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北师大版数学八年级下册期中模拟精品试卷（含详细解析）
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这是一份北师大版数学八年级下册期中模拟精品试卷（含详细解析），共18页。
八年级：一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
1．（3分）下列不等式中，是一元一次不等式的是（ ）
A．x+1＞2 B．x2＞9 C．2x+y≤5 D．＞3
2．（3分）将长度为3cm的线段向上平移20cm，所得线段的长度是（ ）
A．3cm B．23cm C．20cm D．17cm
3．（3分）下列图形中是中心对称图形的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（3分）下列因式分解正确的是（ ）
A．x2﹣4＝（x+4）（x﹣4） B．x2﹣2x﹣15＝（x+3）（x﹣5）
C．3mx﹣6my＝3m（x﹣6y） D．2x+4＝2（x+4）
5．（3分）若a＜b，则下列不等式不成立的是（ ）
A．3a＜3b B．﹣3a＜﹣3b C．a+3＜b+3 D．2a﹣1＜2b﹣1
6．（3分）已知等腰△ABC的周长为18cm，BC＝8cm，若△ABC≌△A′B′C′，则△A′B′C′中一定有一条边等于（ ）
A．7cm B．2cm或7cm C．5cm D．2cm或5cm
7．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠BAE＝10°，则∠C的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
8．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，AB的垂直平分线交BC于D，交AB于E，DB＝12cm，则AC＝（ ）
A．4cm B．5m C．6cm D．7cm
9．（3分）直线l1：y＝k1x+b与直线l2：y＝k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式k1x+b＞k2x的解为（ ）
A．x＞﹣1 B．x＜﹣1 C．x＜﹣2 D．无法确定
10．（3分）如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝1，则BB′的长为（ ）
A．4 B． C． D．
11．（3分）如果关于x的不等式（a+2014）x＞a+2014的解集为x＜1那么a的取值范围是（ ）
A．a＞﹣2014 B．a＜﹣2014 C．a＞2014 D．a＜2014
12．（3分）如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点B到点C的方向平移到△DEF的位置，∠B＝90°，AB＝8，DH＝3，平移距离为4，求阴影部分的面积为（ ）
A．20 B．24 C．25 D．26
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
13．（3分）2x+10＞2的解集是 ．
14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DC＝2，则D到AB边的距离是 ．
15．（3分）如图，在等边△ABC中，AB＝6，D是BC的中点，将△ABD绕点A旋转后得到△ACE，那么线段DE的长度为 ．
16．（3分）若多项式x2+ax﹣2分解因式的结果为（x+1）（x﹣2），则a的值为 ．
17．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝BD＝BC，那么∠A＝ 度．
18．（3分）边长为2cm的等边三角形的面积为 cm2．
19．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB，AB＝8，则BC＝ ，∠BCD＝ ，BD＝ ．
20．（3分）如图，将△ABC沿AC方向平移1cm得到△DEF，若△ABC的周长为10cm．则四边形ABEF的周长为 ．
三、解答题（共3小题，满分26分）
21．（8分）求下列不等式（组）的解集，并在数轴上表示解集：
（1）
（2）+2＜3﹣．
22．（12分）因式分解
（1）5a2b+10ab2﹣15ab．
（2）（3m+n）2﹣（m﹣n）2．
（3）m2﹣6m+9．
23．（6分）若关于x的不等式组的解集是2≤x＜5，求m+n的值．
四.解答题
24．（6分）如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，CE与BD相交于点M，BD交AC于点N．证明：
（1）△ABD≌△ACE
（2）BD⊥CE．
25．（8分）某公司经营甲、乙两种商品，每件甲种商品进价12万元，售价14.5万元；每件乙种商品进价8万元，售价10万元，且它们的进价和售价始终不变．现准备购进甲、乙两种商品共20件，所用资金不低于190万元，不高于200万元．
（1）该公司有哪几种进货方案？
（2）该公司采用哪种进货方案可获得最大利润？最大利润是多少？
（3）若用（2）中所求得的利润再次进货，请直接写出获得最大利润的进货方案．
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
1．（3分）下列不等式中，是一元一次不等式的是（ ）
A．x+1＞2 B．x2＞9 C．2x+y≤5 D．＞3
【考点】一元一次不等式的定义．菁优网版权所有
【答案】A
【分析】根据一元一次不等式的定义解答．
【解答】解：A、该不等式符合一元一次不等式的定义，故本选项正确；
B、未知数的次数是2，不是一元一次不等式，故本选项错误；
C、该不等式中含有2个未知数，属于二元一次不等式，故本选项错误；
D、该不等式属于分式不等式，故本选项错误；
故选：A．
【点评】本题考查一元一次不等式的定义中的未知数的最高次数为1次．
2．（3分）将长度为3cm的线段向上平移20cm，所得线段的长度是（ ）
A．3cm B．23cm C．20cm D．17cm
【考点】平移的性质．菁优网版权所有
【答案】A
【分析】根据平移的基本性质，可直接求得结果．
【解答】解：平移不改变图形的形状和大小，故线段的长度不变，长度是3cm．
故选：A．
【点评】本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．
3．（3分）下列图形中是中心对称图形的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】中心对称图形．菁优网版权所有
【答案】B
【分析】根据中心对称图形的概念求解．
【解答】解：第2个、第4个图形是中心对称图形，共2个．
故选：B．
【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形的关键是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
4．（3分）下列因式分解正确的是（ ）
A．x2﹣4＝（x+4）（x﹣4） B．x2﹣2x﹣15＝（x+3）（x﹣5）
C．3mx﹣6my＝3m（x﹣6y） D．2x+4＝2（x+4）
【考点】因式分解﹣十字相乘法等；提公因式法与公式法的综合运用．菁优网版权所有
【答案】B
【分析】A、直接利用平方差公式求解即可求得答案；
B、利用十字相乘法分解因式的方法求解即可求得答案；
C、直接利用提取公因式的方法分解即可求得答案；
D、直接利用提取公因式的方法分解即可求得答案．
【解答】解：A、x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）；故本选项错误；
B、x2﹣2x﹣15＝（x+3）（x﹣5）；故本选项正确；
C、3mx﹣6my＝3m（x﹣2y）；故本选项错误；
D、2x+4＝2（x+2）；故本选项错误．
故选：B．
【点评】此题考查了十字相乘法分解因式以及提公因式与公式法分解因式的知识．注意分解因式时，要先提公因式，再利用公式法分解．
5．（3分）若a＜b，则下列不等式不成立的是（ ）
A．3a＜3b B．﹣3a＜﹣3b C．a+3＜b+3 D．2a﹣1＜2b﹣1
【考点】不等式的性质．菁优网版权所有
【答案】B
【分析】根据不等式的基本性质对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、∵a＜b，∴3a＜3b，故本选项不符合题意；
B、∵a＜b，∴﹣3a＞﹣3b，故本选项符合题意；
C、∵a＜b，∴a+3＜b+3，故本选项不符合题意；
D、∵a＜b，∴2a＜2b，∴2a﹣1＜2b﹣1，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查的是不等式的基本性质，即：
（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；
（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；
（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
6．（3分）已知等腰△ABC的周长为18cm，BC＝8cm，若△ABC≌△A′B′C′，则△A′B′C′中一定有一条边等于（ ）
A．7cm B．2cm或7cm C．5cm D．2cm或5cm
【考点】等腰三角形的性质；全等三角形的性质．菁优网版权所有
【答案】D
【分析】分两种情况讨论：
（1）若BC为等腰△ABC的底边；
（2）若BC为等腰△ABC的腰．
【解答】解：（1）在等腰△ABC中，若BC＝8cm为底边，
根据三角形周长计算公式可得腰长＝5cm；
（2）在等腰△ABC中，若BC＝8cm为腰，
根据三角形周长计算公式可得底边长18﹣2×8＝2cm
∵△ABC≌△A′B′C′，
∴△A′B′C′与△ABC的边长及腰长相等．
即△A′B′C′中一定有一条边等于2或5．
故选：D．
【点评】考查了全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等、对应边相等．
7．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠BAE＝10°，则∠C的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【考点】线段垂直平分线的性质．菁优网版权所有
【答案】B
【分析】利用线段的垂直平分线的性质计算．
通过已知条件由∠B＝90°，∠BAE＝10°⇒∠AEB，
∠AEB＝∠EAC+∠C＝2∠C．
【解答】解：∵ED是AC的垂直平分线，
∴AE＝CE
∴∠EAC＝∠C，
又∵∠B＝90°，∠BAE＝10°，
∴∠AEB＝80°，
又∵∠AEB＝∠EAC+∠C＝2∠C，
∴∠C＝40°．
故选：B．
【点评】此题主要考查线段的垂直平分线的性质、直角三角形的两锐角互余、三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角和．
8．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，AB的垂直平分线交BC于D，交AB于E，DB＝12cm，则AC＝（ ）
A．4cm B．5m C．6cm D．7cm
【考点】线段垂直平分线的性质．菁优网版权所有
【答案】C
【分析】利用线段垂直平分线的性质求得AD＝BD＝12cm；然后根据三角形的内角和定理求得∠ADC＝30°；最后由直角三角形中的30°角所对的直角边是斜边的一半来求AC的长度．
【解答】解：连接AD．
∵AB的垂直平分线交BC于D，交AB于E，DB＝12cm，
∴AD＝BD＝12cm，∠B＝∠BAD＝15°；
又∵在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，
∴∠DAC＝60°，
∴∠ADC＝30°，
∴AC＝AD＝6cm．
故选：C．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质（线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等）．解答本题的关键是线段垂直平分线的性质求得AD＝BD＝12cm，及∠ADC＝30°．
9．（3分）直线l1：y＝k1x+b与直线l2：y＝k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式k1x+b＞k2x的解为（ ）
A．x＞﹣1 B．x＜﹣1 C．x＜﹣2 D．无法确定
【考点】一次函数与一元一次不等式．菁优网版权所有
【答案】B
【分析】求关于x的不等式k1x+b＞k2x的解集就是求：能使函数y＝k1x+b的图象在函数y＝k2x的上方的自变量的取值范围．
【解答】解：能使函数y＝k1x+b的图象在函数y＝k2x的上方时的自变量的取值范围是x＜﹣1．
故关于x的不等式k1x+b＞k2x的解集为：x＜﹣1．
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．利用数形结合是解题的关键．
10．（3分）如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝1，则BB′的长为（ ）
A．4 B． C． D．
【考点】中心对称．菁优网版权所有
【答案】A
【分析】在直角△ABC中根据30度角所对的直角边等于斜边的一半求得AB，而BB′＝2AB，据此即可求解．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠B＝30°，AC＝1，
∴AB＝2AC＝2，
∴BB′＝2AB＝4．
故选：A．
【点评】本题主要考查了直角三角形的性质：30°的锐所对的直角边等于斜边的一半，以及旋转的性质．
11．（3分）如果关于x的不等式（a+2014）x＞a+2014的解集为x＜1那么a的取值范围是（ ）
A．a＞﹣2014 B．a＜﹣2014 C．a＞2014 D．a＜2014
【考点】不等式的解集．菁优网版权所有
【答案】B
【分析】不等式两边同时除以a+2014即可求解不等式，根据不等式的性质可以得到a+2014一定小于0，据此即可求解．
【解答】解：根据题意得：a+2014＜0，
解得：a＜﹣2014．
故选：B．
【点评】本题考查了不等式的解法，解答此题学生一定要注意不等式两边同乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
12．（3分）如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点B到点C的方向平移到△DEF的位置，∠B＝90°，AB＝8，DH＝3，平移距离为4，求阴影部分的面积为（ ）
A．20 B．24 C．25 D．26
【考点】平移的性质．菁优网版权所有
【答案】D
【分析】由S△ABC＝S△DEF，推出S四边形ABEH＝S阴即可解决问题；
【解答】解：∵平移距离为4，
∴BE＝4，
∵AB＝8，DH＝3，
∴EH＝8﹣3＝5，
∵S△ABC＝S△DEF，
∴S四边形ABEH＝S阴
∴阴影部分的面积为＝×（8+5）×4＝26
故选：D．
【点评】此题主要考查了平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等，要熟练掌握．
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
13．（3分）2x+10＞2的解集是 x＞﹣4 ．
【考点】解一元一次不等式．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】移项，合并同类项，系数化成1即可．
【解答】解：2x+10＞2，
2x＞2﹣10，
2x＞﹣8，
x＞﹣4，
故答案为：x＞﹣4．
【点评】本题考查了解一元一次不等式，能正确根据不等式的基本性质进行变形是解此题的关键．
14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DC＝2，则D到AB边的距离是 2 ．
【考点】角平分线的性质．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】过D作DE⊥AB于E，得出DE的长度是D到AB边的距离，根据角平分线性质求出CD＝ED，代入求出即可．
【解答】解：过D作DE⊥AB于E，则DE的长度就是D到AB边的距离．
∵AD平分∠CAB，∠ACD＝90°，DE⊥AB，
∴DC＝DE＝2（角平分线性质），
故答案为：2．
【点评】本题考查了对角平分线性质的应用，关键是作辅助线DE，本题比较典型，难度适中．
15．（3分）如图，在等边△ABC中，AB＝6，D是BC的中点，将△ABD绕点A旋转后得到△ACE，那么线段DE的长度为 3 ．
【考点】旋转的性质；等边三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】首先，利用等边三角形的性质求得AD＝3；然后根据旋转的性质、等边三角形的判定推知△ADE为等边三角形，可得结论．
【解答】解：如图，∵在等边△ABC中，∠B＝60°，AB＝6，D是BC的中点，
∴AD⊥BD，∠BAD＝∠CAD＝30°，
∴AD＝ABcos30°＝6×＝3．
根据旋转的性质知，∠EAC＝∠DAB＝30°，AD＝AE，
∴∠DAE＝∠EAC+∠CAD＝60°，
∴△ADE的等边三角形，
∴DE＝AD＝3，
即线段DE的长度为3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质．旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．
16．（3分）若多项式x2+ax﹣2分解因式的结果为（x+1）（x﹣2），则a的值为 ﹣1 ．
【考点】因式分解﹣十字相乘法等．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】根据因式分解的结果确定出a的值即可．
【解答】解：根据题意得：x2+ax﹣2＝（x+1）（x﹣2）＝x2﹣x﹣2，
则a＝﹣1，
故答案为：﹣1
【点评】此题考查了因式分解﹣十字相乘法，熟练掌握十字相乘的方法是解本题的关键．
17．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝BD＝BC，那么∠A＝ 36 度．
【考点】等腰三角形的性质．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】设∠A＝x，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求解．
【解答】解：设∠A＝x．
∵AD＝BD，
∴∠ABD＝∠A＝x；
∵BD＝BC，
∴∠BCD＝∠BDC＝∠ABD+∠A＝2x；
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠BCD＝2x，
∴∠DBC＝x；
∵x+2x+2x＝180°，
∴x＝36°，
∴∠A＝36°．
故答案为：36．
【点评】本题考查等腰三角形的性质；利用了三角形的内角和定理得到相等关系，通过列方程求解是正确解答本题的关键．
18．（3分）边长为2cm的等边三角形的面积为 cm2．
【考点】等边三角形的性质．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】根据等边三角形三角都是60°利用三角函数可求得其高，根据面积公式求解．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝60°．
∵AB＝2cm，
∴AD＝ABsin60°＝（cm），
∴△ABC的面积＝×2×＝（cm2）．
故答案为：．
【点评】本题考查了等边三角形面积的计算，本题中根据锐角三角函数关系计算出AD的值是解题的关键．
19．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB，AB＝8，则BC＝ 4 ，∠BCD＝ 30° ，BD＝ 2 ．
【考点】含30度角的直角三角形．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】根据30°角所对的直角边等于斜边的一半即可求出BC的长度，再根据同角的余角相等可得∠BCD＝∠A．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝8，
∴BC＝AB＝×8＝4，
∵CD⊥AB，
∴∠BCD+∠B＝90°，
又∵∠A+∠B＝180°﹣∠ACB＝180°﹣90°＝90°，
∴∠BCD＝∠A＝30°．
∴BD＝BC＝2．
故答案为：4，30°，2．
【点评】本题主要考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，以及同角的余角相等的性质，比较简单，熟记性质是解题的关键．
20．（3分）如图，将△ABC沿AC方向平移1cm得到△DEF，若△ABC的周长为10cm．则四边形ABEF的周长为 12cm ．
【考点】平移的性质．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】根据平移的基本性质，得出四边形ABFD的周长＝AD+AB+BF+DF＝1+AB+BC+1+AC，即可得出答案．
【解答】解：根据题意，将周长为10cm的△ABC沿AC向右平移1cm得到△DEF，
∴BE＝1cm，AF＝AC+CF＝AC+1cm，EF＝BC；
又∵AB+AC+BC＝10cm，
∴四边形ABEF的周长＝BE+AB+AF+EF＝1+AB+AC+1+BC＝12cm．
故答案为：12cm．
【点评】本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．得到CF＝BE，EF＝BC是解题的关键．
三、解答题（共3小题，满分26分）
21．（8分）求下列不等式（组）的解集，并在数轴上表示解集：
（1）
（2）+2＜3﹣．
【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）先分别求出两个不等式的解集，再找出不等式组的解集；然后在数轴上表示出x的取值范围即可；
（2）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1；然后在数轴上表示出x的取值范围即可．
【解答】解：（1），
解不等式①得：x＞，
解不等式②得：x＞4，
所以不等式组的解集为x＞4，
在数轴上表示为：
；
（2）+2＜3﹣，
去分母得：3（x+1）+16＜24﹣2（x﹣1），
去括号得：3x+3+16＜24﹣2x+2，
移项，合并同类项得：5x＜7，
系数化成1得：x＜，
在数轴上表示为：
．
【点评】本题考查了解一元一次不等式（组）的应用，主要考查学生的计算能力．同时考查了不等式（组）的解集在数轴上的表示．
22．（12分）因式分解
（1）5a2b+10ab2﹣15ab．
（2）（3m+n）2﹣（m﹣n）2．
（3）m2﹣6m+9．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）原式提取公因式分解即可；
（2）原式利用平方差公式分解即可；
（3）原式利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：（1）原式＝5ab（a+2b﹣3）；
（2）原式＝（3m+n+m﹣n）（3m+n﹣m+n）＝8m（m+n）；
（3）原式＝（m﹣3）2．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
23．（6分）若关于x的不等式组的解集是2≤x＜5，求m+n的值．
【考点】解一元一次不等式组．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】先把mn当作已知条件求出不等式组的解集，再与已知不等式组的解集是2≤x＜5相比较得出关于mn的方程组，求出m、n的值即可．
【解答】解：，
由①得，x≥m+n；
由②得，x＜，
∵不等式组的解集为2≤x＜5，
∴，把①代入②得，＝5，解得m＝7，把m＝7代入①得，n+7＝2，解得m＝﹣5，
∴m+n＝7﹣5＝2．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
四.解答题
24．（6分）如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，CE与BD相交于点M，BD交AC于点N．证明：
（1）△ABD≌△ACE
（2）BD⊥CE．
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）求出∠BAD＝∠CAE，再利用“边角边”证明即可；
（2）根据全等三角形对应角相等可得∠ADB＝∠AEC，然后求出∠DEM+∠MDE＝90°，再根据三角形的内角和等于180°求出∠DME＝90°，最后根据垂直的定义证明即可．
【解答】（1）证明：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，
即∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
（2）证明：∵△ABD≌△ACE，
∴∠ADB＝∠AEC，
∴∠DEM+∠MDE＝∠DEM+∠ADB+∠ADE＝∠DEM+∠AEC+∠ADE＝∠DAE+∠ADE＝90°，
在△DEM中，∠DME＝180°﹣（∠DEM+∠MDE）＝180°﹣90°＝90°，
∴BD⊥CE．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法并准确确定出三角形全等的条件是解题的关键．
25．（8分）某公司经营甲、乙两种商品，每件甲种商品进价12万元，售价14.5万元；每件乙种商品进价8万元，售价10万元，且它们的进价和售价始终不变．现准备购进甲、乙两种商品共20件，所用资金不低于190万元，不高于200万元．
（1）该公司有哪几种进货方案？
（2）该公司采用哪种进货方案可获得最大利润？最大利润是多少？
（3）若用（2）中所求得的利润再次进货，请直接写出获得最大利润的进货方案．
【考点】一元一次不等式的应用．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）关系式为：190≤甲种商品总进价+乙种商品总进价≤200，根据此不等关系列不等式组求解即可；
（2）利润＝甲种商品数量×（14.5﹣12）+乙种商品数量×（10﹣8），整理后按（1）中自变量的取值算出最大利润；
（3）用最大利润45万元来进货，用最大利润进货，没有总件数限制，但要考虑尽量把钱用完．分以下五种情况讨论，通过计算比较即可．①全进甲，能购买3件；②全进乙，能购买5件；③甲进1件，同时乙进4件；④甲进2件，同时乙进2件；⑤甲进3件，同时乙进1件．
【解答】解：（1）设购进甲种商品x件，乙种商品（20﹣x）件，根据题意得
190≤12x+8（20﹣x）≤200，
解得7.5≤x≤10，
∵x为非负整数，
∴x取8，9，10，
有三种进货方案：
①购甲种商品8件，乙种商品12件；
②购甲种商品9件，乙种商品11件；
③购甲种商品10件，乙种商品10件．
（2）设利润为w元，
则w＝x×（14.5﹣12）+（20﹣x）×（10﹣8）＝0.5x+40，
∴购甲种商品10件，乙种商品10件时，可获得最大利润，最大利润是45万元．
（3）①全进甲，能购买3件，利润为（14.5﹣12）×3＝7.5万元；
②全进乙，能购买5件，利润为（10﹣8）×5＝10万元；
③甲进1件，同时乙进4件，利润为（14.5﹣12）×1+（10﹣8）×4＝10.5万；
④甲进2件，同时乙进2件，利润为2.5×2+2×2＝9万元；
⑤甲进3件，同时乙进1件，利润为2.5×3+2×1＝9.5万元；
所以购甲种商品1件，乙种商品4件时，可获得最大利润为10.5万元．
【点评】解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式，及所求量的等量关系．要会用分类的思想来讨论问题并能用不等式的特殊值来求得方案的问题．
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八年级：一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
1．（3分）下列不等式中，是一元一次不等式的是（ ）
A．x+1＞2 B．x2＞9 C．2x+y≤5 D．＞3
2．（3分）将长度为3cm的线段向上平移20cm，所得线段的长度是（ ）
A．3cm B．23cm C．20cm D．17cm
3．（3分）下列图形中是中心对称图形的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（3分）下列因式分解正确的是（ ）
A．x2﹣4＝（x+4）（x﹣4） B．x2﹣2x﹣15＝（x+3）（x﹣5）
C．3mx﹣6my＝3m（x﹣6y） D．2x+4＝2（x+4）
5．（3分）若a＜b，则下列不等式不成立的是（ ）
A．3a＜3b B．﹣3a＜﹣3b C．a+3＜b+3 D．2a﹣1＜2b﹣1
6．（3分）已知等腰△ABC的周长为18cm，BC＝8cm，若△ABC≌△A′B′C′，则△A′B′C′中一定有一条边等于（ ）
A．7cm B．2cm或7cm C．5cm D．2cm或5cm
7．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠BAE＝10°，则∠C的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
8．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，AB的垂直平分线交BC于D，交AB于E，DB＝12cm，则AC＝（ ）
A．4cm B．5m C．6cm D．7cm
9．（3分）直线l1：y＝k1x+b与直线l2：y＝k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式k1x+b＞k2x的解为（ ）
A．x＞﹣1 B．x＜﹣1 C．x＜﹣2 D．无法确定
10．（3分）如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝1，则BB′的长为（ ）
A．4 B． C． D．
11．（3分）如果关于x的不等式（a+2014）x＞a+2014的解集为x＜1那么a的取值范围是（ ）
A．a＞﹣2014 B．a＜﹣2014 C．a＞2014 D．a＜2014
12．（3分）如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点B到点C的方向平移到△DEF的位置，∠B＝90°，AB＝8，DH＝3，平移距离为4，求阴影部分的面积为（ ）
A．20 B．24 C．25 D．26
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
13．（3分）2x+10＞2的解集是 ．
14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DC＝2，则D到AB边的距离是 ．
15．（3分）如图，在等边△ABC中，AB＝6，D是BC的中点，将△ABD绕点A旋转后得到△ACE，那么线段DE的长度为 ．
16．（3分）若多项式x2+ax﹣2分解因式的结果为（x+1）（x﹣2），则a的值为 ．
17．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝BD＝BC，那么∠A＝ 度．
18．（3分）边长为2cm的等边三角形的面积为 cm2．
19．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB，AB＝8，则BC＝ ，∠BCD＝ ，BD＝ ．
20．（3分）如图，将△ABC沿AC方向平移1cm得到△DEF，若△ABC的周长为10cm．则四边形ABEF的周长为 ．
三、解答题（共3小题，满分26分）
21．（8分）求下列不等式（组）的解集，并在数轴上表示解集：
（1）
（2）+2＜3﹣．
22．（12分）因式分解
（1）5a2b+10ab2﹣15ab．
（2）（3m+n）2﹣（m﹣n）2．
（3）m2﹣6m+9．
23．（6分）若关于x的不等式组的解集是2≤x＜5，求m+n的值．
四.解答题
24．（6分）如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，CE与BD相交于点M，BD交AC于点N．证明：
（1）△ABD≌△ACE
（2）BD⊥CE．
25．（8分）某公司经营甲、乙两种商品，每件甲种商品进价12万元，售价14.5万元；每件乙种商品进价8万元，售价10万元，且它们的进价和售价始终不变．现准备购进甲、乙两种商品共20件，所用资金不低于190万元，不高于200万元．
（1）该公司有哪几种进货方案？
（2）该公司采用哪种进货方案可获得最大利润？最大利润是多少？
（3）若用（2）中所求得的利润再次进货，请直接写出获得最大利润的进货方案．
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
1．（3分）下列不等式中，是一元一次不等式的是（ ）
A．x+1＞2 B．x2＞9 C．2x+y≤5 D．＞3
【考点】一元一次不等式的定义．菁优网版权所有
【答案】A
【分析】根据一元一次不等式的定义解答．
【解答】解：A、该不等式符合一元一次不等式的定义，故本选项正确；
B、未知数的次数是2，不是一元一次不等式，故本选项错误；
C、该不等式中含有2个未知数，属于二元一次不等式，故本选项错误；
D、该不等式属于分式不等式，故本选项错误；
故选：A．
【点评】本题考查一元一次不等式的定义中的未知数的最高次数为1次．
2．（3分）将长度为3cm的线段向上平移20cm，所得线段的长度是（ ）
A．3cm B．23cm C．20cm D．17cm
【考点】平移的性质．菁优网版权所有
【答案】A
【分析】根据平移的基本性质，可直接求得结果．
【解答】解：平移不改变图形的形状和大小，故线段的长度不变，长度是3cm．
故选：A．
【点评】本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．
3．（3分）下列图形中是中心对称图形的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】中心对称图形．菁优网版权所有
【答案】B
【分析】根据中心对称图形的概念求解．
【解答】解：第2个、第4个图形是中心对称图形，共2个．
故选：B．
【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形的关键是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
4．（3分）下列因式分解正确的是（ ）
A．x2﹣4＝（x+4）（x﹣4） B．x2﹣2x﹣15＝（x+3）（x﹣5）
C．3mx﹣6my＝3m（x﹣6y） D．2x+4＝2（x+4）
【考点】因式分解﹣十字相乘法等；提公因式法与公式法的综合运用．菁优网版权所有
【答案】B
【分析】A、直接利用平方差公式求解即可求得答案；
B、利用十字相乘法分解因式的方法求解即可求得答案；
C、直接利用提取公因式的方法分解即可求得答案；
D、直接利用提取公因式的方法分解即可求得答案．
【解答】解：A、x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）；故本选项错误；
B、x2﹣2x﹣15＝（x+3）（x﹣5）；故本选项正确；
C、3mx﹣6my＝3m（x﹣2y）；故本选项错误；
D、2x+4＝2（x+2）；故本选项错误．
故选：B．
【点评】此题考查了十字相乘法分解因式以及提公因式与公式法分解因式的知识．注意分解因式时，要先提公因式，再利用公式法分解．
5．（3分）若a＜b，则下列不等式不成立的是（ ）
A．3a＜3b B．﹣3a＜﹣3b C．a+3＜b+3 D．2a﹣1＜2b﹣1
【考点】不等式的性质．菁优网版权所有
【答案】B
【分析】根据不等式的基本性质对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、∵a＜b，∴3a＜3b，故本选项不符合题意；
B、∵a＜b，∴﹣3a＞﹣3b，故本选项符合题意；
C、∵a＜b，∴a+3＜b+3，故本选项不符合题意；
D、∵a＜b，∴2a＜2b，∴2a﹣1＜2b﹣1，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查的是不等式的基本性质，即：
（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；
（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；
（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
6．（3分）已知等腰△ABC的周长为18cm，BC＝8cm，若△ABC≌△A′B′C′，则△A′B′C′中一定有一条边等于（ ）
A．7cm B．2cm或7cm C．5cm D．2cm或5cm
【考点】等腰三角形的性质；全等三角形的性质．菁优网版权所有
【答案】D
【分析】分两种情况讨论：
（1）若BC为等腰△ABC的底边；
（2）若BC为等腰△ABC的腰．
【解答】解：（1）在等腰△ABC中，若BC＝8cm为底边，
根据三角形周长计算公式可得腰长＝5cm；
（2）在等腰△ABC中，若BC＝8cm为腰，
根据三角形周长计算公式可得底边长18﹣2×8＝2cm
∵△ABC≌△A′B′C′，
∴△A′B′C′与△ABC的边长及腰长相等．
即△A′B′C′中一定有一条边等于2或5．
故选：D．
【点评】考查了全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等、对应边相等．
7．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠BAE＝10°，则∠C的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【考点】线段垂直平分线的性质．菁优网版权所有
【答案】B
【分析】利用线段的垂直平分线的性质计算．
通过已知条件由∠B＝90°，∠BAE＝10°⇒∠AEB，
∠AEB＝∠EAC+∠C＝2∠C．
【解答】解：∵ED是AC的垂直平分线，
∴AE＝CE
∴∠EAC＝∠C，
又∵∠B＝90°，∠BAE＝10°，
∴∠AEB＝80°，
又∵∠AEB＝∠EAC+∠C＝2∠C，
∴∠C＝40°．
故选：B．
【点评】此题主要考查线段的垂直平分线的性质、直角三角形的两锐角互余、三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角和．
8．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，AB的垂直平分线交BC于D，交AB于E，DB＝12cm，则AC＝（ ）
A．4cm B．5m C．6cm D．7cm
【考点】线段垂直平分线的性质．菁优网版权所有
【答案】C
【分析】利用线段垂直平分线的性质求得AD＝BD＝12cm；然后根据三角形的内角和定理求得∠ADC＝30°；最后由直角三角形中的30°角所对的直角边是斜边的一半来求AC的长度．
【解答】解：连接AD．
∵AB的垂直平分线交BC于D，交AB于E，DB＝12cm，
∴AD＝BD＝12cm，∠B＝∠BAD＝15°；
又∵在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，
∴∠DAC＝60°，
∴∠ADC＝30°，
∴AC＝AD＝6cm．
故选：C．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质（线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等）．解答本题的关键是线段垂直平分线的性质求得AD＝BD＝12cm，及∠ADC＝30°．
9．（3分）直线l1：y＝k1x+b与直线l2：y＝k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式k1x+b＞k2x的解为（ ）
A．x＞﹣1 B．x＜﹣1 C．x＜﹣2 D．无法确定
【考点】一次函数与一元一次不等式．菁优网版权所有
【答案】B
【分析】求关于x的不等式k1x+b＞k2x的解集就是求：能使函数y＝k1x+b的图象在函数y＝k2x的上方的自变量的取值范围．
【解答】解：能使函数y＝k1x+b的图象在函数y＝k2x的上方时的自变量的取值范围是x＜﹣1．
故关于x的不等式k1x+b＞k2x的解集为：x＜﹣1．
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．利用数形结合是解题的关键．
10．（3分）如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝1，则BB′的长为（ ）
A．4 B． C． D．
【考点】中心对称．菁优网版权所有
【答案】A
【分析】在直角△ABC中根据30度角所对的直角边等于斜边的一半求得AB，而BB′＝2AB，据此即可求解．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠B＝30°，AC＝1，
∴AB＝2AC＝2，
∴BB′＝2AB＝4．
故选：A．
【点评】本题主要考查了直角三角形的性质：30°的锐所对的直角边等于斜边的一半，以及旋转的性质．
11．（3分）如果关于x的不等式（a+2014）x＞a+2014的解集为x＜1那么a的取值范围是（ ）
A．a＞﹣2014 B．a＜﹣2014 C．a＞2014 D．a＜2014
【考点】不等式的解集．菁优网版权所有
【答案】B
【分析】不等式两边同时除以a+2014即可求解不等式，根据不等式的性质可以得到a+2014一定小于0，据此即可求解．
【解答】解：根据题意得：a+2014＜0，
解得：a＜﹣2014．
故选：B．
【点评】本题考查了不等式的解法，解答此题学生一定要注意不等式两边同乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
12．（3分）如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点B到点C的方向平移到△DEF的位置，∠B＝90°，AB＝8，DH＝3，平移距离为4，求阴影部分的面积为（ ）
A．20 B．24 C．25 D．26
【考点】平移的性质．菁优网版权所有
【答案】D
【分析】由S△ABC＝S△DEF，推出S四边形ABEH＝S阴即可解决问题；
【解答】解：∵平移距离为4，
∴BE＝4，
∵AB＝8，DH＝3，
∴EH＝8﹣3＝5，
∵S△ABC＝S△DEF，
∴S四边形ABEH＝S阴
∴阴影部分的面积为＝×（8+5）×4＝26
故选：D．
【点评】此题主要考查了平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等，要熟练掌握．
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
13．（3分）2x+10＞2的解集是 x＞﹣4 ．
【考点】解一元一次不等式．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】移项，合并同类项，系数化成1即可．
【解答】解：2x+10＞2，
2x＞2﹣10，
2x＞﹣8，
x＞﹣4，
故答案为：x＞﹣4．
【点评】本题考查了解一元一次不等式，能正确根据不等式的基本性质进行变形是解此题的关键．
14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DC＝2，则D到AB边的距离是 2 ．
【考点】角平分线的性质．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】过D作DE⊥AB于E，得出DE的长度是D到AB边的距离，根据角平分线性质求出CD＝ED，代入求出即可．
【解答】解：过D作DE⊥AB于E，则DE的长度就是D到AB边的距离．
∵AD平分∠CAB，∠ACD＝90°，DE⊥AB，
∴DC＝DE＝2（角平分线性质），
故答案为：2．
【点评】本题考查了对角平分线性质的应用，关键是作辅助线DE，本题比较典型，难度适中．
15．（3分）如图，在等边△ABC中，AB＝6，D是BC的中点，将△ABD绕点A旋转后得到△ACE，那么线段DE的长度为 3 ．
【考点】旋转的性质；等边三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】首先，利用等边三角形的性质求得AD＝3；然后根据旋转的性质、等边三角形的判定推知△ADE为等边三角形，可得结论．
【解答】解：如图，∵在等边△ABC中，∠B＝60°，AB＝6，D是BC的中点，
∴AD⊥BD，∠BAD＝∠CAD＝30°，
∴AD＝ABcos30°＝6×＝3．
根据旋转的性质知，∠EAC＝∠DAB＝30°，AD＝AE，
∴∠DAE＝∠EAC+∠CAD＝60°，
∴△ADE的等边三角形，
∴DE＝AD＝3，
即线段DE的长度为3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质．旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．
16．（3分）若多项式x2+ax﹣2分解因式的结果为（x+1）（x﹣2），则a的值为 ﹣1 ．
【考点】因式分解﹣十字相乘法等．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】根据因式分解的结果确定出a的值即可．
【解答】解：根据题意得：x2+ax﹣2＝（x+1）（x﹣2）＝x2﹣x﹣2，
则a＝﹣1，
故答案为：﹣1
【点评】此题考查了因式分解﹣十字相乘法，熟练掌握十字相乘的方法是解本题的关键．
17．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝BD＝BC，那么∠A＝ 36 度．
【考点】等腰三角形的性质．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】设∠A＝x，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求解．
【解答】解：设∠A＝x．
∵AD＝BD，
∴∠ABD＝∠A＝x；
∵BD＝BC，
∴∠BCD＝∠BDC＝∠ABD+∠A＝2x；
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠BCD＝2x，
∴∠DBC＝x；
∵x+2x+2x＝180°，
∴x＝36°，
∴∠A＝36°．
故答案为：36．
【点评】本题考查等腰三角形的性质；利用了三角形的内角和定理得到相等关系，通过列方程求解是正确解答本题的关键．
18．（3分）边长为2cm的等边三角形的面积为 cm2．
【考点】等边三角形的性质．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】根据等边三角形三角都是60°利用三角函数可求得其高，根据面积公式求解．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝60°．
∵AB＝2cm，
∴AD＝ABsin60°＝（cm），
∴△ABC的面积＝×2×＝（cm2）．
故答案为：．
【点评】本题考查了等边三角形面积的计算，本题中根据锐角三角函数关系计算出AD的值是解题的关键．
19．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB，AB＝8，则BC＝ 4 ，∠BCD＝ 30° ，BD＝ 2 ．
【考点】含30度角的直角三角形．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】根据30°角所对的直角边等于斜边的一半即可求出BC的长度，再根据同角的余角相等可得∠BCD＝∠A．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝8，
∴BC＝AB＝×8＝4，
∵CD⊥AB，
∴∠BCD+∠B＝90°，
又∵∠A+∠B＝180°﹣∠ACB＝180°﹣90°＝90°，
∴∠BCD＝∠A＝30°．
∴BD＝BC＝2．
故答案为：4，30°，2．
【点评】本题主要考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，以及同角的余角相等的性质，比较简单，熟记性质是解题的关键．
20．（3分）如图，将△ABC沿AC方向平移1cm得到△DEF，若△ABC的周长为10cm．则四边形ABEF的周长为 12cm ．
【考点】平移的性质．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】根据平移的基本性质，得出四边形ABFD的周长＝AD+AB+BF+DF＝1+AB+BC+1+AC，即可得出答案．
【解答】解：根据题意，将周长为10cm的△ABC沿AC向右平移1cm得到△DEF，
∴BE＝1cm，AF＝AC+CF＝AC+1cm，EF＝BC；
又∵AB+AC+BC＝10cm，
∴四边形ABEF的周长＝BE+AB+AF+EF＝1+AB+AC+1+BC＝12cm．
故答案为：12cm．
【点评】本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．得到CF＝BE，EF＝BC是解题的关键．
三、解答题（共3小题，满分26分）
21．（8分）求下列不等式（组）的解集，并在数轴上表示解集：
（1）
（2）+2＜3﹣．
【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）先分别求出两个不等式的解集，再找出不等式组的解集；然后在数轴上表示出x的取值范围即可；
（2）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1；然后在数轴上表示出x的取值范围即可．
【解答】解：（1），
解不等式①得：x＞，
解不等式②得：x＞4，
所以不等式组的解集为x＞4，
在数轴上表示为：
；
（2）+2＜3﹣，
去分母得：3（x+1）+16＜24﹣2（x﹣1），
去括号得：3x+3+16＜24﹣2x+2，
移项，合并同类项得：5x＜7，
系数化成1得：x＜，
在数轴上表示为：
．
【点评】本题考查了解一元一次不等式（组）的应用，主要考查学生的计算能力．同时考查了不等式（组）的解集在数轴上的表示．
22．（12分）因式分解
（1）5a2b+10ab2﹣15ab．
（2）（3m+n）2﹣（m﹣n）2．
（3）m2﹣6m+9．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）原式提取公因式分解即可；
（2）原式利用平方差公式分解即可；
（3）原式利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：（1）原式＝5ab（a+2b﹣3）；
（2）原式＝（3m+n+m﹣n）（3m+n﹣m+n）＝8m（m+n）；
（3）原式＝（m﹣3）2．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
23．（6分）若关于x的不等式组的解集是2≤x＜5，求m+n的值．
【考点】解一元一次不等式组．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】先把mn当作已知条件求出不等式组的解集，再与已知不等式组的解集是2≤x＜5相比较得出关于mn的方程组，求出m、n的值即可．
【解答】解：，
由①得，x≥m+n；
由②得，x＜，
∵不等式组的解集为2≤x＜5，
∴，把①代入②得，＝5，解得m＝7，把m＝7代入①得，n+7＝2，解得m＝﹣5，
∴m+n＝7﹣5＝2．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
四.解答题
24．（6分）如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，CE与BD相交于点M，BD交AC于点N．证明：
（1）△ABD≌△ACE
（2）BD⊥CE．
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）求出∠BAD＝∠CAE，再利用“边角边”证明即可；
（2）根据全等三角形对应角相等可得∠ADB＝∠AEC，然后求出∠DEM+∠MDE＝90°，再根据三角形的内角和等于180°求出∠DME＝90°，最后根据垂直的定义证明即可．
【解答】（1）证明：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，
即∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
（2）证明：∵△ABD≌△ACE，
∴∠ADB＝∠AEC，
∴∠DEM+∠MDE＝∠DEM+∠ADB+∠ADE＝∠DEM+∠AEC+∠ADE＝∠DAE+∠ADE＝90°，
在△DEM中，∠DME＝180°﹣（∠DEM+∠MDE）＝180°﹣90°＝90°，
∴BD⊥CE．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法并准确确定出三角形全等的条件是解题的关键．
25．（8分）某公司经营甲、乙两种商品，每件甲种商品进价12万元，售价14.5万元；每件乙种商品进价8万元，售价10万元，且它们的进价和售价始终不变．现准备购进甲、乙两种商品共20件，所用资金不低于190万元，不高于200万元．
（1）该公司有哪几种进货方案？
（2）该公司采用哪种进货方案可获得最大利润？最大利润是多少？
（3）若用（2）中所求得的利润再次进货，请直接写出获得最大利润的进货方案．
【考点】一元一次不等式的应用．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）关系式为：190≤甲种商品总进价+乙种商品总进价≤200，根据此不等关系列不等式组求解即可；
（2）利润＝甲种商品数量×（14.5﹣12）+乙种商品数量×（10﹣8），整理后按（1）中自变量的取值算出最大利润；
（3）用最大利润45万元来进货，用最大利润进货，没有总件数限制，但要考虑尽量把钱用完．分以下五种情况讨论，通过计算比较即可．①全进甲，能购买3件；②全进乙，能购买5件；③甲进1件，同时乙进4件；④甲进2件，同时乙进2件；⑤甲进3件，同时乙进1件．
【解答】解：（1）设购进甲种商品x件，乙种商品（20﹣x）件，根据题意得
190≤12x+8（20﹣x）≤200，
解得7.5≤x≤10，
∵x为非负整数，
∴x取8，9，10，
有三种进货方案：
①购甲种商品8件，乙种商品12件；
②购甲种商品9件，乙种商品11件；
③购甲种商品10件，乙种商品10件．
（2）设利润为w元，
则w＝x×（14.5﹣12）+（20﹣x）×（10﹣8）＝0.5x+40，
∴购甲种商品10件，乙种商品10件时，可获得最大利润，最大利润是45万元．
（3）①全进甲，能购买3件，利润为（14.5﹣12）×3＝7.5万元；
②全进乙，能购买5件，利润为（10﹣8）×5＝10万元；
③甲进1件，同时乙进4件，利润为（14.5﹣12）×1+（10﹣8）×4＝10.5万；
④甲进2件，同时乙进2件，利润为2.5×2+2×2＝9万元；
⑤甲进3件，同时乙进1件，利润为2.5×3+2×1＝9.5万元；
所以购甲种商品1件，乙种商品4件时，可获得最大利润为10.5万元．
【点评】解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式，及所求量的等量关系．要会用分类的思想来讨论问题并能用不等式的特殊值来求得方案的问题．
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