初中数学北师大版八年级下册第一章 三角形的证明4 角平分线教课内容课件ppt

这是一份初中数学北师大版八年级下册第一章 三角形的证明4 角平分线教课内容课件ppt，共20页。PPT课件主要包含了三角形的内角平分线，你能证明这个结论吗，试一试，证明结论，解连接OC，拓展思维等内容，欢迎下载使用。

在一个三角形居住区内修有一个学校 P，P 到 AB、BC、CA 三边的距离都相等，请在三角形居住区内标出学校 P 的位置，P 在何处？
活动1 分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？
发现：三角形的三条角平分线相交于一点.
活动2 分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量每组垂线段，你发现了什么？
发现：过交点作三角形三边的垂线段相等.
剪一个三角形纸片，通过折叠找出每个角的角平分线，观察这三条角平分线，你是否发现同样的结论？与同伴交流．
结论：三角形三个角的平分线相交于一点.
点拨：要证明三角形的三条角平分线相交于一点，只要证明其中两条角平分线的交点一定在第三条角平分线上即可.思路可表示如下：
试试看，你能写出证明过程吗？
已知：如图，△ABC 的角平分线 BM，CN 相交于点 P.求证：点 P 到三边 AB，BC，CA 的距离相等.
证明：过点 P 分别作边 AB，BC，CA 的垂线段 PD，PE，PF.
∵ BM 是△ABC 的角平分线， 点 P 在 BM 上，∴ PD = PE. 同理 PE = PF.∴ PD = PE = PF.即点 P 到三边 AB，BC，CA 的距离相等.
想一想：点 P 在∠A 的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？
点 P 在∠A 的平分线上.
结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等.
例1 如图，在△ABC 中，已知 AC = BC，∠C = 90°， AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，垂足为 E.(1) 如果 CD = 4 cm，求 AC 的长；
解：∵ AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，垂足为 E，∴ DE = CD = 4 cm.∵ AC = BC，∴∠B =∠BAC.∵∠C = 90°，∴∠B = 45°. ∴ BE = DE.在等腰 Rt△BDE 中，
(2) 求证：AB＝AC＋CD.
证明：由 (1) 的求解过程易知，Rt△ACD≌Rt△AED (HL).∴ AC＝AE.∵ BE＝DE＝CD，∴ AB＝AE＋BE＝AC＋CD.
例2 如图，在直角△ABC 中，AC = BC，∠C = 90°，AP 平分∠BAC，BD 平分∠ABC；AP，BD 交于点 O，过点 O 作 OM⊥AC，若 OM＝4，(1) 求点 O 到△ABC 三边的距离和.
温馨提示：不存在垂线段———构造应用
(2) 若 △ABC 的周长为 32，求 △ABC 的面积.
例3 如图，在△ABC 中，点 O 是△ABC 内一点，且点 O 到△ABC 三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC 的度数为 (　　)
A．110° B．120° C．130° D．140°
解析：O 到△ABC 三边的距离相等，所以 O 是内心，即三条角平分线的交点，故 BO，CO 都是内角平分线，则∠CBO＝∠ABO＝ ∠ABC，∠BCO＝∠ACO＝ ∠ACB，∠ABC＋∠ACB＝180°－40°＝140°，∠OBC＋∠OCB＝70°，∠BOC＝180° － 70°＝110°.
1. 如图，已知 △ABC，求作一点 P，使 P 到∠A 的两边的距离相等，且 PA＝PB．下列确定 P 点的方法正确的是 ( )A. P 为∠A，∠B 两角平分线的交点B. P 为∠A 的平分线与 AB 的垂直平分线的交点C. P 为 AC，AB 两边上的高的交点D. P 为 AC，AB 两边的垂直平分线的交点
【解析】∵ 点 P 到∠A 的两边的距离相等，∴ P 在∠A 的平分线上.∵ PA＝PB，∴ 点 P 在 AB 的垂直平分线上.∴ P 为∠A 的平分线与 AB 的垂直平分线的交点.
2. 如图，在△ABC 中，∠C = 90°，DE⊥AB，∠CBE =∠ABE，且 AC = 6 cm，那么 AE + DE = .
3. 如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在 ( )A. △ABC 的三条中线的交点B. △ABC 三边的垂直平分线的交点C. △ABC 三条角平分线的交点D. △ABC 三条高所在直线的交点
4. 已知：如图，△ABC 中，∠C = 90°，AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB 于 E，F 在 AC 上，BD = DF.求证：CF = EB.
证明：∵ AD 平分∠CAB，DE⊥AB，∠C = 90° (已知)，∴CD＝DE (角平分线的性质).在 Rt△CDF 和 Rt△EDB 中，　　 CD = ED (已证)， DF = DB (已知)， ∴ Rt△CDF≌Rt△EDB (HL). ∴ CF = EB (全等三角形的对应边相等).
5. 如图，直线 l1、l2、l3 表示三条互相交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，可选择的地址有几处? 画出它的位置.