2023-2024学年山东省潍坊市高密市九年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年山东省潍坊市高密市九年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析），共15页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.星载原子钟是卫星导航系统的“心脏”，对系统定位和授时精度具有决定性作用.“北斗”三号卫星导航系统装载国产高精度星载原子钟，保证“北斗”优于20纳秒的授时精度.1纳秒=1×10−9秒，那么20纳秒用科学记数法表示为( )
A. 2×10−8秒B. 2×10−9秒C. 20×10−9秒D. 2×10−10秒
2.已知4m=a，8n=b，其中m，n为正整数，则22m+6n=( )
A. ab2B. a+b2C. a2b3D. a2+b3
3.若关于x的不等式组3x−5⩾12x−a<8有且只有3个整数解，则a的取值范围是( )
A. 0⩽a⩽2B. 0⩽a<2C. 04.已知关于x的分式方程xx−1−2=k1−x的解为正数，则k的取值范围为
( )
A. −2−2且k≠−1
C. k>−2D. k<2且k≠1
5.《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间，设规定时间为x天，则可列出正确的方程为( )
A. 900x+3=2×900x−1B. 900x−3=2×900x+1
C. 900x−1=2×900x+3D. 900x+1=2×900x−3
6.我们知道，引进了无理数后，有理数集就扩展到实数集：同样，如果引进“虚数”实数集就扩展到“复数集”.现在我们定义：“虚数单位”，其运算规则是：i1=i，i2=−1，i3=−i，i4=1，i5=i，i6=−1，i7=−i，则i2023的值是( )
A. 1B. −1C. iD. −i
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
7.下列计算正确的是( )
A. 3a3⋅(−4a2)=−12a5B. (−2m2)3=−8m6
C. (x+y)2=x2+y2D. 2ab+3a2b=5a3b2
8.九年级学生在参加校外实践活动中，有m位师生乘坐n辆客车.若每辆客车乘42人，则还有8人不能上车，若每辆客车乘45人，则最后一辆车空了16个座位.在下列四个方程中正确的有( )
A. 42n−8=45n+16B. m+842=m−1645
C. m−842=m+1645D. 42n+8=45n−16
9.下列说法正确的是( )
A. 若4x=a，8y=b，则24x−3y=a2b
B. 若m2+m−1=0，则m3+2m2+2010=2011
C. 若a2+b2=3，a−b=1，则ab=2
D. 若mn=−2，m+n=3，则m2n+mn2=−6
10.下列说法：正确的是( )
A. 若分式a2−9a−3的值为零，则a的值为−3
B. 根据分式的基本性质，mn可以变形为mx2nx2
C. 分式xy3x−2y中x，y都扩大到原来的3倍，分式的值不变
D. a2a+1−a+1=1a+1
三、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。
11.因式分解：3ma2−6mab+3mb2= ______．
12.方程6(x+1)(x−1)−3x−1=1的解为______．
13.某品牌新能源汽车2020年的销售量为20万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐年递增，2022年的销售量比2020年增加了31.2万辆.如果设从2020年到2022年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率为x，那么可列出方程是______．
14.已知y= (x−4)2−x+5，当x分别取1，2，3，…，2010时，所对应的y值的总和是______．
四、解答题：本题共8小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题10分)
(1) 12−2cs30°−| 3−2|+2−1．
(2)解不等式组3(x−1)≤2x−2①x+33+1>x+22②，并将其解集在数轴上表示出来．
16.(本小题10分)
已知关于x的一元二次方程x2−2(a−1)x+a2−a−2=0有两个不相等的实数根x1，x2．
(1)若a为正整数，求a的值；
(2)若x1，x2满足x12+x22−x1x2=16，求a的值．
17.(本小题10分)
对于任意实数a，b，定义一种新运算：a※b=a−b(a≥2b)a+b−6(a<2b)，例如：3※1=3−1=2，5※4=5+4−6=3.根据上面的材料，请完成下列问题：
(1)4※3= ______，(−1)※(−3)= ______；
(2)若(3x+2)※(x−1)=5，求x的值．
18.(本小题10分)
先化简，再求值：a2−6a+9a−2÷(a+2+52−a)，其中a是使不等式a−12≤1成立的正整数．
19.(本小题12分)
阅读材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2 2=(1+ 2)2，善于思考的小明进行了以下探索：
设a+b 2=(m+n 2)2(其中a，b，m，n均为正整数)，则有a+b 2=m2+2n2+2 2mn．
∴a=m2+2n2，b=2mn．
这样小明就找到了一种把部分a+b 2的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)当a，b，m.n均为正整数时，若a+b 3=(m+n 3)2，用含m，n的式子分别表示a，b，得a= ______，b= ______；
(2)利用所探索的结论，找一组正整数；a，b，m，n填空：______+ ______ 3=(______+ ______ 3)2；
(3)若a+4 3=(m+n 3)2，且a，m，n均为正整数，求a的值．
20.(本小题12分)
如果一个正整数能够表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”.例如：因为4=22−02，12=42−22，20=62−42，故4，12，20都是神秘数．
(1)写出一个除4，12，20之外的“神秘数”： ；
(2)设两个连续偶数为2k和2k+2(k为非负整数)，则由这两个连续偶数构造的“神秘数”能够被4整除吗？为什么？
(3)两个相邻的“神秘数”之差是否为定值？若为定值，求出此定值；若不是定值，请说明理由．
21.(本小题12分)
为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩.已知A型充电桩比B型充电桩的单价少0.3万元，且用15万元购买A型充电桩与用20万元购买B型充电桩的数量相等．
(1)A，B两种型号充电桩的单价各是多少？
(2)该停车场计划共购买25个A，B型充电桩，购买总费用不超过26万元，且B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的12.问：共有哪几种购买方案？哪种方案所需购买总费用最少？
22.(本小题14分)
“阳光玫瑰”葡萄品种是广受各地消费者的青睐的优质新品种，在我国西部区域广泛种植，某葡萄种植基地2018年种植“阳光玫瑰”100亩，到2020年“阳光玫瑰”的种植面积达到256亩．
(1)求该基地这两年“阳光玫瑰”种植面积的平均年增长率．
(2)市场调查发现，当“阳光玫瑰”的售价为20元/千克时，每天能售出200千克，售价每降价1元，每天可多售出45千克．
①若降价x(0≤x≤20)元，每天能售出多少千克？(用x的代数式表示)
②为了推广宣传，基地决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该基地“阳光玫瑰”的平均成本价为10元/千克，若要销售“阳光玫瑰”每天获利2125元，则售价应降低多少元？
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】
解：用科学记数法表示20纳秒为20×1×10−9秒=2×10−8秒．
故选：A．
2.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查的是幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法有关知识．
将已知等式代入22m+6n=22m×26n=(22)m⋅(23)2n=4m⋅82n=4m⋅(8n)2可得．
【解答】
解：∵4m=a，8n=b，
∴22m+6n=22m×26n
=(22)m⋅(23)2n
=4m⋅82n
=4m⋅(8n)2
=ab2，
故选A．
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解的应用，解此题的关键就是根据整数解的个数求出关于a的不等式组．
先求出不等式组的解集(含有字母a)，利用不等式组有三个整数解，逆推出a的取值范围即可．
【解答】
解：解不等式3x−5⩾1，得：x⩾2，
解不等式2x−a<8，得：x<8+a2，
∴不等式组的解集为：2⩽x<8+a2，
∵不等式组3x−5⩾12x−a<8有三个整数解，
∴三个整数解为：2，3，4，
∴4<8+a2⩽5，
解得：0故选：C．
4.【答案】B
【解析】解：∵xx−1−k1−x=2，
∴x+kx−1=2，
∴x=2+k，
∵该分式方程有解，
∴2+k≠1，
∴k≠−1，
∵x>0，
∴2+k>0，
∴k>−2，
∴k>−2且k≠−1，
故选：B．
根据分式方程的解法即可求出答案．
本题考查分式方程的解法，解题的关键是熟练运用分式方程的解法，本题属于基础题型．
5.【答案】B
【解析】解：∵规定时间为x天，
∴慢马送到所需时间为(x+1)天，快马送到所需时间为(x−3)天，
又∵快马的速度是慢马的2倍，两地间的路程为900里，
∴900x−3=2×900x+1．
故选：B．
根据快、慢马送到所需时间与规定时间之间的关系，可得出慢马送到所需时间为(x+1)天，快马送到所需时间为(x−3)天，再利用速度=路程÷时间，结合快马的速度是慢马的2倍，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的感觉．
6.【答案】D
【解析】解：∵il=i，i2=−1，i3=−i，i4=1，i5=i，i6=−1，i7=−i，
∴每4个数据一循环，
∵2023÷4=505…3，
∴i2023=i3=−i．
故选：D．
根据已知得出变化规律进而求出答案．
此题主要考查了新定义，正确理解题意是解题关键．
7.【答案】AB
【解析】解：A、3a3⋅(−4a2)=−12a5，正确，符合题意；
B、(−2m2)3=−8m6，正确，符合题意；
C、(x+y)2=x2+y2+2xy，原计算错误，不符合题意；
D、2ab+3a2b=ab(2+3a)，原计算错误，不符合题意；
故选：AB．
分别根据同底数幂的乘法公式，积的乘方公式，完全平方公式，合并同类项法则进行计算可得结果．
此题主要是考查了同底数幂的乘法公式，积的乘方公式，完全平方公式，合并同类项法则，能够熟练运用各种法则是解答此题的关键．
8.【答案】CD
【解析】解：根据总人数列方程为：42n+8=45n−16，
根据客车数列方程为：m−842=m+1645．
故选：CD．
首先要理解清楚题意，知道总的客车数量及总的人数不变，然后采用排除法进行分析从而得到正确答案．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，关键是正确理解题意，能够根据不同的等量关系列方程．
9.【答案】ABD
【解析】解：A、若4x=a，8y=b，则24x−3y=24x23y=42x8y=a2b，故选项A符合题意；
B、若m2+m−1=0，则m2+m=1，则m3+2m2+2010=m(m2+m)+m2+2010=m+m2+1=2011，故选项B符合题意；
C、若a2+b2=3，a−b=1，则ab=a2+b2−(a−b)22=3−12=1，故选项C不符合题意；
D、若mn=−2，m+n=3，则m2n+mn2=mn(m+n)=−2×3=−6，故选项D符合题意；
故选：ABD．
根据完全平方公式，幂的乘方与积的乘方和因式分解等知识点计算即可．
本题考查的是完全平方公式，幂的乘方与积的乘方和因式分解，熟练掌握上述知识点是解题的关键．
10.【答案】AD
【解析】解：A、分式a2−9a−3的值为零，则a的值为−3，故正确，符合题意；
B、根据分式的基本性质，mn可以变形为mx2nx2(m≠0)，故原说法错误，不符合题意；
C、分式xy3x−2y中x，y都扩大到原来的3倍，分式的值扩大为3倍，故原说法错误，不符合题意；
D、a2a+1−a+1=a2a+1−(a−1)(a+1)a+1=1a+1，故原式正确，符合题意．
故选：AD．
根据分式值为零的条件、分式的基本性质、分式的加减法法则计算分析即可．
此题主要考查了分式的值为零的条件以及分式的基本性质、分式与整式的加减法，正确掌握相关定义和运算法则是解题关键．
11.【答案】3m(a−b)2
【解析】解：3ma2−6mab+3mb2
=3m(a2−2ab+b2)
=3m(a−b)2，
故答案为：3m(a−b)2．
先提取公因式，然后利用完全平方公式因式分解即可．
本题考查因式分解，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
12.【答案】x=−4
【解析】解：6(x+1)(x−1)−3x−1=1，
6(x+1)(x−1)−3(x+1)(x−1)(x+1)=1，
3−3x(x+1)(x−1)=1，
−3x+1=1，
去分母得：
x+1=−3，
解得：x=−4，
经检验x=−4是原方程的解；
故答案为x=−4；
根据分式方程的解法，先将式子通分化简为−3x+1=1，最后验证解的情况，进而求解；
本题考查分式方程的解法；熟练掌握分式方程的解法，勿遗漏验解环节是解题的关键．
13.【答案】20(1+x)2−20=31.2
【解析】解：由题意得：20(1+x)2−20=31.2，
故答案为：20(1+x)2−20=31.2．
根据“2022年的销售量比2020年增加了31.2万辆”列方程求解．
本题考查了由实际问题抽象处一元二次方程，找到相等关系是解题的关键．
14.【答案】2022
【解析】解：由题可知，y= (x−4)2−x+5=|x−4|−x+5，
当x≤4时，y=−(x−4)−x+5=9−2x；
当x≥5时，y=(x−4)−x+5=1；
∴当x分别取1，2，3，…，2010时，
y=(9−2×1)+(9−2×2)+(9−2×3)+(9−2×4)+1×(2010−4)
=7+5+3+1+2006
=2022，
故答案为：2022．
由题可知，y= (x−4)2−x+5=|x−4|−x+5，分为两种情况：当x≤4时，y=−(x−4)−x+5=9−2x和当x≥5时，y=(x−4)−x+5=1；因此当x分别取1，2，3，…，2010时，y=(9−2×1)+(9−2×2)+(9−2×3)+(9−2×4)+1×(2010−4)，计算即可．
本题考查的是数字的变化规律和二次根式的性质与化简求值，从数字之间找出变化规律是解题的关键．
15.【答案】解⋅：(1)原式=2 3−2× 32−2+ 3+12
=2 3− 3−2+ 3+12
=2 3−32；
(2)由不等式①得：x≤1，
由不等式②得：x<6，
∴原不等式组的解集为：x≤1．
它的解集在数轴上表示：

【解析】(1)根据特殊角的三角函数值、绝对值的性质和负整数指数幂的性质计算即可；
(2)求出各个不等式的解集，找出它们的公共部分，并把解集在数轴上表示出来即可．
本题主要考查了实数的运算和解一元一次不等式组，解题关键是熟练掌握特殊角的三角函数值、绝对值的性质、负整数指数幂的性质和解一元一次不等式组的一般步骤．
16.【答案】解：(1)∵关于x的一元二次方程x2−2(a−1)x+a2−a−2=0有两个不相等的实数根，
∴Δ=[−2(a−1)]2−4(a2−a−2)>0，
∴4a2−8a+4−4a2+4a+8>0
解得：a<3，
∵a为正整数，
∴a=1或a=2；
(2)由根与系数的关系可得：x1+x2=2(a−1)，x1x2=a2−a−2，
∵x12+x22−x1x2=16，
∴(x1+x2)2−3x1x2=16，
∴[2(a−1)]2−3(a2−a−2)=16，
∴a2−5a−6=0，
∴(a−6)(a+1)=0
解得：a1=−1，a2=6，
∵a<3，
∴a=−1．
【解析】本题主要考查的是一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，先判断出a的取值范围，再由根与系数的关系得出方程组是解答此题的关键．
(1)根据关于x的一元二次方程x2−2(a−1)x+a2−a−2=0有两个不相等的实数根，得到Δ=[−2(a−1)]2−4(a2−a−2)>0，于是得到结论；
(2)由根与系数的关系可得：x1+x2=2(a−1)，x1x2=a2−a−2，把x12+x22−x1x2=16变形为(x1+x2)2−3x1x2=16，代入解方程即可得到结论．
17.【答案】(1)1 ，2；
(2)由题意，当3x+2≥2(x−1)时，
即x≥−4时，
原方程为：3x+2−(x−1)=5，
解得：x=1；
当3x+2<2(x−1)时，
即x<−4时，
原方程为：3x+2+x−1−6=5，
解得：x=2.5，
∵2.5>−4，
∴x=2.5不符合题意，应舍去，
综上，x=1．
【解析】解：(1)∵4<2×3，
∴4※3
=4+3−6
=1；
∵−1>2×(−3)，
∴(−1)※(−3)
=−1−(−3)
=2；
故答案为：1；2；
(2)见答案．
(1)根据定义的新运算列式计算即可；
(2)由新定义，分3x+2≥2(x−1)和3x+2<2(x−1)两种情况分类讨论，并列得对应的方程并解方程即可．
本题考查定义新运算问题，特别注意(2)中应分3x+2≥2(x−1)和3x+2<2(x−1)两种情况分类讨论．
18.【答案】解：原式=(a−3)2a−2÷4−a2+52−a
=(a−3)2a−2⋅2−a(3−a)(3+a)
=(a−3)2a−2⋅a−2(a−3)(a+3)
=a−3a+3，
∵a−12≤1，
解得：a≤3，
∵a是使不等式a−12≤1成立的正整数，且a−2≠0，a−3≠0，
∴a=1，
∴原式=1−31+3=−12．
【解析】直接利用分式的混合运算法则计算，进而解不等式，把符合题意的数据代入得出答案．
此题主要考查了分式的化简求值以及一元一次不等式的解法，正确化简分式是解题关键．
19.【答案】m2+3n2 2mn 4 2 1 1
【解析】解：(1)∵(m+n 3)2=m2+3n2+2mn 3，
∴a+b 3=m2+3n2+2mn 3，
∴a=m2+3n2，b=2mn，
故答案为：m2+3n2，2mn；
(2)当m=1，n=1时，a=m2+3n2=4，b=2mn=2，
∴a=4，b=2，m=1，n=1，
故答案为：4，2，1，1(答案不唯一)；
(3)∵a+4 3=(m+n 3)2=m2+3n2+2mn 3，
∴a=m2+3n2，4=2mn，
∴mn=2，
∵m，n均为正整数，
∴m=1，n=2或m=2，n=1，
当m=1，n=2时，a=m2+3n2=13，
当m=2，n=1时，a=m2+3n2=7，
∴a的值为13或7．
(1)将等号右边展开，比较即可得到答案；
(2)取一组m，n的值，结合(1)算出a，b的值即可；
(3)由a+4 3=(m+n 3)2=m2+3n2+2mn 3，可得mn=2，即得m=1，n=2或m=2，n=1，代入a=m2+3n2，可得a的值为13或7．
本题考查二次根式的运算，解题的关键是读懂阅读材料，仿照材料解答．
20.【答案】解：(1)28(答案不唯一)；
(2)这两个连续偶数构造的“神秘数”能够被4整除，
理由：∵(2k+2)2−(2k)2=(4k+2)⋅2=4(2k+1)，
∴这两个连续偶数构造的“神秘数”能够被4整除；
(3)两个相邻的“神秘数”之差为定值，
理由：因为：4[2(k+1)+1]−4(2k+1)=8，
所以两个相邻的“神秘数”之差是定值．
【解析】【分析】
(1)根据新定义求解；
(2)根据新定义证明；
(3)根据(2)中的结论进行证明．
本题考查了因式分解的应用，理解新定义是解题的关键．
【解答】
解：(1)∵82−62=28，
∴28是神秘数，
故答案为28(答案不唯一)；
(2)见答案；
(3)见答案．
21.【答案】解：(1)设A型充电桩的单价为x万元，则B型充电桩的单价为(x+0.3)万元，
根据题意得15x=20x+0.3，
解得x=0.9，
经检验x=0.9是原方程的解，x+0.3=1.2．
答：A型充电桩的单价为0.9万元，B型充电桩的单价为1.2万元；
(2)设购买A型充电桩m个，则购买B型充电桩(25−m)个，
根据题意，得：0.9m+1.2(25−m)≤2625−m≥12m，
解得：403≤m≤503．
∵m为整数，
∴m=14，15，16．
∴该停车场有3种购买充电桩方案，
方案一：购买14个A型充电桩、11个B型充电桩；
方案二：购买15个A型充电桩、10个B型充电桩；
方案三：购买16个A型充电桩、9个B型充电桩．
∵A型充电桩的单价低于B型充电桩的单价，
∴购买方案三总费用最少，最少费用=16×0.9+1.2×9=25.2(万元)．
【解析】(1)设A型充电桩的单价为x万元，则B型充电桩的单价为(x+0.3)万元，根据“用15万元购买A型充电桩与用20万元购买B型充电桩的数量相等”列出分式方程，求解即可；
(2)设购买A型充电桩m个，则购买B型充电桩(25−m)个，根据购买总费用不超过26万元且B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的12，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为整数即可得出各购买方案，再由两种充电桩的单价之间的关系可找出购买方案总费用最少的方案及最少总费用．
本题考查了分式的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
22.【答案】解：(1)设该基地这两年“阳光玫瑰”种植面积的平均增长率为x，
依题意，得：100(1+x)2=256，
解得：x1=0.6=60%，x2=−2.6(不合题意，舍去)．
答：该基地这两年“阳光玫瑰”种植面积的平均增长率为60%．
(2)①设售价应降低y元，则每天可售出(200+45y)千克；
②依题意，得：(20−10−y)(200+45y)=2125，
整理，得：9y2−50y+25=0，
解得：y1=5，y2=59．
∵要尽量减少库存，
∴y=5．
答：售价应降低5元．
【解析】(1)设该基地这两年“阳光玫瑰”种植面积的平均增长率为x，根据该基地2018年及2020年“阳光玫瑰”的种植面积，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
(2)设售价应降低x元，则每天可售出(200+45x)千克，根据总利润=每千克的利润×销售数量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．