+1)，
则f(x)+f(y)=lg2(x+1)+lg2(y+1)=lg2(xy+x+y+1)=f(xy+x+y)，
故符合题意的函数可以为f(x)=lg2(x+1)．
故答案为：lg2(x+1)(答案不唯一，符合lga(x+1)即可，其中a>0且a≠1，其他满足条件的函数亦可)．
根据题意结合对数的按性质即可得解．
本题主要考查抽象函数及其应用，属于基础题．
16.【答案】0 −94
【解析】解：∵函数f(x)=−x2+bx−c的最大值为0，
∴Δ=b2−4c=0，
∵不等式−x2+bx−c>m的解集为(t−1,t+2)，
∴不等式x2−bx+c+m<0的解集为(t−1,t+2)，
∴t−1和t+2是方程x2−bx+c+m=0的两个根，设x1=t−1，x2=t+2，
则|x1−x2|=3，
由韦达定理得x1+x2=bx1x2=c+m，
∴(x1+x2)2−4x1x2=9，
∴b2−4(c+m)=9，即b2−4c−4m−9=0，
又∵b2−4c=0，∴−4m−9=0，
∴m=−94．
故答案为：0；−94．
由二次函数的性质可知Δ=b2−4c=0，由题意可知t−1和t+2是方程x2−bx+c+m=0的两个根，设x1=t−1，x2=t+2，则|x1−x2|=3，再利用韦达定理求解即可．
本题主要考查了二次函数的性质，考查了“三个二次”的关系，以及韦达定理的应用，属于中档题．
17.【答案】解：(1)(179)−12+eln2−42×234
=34+2−214+34
=34．
(2)lg7×lg710+lg5100−lg54
= lg7lg10×lg10lg7+lg51004
=1+2
=3．
【解析】(1)利用指数的性质、运算法则直接求解；
(2)利用对数的性质、运算法则直接求解．
本题考查指数、对数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
18.【答案】解：(1)由题意得B=[1,4]，所以CRB=(−∞,1)∪(4,+∞)，所以A∩(CRB)=[−3,1)；
(2)由题意得B⊆A，所以2a≤22a−3≥−3，得0≤a≤1，故a的取值范围为[0,1]．
【解析】(1)根据集合的运算计算即可；(2)若A∪B=A，则B⊆A，由此可得a的取值范围．
本题考查集合的运算，集合间的关系，属于基础题．
19.【答案】解：(1)因为a>0，b>0，
所以10=3a+7b≥2 3a⋅7b，当且仅当3a=7b=5时，等号成立，
所以ab≤2521，即ab的最大值为2521．
(2)3a+7b=110(3a+7b)(3a+7b)=110(9+21ba+21ab+49)≥110(58+2 21ba⋅21ab)=10，
当且仅当21ba=21ab，即a=b=1时，等号成立，
所以3a+7b的最小值为10．
【解析】(1)直接利用基本不等式，即可得解；
(2)根据“乘1法”，得解．
本题考查利用基本不等式求最值，熟练掌握基本不等式的使用条件，“乘1法”等是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
20.【答案】解：(1)由y=3x，可得x=lg3y，则f(x)=lg3x，
因为f(x−4)=lg3(x−4)在定义域内单调递增，
所以f(x−4)min=f(5−4)=lg31=0，f(x−4)max=f(7−4)=lg33=1，
故f(x−4)在[5,7]上的值域为[0,1]．
(2)g(x)为奇函数．理由如下：
由(1)可得，g(x)=lg3(8−x)−lg3(x+8)=lg38−xx+8，
因为g(x)的定义域为(−8,8)，关于原点对称，
且g(−x)=lg38+x−x+8=−lg38−xx+8=−g(x)，所以g(x)为奇函数．
【解析】(1)根据函数f(x)的图象与函数y=3x的图象关于直线y=x对称，求出f(x)解析式，利用单调性求出其在[5,7]上的值域；
(2)根据函数奇偶性定义判断其奇偶性．
本题主要考查了函数奇偶性的判断，还考查了函数的单调性在函数最值求解中的应用，属于中档题．
21.【答案】解：(1)由题意可知，y=x×(6−2x)=−2x²+6x，0所以y关于x的函数解析式为y=−2x²+6x，x∈(0,2)．
(2)设总费用为W(x)，则W(x)=6×(2−x)×30+x²×40+x×(6−2x)×20+x²×25=25x²−60x+360，0即W(x)=25x²−60x+360(0当x=−602×25=1.2时，W取得最小值，Wmin=W(1.2)=324，
所以当x=1.2时，阳台改造的总费用最少，最少为324元．
【解析】(1)根据y=x×(6−2x)求解即可；
(1)设总费用为W(x)，求出W(x)的表达式，再根据函数的性质求解即可．
本题主要考查根据实际问题选择合适的函数模型，属于中档题．
22.【答案】解：(1)因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)=7+ba+2=0，可得b=−7，
又f(−x)=−f(x)，所以71−x−7a⋅7−x+2=−7x+1−7a⋅7x+2，
解得a=2，所以a=2，b=−7．
(2)f(x)在R上单调递增，证明如下：
由(1)得f(x)=7x+1−72⋅7x+2，x1>x2，
则f(x1)−f(x2)=7x1+1−72⋅7x1+2−7x2+1−72⋅7x2+2=7[(7x1−1)(7x2+1)−(7x2−1)(7x1+1)]2(7x1+1)(7x2+1)=7(7x1−7x2)(7x1+1)(7x2+1)，
因为7x1>7x2，(7x1+1)>(7x2+1)>0，所以f(x1)−f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
所以f(x)在R上单调递增．
(3)原不等式可转化为f(4+m⋅2−x+1+22−4m2)>−f(4−x+m⋅2x+1)=f(−4−x−m⋅2x+1)，
因为f(x)在R上单调递增，所以4+m⋅2−x+1+22−4m2>−4−x−m⋅2x+1，
令t=2x>0，则不等式转化为t2+2mt+22−4m2>−1t2−2mt，
整理得(t+1t)2+2m(1t+t)−4m2+20>0，
若u=t+1t≥2且当t=1是等号成立，则g(u)=u2+2mu−4m2+20>0对u∈[2,+∞)恒成立，
g(u)的图象开口向上，对称轴为u=−m，Δ=4m2−4(20−4m2)=20m2−80，
当Δ<0，即−20在[2,+∞)上恒成立，
当Δ≥0，即m≤−2或m≥2时，−m<2g(2)=4m−4m2+24>0，即m>−24m2−4m−24<0，解得−2综上，m的取值范围为(−2,3)．
【解析】(1)由R上奇函数可得f(0)=0，可求得b的值，由f(−x)=−f(x)，可求得a的值；
(2)f(x)在R上单调递增，利用单调性的定义即可证明；
(3)由函数的性质将不等式转化为4+m⋅2−x+1+22−4m2>−4−x−m⋅2x+1，令t=2x>0，则不等式转化为(t+1t)2+2m(1t+t)−4m2+20>0，若u=t+1t≥2且当t=1是等号成立，则g(u)=u2+2mu−4m2+20>0对u∈[2,+∞)恒成立，利用二次函数的图象与性质即可求解m的取值范围．
本题主要考查函数恒成立求参数范围问题，奇函数的性质，函数单调性的判断与证明，考查运算求解能力，属于中档题．