甘肃省白银市靖远县2022-2023学年高三上学期理数开学考试试卷

这是一份甘肃省白银市靖远县2022-2023学年高三上学期理数开学考试试卷，共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题（共12小题，每小题5分，共60分）
1．设集合A={x|−2≤x≤1}，B={x|2x2+(a−4)x−2a≤0} ，且A∩B={x|−1≤x≤1} ，则a=（ ）
A．1B．-1C．2D．-2
2．设−(z+z)+2(z−z)=−4−4i，则z=（ ）
A．2−iB．2+iC．1−2iD．1+2i
3．函数f(x)=csx⋅lnπ+xπ−x在(−π，π)上的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
4．设正项等比数列{an}的前4项和为90，且a1−a3=36，则a5=（ ）
A．1B．2C．3D．4
5．某市教育局为得到高三年级学生身高的数据，对高三年级学生进行抽样调查，随机抽取了1000名学生，他们的身高都在A，B，C，D，E五个层次内，分男、女生统计得到以下样本分布统计图，则所给叙述正确的是（ ）
A．样本中A层次的女生比相应层次的男生人数多
B．估计样本中男生身高的中位数比女生身高的中位数大
C．D层次的女生和E层次的男生在整个样本中频率相等
D．样本中B层次的学生数和C层次的学生数一样多
6．已知函数f(x)=4|x|1+|x|，则不等式f(2x−3)<2的解集是（ ）
A．(1，2)B．(12，52)
C．(−∞，1)∪(2，+∞)D．(−∞，12)∪(52，+∞)
7．如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为（ ）
A．163B．8C．283D．10
8．将函数f(x)=sin(ωx+π6)(ω>0)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移π6个单位长度，得到函数y=g(x)的图象，若y=g(x)为奇函数，则ω的最小值为（ ）
A．4B．3C．2D．1
9．已知三棱锥A−BCD的底面是正三角形，AB⊥平面BCD，且AB=BC，则直线AB与平面ACD所成角的正弦值为（ ）
A．32B．217C．277D．64
10．6名志愿者要到A，B，C三个社区进行志愿服务，每个志愿者只去一个社区，每个社区至少安排1名志愿者，若要2名志愿者去A社区，则不同的安排方法共有（ ）
A．105种B．144种C．150种D．210种
11．已知双曲线C：x2a2−y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦点分别是F1，F2，过右焦点F2且不与x轴垂直的直线交C的右支于A，B两点，若AF1⊥AB，且|AB|=2|AF1|，则C的离心率为（ ）
A．2B．1+2C．3D．1+3
12．已知a>0，若对任意的x∈(12，+∞)，不等式12eax−ln(2x)a≥0恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．[2e，+∞)B．[1e，+∞)C．[1，+∞)D．[12e，+∞)
二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13．设{an}是等差数列，且a1=3，a2+a4=14，则a40= .
14．已知向量a，b满足|b|=1，且a⊥(a+2b)，则|a+b|= .
15．已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点是F，A是C的准线上一点，线段AF与C交于点B，与y轴交于点D，且|AB|=5|BF|，S△DOF=4（O为原点），则C的方程为 .
16．“康威圆定理”是英国数学家约翰·威廉引以为豪的研究成果之一，定理的内容如下：如图，△ABC的三条边长分别为|BC|=a，|AC|=b，|AB|=c．延长线段CA至点A1，使得|AA1|=a，延长线段AC至点C2，使得|CC2|=c，以此类推得到点A2，B1，C1，B2，那么这六个点共圆，这个圆称为康威圆．已知a=12，b=5，c=13，则由△ABC生成的康威圆的半径为 ．
三、解答题（共7题，共70分）
17．△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且bsin(C+π3)=3a+3c2.
（1）求B；
（2）若△ABC的面积为3，且sinA+sinC=233sinB，求△ABC的周长.
18．第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日至20日在北京和张家口举行，而北京也成为全球唯一主办过夏季奥运会和冬季奥运会的双奥之城.某学校为了庆祝北京冬奥会的召开，特举行奥运知识竞赛.参加的学生从夏奥知识题中抽取2题，冬奥知识题中抽取1题回答，已知学生（含甲）答对每道夏奥知识题的概率为34，答对每道冬奥知识题的概率为23，每题答对与否不影响后续答题.
（1）学生甲恰好答对两题的概率是多少？
（2）求学生甲答对的题数X的分布列和数学期望.
19．在四棱锥P−ABCD中，点E是棱PA上一点，BE⊥PD，PA=PB=PD，AB=AD=12CD=2，∠DAB=60°.
（1）证明：PD⊥平面PAB；
（2）若CD∥AB，求二面角A−PD−C的正弦值.
20．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右顶点是M（2，0），离心率为12．
（1）求椭圆C的标准方程．
（2）过点T（4，0）作直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，点B关于x轴的对称点为D，问直线AD是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．
21．已知函数f(x)=lnx−mx+2有两个零点x1，x2.
（1）求m的取值范围；
（2）证明：1x1+1x2>2e.
22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x=−1−2csθy=2sinθ，（θ为参数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=2．
（1）求曲线C的普通方程与直线l的直角坐标方程；
（2）若直线l′过点M(−2，1)且与直线l平行，直线l′交曲线C于A，B两点，求1|MA|+1|MB|的值．
23．已知a，b，c均为正数，且4a2+b2+16c2=1，证明：
（1）2a+b+4c≤3；
（2）14a2+1b2+116c2≥9．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解2x2+(a−4)x−2a≤0，即(2x+a)(x−2)≤0 ，
当−12a≥2即a≤−4时，2≤x≤−a2 ，此时A∩B=∅，不合题意；
故−12a<2，即a>−4，则B={x|−a2≤x≤2} ，
由于A={x|−2≤x≤1}，A∩B={x|−1≤x≤1}，所以−a2=−1，解得a=2。
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合一元二次不等式求解集的方法得出集合B，再利用交集的运算法则结合分类讨论的方法，从而得出a的值。
2．【答案】A
【知识点】复数相等的充要条件；复数代数形式的加减运算
【解析】【解答】设z=a+bi，a，b∈R，
因为−(z+z)+2(z−z)=−4−4i，
所以−2a+4bi=−4−4i，
解得a=2，b=−1，
则z=2−i。
故答案为：A
【分析】设z=a+bi，a，b∈R，再利用已知条件结合复数的加减法运算法则，再结合复数相等的判断方法，进而得出a，b的值，从而得出复数z。
3．【答案】B
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】因为f(−x)=csx⋅lnπ−xπ+x=−f(x)，所以f（x）是奇函数，排除A，D，
当x∈(0，π2)时，csx>0，lnπ+xπ−x>0，所以f(x)>0，排除C，
故答案为：B．
【分析】利用已知条件结合奇函数的定义判断出函数为奇函数，再结合奇函数的图象的对称性和特殊点排除法，进而找出函数的大致图象。
4．【答案】C
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【解答】设公比为q，易得q≠1，
由题设知a1(1−q4)1−q=90，即a1(1−q2)(1+q2)1−q=90，
又a1−a3=36，所以a1(1−q2)=36，36(1+q2)1−q=90，即2q2+5q−3=0，
解得q=12或q=−3（舍去），进而a1=48，从而a5=a1q4=48×(12)4=3。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合等比数列的通项公式和等比数列前n项和公式，进而得出等比数列的首项和公比的值，再结合等比数列的通项公式，进而得出等比数列第五项的值。
5．【答案】B
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数；用样本的频率分布估计总体分布
【解析】【解答】设女生身高频率分布直方图中的组距为Δx，
由(a+1.5a+2a+2.5a+3a)Δx=1，得aΔx=0.1，
所以女生身高频率分布直方图中A层次频率为20%，B层次频率为30%，C层次频率为25%，D层次频率为15%，E层次频率为10%，
因为男、女生样本数未知，所以A层次中男、女生人数不能比较，即A不符合题意；
同理，D层次女生在女生样本数中频率与E层次男生在男生样本数中频率相等，都是15%，
但因男、女生人数未知，所以在整个样本中频率不一定相等，即C不符合题意；
设女生人数为n，男生人数为1000−n，但因男、女生人数可能不相等，
则B层次的学生数为0.3n+0.25×(1000−n)=0.05n+250，
C层次的学生数为0.25n+0.3×(1000−n)=300−0.05n，因为n不确定，
所以0.05n+250与300−0.05n可能不相等，即D不符合题意；
女生A，B两个层次的频率之和为50%，
所以女生的样本身高中位数为B，C层次的分界点，
男生A，B两个层次的频率之和为35%，显然中位数落在C层次内，
所以样本中男生身高的中位数比女生身高的中位数大，B符合题意．
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合频率分布直方图中各小组的矩形的面积等于各小组的频率，再利用扇形图中的数据结合频数等于频率乘以样本容量的公式，得出样本中A层次中男、女生人数不能比较；利用已知条件和扇形图中的数据，再结合频率分布直方图求中位数的方法，从而估计出样本中男生身高的中位数比女生身高的中位数大；利用已知条件结合频率分布直方图中各小组的矩形的面积等于各小组的频率，再利用扇形图中的数据得出D层次的女生和E层次的男生在整个样本中频率不一定相等；再利用已知条件结合频率分布直方图中各小组的矩形的面积等于各小组的频率，再结合扇形图中的数据和频数等于频率乘以样本容量的公式，进而得出样本中B层次的学生数和C层次的学生数不一样多，进而找出叙述正确的选项。
6．【答案】A
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】因为f(−x)=f(x)，所以f(x)是偶函数，
当x≥0时，f(x)=4x1+x=4x+4−41+x=4−41+x是增函数，
又因为f(1)=2，所以f(2x−3)<2可化为f(2x−3)可得到|2x−3|<1，解得1故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合偶函数的定义，进而判断出函数为偶函数，再结合增函数的定义，从而判断函数为增函数，再结合偶函数的定义和增函数的性质，进而求出不等式 f(2x−3)<2的解集 。
7．【答案】D
【知识点】组合几何体的面积、体积问题
【解析】【解答】多面体的直观图如图所示，它可以看成由直三棱柱与四棱锥组合而成，
S△ABC=12×2×3=3， 则直三棱柱体积为S△ABC⋅|BB1|=3×2=6，
四棱锥体积为13×(2×2)×3=4，所以多面体的体积为6+4=10。
故答案为：D
【分析】利用三视图画出多面体的直观图，它可以看成由直三棱柱与四棱锥组合而成，再利用三角形的面积公式得出S△ABC的值， 再利用直三棱柱体积公式得出直三棱柱体积，再结合四棱锥的体积公式得出四棱锥体积，再结合求和法得出多面体的体积。
8．【答案】C
【知识点】奇函数；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】由题意，g(x)=sin[ω2(x−π6)+π6]=sin(ω2x+π6−ωπ12)，
因为y=g(x)为奇函数，所以π6−ωπ12=kπ(k∈Z)，解得ω=2−12k(k∈Z)，
又ω>0，所以当k＝0时，ω取得最小值2。
故答案为：C
【分析】由题意结合正弦型函数的图象变换得出函数g(x)的解析式，再利用y=g(x)为奇函数结合奇函数的定义得出ω=2−12k(k∈Z)，再结合ω>0，从而得出ω的最小值。
9．【答案】B
【知识点】直线与平面所成的角
【解析】【解答】设AB=BC=2，CD的中点为E，连接AE，BE，过B作BF⊥AE交AE于F，
因为AB⊥平面BCD，且AB=BC=DB，可知AD=AC，
由于E是CD中点，因此BE⊥DC，AE⊥CD，BE∩AE=E，BE，AE⊂平面ABE，故CD⊥平面ABE，
又CD⊂平面ACD，因此平面ACD⊥平面ABE，且平面ACD∩平面ABE=AE，
BF⊥AE，BF⊂平面ABE，因此BF⊥平面ACD，
所以∠BAE是直线AB与平面ACD所成的角，因为AB⊥BE，所以sin∠BAE=BEAE=322+3=217。
故答案为：B
【分析】设AB=BC=2，CD的中点为E，连接AE，BE，过B作BF⊥AE交AE于F，利用AB⊥平面BCD，且AB=BC=DB，可知AD=AC，由于E是CD中点，因此BE⊥DC，AE⊥CD，再利用线线垂直证出线面垂直，故CD⊥平面ABE，再利用线面垂直证出面面垂直，因此平面ACD⊥平面ABE，再利用面面垂直的性质定理证出线线垂直，所以BF⊥AE，再利用线线垂直证出线面垂直，因此BF⊥平面ACD，所以∠BAE是直线AB与平面ACD所成的角，再利用AB⊥BE结合正弦函数的定义和勾股定理，进而得出直线AB与平面ACD所成角的正弦值。
10．【答案】D
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理；简单计数与排列组合
【解析】【解答】先选出2名志愿者安排到A社区，有C62种方法，
再把剩下的4名志愿者分成两组，有两种分法，一种是平均分为两组，有C42C22A22种分法，
另一种是1组1人，另一组3人，有C41C33种分法，再分配到其他两个社区，
则不同的安排方法共有C62(C42C22A22+C41C33)A22=210种。
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合组合数公式和排列数公式，再利用分类加法计数原理和分步乘法计数原理，进而得出不同的安排方法共有的种数。
11．【答案】C
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】如图，
设|AF1|=m，则|AF2|=m−2a．
又|AB|=2|AF1|，所以|BF2|=m+2a，所以|BF1|=m+4a．
又AF1⊥AB，所以|BF1|=5m，由m+4a=5m，得
m=(5+1)a=|AF1|，则|AF2|=m−2a=(5−1)a，而|F1F2|=2c，则4c2=(5+1)2a2+(5−1)2a2，化简得c2=3a2，所以e=ca=3。
【分析】设|AF1|=m，再利用双曲线的定义得出|AF2|=m−2a，再利用|AB|=2|AF1|，所以|BF2|=m+2a，所以|BF1|=m+4a，再利用AF1⊥AB，再结合勾股定理得出|BF1|=5m，由m+4a=5m得m=(5+1)a=|AF1|，进而得出|AF2|=(5−1)a，再利用|F1F2|=2c结合勾股定理得出c2=3a2，再利用双曲线离心率公式变形得出双曲线的离心率。
12．【答案】A
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】因为a>0，不等式12eax−ln(2x)a≥0恒成立，即12eax≥ln(2x)a成立，即aeax≥2ln(2x)，进而转化为axeax≥2xln(2x)=eln(2x)⋅ln(2x)恒成立.
令g(x)=xex，则g′(x)=(x+1)ex，当x>0时，g′(x)>0，所以g(x)在(0，+∞)上单调递增，则不等式12eax−ln(2x)a≥0恒成立等价于g(ax)≥g(ln(2x))恒成立.
因为a>0，x∈(12，+∞)，所以ax>0，ln(2x)>0，所以ax≥ln2x对任意的x∈(12，+∞)恒成立，所以a2≥ln(2x)2x恒成立.
设ℎ(t)=lntt(t>1)，可得ℎ′(t)=1−lntt2.当10，ℎ(t)单调递增；当t>e时，ℎ′(t)<0，ℎ(t)单调递减.所以当t=e时，函数ℎ(t)取得最大值，最大值为ℎ(e)=1e，此时2x=e，所以a2≥1e，解得a≥2e，即实数a的取值范围是[2e，+∞)。
故答案为：A
【分析】利用a>0，不等式12eax−ln(2x)a≥0恒成立，进而转化为axeax≥eln(2x)⋅ln(2x)恒成立，
令g(x)=xex，再利用求导的方法判断函数的单调性，则不等式12eax−ln(2x)a≥0恒成立等价于g(ax)≥g(ln(2x))恒成立，再利用a>0，x∈(12，+∞)，所以对任意的x∈(12，+∞)恒成立，a2≥ln(2x)2x恒成立，设ℎ(t)=lntt(t>1)，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的最大值，再利用不等式恒成立问题求解方法得出实数a的取值范围。
13．【答案】81
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的性质
【解析】【解答】因为a2+a4=2a3=14，所以a3=7，又a1=3，所以公差d=2，从而a40=3+2×39=81。
故答案为：81。
【分析】利用已知条件结合等差数列的性质，进而得出等差数列第三项的值，再利用等差数列的通项公式得出等差数列的公差，再结合等差数列的通项公式，进而得出等差数列第40项的值。
14．【答案】1
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】因为a⊥(a+2b)，所以a·(a+2b)=a2+2a⋅b=0，|a+b|2=a2+2a⋅b+b2=1，则|a+b|=1。
所以答案为：1。
【分析】利用a⊥(a+2b)结合数量积为0两向量垂直的等价关系，再结合数量积的运算法则和数量积的定义以及数量积求向量的模的公式，进而得出|a→+b→|的值。
15．【答案】y2=8x
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】过点B作抛物线C准线的垂线，垂足为E，由抛物线的定义知，|BF|=|BE|，
又|AB|=5|BF|，所以|AE|=2|BE|，所以tan∠EAB=12，
所以tan∠ODF=12，又|OF|=p2，所以|OD|=p，
所以S△DOF=4=12×p2×p=p24，则p=4，
所以抛物线C的标准方程为y2=8x。
故答案为：y2=8x。
【分析】过点B作抛物线C准线的垂线，垂足为E，由抛物线的定义知，|BF|=|BE|，再利用
|AB|=5|BF|，得出|AE|=2|BE|，再结合正切函数的定义得出tan∠EAB和tan∠ODF的值，再利用|OF|=p2，得出|OD|=p，再结合三角形的面积公式和已知条件得出p的值，从而得出抛物线C的标准方程。
16．【答案】229
【知识点】圆方程的综合应用
【解析】【解答】因为|CC1|=|CC2|，|CA1|=|CB2|，
所以康威圆的圆心在∠ACB的平分线上，
同理可知康威圆的圆心在∠ABC的平分线上，即康威圆的圆心为△ABC的内心．
因为a=12，b=5，c=13，满足a2+b2=c2，
所以∠ACB=90°，
所以△ABC的内切圆的半径r=5+12−132=2，
所以，康威圆的半径R=r2+(5+12+132)2=229。
故答案为：229。
【分析】利用|CC1|=|CC2|，|CA1|=|CB2|，所以康威圆的圆心在∠ACB的平分线上，同理可知康威圆的圆心在∠ABC的平分线上，再利用三角形内心的定义判断出康威圆的圆心为△ABC的内心．
再利用a=12，b=5，c=13结合勾股定理得出∠ACB=90°，进而得出三角形△ABC的内切圆的半径，从而结合勾股定理得出康威圆的半径。
17．【答案】（1）解：因为bsin(C+π3)=3a+3c2，由正弦定理得：
所以sinB(12sinC+32csC)=32sinA+32sinC=32sin(B+C)+32sinC.
展开得12sinBsinC+32sinBcsC=32sinBcsC+32csBsinC+32sinC，
整理得12sinB−32csB=32，即sin(B−π3)=32，
又0（2）解：由（1）知S△ABC=12acsinB=34ac=3，解得ac=4，
因为sinA+sinC=233sinB，由正弦定理得b=3(a+c)2，
由余弦定理得a2+c2−b2=2accsB=−ac，
即(a+c)2−3(a+c)24=ac=4，解得a+c=4，b=23，
所以△ABC的周长为a+b+c=23+4.
【知识点】简单的三角恒等变换；两角和与差的正弦公式；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合正弦定理和两角和的正弦公式，再结合辅助角公式得出 sin(B−π3)的值， 再利用三角形中角B的取值范围，进而得出角B的值。
（2）利用已知条件结合三角形的面积公式得出ac的值，再利用正弦定理和余弦定理得出a+c的值，再结合三角形的周长公式得出三角形 △ABC的周长。
18．【答案】（1）解：学生甲恰好答对两题的概率P=(34)2×13+2×34×14×23=716
（2）解：随机变量X的可能取值为0，1，2，3，
所以P(X=0)=(14)2×13=148，P(X=1)=C21×34×14×13+(14)2×23=16，
由（1）知P(X=2)=716，又P(X=3)=(34)2×23=38，
所以X的分布列为
E(X)=1×16+2×716+3×38=136.
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】(1)根据相互独立事件的概率乘法公式即可分两类求解出学生甲恰好答对两题的概率；
(2)根据随机变量X的取值以及对应事件的概率，即可按步骤求解出分布列，进而计算出数学期望.
19．【答案】（1）证明：取AB的中点F，连接FD，FP，BD.
因为PA=PB，AB=AD，∠DAB=60°，所以AB=AD=BD，
所以AB⊥PF，AB⊥FD.
又PF∩FD=F，所以AB⊥平面PFD，从而AB⊥PD.
因为BE⊥PD，AB∩BE=B，所以PD⊥平面PAB.
（2）解：因为PD⊥平面PAB，所以PD⊥PB，PD⊥PA，又AB=AD=BD=2，
所以PA=PB=PD=2.
因为PA2+PB2=AB2，所以PB⊥PA.
以P为坐标原点，PA，PB，PD的方向分别为x，y，z轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系P−xyz.
则A(2，0，0)，B(0，2，0)，D(0，0，2)，
因为CD∥AB，所以DC=2AB=(−22，22，0)，PD=(0，0，2).
设平面PDC的一个法向量为m=(x，y，z)，
由DC⋅m=0PD⋅m=0，得−22x+22y=02z=0，
令x=1，则y=1，z=0，所以m=(1，1，0).
因为PB⊥PA，PD⊥PB，所以PB⊥平面PAD，所以平面PAD的一个法向量为n=(0，1，0)，
所以cs〈m，n〉=m⋅n|m||n|=22，sin〈m，n〉=22，即二面角A−PD−C的正弦值为22.
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】(1)作出辅助线，证明出AB⊥PD，从而证明出 PD⊥平面PAB；
(2)证明出PB，PA，PD两两垂直，以P为坐标原点，PA，PB，PD的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系P−xyz，利用空间向量法求解出二面角A−PD−C的正弦值.
20．【答案】（1）解：由右顶点是M（2，0），得a＝2，又离心率e=12=ca，所以c=1，
所以b2=a2−c2=3，所以椭圆C的标准方程为x24+y23=1．
（2）解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，显然直线l的斜率存在．
直线l的方程为y=k(x−4)，联立方程组y=k(x−4)，3x2+4y2=12
消去y得(4k2+3)x2−32k2x+64k2−12=0，由Δ>0，得−12所以x1+x2=32k24k2+3，x1x2=64k2−124k2+3．
因为点D(x2，−y2)，所以直线AD的方程为y=y1+y2x1−x2(x−x1)+k(x1−4)．
又y1+y2=k(x1+x2−8)，
所以直线AD的方程可化为y=24k(x2−x1)(4k2+3)x+kx1(x1+x2−8)x2−x1+k(x1−4)(x2−x1)x2−x1，
即y=24k(x2−x1)(4k2+3)x−24k(x2−x1)(4k2+3)=24k(x2−x1)(4k2+3)(x−1)，
所以直线AD恒过点（1，0）．
（方法二）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l的方程为x=my+4，
联立方程组x=my+4，3x2+4y2=12消去x得(3m2+4)y2+24my+36=0，
由Δ>0，得m>2或m<−2，所以y1+y2=−24m3m2+4，y1y2=363m2+4．
因为点D(x2，−y2)，则直线AD的方程为y=y1+y2x1−x2(x−x1)+y1．
又x1−x2=my1+4−my2−4=m(y1−y2)，
所以直线AD的方程可化为y=−(y1+y2)m(y2−y1)(x−my1−4)+y1=−y1+y2m(y2−y1)x+(y1+y2)(my1+4)+y1m(y2−y1)m(y2−y1)
=−y1+y2m(y2−y1)x+2my1y2+4(y1+y2)m(y2−y1)=24(3m2+4)(y2−y1)(x−1)，
此时直线AD恒过点（1，0），
当直线l的斜率为0时，直线l的方程为y＝0，也过点（1，0）．
综上，直线AD恒过点（1，0）．
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】 (1)由椭圆的右顶点是M (2，0)，可求a，又椭圆的离心率为 12 ，可求出c，进而可求b，从而可求出椭圆C的标准方程 ；
(2) 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，显然直线l的斜率存在，直线l的方程为y=k(x−4) ，与椭圆方程联立，利用韦达定理得到 x1+x2=32k24k2+3，x1x2=64k2−124k2+3，求出直线AD的方程，从而可求出直线AD的定点坐标.
21．【答案】（1）解：由题意知，f(x)的定义域为(0，+∞)，
函数f(x)=lnx−mx+2有两个零点x1，x2即lnx−mx+2=0有两个根，
等价于方程lnx+2x=m有两个根.
设g(x)=lnx+2x，即g(x)=lnx+2x的图像与直线y=m有两个交点.
因为g′(x)=−lnx−1x2，所以g(x)在(0，1e)上单调递增，在(1e，+∞)上单调递减，
所以g(x)max=g(1e)=e，当x>0，x趋近0时，g(x)趋近负无穷大，
当x趋近正无穷大时，g(x)>0，g(x)趋近0，
由图可知，m的取值范围是(0，e).
（2）证明：由（1）知方程lnx+2x=m的两个根分别为x1，x2，则lnx1+2x1=lnx2+2x2.
令t1=1x1，t2=1x2，则2t1−t1lnt1=2t2−t2lnt2，
设t10，当t>e时，ℎ′(t)<0，
故ℎ(t)在(0，e)上单调递增，在(e，+∞)上单调递减，且ℎ(t1)=ℎ(t2)，故0设H(t)=ℎ(t)−ℎ(2e−t)(0因为H′(t)=1−lnt+[1−ln(2e−t)]=2−ln(−t2+2et)>2−ln(−e2+2e2)=0，
所以H(t)在(0，e)上单调递增，
所以H(t1)因为0e，
又ℎ(t)在(e，+∞)上单调递减，所以t2>2e−t1，即t1+t2>2e，
所以1x1+1x2>2e.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】(1)将 函数f(x)=lnx−mx+2有两个零点x1，x2 ，问题转化为方程lnx+2x=m有两个根，即 g(x)=lnx+2x的图像与直线y=m有两个交点，进而利用导数判断函数单调性，数形结合，求得参数 m的取值范围；
(2) 由（1）知方程lnx+2x=m的两个根分别为x1，x2，则lnx1+2x1=lnx2+2x2 ，利用换元法，可得令 t1=1x1，t2=1x2，可得 2t1−t1lnt1=2t2−t2lnt2， 构造函数 ℎ(t)=2t−tlnt ，利用导数研究其单调性，继而再构造函数 H(t)=ℎ(t)−ℎ(2e−t)(022．【答案】（1）解：因为曲线C的参数方程为x=−1−2csθy=2sinθ，（θ为参数），
所以曲线C的普通方程为(x+1)2+y2=4．
由ρsin(θ+π4)=2，得ρsinθcsπ4+ρcsθsinπ4=2，即ρsinθ+ρcsθ=2，
因为x=ρcsθ，y=ρsinθ，所以直线l的直角坐标方程为x+y−2=0．
（2）解：因为直线l的斜率为-1，所以l的倾斜角为3π4，
所以过点M(−2，1)且与直线l平行的直线l′的方程可设为x=−2−22ty=1+22t（t为参数）．
设点A，B对应的参数分别为t1，t2，将x=−2−22ty=1+22t代入(x+1)2+y2=4，可得(−1−22t)2+(1+22t)2=4，整理得t2+22t−2=0，则Δ>0，t1+t2=−22，t1t2=−2，
所以1|MA|+1|MB|=|MA|+|MB||MA||MB|=|t1−t2|t1t2=(−22)2+4×22=2．
【知识点】参数的意义；参数方程化成普通方程
【解析】【分析】 (1)直接利用转换关系，在参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，可得曲线C的普通方程与直线l的直角坐标方程；
(2)利用直线l的方程的斜率求出直线 l′的参数方程，进一步利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出 1|MA|+1|MB|的值．
23．【答案】（1）证明：由已知可得3=4a2+b2+16c2+(4a2+b2)+(4a2+16c2)+(b2+16c2)
≥4a2+b2+16c2+4ab+16ac+8bc=(2a+b+4c)2，
当且仅当2a=b=4c=33时，等号成立．
又a，b，c均为正数，所以2a+b+4c≤3．
（2）证明：因为(2a)2+b2+(4c)2≥33(2a)2b2(4c)2，
当且仅当2a=b=4c=33时，等号成立，
所以3×43(abc)2≤1，整理得(abc)2≤(112)3，
所以14a2+1b2+116c2≥3314a2⋅1b2⋅116c2=3431a2b2c2≥343123=9，
当且仅当2a=b=4c=33时，等号成立．
【知识点】平均值不等式
【解析】【分析】(1)利用基本不等式和 4a2+b2+16c2+4ab+16ac+8bc=(2a+b+4c)2， 求解即可得 2a+b+4c≤3；
(2)利用基本不等式求证出 14a2+1b2+116c2≥9．X
0
1
2
3
P
148
16
716
38